一个求解非线性互补问题非单调自适应信赖域方法
信赖域算法非线性优化问题课件
非ห้องสมุดไป่ตู้性优化问题的求解方法
总结词
非线性优化问题的求解方法主要包括梯度法、牛顿法、 拟牛顿法、共轭梯度法等。此外，还有一些启发式算 法如模拟退火、遗传算法等也被广泛应用于求解非线 性优化问题。
详细描述
梯度法是最早用于求解非线性优化问题的方法之一， 其基本思想是沿着目标函数的负梯度方向搜索。牛顿 法基于泰勒级数展开，构造一个二次模型逼近目标函 数，并在此基础上求解极小值。拟牛顿法是牛顿法的 改进，通过构造一个正定的拟牛顿矩阵来逼近海森矩 阵。共轭梯度法结合了梯度法和牛顿法的思想，在每 一步迭代中沿着当前搜索方向的前一方向共轭的方向 进行搜索。
可解释性与透明度
研究如何提高信赖域算法的可解释性和透明度，使其在关键领域（如 医疗、金融等）得到更广泛的应用。
信赖域算法的挑战和机遇
挑战
非线性、非凸、大规模、多模态等复杂优化问题对信赖域算法提出了更高的要求。同时，算法的稳定性和收敛速 度也是需要克服的难题。
机遇
随着计算能力的提升和算法理论的不断发展，信赖域算法有望在更多领域发挥重要作用。例如，在数据科学、机 器学习、人工智能、控制系统等领域，信赖域算法具有广阔的应用前景。同时，与其他先进技术的结合也为信赖 域算法的发展提供了新的机遇。
信赖域算法的未来发展
深度学习与机器学习集成
探索将信赖域算法与深度学习、机器学习等先进技术相结合，以解决 复杂、高维的非线性优化问题。
智能优化
结合人工智能和优化算法，开发能够自适应学习和进化的智能优化系 统。
强化学习与优化算法结合
利用强化学习中的智能体与环境交互学习的特点，与信赖域算法结合， 实现更高效的优化。
• 可以处理约束优化问题。
信赖域算法的优缺点
信赖域算法 参数解释
信赖域算法参数解释信赖域算法（Trust Region Method）是一种非线性优化算法，用于求解无约束非线性优化问题。
该算法通过构建一个信赖域模型来逐步逼近最优解。
下面我将对信赖域算法的参数进行逐一解释。
1. 信赖域半径（Trust Region Radius）: 信赖域半径是信赖域算法的一个关键参数，用来控制当前信赖域模型的有效范围。
信赖域算法通过在该信赖域内进行迭代计算来逐步逼近最优解。
信赖域半径通常用一个正数来表示，代表了当前信赖域的半径大小。
2. 模型准则函数（Model Objective Function）: 模型准则函数是信赖域算法中的一个重要参数，用于评价信赖域模型与原始优化问题之间的拟合程度。
常见的模型准则函数包括二次模型、三次模型等，其中二次模型是最常用的。
模型准则函数的选择会直接影响算法的收敛性和准确性。
3. 模型的预测质量（Model Prediction Quality）: 模型的预测质量是衡量当前信赖域模型在给定信赖域半径内的拟合程度和预测能力。
通常采用实际函数值和模型函数值之间的差异来评估。
4. 信赖域约束比率（Trust Region Constraint Ratio）: 信赖域约束比率是一个用于控制信赖域半径变化的参数。
当信赖域内的拟合程度较好时，可适当增大信赖域半径；当拟合程度较差时，应缩小信赖域半径。
信赖域约束比率通常取值在(0,1)之间。
5. 信赖域更新策略（Trust Region Update Strategy）: 信赖域更新策略用于根据不同的计算情况来更新信赖域半径。
常见的信赖域更新策略包括成功步长比例、信赖域半径调整因子等。
更新策略的选择会影响到算法的收敛性和稳定性。
6. 模型剪裁准则（Model Truncation Criterion）: 模型剪裁准则用于判断当前信赖域模型是否拟合程度足够好，是否需要继续进行迭代计算。
常见的剪裁准则有曲率条件和信赖域约束条件等。
解无约束优化的非单调自适应信赖域算法
解无约束优化的非单调自适应信赖域算法曾刘拴【摘要】受文献[14]的启发,针对无约束优化问题提出了一个基于二次模型的非单调信赖域算法;算法结合自适应技术,避免信赖域半径更新的盲目性;并引入新的非单调技术,利用非单调Armijo线搜索得到步长,进而产生新的迭代点;在文献[14]减少一个假设条件的情况下,证明了该算法的全局收敛性,数值实验表明了算法的有效性.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(030)011【总页数】7页(P55-61)【关键词】无约束规划;非单调信赖域算法;自适应方法;滤子;全局收敛性【作者】曾刘拴【作者单位】重庆大学数学与统计学院,重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O221.20 引言本文考虑无约束最优化问题:其中，f(x):Rn→R二阶连续可微且有下界。
信赖域方法是一种迭代方法，在每次迭代中，试探步dk可通过求解下面的子问题得到:其中 d=xk+1－xk，gk=∇f(xk)，对称阵Bk∈Rn×n是∇2 f(xk)或其近似，Δk＞0 是信赖域半径，‖.‖是向量范数或由它导出的矩阵范数。
由式(2)求得的试探步d是否被接受，取决于两个下降量的比值，即，其k中Aredk=f(xk)－f(xk+dk)表示实际下降量，Predk=φk(0)－φk(dk)表示预测下降量。
无约束信赖域方法的收敛结果是由Powell［1］首次得到的，后经许多学者的研究，信赖域方法得到了很好地发展，已经成为优化算法两大分支之一。
2000年，Conn等人出版了关于信赖域方法的专著［2］。
近年来，非单调线搜索技术得到广泛应用，此方法是Grippo等［3］首次提出的，因其具有较好的数值效果而得到了广泛应用。
关于非单调技术的研究主要有文献［4-6］等。
2008年，Mo和Gu［7］提出了一种较为简单的非单调技术，即:并将此技术运用到信赖域方法中，获得了较好的数值效果。
自适应方法是由Sartenear［8］首次提出的，此方法可以避免信赖域半径更新的盲目性。
一类新的带线搜索的非单调自适应信赖域算法
一类新的带线搜索的非单调自适应信赖域算法景书杰;苗荣【摘要】A new nonmonotone self-adaptive trust region algorithm is proposed for unconstrained optimization by employing lfne search. The new algorithm takes Wolfe line searches instead of resolving the subproblem when the test step is not successful. Comparing to the original algorithm, it reduces the amount of computations. And under appropriate conditions, the global convergence of the algorithm is proved.%对无约束最优化问题提出了一类新的带线搜索的非单调自适应信赖域算法．新算法采用自适应技术，当试验步不成功时，不重解信赖域子问题，而采用Wolfe线搜索，故相对于原有的算法减少了计算量．并在适当的条件下，证明了算法的全局收敛性．【期刊名称】《河南理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(031)004【总页数】4页(P485-488)【关键词】无约束最优化;非单调;自适应;信赖域方法;线搜索【作者】景书杰;苗荣【作者单位】河南理工大学数学与信息科学学院,河南焦作454000;河南理工大学数学与信息科学学院,河南焦作454000【正文语种】中文【中图分类】O2240 引言对于无约束最优化问题：min f(x),x∈n,式中：f(x)为二阶连续可微函数．信赖域方法是一类重要的数值计算方法，通常的信赖域方法在每步迭代求子问题：s.t. ‖sk‖≤Δk，式中：s=x-xk；fk=f(xk)；gk为f(x)在xk处的梯度；Gk∈Rn×n为f(x)在xk处的Hessian矩阵或其近似；Δk为信赖域半径.由于信赖域方法具有较好的可靠性和很强的收敛性, 因而在近30 年来受到了最优化研究界的重视.文献[1]首先提出了非单调算法，并在一定条件下证明了全局收敛性和超线性收敛性. 文献[2-4]进一步对这一算法进行改进，计算结果表明适当的非单调算法比单调算法有更好的收敛结果.近几年许多关于信赖域半径的自适应算法被提出[5-10].本文借鉴文献[9]的思想在文献[7]和[10]的基础上充分利用线搜索方法和信赖域方法的优点，并结合非单调技术和自适应技术，构造了一类求解无约束优化问题的带Wolfe线搜索的非单调自适应信赖域算法.1 算法构造子问题：，(1)s.t. ‖sk‖≤βk，式中：β，0<C<1；P为非负整数；,如果Gk是正定的，则Ek=0，Ek是保证正定并使最小的对角矩阵.令,k=0,1,2,…,其中0≤m(k)≤min{2M,Mk,m(k-1)+1},M是非负整数.Are dk=fl(k)-f(xk+sk)，，(2)其中sk由式(1)得.下面给出算法的具体步骤.步0：置初始值x0,G0,m0=0,M≥0,p=0,k=0,μ∈(0,1/2),σ∈(μ,1),β0>0.步1：计算gk=f(xk).步2：若‖gk‖=0,停止；否则，转步3.步3：求子问题(2)的解sk，且sk满足(1) Pre dk≥τ‖gk‖min{βk,≥τ‖gk‖min{βk,，(3)≥-τ‖gk‖min{βk,≤-τ‖gk‖min{βk,.(4)(2)当Gk正定且≤βk时，.步4：计算，(5)若rk≥η,则xk+1=xk+sk，计算Gk，令P=0，Mk=M，转步1，否则，转步5. 步5：rk<η,求解迭代步长，使其满足f(xk+αksk)-fl(k)≤μ，(6)f(xk+αksk)Tsk≥σ，(7)令xk+1=xk+αksk,,pk+1=p+1,k=k+1,转步1.注：为了简便设I={k|k≥η},J={k|k<η}.2 算法的全局收敛性为了研究算法的收敛性，首先给出如下假设条件.(1)f(x)在水平集L(x0)={x|f(x)≤f(x0),x∈n}上连续可微且有界.(2)f(x)在水平集L(x0)上一致连续.(3)f(x)在L(x0)上Lipschitz连续，即存在常数L>0，满足‖f(x)-f(y)‖≤L‖x-y‖,∀x,y∈L(x0).(4)G(x)在L(x0)上一致有界，则也在L(x0)上一致有界，且存在常数σ1，σ2，β，σ1≤σ2，使得对∀k，有‖Gk‖≤σ1，≤σ2，βk≤β.∞，其中定理1 算法是适定的.证明只需证rk<η1时，算法是合理的.对固定的k，有f(xk+αksk)-fl(k)≤f(xk+αksk)-α‖sk‖)，(8)由于<0,αk∈βk,因此，当αk充分小时，存在μ∈(0,1/2)，使得f(xk+αksk)-fk≤μ，(9)由式(8)， (9)得f(xk+αksk)-fk≤μ，另设使式(9)等式成立，由中值定理，得μ，由于<0，且σ∈(μ,1)，因此可知f(xk+θμσ，令αk=θ得f(xk+αksk)Tsk>σ，定理得证.引理1 {xk}是算法1产生的点列，则∀xk∈L(x0).证明用归纳法证明，显然x0∈L(x0)，假设xi∈L(x0),0≤i≤k，只要证明xi+1∈L(x0)即可.∀k∈I,≥η,由-qk(sk)=Pre dk>0，η>0得fl(k)≥f(xk+sk)，且∀k∈J,f(xk+αksk)-fl(k)≤μ，由<0，αk>0，μ>0得fl(k)≥f(xk+sk)，所以，∀k，有fl(k)≥fk+1.(10)由式(10)和l(k)≤k得fl(k)≤f(x0).(11)由式(10)和式(11)得fk+1≤f(x0)，即xi+1∈L(x0).引理2 若H1成立，则{fl(k)}单调非增且收敛.证明max{fk+1,，由算法1知，m(k+1)≤m(k)+1，所以m(k+1)-1≤m(k)，≤fl(k)，(13)将式(13)代入式(12)，并由式(10)得fl(k+1)≤max{fk+1,fl(k)}=fl(k)，因此，序列{fl(k)}单调非增.由引理1，∀xk∈L(x0)，f(x)在L(x0)上有界可知，{fk}有界，从而{fl(k)}收敛.引理3 若H1，H2，H4成立，且存在常数δ>0，对∀k，‖gK‖≥δ，则存在常数m>0，有‖sk‖≥m/Zk,k=1,2,…,(14)式中：证明因为f(x)一致连续，所以对于∀ε>0，存在δ1>0，当‖s‖≤δ1时，有f(x+s)-f(x))<ε‖sk‖,∀x∈n取ε，其中0<η<1，τ>0，则f(x+s)-f(x))<τδ(1-η)‖sk‖,∀x∈n，(15)令m=min{tδ,β0Z0,tδZ0,tτδ(1-η)/2}，其中，,≤σ2.下面分两种情况证明.(1)当‖sk‖<βk时，由sk的最优性条件知gk+Gksk=0，‖sk‖≥≥.(2)当‖sk‖=βk时，利用数学归纳法证明式(14)成立.当‖s0‖=β0时，有‖s0‖=β0≥.因此，当k=0时，不等式成立.现假设不等式(14)对k成立，即‖sk‖≥，下面证明不等式(14)对k+1也成立.当‖sk+1‖=βk+1时，由序列{Zk,k=0,1,2,…}单调上升，得≥，所以只需证明下式成立即可：βk+1≥.(16)若βk+1≥‖sk‖则由归纳假设可知不等式(16)成立.因此，只需考虑βk+1<‖sk‖的情形.若‖sk‖≥δ，由βk+1≥得βk+1≥tδ≥tδZ0/Zk≥m/Zk.所以只需证明βk+1<‖sk‖<δ时, 式(16)成立即可.由式(15)可知f(xk+sk)-f(xk)=f(xk+θsk)dθ=f(xk+θsk)-f(xk))dθf(xk)≤τδ(1-η)‖sk‖/2，由算法1，式(3)，(15)和式(17),得-ηPre dk<f(xk+sk)-fl(k)<f(xk+sk)-f(xk)≤τδ(1-η)‖sk‖/2，即(1-η)τδ‖sk‖/2)>η/2(18)，而由式(5)和‖gk‖≥δ得≥τδmin{‖sk‖,δ/.(19)将式(19)两边乘(1-η)并与式(18)相加，得≥τδ(1-η)min{‖sk‖,2δ/.由<‖sk‖2·‖Gk‖得‖sk‖2·≥‖sk‖2·‖Gk‖>τδ(1-η)min{‖sk‖,2δ/.(20)考虑式(20)当‖sk‖<δ/时，‖sk‖·τδ(1-η)，(21)当‖sk‖≥δ/时，‖sk‖·≥δ.(22)根据m的取法，考虑式(21)和式(22)，有‖sk‖·≥min{τδ(1-η),δ}≥m/t由βk+1≥和‖sk‖≤δ，得βk+1≥τδ≥t‖sk‖≥t‖sk‖·/≥m//Zk.故当‖sk+1‖=βk+1时，式(16)成立.因此，对∀k，当‖sk‖=βk时，式(14)成立.证毕.引理4 若假设H3，H4成立，存在常数δ>0，使‖gk‖≥δ，对∀k，则∃α*>0，使∀k∈J，有αk≥α*>0.证明由αk满足式(7)，则(g(xk+αksk)-gk)Tsk≥(σ-1)，(23)因H3成立，所以(g(xk+αksk)-gk)Tsk≤αkL‖sk‖2.(24)结合式(23)和式(24)，得(σ-1)≤αkL‖sk‖2，即αk≥·.(25)将‖sk‖≤βk≤β,≤σ2, 以及式(4)代入式(25)中，得αk≥τ，≥τδ,≥τδ,，取α*τδ,,则αk≥α*>0,∀k,引理得证.定理2 若假设H1，H2，H3，H4，H5均成立，则算法产生的点列满足证明用反证法证明.假设定理不成立，则存在常数δ>0，使得‖gk‖≥δ，∀k,根据引理3可知，式(14)成立.当k∈I时，由式(3)，(4)，(5)和式(14)得fl(k)-fk+1≥ηPre dk≥τη‖gk‖min{βk,‖gk‖/≥ητδmin{m/Zk,m/Zk}=(ητδ/Zk)min{m,δ}，当k∈J时，由式(4)，(6)和引理4，得fl(k)-fk+1≥-ρ≥τρα*‖gk‖min{βk,‖gk‖/≥(τρα*δ/Zk)min{m,δ}，取d=min{ητδ，τρα*δ}·min{m,δ}，对∀k，有fl(k)-fk+1≥d/Zk，则在上述不等式两边取最大值，则fl(k)≥max{fk+1,fk+2,…，fk+M+1}+d/Zk+M+1,∀k，又因为fl(k+M+1)≤max{fk+1,fk+2,…，fk+M+1},∀k，从而有fl(k)-fl(k+M+1)≥d/Zk+M+1,∀k，(26)根据式(26)和引理2可得/Zj(M+1)<+∞.(27)由式(27)及序列{Zk}单调上升，则///Zi≤<+∞，这与H5相矛盾．因此，定理结论成立.参考文献：[1] DENG N Y, XIAO Y, ZHOU F J. 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求解非线性系统的信赖域方法
（５）
【 ｔ ０， ０， 渤＝０， １，２，…，ｍ．
定义１［８］ 设 ｆ：Ｒ 一 Ｒ 是局部 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续函数 ，则 ｆ在 处的 Ｂ一导数 ａＢｆ（ｘ）和 Ｃｌａｒｋｅ 广义导数 ｃＯｆ（ｘ）分别为。
ｏＢｆ（ ）＝｛ ∈Ｒ ： ＝ ｌ ｉ ｍ Ｖｆ（ ≈）， ≈∈Ｊ［），ｊ＇， ｏｆ（ ）一ｃ。ｎＶｏＢｆ（ ）·
维普资讯
第２５卷 第１期
２００８缸ｏ２Ｂ
工 程 数 学 学 报
ＣＨＩＮＥＳＥ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩＣＳ
Ｖｏ１．２５ Ｎｏ．１
Ｆｅｂ．２００８
文章编－￣：１００５—３０８５（２００８）０１—０１３３—０５
１３５
由文献 【８］易知分裂式（７）是有意义的 。 文献【１０］对非线性方程组（６）提 出了一种拟牛顿 的信赖域方 法，该方法在第 七步迭代 时，搜 索方 向 ｄ 是通过求解二次信赖域子问题得 到的，本文利用文献【８］的思想 ，在 步迭代时，把 求 解 二 次信 赖 域 子 问题 转 化 为 求 解 下列 线 性 方 程 组 ：
其中 Ｄｆ＝ ｛ ∈Ｒ ：ｆ在 处可微），符号 ｃｏｎｖ（Ｓ）表示集合 Ｓ 的凸包。 定义２【９］ 称函数 ：Ｒ２一 Ｒ， （０，ｂ）＝ 干 一０一ｂ为 Ｆｉｓｃｈｅｒ—Ｂｕｒｍｅｉｓｔｅｒ ＮＣＰ 函 数，简记 Ｆ—Ｂ ＮＣＰ 函数 。 利用 Ｆ—Ｂ ＮＣＰ 函数 ，ＫＫＴ系统（５）可转化 为下列等价的非线性方程 组。
本文 引入 松驰 变量 将 问题（１）转 化为 带非 负 约束 的非 线性 最优 化 问题 ，再 将最 优 化 问题 的 ＫＫＴ 系统转 化为与其等价 的非线性方程组，借助文献ｆ７］的分裂思想及文献ｆ８］的思想，每次 迭代时，通过 Ｆ—Ｂ ＮＣＰ 函数 ，把 求解信赖域子 问题转化成求解一个线性方程组。在一定条件 下，算法是全局收敛和局部超线性 收敛 的。数值 试验表 明算法是有效的。
求解非线性互补问题的非单调自适应信赖域算法
求解非线性互补问题的非单调自适应信赖域算法李梅艳;马昌凤【摘要】利用FB-NCP函数将求解非线性互补问题等价转化为求解无约束问题的一个全局极小值.提出一种非单调自适应信赖域算法,并在FB正则的条件下得到该算法是全局收敛性结果.在适当的假设下,进一步证明了该算法的局部超线性收敛和二次收敛性.【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(034)003【总页数】6页(P32-37)【关键词】非线性互补问题;非单调自适应信赖域算法;全局收敛性;超线性;二次收敛性【作者】李梅艳;马昌凤【作者单位】桂林电子科技大学,数学与计算科学学院,广西,桂林,541004;福建师范大学,数学与计算机科学学院,福建,福州,350007【正文语种】中文【中图分类】O224.2考虑下面的非线性互补问题(简记为NCP(F)):求解一个向量x∈Rn，满足x≥0,F(x)≥0,xTF(x)=0,(1)其中,F:Rn→Rn是一个连续可微的向量值函数.非线性互补问题在很多领域都有非常重要的应用[1-2],近年来对其数值求解方法的研究也十分活跃[3-9].作者基于FB-NCP函数将问题(1)转化为非光滑方程组其中，φFB:R2→R为所谓的FB-NCP函数其价值函数为其中，‖·‖表示欧氏范数.进而(1)式可转化为求解无约束极小问题作者提出一个非单调自适应信赖域方法解此无约束问题,为了保证全局收敛性，dk(具体用法见第2部分的算法)要求满足cos 〈-(2)1 基本知识命题1[2] 设函数F:Rn→Rn在开集Ω上连续可微，则有下面的条件成立:(a)广义Jacobian矩阵∂ΦFB满足∂ΦFB(x)⊆Da(x)+Db(x)JF(x),其中,Da(x)=diag{a1(x),…，an(x)},Db(x)=diag{b1(x),…，bn(x)}都是n×n对角矩阵，其元素分别为其中，εi,ρi满足(b)在开集Ω上ΦFB是半光滑的.(c)在Ω上θFB连续可微且θFB(x)=HTΦFB(x),∀H∈∂ΦFB(x).(d)如果Jacobian矩阵JF(x)在Ω上是局部Lipschitz连续的,则在Ω上ΦFB是强半光滑的.命题2 令ai(x)，bi(x)在命题1(a)中给出，则有下面三个性质：(a) ai(x)，bi(x)都是非正;(b) max (|ai(x)|,|bi(x)|)≤2;引理1 如果F:Rn→Rn是F-可微的,其Jacobian矩阵JF在序列{xk}附近一致连续且{JF(xk)}是有界的,则F在{xk}的附近是一致连续的.命题3 设F:Rn→Rn连续可微，{xk}是任意一个序列且{θFB(xk)}和{JF(xk)}都是有界的.如果JF在序列{xk}附近一致连续，则θFB(x)在{xk}附近一致连续.定义1 设C≡{i:xi≥0,Fi(x)≥0,xiFi(x)=0},L≡{1,…,n}/CP≡{i∈L:xi>0,Fi(x)>0}，M≡L/P.如果∀z且zC=0,zP>0,zM<0,都存在非零向量y∈Rn，使得yC=0,yP≥0,yM≤0和zTJF(x)y≥0成立，则称点x∈Rn是FB正则的.2 算法及其适定性给出求解问题(1)的一个非单调自适应信赖域方法.令其中,m(k)满足m(0)=0,m(k)=min {m(k-1)+1,W},W是一个非负整数.算法1 (非单调自适应信赖域方法)步骤0 x0∈Rn为任意初始点，ρ∈(0,1)和μ∈(0,1).令k:=0.步骤1 如果xk是θFB的稳定点则停算.步骤2 选取dk满足(2),Hk∈∂ΦFB(xk),令其中，ik是使得为正定矩阵的最小非负整数，令步骤3 令xk+1=xk+pk(Δk),其中，Δk是在{sk,ρsk,ρ2sk,…}中的最大Δ，使得其中，pk(Δ)是信赖域子问题的一个解minqk(p)=使得‖p‖≤Δ.(3)步骤4 令k:=k+1；返回步骤1.注1 算法1中的广义Jacobian矩阵Hk可按文献[2]的方法来选取.假设1 (i)水平集L(x0)={x∈Rn:θFB(xk)≤θFB(x0)}是有界的；(ii) JF:Rn→Rn×n在序列{xk}的附近是一致连续的,并且{JF(xk)}是有界的. 引理2 令pk是(3)的一个解且Δk=ρmksk,则θFB(xk)‖,其中，m(k)是一个非负整数.证明由Δk=ρmksk,很明显可以得到是信赖域子问题(3)的一个可行解.结合(2)式和Δk=ρmksk,则θFB(xk)Tdk]≥θFB(xk)‖.引理3 在假设1的条件下,算法1是适定的,并且由算法产生序列{xk}∈L(x0).证明首先证明,当Δ充分小时，有(4)其中，pk(Δ)是(3)的一个解.在假设1下，由中值定理、命题2和3，有‖pk(Δ)‖≤Δ→0.即存在一个使得∀式成立.又由θFB(xl(k))的定义可知,有因此，此算法是适定的.假定{xk}∈L(x0),k≥0.通过算法有rk>μ>0,即θFB(xl(k))≥θFB(xk+1)-μqk(pk(Δ))≥θFB(xk+1)，(5)而l(k)≤k,θFB(xl(k))≤θFB(x0),因此,θFB(xk+1)≤θFB(x0),即xk+1∈L(x0).引理4 如果假设1成立，则{θFB(xl(k))}是单调递减并且是收敛的.3 收敛性分析下面对算法1进行收敛性分析.首先证明算法1的全局收敛性.定理1 在假设1成立的条件下，算法1产生一个无限序列{xk}，使得θFB(xk)‖=0.证明反证法，假设定理不成立，则存在一个常数ε>0和一个无限序列K⊆{0,1,2,…}，使得‖θFB(xk)‖≥ε,k∈K(6)在第k次迭代点，假定其中，mk是一个非负整数,因此θFB(xl(k))≥θFB(xk+1)+μ(-qk(pk(Δk))).(7)由(6)、(7)式和引理2,有又由于{θFB(xl(k))}是收敛的，则(8)由命题2可知，存在β>0，使得‖Bk‖≤β,∀k,则dl(k)Bl(k)dl(k)≤(2β+1)‖dl(k)‖2.(9)结合(6)、(9)式,可得从(8)式可知,存在k′，使得ml(k)>0,l(k)∈K,l(k)≥k′.根据算法1,如果是下面的信赖域子问题minql(k)(p)=的解，则不可能被接受,即(10)而通过(6)、(8)、引理2和θFB(x)在{xk}附近的一致连续性，可得又因θFB(xl(l(k)))≥θFB(xl(k))，故存在k″>k′，使得这与(10)式矛盾.因此,定理1成立.证毕.定理2 设F:Rn→Rn是连续可微的，如果x*是θFB(x)的稳定点并且是θFB(x)的一个FB-正则点，则x*是NCP(F)的解.证明见参考文献[2]中定理9.1.14.下面讨论算法1的局部超线性和二次收敛性.假设2 设x*是{xk}的极限点和NCP(F)的解，并且对所有的xk∈N(x*,δ),Hk∈∂ΦFB(xk)非奇异,令定理3 若假设2成立，则(a)算法1产生的序列{xk}超线性收敛到x*.(b)如果JF(x)在x*的附近是Lipschitz连续的，则收敛率是二次的.证明 (a)由假设2知Hk∈∂ΦFB(xk)非奇异,则是正定的.由则为了证明算法超线性收敛性，则只要证明对充分大的k，pk=dk可接受.很明显，pk=dk是子问题min qk(p)=‖p‖≤dk的一个可行解，则只要证明对充分大的k，有事实上,由命题1(b)知ΦFB是半光滑的，又因θFB(xk)有界，且Hk∈∂ΦFB(xk)，故可知θFB(xk+dk)-θFB(xk)-qk(dk)=o(‖dk‖),k→∞.(11)从θFB(xk)和‖θFB(xk)‖有界，得θFB(xk)‖=O(‖dk‖),则结合(11)式，有因此,对充分大的k,有而θFB(xl(k))≥θFB(xk)，故对充分大的k,有所以,对充分大的k,xk+1=xk+pk=xk+dk是可接受的，则算法退化为广义牛顿法[10]，类似于文献[10]中定理3.1的证明，可证得算法1是超线性收敛的.(b)因为JF(x)在x*的附近是Lipschitz连续的，由命题1(d)知ΦFB(x)是强半滑的，同样类似于文献[10]中定理3.1的证明，可以证明算法1的二次收敛性.4 结语作者利用FB-NCP函数将求解非线性互补问题等价地转化为求解无约束问题的一个全局极小值.提出一种非单调自适应信赖域算法,在Jacobian矩阵JF(x)和θFB(x)在迭代点附近均一致连续的条件下,证明了价值函数θFB(x)有稳定点,且当稳定点FB-正则时即为原问题的解.当Hk非奇异,dk=-H-1kΦFB(xk)时,此算法具有局部超线性收敛和二次收敛速度.参考文献：[1] 韩继业，修乃华，戚厚铎.非线性互补理论与算法[M].上海：上海科学技术出版社，2006:1-322.[2] Facchinei F, Pang J S. Finite-dimenshional variational inequalities and complementarity problems[M].New York: Springer,2003:793-869.[3] He B S. Solving trust region problem in large scale optimization[J].J Comput Math,2000,18(1):1-12.[4] Schultz G A, Schnabel R B, Byrd R H. A family of trust-region-based algorithms for unconstrained minimization with strong global convergence[J].SIAM J Numer Anal,1985,22(1):47-67.[5] Sun J. On piecewise quadratic Newton and trust regionproblems[J].Math Program,1997,76(3):451-467.[6] Yuan Y. On the convergence of a new trust region algorithms[J].Numer Math,1995,70(4):515-539.[7] Yuan Y. Trust region algorithms for nonlinearequations[J].Information,1998,1(6):7-20.[8] Zhang X S, Zhang J L, Liao L Z. An adaptive trust regionmethod and its convergence[J].Sci China,2002,45(5):620-631.[9] 申锦标，吕跃进.一种新颖的概念格构造算法[J].合肥工业大学学报：自然科学版，2010，33(2)：301-303.[10] Qi L. Convergence analysis of some algorithms for solving nonsmooth equations[J].Math Oper,Res,1993,18(1):227-244.。
一种非单调自适应新锥模型信赖域算法
一种非单调自适应新锥模型信赖域算法近年来，统计推断和模式识别领域的研究人员发展了一些有效的算法来提取有用信息，这些算法大部分都建立在锥模型中。
在锥模型中，对对象进行抽样，并采用不同的模型表示在不同的空间中。
通过计算锥模型中的约束，可以获得两个或更多的对象的信息。
然而，由于子空间有可能交叉，锥模型在提取信息时存在两个主要问题：第一，多维空间中的子空间可能会发生重叠，这会影响模型的有效性；第二，子空间边界变化可能会导致模型精度降低。
因此，开发一种非单调自适应新锥模型信赖域算法（NDA-NCRM）是很有必要的。
NDA-NCRM是一种半抽象的算法，它可以通过在子空间中构造拉格朗日乘数，从而使模型的边界具有可变性，并使子空间不会发生重叠现象。
NDA-NCRM的另一个优点是，它可以支持任意数量的对象，这对锥模型的计算量有很大的影响。
NDA-NCRM算法的主要原理是，在子空间中构造一系列连续的拉格朗日乘数，以使模型的边界具有可变性，从而避免子空间发生重叠的情况，并且算法可以支持任意数量的对象。
NDA-NCRM的基本思想是，在锥模型中建立一个简单的有效的拉格朗日乘数，然后通过迭代对拉格朗日乘数进行修改，从而得到更好的目标函数值的结果。
NDA-NCRM的迭代过程中，需要计算原始锥模型中的约束，从而获取不同子空间中的信息。
在每一步迭代中，都要重新估计拉格朗日乘数，以确保所有变量可以有效地调节子空间的边界，从而保证模型的有效性。
此外，对NDA-NCRM算法进行改进，可以更好地提高模型的精度。
这种改进可以通过引入权重来实现，从而使调整参数更加精确。
此外，可以将NDA-NCRM算法和其他半抽象算法结合起来，比如聚类或分类等，从而更有效地提取有用信息。
总之，NDA-NCRM算法是一种有效的、非单调的锥模型信赖域算法，它可以提高模型的精度，同时可以有效地支持任意数量的对象。
此外，NDA-NCRM算法还可以实现通过调整参数更加精确地提取有用信息，并可以与其他半抽象算法结合起来，从而更有效地提取有用信息。
一种对非线性配准问题的信赖域方法综述
ｈ ｔ ： ｗ ｗ． ｎ ｓ ｅ．ｎ ｔ ／ ｗ ｄ ｚ． ｔ ｐ／ ｎ ｅ
Ｔ ｈ ８ — ５ － ６ ０ ６ ５ ９ ９ ４ ｅ＋ ６ ５ ５ ９ ９３ １ ６ ０ ６
一
种 对 非线性 配 准 问题 的信 赖域 方法 综 述
刘 宝 高 超。佳慧程 天 ．艳 孙 ．毅
（ 军 航 空 大 学 基 础 部 数学 教 研 室 ， 林 长 春 １０ ２ ） 空 吉 ３０ ２
摘 要 ： 文 主要 介 绍 了应 用 信 赖 域 方 法 来得 到 一 个 向量 ｕＸ＝ ｕ（ ， （ ） 使得 匹 配 由相 同 的 成像 设备 获取 的 两幅 很 相 的 图像 ， 用 该 （） （ ｌ ）Ｉｘ ｘ Ｌ ）， ２ 应
ｕｘ像得浮动图像 Ｔ的像 素点 ｘ ，２ 变化后而得到 的灰度值与参 照图像 Ｒ 的灰度值近似相 同或相 同。 （ ） ＝ ｘ） 主要思想是通过对函数 Ｄ （（） ｌ Ｘ一 — （ ）ｌ 进 行极 小化 ， 文是 对 非 线 性 函 数 Ｄ（（） 当前 点 线 性 化 估 计 ， 是 二 次极 小化 问题 也 许 会 出现 病 态 ， ｕｘ） ＿ ）Ｔｘ ｕｘ ｌ ＝ Ｒ（ ） 该 ｕｘ） 在 但
ｒｃ ｒｅ ｔ ｈ ａ ｍａｉｇ ｍａｈｎ ｒ ． ｅｉ ｇ ｏ ａｉｎ ｘ ｘ，ａ ｆａ ｍａ ｅ Ｔ， ｕ ｈ ｅｏ ｄ ｄｗｉ ｔｅｓｍｅｉ ｇｎ ｃ ｉｅｙ Ｔｈ ｉ ａ ｅ ｎ ｅ ｔｒｓｏ ｌ ｒｎｆ ｍ ｈ ｍａ ｅｌｃｔ １ ） ｉ ｇ ｓｃ ｈ ｐ ｏ ｏ ｘ ｏ ｎ
文 章 编 号 ：０ ９ ３ ４ （ ０ ０ １ — ５ ０ ０ １ ０ — ０ ４２ １ ）６ ４ ０ — ２
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桂 林 电 子 科 技 大 学 学 报
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摘
要 ： 于Ｆｓｈ ｒＢ ｒ ｉ ｅ 基 ｉ ｅ— ｕｍｅ ｔｒ函数 （ 称 Ｆ 函数 ） 将 非 线 性 互 补 问 题 转 化 等 价 的 无 约 束 问题 求 解 。 信 赖 域 与 ｃ ｓ 简 Ｂ 可 在
非 单 调 技术 相 结 合基 础 上 提 出 一 个求 解 非 线 性 互 补 问题 非 单 调 自适 应 信 赖 域 算 法 。该 算 法 具 有 全 局 收 敛 性 ， 在 且 适 当 的 假设 下该 算法 也 具 有 局 部 超 线性 收 敛 。数 值 结 果 表 明该 算 法 是 有 效 的 。
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关 键词 ： 非线性互补问题 ； 非单调 自适 应信赖域算法 ；全局收敛性 ；局部超线性
中 图分 类号 ： ２ ． ０２４ ２ 文献标识码 ： Ａ 文章 编号 ： ６３８ ８ ２ １ ） ３０ ６—４ １ ７ —０Ｘ（０ ０ ０ —２ ２０
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一
个求解非线性互补 问题非单调 自适应信赖域方法
刘 宁 ，丁 小 妹 ，马 昌 凤 ，唐 江 花
（． 林 电 子科 技 大 学 数 学 与 计 算 科 学 学 院 ， 西 桂 林 ５ １０ ； １桂 广 ４ ０ ４ ２ 福建师范大学 数学与计算机科学学院 ， 建 福州 ３００ ） ． 福 ５ ０ ７
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