相交线与平行线题型、方法总结、配套练习

相交线和平行线题型总结

1.多条直线相交交点个数、对顶角、邻补角对数

我们知道上学期规律题握手问题（球赛问题、票价问题）中提到，n个人握手，任意一个人都只能和剩下的（n-1）人握手。那么n个人就会握n(n-1）次，但

是甲和乙握手，乙和甲握手为同一次；也就是说所有人握手次数为21

n

n）

（-次。同理多条直线相交问题也是一样的，当交点最多时任意一条直线都只能和剩下的（n-1）直线相交，那么n条直线就会有n(n-1)个交点，同样直线a与直

线b交点、直线b与直线a交点为同一个。所以n条直线相交最多有21

n

n）

（-

个交点。

如图：两条直线相交会形成4个角，这4个角会有2对对顶角，4对邻补角。也就是说每两条直线相交每一个交点处都会形成4个角，2对对顶角，4对邻补角；所以n条直线两两相交会有n(n-1)对对顶角,2n(n-1)对邻补角.

2.垂线与垂线段

易错点：垂线是直线，既不是线段、又不是射线。（常见于作图题）

作图时注意做到：两出一垂（两出指经过点和垂足要出头避免形成线段或射线，一垂指垂直符号。）

1.如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向

A、B两村，怎样铺设最节省材料

解：1.连接AB(两点之间线段最短)

2.过点A做AC垂直直线l，交直线l于C（点到直线的距离垂线段最短）

3.则路径BAC即为所求

2如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．

（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距

离之和最小；（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．

3如图，因为直线AB⊥l于点B，BC⊥l于点B，所以直线AB和BC重合，则

其中蕴含的数学原理是（）

A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

B．垂线段最短

C．过一点只能作一条垂线D．两点确定一条直线

4如图是某同学在体育课上跳远后留下的脚印，那么他的跳远成绩可以用图中

哪条线段的长度表示（）

A．线段AM B．线段BN C．线段CN D．无法确定

5.直线a外有一点P，与直线上三点A、B、C连线。线段PA长为5cm、PB长为4cm、PC

长为3cm。则点P到直线a的距离为（）

A 5cm

B 4cm

C 3cm

D 不大于3cm

6.点P、Q为垂直于直线a的一条直线上两点，且点P到直线的距离为5cm，点Q到直线的

距离为3cm。则线段PQ的长度为（）

A 8cm

B 2cm

C 2-8cm

D 2或8cm

7.在直线AB上任取一点O，经过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30度，

∠BOD的度数是（）

A 60度

B 120度

C 60或90度

D 60或120度

什么是三线八角以及三线八角与平行的关系

在同一平面内，两条直线被一条直线相截所形成的八个角称为"三线八角"。

确定角的位置关系小窍门

同位角：‘F’型结构，‘F’位置可以变化拉伸、旋转

内错角：‘Z’型结构，‘Z’位置可以变化拉伸、旋转

同旁内角：“U”型结构，“U”位置可以变化拉伸、旋转

对于同旁内角个数查找时可以先确定多边形再找其他“U”型结构。

如…

有3对有4对有5对有6对

由图可以发现对于多边形来说，有几条边就会有几对同旁内角。所以查找时可以先确定多边

形个数，再看有几条公共边。有几条公共边减去几对就行，然后再找其他的“U”型结构就

可以解决问题了。

同位角、内错角、同旁内角的位置判断题

方法：由角定线同位角、内错角、同旁内角的位置关系，是基于三线八角才有意义的；

所以先由图中所给角来确定线的条数（没有参与角的构成视为无关线，遮盖、抹去排除干扰），

多于或少于3条都不符合三线八角定义排除即可；当直线条数为3时再根据位置角的定义判

断是否满足题意。

例1下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（）

A．B．C．D．

如图，∠1和∠2不是同位角的是（）

A．B．C．D．

通过角的数量关系判断线的平行

方法：由线定角

线的平行是根据同位角、内错角、同旁内角的数量关系来判断的（判断被截线的位

置关系），所以判断两条直线是否平行时，涉及角必须是这两条线与第三条线构成。

例如图，由AD∥BC可以得到的是（）

A．∠1＝∠2 B．∠3+∠4＝90°

C．∠DAB+∠ABC＝180°D．∠ABC+∠BCD＝180°

折叠问题

例如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（）A．60°B．65°C．72°D．75°

在折叠过程中AE和A'E、DF和D'F关于EF对称，∠AEF和∠A'EF、∠DEF 和∠D'EF关于EF对称

所以∠AEF=∠A'EF、∠DEF=∠D'EF，∠2=∠CFD'=180º-2∠1

平移问题

图形的平移是整体的平移，而不是某一部分或某一点的平移；且平移前后图形的形状不变，对应点连线平行且相等。平移既具有方向性（线性），又有距离性。

例1如图，将△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO ＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（）

A．42 B．96 C．84 D．48

平移中的面积转化：△DEF是由△ABC平移得到的，所以S△ABC=S△DEF。因为S△ABC=S梯形ABEO+S△OEC、

S△DEF=S△OEC+S梯形DOCF，所以S梯形DOCF=S梯形ABEO

例2如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF．若△ABC的周长为15cm，则四边形ABFD的周长等于（）

A．17 cm B．18 cm C．19 cm D．20 cm

在本章常见问题中多含拐点问题，常见方法是过拐点作平行线

常考题型总结

例1 如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数（）

A．10°B．25°C．30°D．35°

例2 如图，图中给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据的是（）

A．同位角相等，两直线平行B．同旁内角互补，两直线平行

C．内错角相等，两直线平行D．同平行于一条直线的两直线平行例3 如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（）

A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360°B．∠A+∠D＝∠C+∠E

C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°

例4 如图AB∥CD，则∠1＝（）

A．75°B．80°C．85°D．95°

例5 如图，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠E：∠F＝（）

A．2：1 B．3：1C．3：2 D．4：3

例6 如图，AB∥CD，且∠A＝25°，∠C＝45°，则∠E的度数是（）

A．60°B．70°C．110°D．80°

例7 已知：如图AB∥EF，BC⊥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（）

A．∠β＝∠α+∠γB．∠α+∠β+∠γ＝180°

C．∠α+∠β﹣∠γ＝90°D．∠β+∠γ﹣∠α＝90°

有关解答题一些思路技巧

1.双垂直类

如图，已知：AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1．求证：AD平分∠BAC．

方法：

①根据垂直定义找到一对同位角/同旁内角等于90°（建议选取同位角）

结合本题：∠BGE=∠BDA=90°（同位角相等两直线平行）或∠EGD=∠ADG=90°，

∠EGD+∠ADG=180°（同旁内角互补两直线平行）

②根据平行线性质找角的关系（找能跟后面等角条件中有特殊位置关系的角）

结合本题：∠1与∠2互为内错角、∠3与∠E互为同位角，由EG∥AD得到

∠1=∠2、∠3=∠E；因为∠E=∠1，所以∠2=∠3即AD平分∠BAC。

2.两组角相等类

如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C．

（1）AB∥CD吗？请说明理由；（2）请说明∠AEC＝∠3．

方法：

①根据其中一组角（一般第一组）或其中一个角的对顶角与第二个角构成特殊

位置角（同位角、内错角）

结合本题：∠1=∠2但是∠1、∠2不构成特殊位置角，所以要找∠1或∠2的对顶角。图中

∠1与∠4互为对顶角即∠1=∠4，结合∠1=∠2得到∠2=∠4，所以EC∥BF

②根据平行线性质找角的关系（找能跟后面等角条件中有特殊位置关系的角）

结合本题：可以找∠B或∠C的同位角，如∠C与∠3、∠B与∠AEC构成同位角；∵EC∥BF ∴

∠C=∠3 ∵∠B=∠C ∴∠3=∠B ∴AB∥CD或者∵EC∥BF ∴∠B=∠AEC ∵∠B=∠C

∴AB∥CD