2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(三十一)数列的概念与简单表示法 Word版含解析

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2020版高考理科数学(人教版)一轮复习课时跟踪检测：(三十二) 数列的概念与简单表示 Word版含解析

课时跟踪检测(三十二)　数列的概念与简单表示一、题点全面练1．已知数列1,2，，，，…，则2在这个数列中的项数是( )7101319A ．16 B ．24C ．26D ．28解析：选C 因为a 1＝1＝，a 2＝2＝，a 3＝，a 4＝，a 5＝，…，所以a n ＝.14710133n －2令a n ＝＝2＝，解得n ＝26.3n －219762．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1＝(2n －λ)a n (n ＝1，2，…)，则a 3等于( )A ．5 B ．9C ．10D ．15解析：选D 令n ＝1，则3＝2－λ，即λ＝－1，由a n ＋1＝(2n ＋1)a n ，得a 3＝5a 2＝5×3＝15.故选D.3．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝，则等于( )n n ＋11a5A. B.5665C. D ．30130解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－＝，所以＝5×6＝30.n n ＋1n －1n 1n (n ＋1)1a 54．(2019·西宁模拟)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a (a n ＞0)，则a n＝( )2n A ．10n －2 B ．10n －1C ．102n －4D ．22n －1解析：选D 因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a (a n＞0)，所以log 2a n ＋1＝2log 2a n ⇒＝2n log 2a n ＋1log 2a n2，所以{log 2a n }是公比为2的等比数列，所以log 2a n ＝log 2a 1·2n －1⇒an＝22n －1.5．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，3)D.(－∞，92]解析：选C 因为数列{a n}是单调递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b ＞0(n ∈N *)，所以b ＜2n ＋1(n ∈N *)，所以b ＜(2n ＋1)min ＝3，即b ＜3.6．(2018·佛山模拟)若数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋1，则数列{a n }的通1212212312n 项公式a n ＝________.解析：因为a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋1212212312n 1212212312n 12n ＋11＝2(n ＋1)＋1，两式相减得a n ＋1＝2，即a n＝2n ＋1，n ≥2.又a 1＝3，所以a 1＝6，因此a n ＝12n ＋112Error!答案：Error!7．已知数列{a n }满足a n ≠0,2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，且a 1＝，13则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：∵a n ≠0,2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，∴两边同除以a n ·a n ＋1，得－＝－＋1，整理，得－＝1，即是以3为首项，1为公差2(1－a n ＋1)a n ＋12(1－a n )a n 1a n ＋11a n 1a n ＋11a n {1a n }的等差数列，∴＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝.1a n 1n ＋2答案：1n ＋28．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1，∴n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)，∴a n ＝3×2n －1－2(n ≥2)，经检验，当n ＝1时，a n ＝1，符合上式．∴a n ＝3×2n －1－2.答案：3×2n －1－29．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *，设b n ＝S n －3n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．解：(1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2，[12(32)n －2＋a －3]当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9.(32)又a 2＝a 1＋3＞a 1.综上，a 的取值范围是[－9,3)∪(3，＋∞)．10．已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a }的前n 项和为T n ，2n 且3T n ＝S ＋2S n，n ∈N *.2n (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由3T 1＝S ＋2S 1，21得3a ＝a ＋2a 1，即a －a 1＝0.212121因为a 1＞0，所以a 1＝1.(2)因为3T n ＝S ＋2S n ，①2n 所以3T n ＋1＝S ＋2S n ＋1，②2n ＋1②－①，得3a ＝S －S ＋2a n ＋1.2n ＋12n ＋12n 因为a n ＋1＞0，所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2，③所以3a n ＋2＝S n ＋2＋S n ＋1＋2，④④－③，得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，＝2.a n ＋1a n 又由3T 2＝S ＋2S 2，2得3(1＋a )＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即a －2a 2＝0.22因为a 2＞0，所以a 2＝2，所以＝2，a 2a 1所以对n ∈N *，都有＝2成立，a n ＋1a n所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝Error!答案：Error!2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)n，则此数列的最大项是第________项．(1011)解析：∵a n ＋1－a n＝(n ＋2)n ＋1－(n ＋1)n＝n×，(1011)(1011)(1011)9－n 11当n ＜9时，a n ＋1－a n＞0，即a n ＋1＞a n；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9,10项．答案：9或103．若数列{a n }满足a n ＋1＝Error!a 1＝，则数列{a n }的第2 019项为________．35解析：由已知可得，a 2＝2×－1＝，3515a 3＝2×＝，1525a 4＝2×＝，2545a 5＝2×－1＝，4535∴{a n }为周期数列且T ＝4，∴a 2 019＝a 504×4＋3＝a 3＝.25答案：254．(2019·湖南永州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝a ，a 2＝2－a ，a n ＋2－a n ＝2，若数列{a n }单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：由a n ＋2－a n ＝2可知数列{a n }的奇数项、偶数项分别递增，若数列{a n }单调递增，则必有a 2－a 1＝(2－a )－a ＞0且a 2－a 1＝(2－a )－a ＜a n ＋2－a n ＝2，可得0＜a ＜1，故实数a 的取值范围为(0,1)．答案：(0,1)(二)交汇专练——融会巧迁移5．[与函数零点交汇]已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R)有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．。

高考数学---数列的概念与简单表示法课后作业练习(含答案解析)

高考数学---数列的概念与简单表示法课后作业练习（含答案解析）建议用时：45分钟一、选择题1．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n等于()A.（－1）n＋12B．cosnπ2C．cos n＋12πD．cosn＋22πD[令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．]2．若S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝nn＋1，则1a5等于()A.56 B.65C.130D．30D[当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝nn＋1－n－1n＝1n（n＋1），所以1a5＝5×6＝30.]3．记S n为数列{a n}的前n项和．“任意正整数n，均有a n>0”是“{S n}是递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[∵“a n>0”⇒“数列{S n}是递增数列”，∴“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的充分条件．如数列{a n}为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{S n}是递增数列，但是a n 不一定大于零，还有可能小于零，∴“数列{S n}是递增数列”不能推出“a n>0”，∴“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的不必要条件．∴“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的充分不必要条件．] 4．(2019·武汉5月模拟)数列{a n}中，a n＋1＝2a n＋1，a1＝1，则a6＝() A．32 B．62C．63 D．64C[数列{a n}中，a n＋1＝2a n＋1，故a n＋1＋1＝2(a n＋1)，因为a1＝1，故a1＋1＝2≠0，故a n＋1≠0，所以a n＋1＋1a n＋1＝2，所以{a n＋1}为等比数列，首项为2，公比为2.所以a n＋1＝2n即a n＝2n－1，故a6＝63，故选C.]5．若数列{a n}的前n项和S n＝n2－10n(n∈N*)，则数列{na n}中数值最小的项是()A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项B[∵S n＝n2－10n，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．∴a n＝2n－11(n∈N＋)．记f(n)＝na n＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图像的对称轴为直线n＝114，但n∈N＋，∴当n＝3时，f(n)取最小值．∴数列{na n}中数值最小的项是第3项．]二、填空题6．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第________项．21[数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，所以通项公式为a n＝5＋6（n－1）＝6n－1，令6n－1＝55，得n＝21.]7．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，a n＋1＝(2n－λ)a n(n＝1，2，…)，则a3等于________．15[令n＝1，则3＝2－λ，即λ＝－1，由a n＋1＝(2n＋1)a n，得a3＝5a2＝5×3＝15.]8．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有a n a n＋1a n＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．28[∵a1a2a3＝8，且a1＝1，a2＝2.∴a3＝4，同理可求a4＝1，a5＝2.a6＝4，∴{a n}是以3为周期的数列，∴a1＋a2＋a3＋…＋a12＝(1＋2＋4)×4＝28.]三、解答题9．(2019·洛阳模拟)已知数列{a n}满足a1＝50，a n＋1＝a n＋2n(n∈N*)，(1)求{a n}的通项公式；(2)已知数列{b n}的前n项和为a n，若b m＝50，求正整数m的值．[解](1)当n≥2时，a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×2＋2×1＋50＝2×（n－1）n2＋50＝n 2－n ＋50.又a 1＝50＝12－1＋50，∴{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n ＋50，n ∈N *. (2)b 1＝a 1＝50，当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝n 2－n ＋50－[(n －1)2－(n －1)＋50]＝2n －2，即b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧50，n ＝12n －2，n ≥2.当m ≥2时，令b m ＝50，得2m －2＝50，解得m ＝26. 又b 1＝50，∴正整数m 的值为1或26.10．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *，设b n ＝S n －3n ，(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． [解] (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *. (2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n－1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9，又a 2＝a 1＋3＞a 1(a ≠3)．综上，a 的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．1．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，b 1＝－λ，且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(－∞，3)C [由a n ＋1＝a n a n ＋2，知1a n ＋1＝2a n ＋1，即1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是首项为1a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，所以1a n ＋1＝2n ，所以b n ＋1＝(n －λ)·2n ，因为数列{b n }是递增数列，所以b n ＋1－b n ＝(n －λ)2n －(n －1－λ)2n －1＝(n ＋1－λ)2n－1＞0对一切正整数n 恒成立，所以λ＜n ＋1，因为n ∈N *，所以λ＜2，故选C.]2．(2019·临沂三模)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n }，则数列{a n }的前2 019项的和为( )A ．672B ．673C ．1 346D ．2 019C [由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，可得{a n }为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，所以{a n }是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为1＋1＋0＝2，因为2 019＝673×3，所以数列{a n }的前2 019项的和为673×2＝1 346，故选C.]3．(2019·晋城三模)记数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝3a n ＋2n －3，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________．a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n[当n ＝1时，S 1＝a 1＝3a 1－1，解得a 1＝12；当n ≥2时，S n ＝3a n ＋2n －3，S n －1＝3a n －1＋2n －5，两式相减可得，a n ＝3a n －3a n －1＋2，故a n ＝32a n －1－1，设a n ＋λ＝32(a n －1＋λ)，故λ＝－2，即a n －2＝32(a n －1－2)，故a n －2a n －1－2＝32.故数列{a n －2}是以－32为首项，32为公比的等比数列，故a n －2＝－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，故a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n .] 4．已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝3n －λa 2n ，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围． [解] (1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ， ∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1n ＋1＝a nn ，∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1，∴a n ＝n (n ∈N ＋)． (2)由(1)知b n ＝3n －λn 2.b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2) ＝2·3n －λ(2n ＋1)． ∵数列{b n }为递增数列， ∴2·3n －λ(2n ＋1)>0，即λ<2·3n2n ＋1.令c n ＝2·3n2n ＋1，即c n ＋1c n ＝2·3n ＋12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3>1. ∴{c n }为递增数列， ∴λ<c 1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．1．(2019·烟台、菏泽高考适应性练习一)已知数列：1k ，2k －1，…，k 1(k ∈N *)，按照k 从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列{a n }：1，12，21，13，22，31，…，则89首次出现时为数列{a n }的( )A ．第44项B ．第76项C ．第128项D ．第144项C [观察分子分母的和出现的规律：2，3，4，5，…，把数列重新分组：⎝ ⎛⎭⎪⎫11，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，21，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，22，31，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，2k －1，…，k 1，可看出89第一次出现在第16组，因为1＋2＋3＋…＋15＝120，所以前15组一共有120项；第16组的项为⎝ ⎛⎭⎪⎫116，215，…，710，89…，所以89是这一组中的第8项，故89第一次出现在数列的第128项，故选C.]2．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R )有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N *)，定义所有满足c m ·c m ＋1＜0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{c n }的变号数．[解] (1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，所以a ＝0或a ＝4. 又由a ＞0得a ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋4. 所以S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5. 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.(2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，1－42n －5，n ≥2. 由c n ＝1－42n －5可知，当n ≥5时，恒有c n ＞0.又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，c 6＝37，即c 1·c 2＜0，c 2·c 3＜0，c 4·c 5＜0，所以数列{c n}的变号数为3.。

2020年高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测：5-1数列的概念与简单表示法 Word版含解析

[课时跟踪检测][基础达标]1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.(－1)n ＋12B ．cos n π2 C ．cos n ＋12πD ．cos n ＋22π解析：令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确．答案：D2．(2017届福建福州八中质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 017＝( )A ．1B ．0C ．2 017D ．－2 017解析：∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 017＝a 1＝1.答案：A3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2nD ．2n －1解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }为等比数列，公比为2，首项为2，所以a n ＝2n .答案：C4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥2解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，由于n ＝1时a 1的值不适合n ≥2的解析式，故通项公式为选项C.答案：C5．(2017届衡水中学检测)若数列{a n }满足a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎨⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0k ∈N *，∴⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，∴193≤k ≤223，∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7. 答案：B6．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)时，∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a 2>|a 1|不成立，即a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)不一定成立．综上知，“a n ＋1>|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．答案：B7．(2017届济宁模拟)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5等于( )A.56 B ．65 C.130D ．30解析：∵当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝nn＋1－n－1n＝1n(n＋1)，∴1a5＝5×(5＋1)＝30.答案：D8．在数列{a n}中，已知a1＝a，a2＝b，a n＋1＋a n－1＝a n(n≥2)，则a2 016等于() A．a B．bC．b－a D．a－b解析：通过计算数列的前12项可知，数列的周期为6，而2 016＝6×336，∴a2 016＝a6＝a－b.答案：D9．若数列{a n}的前n项和S n＝n2－10n(n∈N*)，则数列{na n}中数值最小的项是()A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项解析：∵S n＝n2－10n，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．∴a n＝2n－11(n∈N*)．记f(n)＝na n＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图象的对称轴为直线n＝114，但n∈N*，∴当n＝3时，f(n)取最小值．于是，数列{na n}中数值最小的项是第3项．答案：B10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝a2n－1－1(n>1)，则a2 017＝________，|a n ＋a n＋1|＝________(n>1)．解析：由a1＝1，a n＝a2n－1－1(n>1)，得a2＝a21－1＝12－1＝0，a3＝a22－1＝02－1＝－1，a4＝a23－1＝(－1)2－1＝0，a5＝a24－1＝02－1＝－1，由此可猜想当n>1，n为奇数时a n＝－1，n为偶数时a n＝0，∴a2 017＝－1，|a n＋a n＋1|＝1.答案：－1 111．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项．解析：令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0. 解得n ＝10或n ＝52(舍去)．答案：1012．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .[能力提升]1．(2017届山东菏泽重点高中联考)观察下列的图形中小正方形的个数，则第n 个图中的小正方形的个数f (n )为( )…A.(n ＋1)(n ＋2)2B ．(n ＋2)(n ＋3)2C.n 2D ．n 2＋n 2解析：由题意可得f (1)＝2＋1；f (2)＝3＋2＋1；f (3)＝4＋3＋2＋1；f (4)＝5＋4＋3＋2＋1；f (5)＝6＋5＋4＋3＋2＋1；…；∴f (n )＝(n ＋1)＋n ＋(n －1)＋…＋1＝(n ＋1)(n ＋2)2.答案：A2．(2017届山东师大附月考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 5＋a 6＝________.解析：a 5＋a 6＝S 6－S 4＝6＋16＋2－4＋14＋2＝78－56＝124. 答案：1243．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n . (1)求a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S 2＝43a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n >1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理，得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n (n ＋1)2. 当n ＝1时也成立．综上，数列{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.4．(2018届甘肃诊断性考试)已知数列{a n }满足a 1＝8999，a n ＋1＝10a n ＋1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋19是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)数列{b n }满足b n ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋19，T n 为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和，求证：T n <12.证明：(1)由a n ＋1＝10a n ＋1，得a n ＋1＋19＝10a n ＋109＝ 10⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋19，即a n ＋1＋19a n ＋19＝10. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋19是等比数列，其中首项为a 1＋19＝100，公比为10，所以a n ＋19＝100×10n －1＝10n ＋1，即a n ＝10n ＋1－19. (2)由(1)知b n ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋19＝lg 10n ＋1＝n ＋1，即1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2. 所以T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2<12.。

2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十三数列的概念与简单表示含解析

课时跟踪检测（三十三）数列的概念与简单表示[A 级基础题——基稳才能楼高]1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，则a 4的值为( ) A ．31 B ．30 C ．15D ．63解析：选C 由题意，得a 2＝2a 1＋1＝3，a 3＝2a 2＋1＝7，a 4＝2a 3＋1＝15，故选C. 2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2 019＝( ) A ．－1 B ．12 C ．1D ．2解析：选A 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n ，得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…，于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 018＝a 3×672＋3＝a 3＝－1.3．数列－1,4，－9,16，－25，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n 2B ．a n ＝(－1)n ·n 2C ．a n ＝(－1)n ＋1·n 2D ．a n ＝(－1)n ·(n ＋1)2解析：选B 易知数列－1,4，－9,16，－25，…的一个通项公式为a n ＝(－1)n·n 2，故选B. 4．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( ) A ．256 B ．510 C ．512D ．1 024解析：选C 在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .所以a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.所以a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.5．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，2] C ．(－∞，3)D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，92解析：选C 因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b >0(n ∈N *)，所以b <2n ＋1(n ∈N *)，所以b <(2n ＋1)min ＝3，即b <3.[B 级保分题——准做快做达标]1．(2019·福建四校联考)若数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则此数列的一个通项公式为( )A.－n ＋1n ＋1B ．－nn ＋1C.－nnD ．－n －1n解析：选A 由于数列的前4项分别是12，－13，14，－15，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n 项的绝对值等于⎪⎪⎪⎪⎪⎪1n ＋1，故此数列的一个通项公式为－n ＋1n ＋1.故选A. 2．(2019·沈阳模拟)已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则a n ＝( ) A ．2n －1 B ．⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．nD ．n 2解析：选C 由a n ＝n (a n ＋1－a n )，得(n ＋1)a n ＝na n ＋1，即a n ＋1n ＋1＝a n n ，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列，即a n n ＝a 11＝1，故a n ＝n .故选C.3．(2019·北京西城区模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－2n ＋1，则a 3＝( )A ．－1B ．－2C ．－4D ．－8解析：选D ∵数列{a n }的前n 项和S n ＝2－2n ＋1，∴a 3＝S 3－S 2＝(2－24)－(2－23)＝－8.故选D.4．(2019·桂林四地六校联考)数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的第100项是( ) A ．10 B ．12 C ．13D ．14解析：选D 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)，由12n (n ＋1)≤100，得n 的最大值为13，易知最后一个13是已知数列的第91项，又已知数列中14共有14项，所以第100项应为14.故选D.5．(2019·兖州质检)已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧an －2，n <4，－a n －a ，n ≥4，若对任意的n ∈N *都有a n <a n ＋1成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,4)B ．(2,5)C ．(1,6)D ．(4,6)解析：选A 因为对任意的n ∈N *都有a n <a n ＋1成立，所以数列{a n }是递增数列，因此⎩⎪⎨⎪⎧1<a ，6－a >0，a－a －a ，解得1<a <4，故选A.6．(2019·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a n ＝5n －1(n ∈N *)，将数列{a n }中的整数项按原来的顺序组成新数列{b n }，则b 2 019的末位数字为( )A ．8B ．2C ．3D ．7解析：选D 由a n ＝5n －1(n ∈N *)，可得此数列为4，9，14，19，24，29，34，39，44，49，54，59，64，…，{a n }中的整数项为4，9，49，64，144，169，…，∴数列{b n }的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，….∵2 019＝4×504＋3，故b 2 019的末位数字为7.故选D.7．(2018·长沙调研)已知数列{a n }，则“a n ＋1>a n －1”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由题意，若“数列{a n }为递增数列”，则a n ＋1>a n >a n －1，但a n ＋1>a n －1不能推出a n ＋1>a n ，如a n ＝1，a n ＋1＝1，{a n }为常数列，则不能推出“数列{a n }为递增数列”，所以“a n ＋1>a n －1”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件．故选B.8．(2019·长春模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n 等于( ) A.13n －1B ．2nn ＋C.6n ＋n ＋D ．5－2n 3解析：选B 由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，有a n ＝2nn ＋，当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2nn ＋.9．(2019·兰州诊断)已知数列{a n }，{b n }，若b 1＝0，a n ＝1nn ＋，当n ≥2时，有b n ＝b n －1＋a n －1，则b 501＝________.解析：由b n ＝b n －1＋a n －1得b n －b n －1＝a n －1，所以b 2－b 1＝a 1，b 3－b 2＝a 2，…，b n －b n －1＝a n －1，所以b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1n －n，即b n －b 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1n －n ＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n ＝n －1n ，又b 1＝0，所以b n ＝n －1n，所以b 501＝500501.答案：50050110．(2019·河南八市重点高中测评)已知数列{a n }满足a n ≠0,2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，且a 1＝13，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：∵a n ≠0,2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，∴两边同除以a n ·a n ＋1，得－a n ＋1a n ＋1－－a na n＝1a n ＋1－1a n ＋1，整理，得1a n ＋1－1a n ＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以3为首项，1为公差的等差数列，∴1a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝1n ＋2.答案：1n ＋211．(2019·宝鸡质检)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 1＋a 22＋…＋a nn ＝________.解析：由题意得当n ≥2时，a n ＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，∴a n ＝4n 2.又n ＝1，a 1＝2，∴a 1＝4，∴a n n ＝4n ，∴a 1＋a 22＋…＋a n n ＝12n (4＋4n )＝2n 2＋2n . 答案：2n 2＋2n12．(2019·深圳期中)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn2＝a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2＝a n (n ∈N *)知，当n ≥2时，a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n －1n －2＝a n －1，∴a nn2＝a n －a n －1，即n ＋1n a n ＝n n －1a n －1，∴n ＋1n a n ＝…＝2a 1＝2，∴a n ＝2nn ＋1.答案：2nn ＋113．(2019·衡阳四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3. (1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式； (2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4. 解：(1)a 1＝3，a 2＝15，a 3＝63，a 4＝255.因为a 1＝41－1，a 2＝42－1，a 3＝43－1，a 4＝44－1，…，所以归纳得a n ＝4n－1.(2)证明：因为a n ＋1＝4a n ＋3，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝4a n ＋3＋1a n ＋1＝a n ＋a n ＋1＝4.14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．解：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1>a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，解得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．15．(2019·武汉调研)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }中，b n ＝2a n ＋1，且其前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解：(1)∵a 1＝S 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23n ＝，1nn(2)由题意得c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1n ＋n ＋<0，∴c n ＋1<c n ，∴数列{c n }为递减数列.。

2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十三数列的概念与简单表示含解析

(浙江专用)2019_2020学年高中数学课时跟踪检测(五)数列的概念与简单表示法新人教A版必修5

课时跟踪检测（五）数列的概念与简单表示法A 级——学考水平达标1．有下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数； ②数列的项数一定是无限的； ③数列的通项公式的形式是唯一的；④数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式．其中正确的是( )A ．①B ．①②C ．③④D ．②④解析：选A 结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，因此②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…存在通项公式，④错误．故选A.2．下列说法正确的是( )A ．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B ．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋1n 是递增数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋(－1)nn 是摆动数列解析：选D 数列是有序的，而数集是无序的，所以A ，B 不正确；选项C 中的数列是递减数列；选项D 中的数列是摆动数列．3．数列{a n }中，a n ＝3n －1，则a 2等于( )A ．2B ．3C ．9D ．32解析：选B 因为a n ＝3n －1，所以a 2＝32－1＝3.4．数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝ n －2n B ．a n ＝ n －1n C ．a n ＝n －1n ＋1D ．a n ＝ n －2n ＋2解析：选C 已知数列可化为：0，13，24，35，46，…，故a n ＝ n －1n ＋1. 5．已知数列12，23，34，…，nn ＋1，则0.96是该数列的( )A ．第20项B ．第22项C ．第24项D ．第26项解析：选C 由nn ＋1＝0.96，解得n ＝24.6．已知数列 2，5，22，11，…，则25是该数列的第________项．解析：∵a 1＝2，a 2＝5，a 3＝8，a 4＝11， ∴a n ＝3n －1.由3n －1＝25⇒3n －1＝20⇒n ＝7， ∴25是该数列的第7项．答案：77．数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式是________．解析：a ＝a ＋b 2＋a －b2，b ＝a ＋b 2－a －b2，故a n ＝a ＋b2＋(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2. 答案：a ＋b2＋(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 28．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________．解析：由a n ＝19－2n >0，得n <192.∵n ∈N *，∴n ≤9. 答案：99．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，________，512，13，…； (2)53，________，1715，2624，3735，…； (3)2,1，________，12，…；(4)32，94，________，6516，…. 解：(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 912 812 712 ________ 512 412于是应填612，而分子恰为10减序号，故应填12，通项公式为a n ＝10－n 12.(2)53＝4＋14－1， 1715＝16＋116－1， 2624＝25＋125－1， 3735＝36＋136－1. 只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．故应填108，通项公式为a n ＝(n ＋1)2＋1(n ＋1)2－1. (3)因为2＝21，1＝22，12＝24，所以数列缺少部分为23，数列的通项公式为a n ＝2n .(4)先将原数列变形为112，214，________，4116，…，所以应填318，数列的通项公式为a n＝n ＋12n .10．数列{a n }中，a 1＝a ，a n ＋1＝2a n1＋a n，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式．解：∵a 1＝a ，a n ＋1＝2a n1＋a n，∴a 2＝2a 1＋a ，a 3＝2a 21＋a 2＝2×2a 1＋a 1＋2a 1＋a＝4a 1＋3a ，同理：a 4＝8a 1＋7a ，观察规律：a n ＝2n －1·a1＋(2n －1－1)a. B 级——高考能力达标1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn ＋1，则a n ·a n ＋1·a n ＋2等于( ) A.n n ＋2B.nn ＋3C.n ＋1n ＋2 D.n ＋1n ＋3解析：选B a n ·a n ＋1·a n ＋2＝nn ＋1·n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋3＝n n ＋3.故选B. 2．数列1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n ＋1n 2＋n (n ∈N *) B ．a n ＝(－1)n －12n －1n 2＋3n (n ∈N *) C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N *) D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N *) 解析：选D A 项中a 1＝32，B 项中a 1＝14，C 项中a 1＝13，D 项中a 1＝1，因此首先排除A 、B 、C ，故选D.3．图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第n 个图形中，火柴棒的根数为( ) A ．3n －1 B ．3n C ．3n ＋1D ．3(n ＋1)解析：选C 通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；第5个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝3，…，a n －a n －1＝3(n ≥2)，把上面的式子累加，则可得第n 个图形中，a n ＝4＋3(n －1)＝3n ＋1(根)．4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列解析：选A a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，∴当n 越大，2n ＋1越小，则a n 越大，故该数列是递增数列．5．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2－4n －12(n ∈N *)，则 (1)这个数列的第4项是________；(2)65是这个数列的第________项．解析：(1)由a 4＝42－4×4－12＝－12，得第4项是－12； (2)由a n ＝n 2－4n －12＝65，得n ＝11或n ＝－7(舍去)， ∴65是第11项．答案：(1)－12 (2)116．如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.解析：因为OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…，所以a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n .答案：n7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝p n＋q (p ，q ∈R)，且a 1＝－12，a 2＝－34.(1)求{a n }的通项公式； (2)－255256是{a n }中的第几项？(3)该数列是递增数列还是递减数列？解：(1)∵a n ＝p n＋q ，又a 1＝－12，a 2＝－34，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝－12，p 2＋q ＝－34，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝－1，因此{a n }的通项公式是a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－1.(2)令a n ＝－255256，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－1＝－255256，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1256，解得n ＝8.故－255256是{a n }中的第8项．(3)由于a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，且⎝ ⎛⎭⎪⎫12n随n 的增大而减小，因此a n 的值随n 的增大而减小，故{a n }是递减数列．8．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1. (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．解：(1)设a n ＝f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1 ＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<1－33n ＋1<1，∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内． (4)令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，∴⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧n >76，n <83.∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。

2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练(三十二)数列的概念与简单表示法含解析

课时跟踪练(三十二)A 组基础巩固1．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n 等于( ) A.（－1）n ＋12B ．cosn π2C ．cos n ＋12πD ．cos n ＋22π解析：令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，可得D 正确．答案：D2．(2019·承德模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 解析：S n ＝2a n ＋1＝2S n ＋1－2S n ⇒3S n ＝2S n ＋1⇒S n ＋1S n ＝32，故数列{S n }为等比数列，公比是32，又S 1＝1，所以S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.故选B.答案：B3．(2019·常德调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ＋n ，则a 10＝( ) A ．－210B ．－29C ．1－29D ．1－210解析：当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，所以a 1＝－1. 当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋n ，① 得S n －1＝2a n －1＋(n －1)，②由①－②得，a n ＝2a n －2a n －1＋1，所以a n ＝2a n －1－1.所以a n －1＝2(a n －1－1)．又易知a n ≠1，所以a n －1a n －1－1＝2，所以a n －1＝－2·2n －1＝－2n .所以a n ＝1－2n .所以a 10＝1－210.故选D. 答案：D4．(2019·江西重点中学盟校联考)在数列{a n }中，a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n∈N *)，则a 2 018的值为( )A ．－14B ．5C.45D.54解析：在数列{a n }中，a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以a 2＝1－1－14＝5，a 3＝1－15＝45，a 4＝1－145＝－14，所以{a n }是以3为周期的周期数列，所以a 2 018＝a 672×3＋2＝a 2＝5，故选B. 答案：B5．(2019·郑州毕业班质量预测)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2a －1）x ＋4，x ≤1，a x ，x >1，数列{a n }(n ∈N *)满足a n ＝f (n )，且{a n }是递增数列，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(1，3)D ．(3，＋∞)解析：因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a 2>2a －1＋4，解得a >3，则a 的取值范围是(3，＋∞)．答案：D6．在数列－1，0，19，18，…，n －2n2，…中，0.08是它的第________项．解析：令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，则(2n －5)(n －10)＝0，解得n ＝10或n ＝52(舍去)．所以a 10＝0.08. 答案：107．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n ∈N *)，又a n a n ＋1＝S n ，则a 3－a 1＝________．解析：因为a n a n ＋1＝S n ，所以令n ＝1得a 1a 2＝S 1＝a 1，即a 2＝1，令n ＝2得a 2a 3＝S 2＝a 1＋a 2，即a 3＝1＋a 1，所以a 3－a 1＝1. 答案：18．(2019·山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1，则S 10＝________．解析：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1⇒a n ＋1－a n ＝2n －1＋1⇒a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n－2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1⇒a n ＝2n －2＋2n －3＋…＋2＋1＋n －1＋a 1＝1－2n －11－2＋n －1＋2＝2n －1＋n .S 10＝1＋2＋22＋…＋29＋1＋2＋3＋…＋10＝1×（1－210）1－2＋10×112＝1 078.答案：1 0789．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由题意得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.10．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1；S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，①当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .B 组素养提升11．(2019·长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a nn＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋n ln n B ．2n ＋(n －1)ln nC ．2n ＋n ln nD ．1＋n ＋n ln n解析：由题意得a n ＋1n ＋1－a n n ＝ln(n ＋1)－ln n ，a n n －a n －1n －1＝ln n －ln(n －1)，a n －1n －1－a n －2n －2＝ln(n －1)－ln(n －2)，a n －2n －2－a n －3n －3＝ln(n －2)－ln(n －3)，……，a 22－a 11＝ln 2－ln 1，累加得a n n －a 11＝ln n －ln 1＝ln n ，所以a nn＝2＋ln n ，所以a n ＝2n ＋n ln n ，故选C.答案：C12．(2019·衡水中学检测)若数列{a n }满足a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：因为a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3（k ＋1）≤0，解得193≤k ≤223，因为k ∈N *，所以k ＝7.所以满足条件的n 的值为7. 答案：B13．(2019·菏泽模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝(－1)n ·a n －12n ，记b n ＝8a 2·2n －1，若对任意的n ∈N *，总有λb n －1>0成立，则实数λ的取值范围为________．解析：令n ＝1，得a 1＝－14；令n ＝3，可得a 2＋2a 3＝18；令n ＝4，可得a 2＋a 3＝316；故a 2＝14，即b n ＝8a 2·2n －1＝2n .由λb n －1>0对任意的n ∈N *恒成立，得λ>⎝ ⎛⎭⎪⎫12n对任意的n ∈N *恒成立，又⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≤12，所以实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 14．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解：(1)因为a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，所以a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．所以数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5<2－a2<6，即－10<a <－8.即a 的取值范围是(－10，－8)．。

2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十三数列的概念与简单表示含解析

课时跟踪检测（三十三）数列的概念与简单表示[A 级基础题——基稳才能楼高]1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，则a 4的值为( ) A ．31 B ．30 C ．15D ．63解析：选C 由题意，得a 2＝2a 1＋1＝3，a 3＝2a 2＋1＝7，a 4＝2a 3＋1＝15，故选C. 2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2 019＝( ) A ．－1 B ．12 C ．1D ．2解析：选A 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n ，得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…，于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 018＝a 3×672＋3＝a 3＝－1.3．数列－1,4，－9,16，－25，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n 2B ．a n ＝(－1)n ·n 2C ．a n ＝(－1)n ＋1·n 2D ．a n ＝(－1)n ·(n ＋1)2解析：选B 易知数列－1,4，－9,16，－25，…的一个通项公式为a n ＝(－1)n·n 2，故选B.4．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024解析：选C 在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .所以a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.所以a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.5．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，3)D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，92 解析：选C 因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b >0(n ∈N *)，所以b <2n ＋1(n ∈N *)，所以b <(2n ＋1)min ＝3，即b <3.[B 级保分题——准做快做达标]1．(2019·福建四校联考)若数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则此数列的一个通项公式为( )A.－n ＋1n ＋1B ．－nn ＋1C.－nnD ．－n －1n解析：选A 由于数列的前4项分别是12，－13，14，－15，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n 项的绝对值等于⎪⎪⎪⎪⎪⎪1n ＋1，故此数列的一个通项公式为－n ＋1n ＋1.故选A. 2．(2019·沈阳模拟)已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则a n ＝( ) A ．2n －1 B ．⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．nD ．n 2解析：选C 由a n ＝n (a n ＋1－a n )，得(n ＋1)a n ＝na n ＋1，即a n ＋1n ＋1＝a nn ，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列，即a n n ＝a 11＝1，故a n ＝n .故选C. 3．(2019·北京西城区模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－2n ＋1，则a 3＝( )A ．－1B ．－2C ．－4D ．－8解析：选D ∵数列{a n }的前n 项和S n ＝2－2n ＋1，∴a 3＝S 3－S 2＝(2－24)－(2－23)＝－8.故选D.4．(2019·桂林四地六校联考)数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的第100项是( ) A ．10 B ．12 C ．13D ．14解析：选D 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)，由12n (n ＋1)≤100，得n 的最大值为13，易知最后一个13是已知数列的第91项，又已知数列中14共有14项，所以第100项应为14.故选D.5．(2019·兖州质检)已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n －2，n <4，－a n －a ，n ≥4，若对任意的n∈N *都有a n <a n ＋1成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,4)B ．(2,5)C ．(1,6)D ．(4,6)解析：选 A 因为对任意的n ∈N *都有a n <a n ＋1成立，所以数列{a n }是递增数列，因此⎩⎪⎨⎪⎧1<a ，6－a >0，a－a －a ，解得1<a <4，故选A.6．(2019·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a n ＝5n －1(n ∈N *)，将数列{a n }中的整数项按原来的顺序组成新数列{b n }，则b 2 019的末位数字为( )A ．8B ．2C ．3D ．7解析：选D 由a n ＝5n －1(n ∈N *)，可得此数列为4，9，14，19，24，29，34，39，44，49，54，59，64，…，{a n }中的整数项为4，9，49，64，144，169，…，∴数列{b n }的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，….∵2 019＝4×504＋3，故b 2 019的末位数字为7.故选D.7．(2018·长沙调研)已知数列{a n }，则“a n ＋1>a n －1”是“数列{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由题意，若“数列{a n }为递增数列”，则a n ＋1>a n >a n －1，但a n ＋1>a n －1不能推出a n ＋1>a n ，如a n ＝1，a n ＋1＝1，{a n }为常数列，则不能推出“数列{a n }为递增数列”，所以“a n ＋1>a n －1”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件．故选B.8．(2019·长春模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n 等于( )A.13n －1B ．2nn ＋C.6n ＋n ＋D ．5－2n 3解析：选 B 由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，有a n ＝2n n ＋，当n ＝1时上式成立，所以a n＝2nn ＋.9．(2019·兰州诊断)已知数列{a n }，{b n }，若b 1＝0，a n ＝1nn ＋，当n ≥2时，有b n ＝b n －1＋a n －1，则b 501＝________.解析：由b n ＝b n －1＋a n －1得b n －b n －1＝a n －1，所以b 2－b 1＝a 1，b 3－b 2＝a 2，…，b n －b n －1＝a n －1，所以b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1n －n，即b n －b 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1n －n ＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n ＝n －1n ，又b 1＝0，所以b n ＝n －1n ，所以b 501＝500501. 答案：50050110．(2019·河南八市重点高中测评)已知数列{a n }满足a n ≠0,2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，且a 1＝13，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：∵a n ≠0,2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，∴两边同除以a n ·a n ＋1，得－a n ＋1a n ＋1－－a na n＝1a n ＋1－1a n＋1，整理，得1a n ＋1－1a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以3为首项，1为公差的等差数列，∴1a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝1n ＋2.答案：1n ＋211．(2019·宝鸡质检)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 1＋a 22＋…＋a nn＝________.解析：由题意得当n ≥2时，a n ＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，∴a n ＝4n 2.又n ＝1，a 1＝2，∴a 1＝4，∴a n n ＝4n ，∴a 1＋a 22＋…＋a n n ＝12n (4＋4n )＝2n 2＋2n .答案：2n 2＋2n12．(2019·深圳期中)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2＝a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2＝a n (n ∈N *)知，当n ≥2时，a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n －1n －2＝a n －1，∴a n n 2＝a n －a n －1，即n ＋1n a n ＝n n －1a n －1，∴n ＋1n a n ＝…＝2a 1＝2，∴a n ＝2nn ＋1.答案：2nn ＋113．(2019·衡阳四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3. (1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式；(2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4. 解：(1)a 1＝3，a 2＝15，a 3＝63，a 4＝255.因为a 1＝41－1，a 2＝42－1，a 3＝43－1，a 4＝44－1，…，所以归纳得a n ＝4n－1.(2)证明：因为a n ＋1＝4a n ＋3，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝4a n ＋3＋1a n ＋1＝a n ＋a n ＋1＝4.14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．解：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，解得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．15．(2019·武汉调研)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }中，b n ＝2a n ＋1，且其前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解：(1)∵a 1＝S 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23n ＝，1nn(2)由题意得c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1n ＋n ＋<0，∴c n ＋1<c n ，∴数列{c n }为递减数列.。

2020高考数学(文科)专题复习课标通用版(跟踪检测)：专题3 数列专题3 第1讲

第一部分专题三第1讲题型对应题号 1.等差数列有关问题 1,4,5,6,12,13,14 2.等比数列有关问题 7,8,9,11,15 3.等差数列、等比数列的综合问题2,3,10,16基础热身(建议用时：40分钟)1．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37 B ．36 C ．20D ．19A 解析因为a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，所以m ＝37.故选A 项．2．(2019·四川南充适应性考试)已知等比数列{a n }中的各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 10＋a 11a 8＋a 9＝( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2C 解析因为等比数列{a n }中的各项都是正数，设公比为q ，则q ＞0，由a 1，12a 3,2a 2成等差数列，可得a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，因为a 1≠0，得q 2－2q －1＝0，解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍)，则a 10＋a 11a 8＋a 9＝q 2(a 8＋a 9)a 8＋a 9＝q 2＝3＋2 2.故选C 项．3．(2019·山东德州联考)已知数列{a n }为等差数列，且2a 1，2,2a 6成等比数列，则{a n }的前6项的和为( )A ．15B ．212C ．6D ．3C 解析因为数列{a n }为等差数列，且2a 1，2,2a 6成等比数列，所以a 1,1，a 6成等差数列，所以2＝a 1＋a 6，所以2＝a 1＋a 1＋5d ，即2a 1＋5d ＝2，所以{a n }前6项的和为S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝3(2a 1＋5d )＝6.故选C 项．4．(2019·广东六校联考)等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值是( )A ．14B ．15C ．16D ．17C 解析依题意，由a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，得5a 8＝120，即a 8＝24，所以a 9－13a 11＝13(3a 9－a 11)＝13(a 9＋a 7＋a 11－a 11)＝13(a 9＋a 7)＝23a 8＝23×24＝16.故选C 项． 5．(2019·甘青宁三省联考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 7＝5，S 5＝－55，则nS n的最小值为( )A ．－343B ．－324C ．－320D ．－243A 解析因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝a 1＋6d ＝5，S 5＝5a 3＝5(a 1＋2d )＝－55，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－19，d ＝4，所以S n ＝－19n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－21n ，所以nS n ＝2n 3－21n 2，设f (x )＝2x 3－21x 2(x >0)，f ′(x )＝6x (x －7)．当0<x <7时，f ′(x )<0，当x >7时，f ′(x )>0，故nS n 的最小值为f (7)＝－343.故选A 项．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1－a n ＝cos n π2，则S 678＝( )A ．0B ．678C ．339D ．340D 解析由已知可得，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a 2k ＝a 2k －1；当n ＝2k (k ∈N *)时，a 2k ＋1＝a 2k ＋cos k π，则a 1＝a 2＝1，a 3＝a 4＝0，a 5＝a 6＝1，…，因此{a n }中的项呈现一定周期性，S 678＝S 4×169＋2＝2×169＋2＝340.故选D 项．7．(2019·福建适应性练习)如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为3：4.现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为1米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为(参考数据：lg 75≈0.15)( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个B 解析记由外到内的第n 个正方形的周长为a n ，则a 1＝4×1，a 2＝4×57，…，a n ＝4×⎝⎛⎭⎫57n －1.所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝4×1－⎝⎛⎭⎫57n 1－57＝14×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫57n ≤13，解得n ≤log 57 114＝lg 114lg 57＝lg14lg75＝lg ⎝⎛⎭⎫10×75lg 75＝1＋1lg 75≈7.667，故可制作完整的正方形的个数最多为7个．故选B 项．8．(2019·北京通州区模拟)设{a n }是等比数列，且a 2a 4＝a 5，a 4＝27，则{a n }的通项公式为________．解析设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 2a 4＝a 5，a 4＝27，所以a 4＝a 2q 2＝a 5a 4q 2＝q 3＝27，解得q ＝3，所以a 1＝a 4q 3＝2727＝1，因此a n ＝3n －1，n ∈N *.答案 a n ＝3n －1，n ∈N *9．已知等比数列{a n }的公比不为－1，设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 12＝7S 4，则S 8S 4＝________.解析由题意可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，则(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)，又S 12＝7S 4，所以(S 8－S 4)2＝S 4·(7S 4－S 8)，可得S 28－6S 24－S 8S 4＝0，两边都除以S 24，得⎝⎛⎭⎫S 8S 42－S 8S 4－6＝0，解得S 8S 4＝3或－2，又S 8S 4＝1＋q 4(q 为{a n }的公比)，所以S 8S 4>1，所以S 8S 4＝3. 答案 310．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝2，n ∈N *，则数列{ba n }的前10项和为________．解析由a 1＝b 1＝1，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝2，可知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，b n ＝2n －1，所以ba n ＝b 2n－1＝2(2n－1)－1＝22n －2＝4n －1，所以{ba n }也为等比数列．所以ba 1＋ba 2＋...＋ba 10＝1＋4＋42＋43＋ (49)1×(1－410)1－4＝410－13.答案 410－1311．在数列{a n }中，a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，且a 1＝2，a 2＝5. (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解析 (1)证明：因为a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝a n ＋2＋1a n ＋1＋1.因为a 1＝2，a 2＝5，所以a 1＋1＝3，a 2＋1＝6，所以a 2＋1a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，a n ＋1＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－1，所以S n ＝3(1－2n )1－2－n ＝3·2n －n －3.12．若数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，a 3＝27. (1)求a 1，a 2的值；(2)记b n ＝12n (a n ＋t )(n ∈N *)，是否存在一个实数t ，使数列{b n }为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由．解析 (1)由a 3＝27,27＝2a 2＋23＋1得a 2＝9，由9＝2a 1＋22＋1，得a 1＝2.(2)假设存在实数t ，使得{b n }为等差数列，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1，即2×12n (a n ＋t )＝12n －1(a n－1＋t )＋12n ＋1(a n ＋1＋t )，整理得4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，又4a n ＝4×a n －2n －12＋2a n ＋2n ＋1＋t ＋1＝4a n ＋t －1，所以t ＝1，故存在t ＝1，使得数列{b n }为等差数列．能力提升(建议用时：25分钟)13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝4，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6A 解析由等差数列的性质可知⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，所以S m －1m －1，S m m ，S m ＋1m ＋1成等差数列，所以2·S m m ＝S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1，所以m ＝3.故选A 项．14．(2019·广东六校联考)数列b n ＝a n cos n π3的前n 项和为S n ，已知S 2 017＝5 710，S 2 018＝4030，若数列{a n }为等差数列，则S 2 019＝________.解析设数列{a n }的公差为d ，则a 1cos π3＋a 2cos 2π3＋a 3cos π＋a 4cos 4π3＋a 5cos 5π3＋a 6cos 2π＝12(a 1－a 2)＋12(a 5－a 4)－a 3＋a 6＝－a 3＋a 6.由S 2 017＝5 710，S 2 018＝4 030，得5 710＝－(a 3＋a 9＋…＋a 2 013)＋(a 6＋a 12＋…＋a 2 010＋a 2 016)＋12a 2 017,4 030＝－(a 3＋a 9＋…＋a 2 013)＋(a 6＋a 12＋…＋a 2 010＋a 2 016)＋12a 2 017－12a 2 018，两式相减可得a 2 018＝3 360，由5 710＝1 008d ＋12(3 360－d )，解得d ＝4，则a n ＝a 2 018＋(n －2 018)×4＝4n －4 712，可得S 2 019＝4 030－a 2 019＝4 030－(4×2 019－4 712)＝666.答案 66615．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足2S n ＝3(a n －1)． (1)证明：数列{a n }是等比数列并求S n ；(2)若b n ＝4n ＋5，将数列{a n }和{b n }的公共项按它们在原数列中的顺序排成一个新的数列{d n }，证明：{d n }是等比数列并求其通项公式．证明 (1)a 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32(a n －a n －1)⇒a n ＝3a n －1，故数列{a n }是首项和公比均为3的等比数列，从而a n ＝3n ，S n ＝12(3n ＋1－3)．(2)易知d 1＝a 2＝b 1＝9，设a k ＝3k 是{b n }中的第m 项，又是{d n }中的第n 项，即d n ＝3k ＝4m ＋5.因为a k ＋1＝3k ＋1＝3(4m ＋5)＝4(3m ＋3)＋3不是数列{b n }中的项，而a k ＋2＝3k ＋2＝9(4m ＋5)＝4(9m ＋10)＋5是{b n }中的第(9m ＋10)项，所以d n ＋1＝a k ＋2＝3k ＋2，由d n ＋1d n ＝9知{d n }是首项和公比均为9的等比数列，故d n ＝9n .16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，如果S nS 2n 为常数，则称数列{a n }为“幸福数列”．(1)等差数列{b n }的首项为1，公差不为零，若{b n }为“幸福数列”，求{b n }的通项公式；(2)数列{c n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，若c 31＋c 32＋c 33＋…＋c 3n ＝S 2n 对任意n ∈N *都成立，试问数列{c n }是否为“幸福数列”？并说明理由．解析 (1)设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S nS 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12·2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0，因为对任意正整数n ，上式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d (4k －1)＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，k ＝14.故数列{b n }的通项公式是b n ＝2n －1.(2)由已知，当n ＝1时，c 31＝S 21＝c 21.因为c 1>0，所以c 1＝1.当n ≥2时，c 31＋c 32＋c 33＋…＋c 3n ＝S 2n ，c 31＋c 32＋c 33＋…＋c 3n －1＝S 2n －1. 两式相减，得c 3n ＝S 2n －S 2n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝c n ·(S n ＋S n －1)．因为c n >0，所以c 2n ＝S n＋S n －1＝2S n －c n .显然c 1＝1适合上式，所以当n ≥2时，c 2n －1＝2S n －1－c n －1.于是c 2n －c 2n －1＝2(S n －S n －1)－c n ＋c n －1＝2c n －c n ＋c n －1＝c n ＋c n －1.因为c n ＋c n －1>0，所以c n－c n －1＝1，所以数列{c n}是首项为1，公差为1的等差数列．所以S nS2n＝n(n＋1)2n(2n＋1)＝n＋14n＋2不为常数，故数列{c n}不是“幸福数列”．。

2020高考数学(文科)专题复习课标通用版(跟踪检测)：专题3 数列专题3 第2讲

第一部分专题三第 2 讲
题型 1.分组转化法求和 2.错位相减法求和 3.裂项相消法求和 4.数列的综合应用
对应题号 1,2,3,5 6,10,11 8,9,12,15 4,7,13,14
基础热身(建议用时：40 分钟) 1．已知数列{an}满足 an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn 为数列{an}的前
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．或者是等差数列，或者是等比数列
D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
C 解析由 Sn＝an－1(a≠0)，得 an＝Error!即 an＝Error!当 a＝1 时，an＝0，数列{an}
是一个常数列，也是等差数列；当 a≠1 时，数列{an}是一个等比数列．故选 C 项． 5．数列 1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前 n 项和为( )
＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝(2n－1)＋(2n－3)
2n－1＋1n
＋…＋3＋1＝
2
＝n2，所以{an}的通项公式为 an＝n2.由 bn＋1＝3bn＋2，得
bn＋1＋1＝3(bn＋1)，所以{bn＋1}是等比数列，首项为 b1＋1＝2，公比为 3，所以
bn＋1＝2·3n－1，所以{bn}的通项公式为 bn＝2·3n－1－1.
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－n)－(2an－1－n＋1)，
即 an＝2an－1＋1，
所以 an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2)，又 a1＋1＝2，
所以数列{an＋1}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以 an＋1＝2n，即 an＝2n－1.

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课时跟踪练(三十一)A组　基础巩固1．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是an

等于( )

A. B．cos （－1）n＋1

2nπ2

C．cos π D．cos πn＋12n＋22解析：令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，可得D正确．答案：D2．(2019·承德实验中学模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，

Sn＝2an＋1，则Sn＝( )

A．2n－1 B.(32)n－1

C. D.(23)n－1 (12)n－1

解析：Sn＝2an＋1＝2Sn＋1－2Sn⇒3Sn＝2Sn＋1⇒＝，故数列Sn＋1Sn32

{Sn}为等比数列，公比是，又S1＝1，所以Sn＝1×＝，

32(32)n－1 (3

n－1

故选B.答案：B3．(2019·常德调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an＋n，

则a10＝( )A．－210 B．－29 C．1－29 D．1－210

解析：当n＝1时，a1＝2a1＋1，所以a1＝－1.当n≥2时，由Sn＝2an＋n，①得Sn－1＝2an－1＋(n－1)，②由①－②得，an＝2an－2an－1＋1，所以an＝2an－1－1.所以an－1＝2(an－1－1)．又易知an≠1，

所以＝2，所以an－1＝－2·2n－1＝－2n.所以an＝1－2n.所an－1

an－1－1

以a10＝1－210.故选D.答案：D

4．(2019·江西重点中学盟校联考)在数列{an}中，a1＝－，an＝1－

(n≥2，n∈N*)，则a2 018的值为( )

an－1

A．－ B．5 C. D.144554

解析：在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N*)，141an－1

所以a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－，1－14154514514

所以{an}是以3为周期的周期数列，所以a2 018＝a672×3＋2＝a2＝5，故选B.答案：B5．(2019·郑州毕业班质量预测)已知f(x)＝

数列{an}(n∈N*)满足an＝f(n)，且{an}是

{（2a－1）x＋4，x≤1，

ax，x>1，

)

递增数列，则a的取值范围是( )A．(1，＋∞) B.(12，＋∞)

C．(1，3) D．(3，＋∞)解析：因为{an}是递增数列，

所以解得a>3，{a>1，a2>2a－1＋4，)

则a的取值范围是(3，＋∞)．答案：D

6．在数列－1，0，，，…，，…中，0.08是它的第________1918n－2n2

项．

解析：令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，n－2n2

则(2n－5)(n－10)＝0，解得n＝10或n＝(舍去)．52

所以a10＝0.08.答案：107．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an≠0(n∈N*)，又anan＋1＝Sn，

则a3－a1＝________．解析：因为anan＋1＝Sn，所以令n＝1得a1a2＝S1＝a1，即a2＝1，令n＝2得a2a3＝S2＝a1＋a2，即a3＝1＋a1，所以a3－a1＝1.答案：18．(2019·山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，则S10＝________．解析：a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1⇒an＋1－an＝2n－1＋1⇒an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1⇒an＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋n－1＋a1

＝＋n－1＋2＝2n－1＋n.1－2n－11－2S10＝1＋2＋22＋…＋29＋1＋2＋3＋…＋10＝＋

1×（1－210）

1－2

＝1 078.10×112答案：1 0789．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－

(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.

(1)求a2，a3；

(2)求{an}的通项公式．

解：(1)由题意得a2＝，a3＝.1214(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得

2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．

因为{an}的各项都为正数，所以＝.

an＋1

an12

故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.1212n－1

10．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈122n12N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)可得

122n1

a1＝a＋a1，解得a1＝1；

12211

S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；

1221

同理，a3＝3，a4＝4.(2)Sn＝＋a，①

an21

22n

当n≥2时，Sn－1＝＋a，②an－12122n－1

①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.

由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故数列{an}为首项为1，公差为1的等差数列，

故an＝n.B组　素养提升11．(2019·长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)在数列{an}中，a1

＝2，＝＋ln，则an＝( )an＋1n＋1ann(1＋1n)

A．2＋nln n B．2n＋(n－1)ln nC．2n＋nln n D．1＋n＋nln n

解析：由题意得－＝ln(n＋1)－ln n，－＝ln n－an＋1n＋1annannan－1n－1

ln(n－1)，－＝ln(n－1)－ln(n－2)，－＝ln(n－2)an－1n－1an－2n－2an－2n－2an－3n－3

－ln(n－3)，……，－＝ln 2－ln 1，累加得－＝ln n－ln 1＝a22a11anna11

ln n，所以＝2＋ln n，所以an＝2n＋nln n，故选C.

答案：C12．(2019·衡水中学检测)若数列{an}满足a1＝19，an＋1＝an－3(n∈

N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为( )A．6 B．7C．8 D．9解析：因为a1＝19，an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，

所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设{an}的前k项和数值最大，则有

{ak≥0，

ak＋1≤0，

)

即解得≤k≤，因为k∈N*，所以k＝{22－3k≥0，22－3（k＋1）≤0，)1932237.所以满足条件的n的值为7.答案：B13．(2019·菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝

(－1)n·an－，记bn＝8a2·2n－1，若对任意的n∈N*，总有λbn－1>0

成立，则实数λ的取值范围为________．

解析：令n＝1，得a1＝－；14

令n＝3，可得a2＋2a3＝；18

令n＝4，可得a2＋a3＝；316

故a2＝，即bn＝8a2·2n－1＝2n.14

由λbn－1>0对任意的n∈N*恒成立，

得λ>对任意的n∈N*恒成立，(12)n

又≤，(12)n 1

所以实数λ的取值范围为.(12，＋∞)

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