线性码与线性分组码
合集下载
线性分组码
系统码的校验矩阵和生成矩阵可以转换。
13
线性分组码的性质
线性分组码中任意两个码字的模2加仍为一个码字，这个性 质称为码的封闭性。 零矢量必须是任一线性分组码中的一个码字，称为零码字。 生成矩阵中各行都是一个码字，且生成矩阵的各行是线性 无关的（任意两行相加不为零）。任意码字C是生成矩阵中 各行的某一线性组合。 校验矩阵的各行应该是线性无关的，否则将得不到r个线性 无关的监督关系式，从而得不到r个独立的监督位。
23
汉明码
汉明码实际上是(2m-1, 2m-m-1)线性分组码，其校验行有m行，共有 n=2m-1列，任一列都不为零且两两互不相等，因此能纠正任何单 个错误。 汉明码的校验矩阵一般有两种构造方式： 一是校验矩阵的标准形式，即H=[PI] 式中P为m×(n-m)维矩阵，I为m×m维单位阵。按这种校验矩阵编 出的码是系统码。 二是校验矩阵的列是按二进制数的自然顺序从左到右排列的非零 列，例如，当n=7,k=4时，H中的第一列为[0 0 1]，第二列为[0 1 0]，…,第七列为[1 1 1]，按这种校验矩阵编出的码是非系统码。 发生单个错误时，伴随式是H中与错误位置对应的列，所以汉明码 伴随式二进制数的值就是错误位置的序号。
14
例题-由生成矩阵生成码字
由生成矩阵 所有码字为
m 000
1 0 0 1 1 1 0 G 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1
生成的（7，3）码的
C 0000000
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
在校验方程的矩阵形式中，令
1 1 则校验方程可以写成 H 1 0
HCT=0 或CHT=0
信息论与编码_第7章线性分组码
1 1 1 0 1 1 [000]. 0 0 1 0 0 1
17
线性分组码的校验矩阵
例7-2（续2）：求对偶码C
1 1 0 1 0 0 对偶码的生成矩阵=校验矩阵H 1 1 1 0 1 0 . 1 0 1 0 0 1
c mH , c1 m1 m2 m3 c m m 1 2 2 c3 m2 m3 c4 m1 c5 m2 c6 m3
例7-3 设一个（6,3）线性分组码C的校验矩阵为
1 1 0 1 0 0 H 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1
任何1列线性无关， 第1、2列线性相关， C的最小汉明距离 =2
23
线性分组码
线性分组码概念 线性分组码的生成矩阵 线性分组码的校验矩阵 线性分组码的最小汉明重量 线性分组码的译码 完备码 汉明码
21
线性分组码的最小汉明重量
定理7-4 线性分组码C的最小汉明距离等于该码中非零 码字的最小 汉明重量 。 例7-2（续3） 全体码字为：
码字 000000 011101 110001 101100 111010 100111 001011 010110
C的最小汉明距离=3， 可以纠1个错，检2个错
对偶码C 000 000 101 001 111 010 010 011 110 100 011 101 001 110 100 111
18
线性分组码的校验矩阵
课堂练习：已知(5, 3)线性分组码的生成矩阵为G
1 0 1 1 0 G 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0
信息元
000 001 010 011 100 101 110 111
6.2 线性分组码
• 基底的线性组合等效于G的行初等变换，可以产 生一组新的基底。利用这一点，可使生成矩阵具 有如下“系统形式”，称之为典型生成矩阵。
g0,0
…
g0,n-k-1
g1,0
…Байду номын сангаас
g1,n-k-1
G=
…
…
1
…
0
0
0
1
0
0
0
…
…
…
gk-1,0
…
gk-1,n-k-1
0
…
0
1
• 即：G=[Q Ik]，Q为k×r矩阵，Ik为k×k单位阵。
• 例如：(7,4)汉明码的重量分布为：
• A0=1,A1=A2=0,A3=A4=7,A5=A6=0,A7=1。
• Pu=7p3(1-p)4+7p4(1-p)3+p7 （根据公式，A0一项没用，所以只有三项），当p=10-2时，
漏检概率为7×10-6。
译码步骤
由接收码字r计算伴随式sT=HrT 若s=0，则译码器认为接收码字没错，否则有错，并 由s计算错误图样e 由错误图样进行译码，估计发送的码字
陪集首
c0 e1
e2
… e2r-1
c1 c1+ e1
c1+ e2
… c1+ e2r-1
c2 c2+ e1
c2+ e2
… c2+ e2r-1
…
c2k-1
c2k-1+ e1
c2k-1+ e2
…… c2k-1+ e2r-1
标准阵列译码表
陪集首
c0
c1
c2
…
e1
第八章线性分组码
第八章线性分组码8.1 什么是检错码？什么是纠错码？两者有什么不同？答：能发现错误但不能纠正错误的码称为检错码；不仅能发现错误而且还能纠正错误的码称为纠错码。
8.2 试述分组码的概念，并说明分组码的码率r的意义。
答：分组码是把信息序列以每k个码元分组，即每k个码元组成一个信息组。
n表示码长,k 表示信息位的数目，码率r=k/n，它说明在一个码字中信息为所占的比重。
8.3 什么是码的生成矩阵和校验矩阵？一个（n，k）线性分组码的生产矩阵和校验矩阵各是几行几列的矩阵？答：线性分组码的2个码字将组成n维向量空间的一个k维子空间，而线性空间可由其基底张成，因此线性分组码的个码字完全可由k个独立的向量组成的基底张成。
设k个向量为（7.3-2）将它们写成矩阵形式：（7.3-3）（n,k）码中的任何码字，均可由这组基底的线性组合生成。
即C=MG=(mk-1,mk-2,m0)G式中M=(mk-1,mk-2,m0)是k个信息元组成的信息组。
这就是说，每给定一个信息组，通过式（7.3-3）便可求得其相应的码字。
故称这个由k 个线性无关矢量组成的基底所构成的k×n阶矩阵G为码的生成矩阵（Generator Matrix）。
校验矩阵H 的每一行代表求某一个校验位的线性方程的系数(n-k)线性分组码有r=n-k 个校验元，故须有r 个独立的线性方程，因此H 矩阵必由线性无关的r 行组成，是一个(n-k)×n 阶矩阵，一般形式为一个（n,k ）线性分组码生成矩阵有k 行n 列校验矩阵有(n-k)行n 列。
8.4 什么样的码成为系统码？系统码的生成矩阵和校验矩阵在形式上有何特点？答：若信息组为不变的形式，称在码字的任意k 位中出现的码为系统码；一个系统码的生成矩阵G ，其左边k 行k 列是一个k 阶单位方阵，系统码的校验矩阵H ，其右边r 行r 列组成一个r 阶单位方阵。
8.5 什么是对偶码？试举例说明之。
线性分组码
C mG
G是一个k*n阶矩阵，称为(n,k)码的生成矩阵。
7
1 0 G 0
0 0 1 0 0 1
p11 p 21 p k1
p12 p 22 pk 2
p1( n k ) p 2( nk ) I P k pk ( nk )
n 1
u和v之间的距离表示2个码字对应位不同的数目。
如(7,3)码的两个码字：u=0011101
v=0100111
它们之间的距离d=4
4
码的最小距离的dmin ：在（n,k）线性码字集合中， 任意两个码字间的距离最小值，是衡量抗干扰能力的 重要参数，dmin越大，抗干扰能力越强。 码字的重量W：码字中非零码元符号的个数；在二元 线性码中，码字的重量是码字中含“1”的个数。 码的最小重量Wmin：线性分组码中，非零码字重量的 最小值，称为码的最小重量，表示为：
限， 性能界限，即码的译码错误概率的上、下 限。 对码距限而言，最重要的限是汉明限，普 洛特金限和吉尔伯特－瓦尔沙莫夫限，汉 明码和普洛特金限告诉我们，在给定码长n 和码的传输速率R=k/n下，最小距离可以达 到的最大值，故它们都是上限，而吉尔伯 特一瓦尔沙莫夫限给出了码的最小距离的 下限。
HC 0
T
T
r=n-k
H
阵是n列，(n-k)行的矩阵；
为了得到确定的码，r个监督方程必须是线性
无关的，即要求H阵的秩为r。
6
2. 生成矩阵G
把方程组写成矩阵的形式为
h11 h 21 h r1
h12 h1k h 22 h 2k h r2 h rk
m 信道编码
C
线性分组码
二、线性分组码的严格数学定义2
2. 定理1 (码的封闭性）
设CH为由监督矩阵H定义的分组码，则c1,c2CH : c1+c2CH 证明： 由c1CH，得Hc1T=0T;
由c2CH，得Hc2T=0T;
所以 H(c1+c2)T=H(c1T+c2T) =Hc1T+Hc2T=0T c1+c2满足HcT=0T，所以c1+c2 CH
+
+
考虑如何用串行方式？
三、G与H的关系4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
D0
D1
+
D2
+
D3
+
D0
D1
+
D2
+
D3
+
m4m5m6
m6
m6
D0
D1
m6+m5 m6
D0
D1
m6
m6
+
D2
+
D3
+
m4m5
m6+m5
m6+m5
+
D2
m6+m5+m6
=m5
+
D3
+
m4
m5+m4
互为对偶码，若CH=CG, 则称为自对偶码（P62)
[Q In-k] [IkP]T= [QIn-k] [IkT PT]T= Q + PT = 0
所以 P= - QT 或 Q = -PT
由此得 G=[Ik P] = [ Ik –QT] H=[Q In-k]= [ -PT In-k]
三、G与H的关系2
[理学]信息论与编码原理第8章线性分组码PPT课件
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
(8.2.3)
将式(8.2.2)可写成：
H ·CT=0T 或 C ·HT=0 CT、HT、0T 分别表示 C、 H、0 的转置矩阵。
17.07.2020
Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng
c0 c5
c4
(8.2.1)
表 8.2.1 (7,3)分组码编码表
信息组 对应码字 000 0000000 001 0011101 010 0100111 011 0111010
c6 0 c4 c3 0 0 0 0
cc66
c5 c5
c4 0
0 0
c2 0 0 c1
0 0
0 0
0 c5 c4 0 0 0 c0 0
Department of Electronics andc0Infocr5mation, Nc4CUT Song Peng
第7页
8.2 一致监督方程和一致监督矩阵
(1) 一致监督方程
一致监督方程/一致校验方程：确定信息元得到监督元 规则的一组方程称为监督方程/校验方程。由于所有码 字都按同一规则确定，又称为一致监督方程/一致校验 方程。
100 101 110 111
1001110 1010011 1101001 1110100
返回目录
17.07.2020
Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng
第9页
8.2 一致监督方程和一致监督矩阵
(3) 一致监督矩阵
为了运算方便，将式(7.2.1)监 督方程写成矩阵形式，得：
(8.2.3)
将式(8.2.2)可写成：
H ·CT=0T 或 C ·HT=0 CT、HT、0T 分别表示 C、 H、0 的转置矩阵。
17.07.2020
Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng
c0 c5
c4
(8.2.1)
表 8.2.1 (7,3)分组码编码表
信息组 对应码字 000 0000000 001 0011101 010 0100111 011 0111010
c6 0 c4 c3 0 0 0 0
cc66
c5 c5
c4 0
0 0
c2 0 0 c1
0 0
0 0
0 c5 c4 0 0 0 c0 0
Department of Electronics andc0Infocr5mation, Nc4CUT Song Peng
第7页
8.2 一致监督方程和一致监督矩阵
(1) 一致监督方程
一致监督方程/一致校验方程：确定信息元得到监督元 规则的一组方程称为监督方程/校验方程。由于所有码 字都按同一规则确定，又称为一致监督方程/一致校验 方程。
100 101 110 111
1001110 1010011 1101001 1110100
返回目录
17.07.2020
Department of Electronics and Information, NCUT Song Peng
第9页
8.2 一致监督方程和一致监督矩阵
(3) 一致监督矩阵
为了运算方便，将式(7.2.1)监 督方程写成矩阵形式，得：
第9章 1信道编码-线性分组码
主要内容
n n
信道编码的基本概念和分类 两种主要的信道编码
n n
分组码 卷积码
n n
其他类型编码和编码界限(了解) 工程应用(了解)
北京邮电大学 无线通信中心
2
主要内容
n n
信道编码的基本概念 线性分组码
n n
循环码 BCH码
n n
卷积码 其他编码类型
n
纠正突发错误码、交织码、级联码、Turbo 码、高效率信道编码TCM
北京邮电大学 无线通信中心 8
9.1 信道编码的基本概念
n
信道编码分类（按纠正错误类型分类）
n
n
n
纠独立随机差错码：分组码和卷积码中的大 部分种类 纠突发差错码：分组码和卷积码中的几类、 交织码 纠混合差错码：级联码
北京邮电大学 无线通信中心
9
9.1 信道编码的基本概念
n
信道编码分类（按约束关系分类）
n
信道分类（按差错出现类型）
n
突发差错信道
n n
n
差错成串出现（记忆性） 原因：信道传输特性不理想（衰落和码间干扰）， 有大的脉冲干扰 例如：短波信道、移动通信信道、散射信道、明 线和电缆信道、磁介质存储
n
混合信道
注意：出错类型是统计意义上的，并不表示错误一定发生
北京邮电大学 无线通信中心 6
9.1 信道编码的基本概念
n n
需要反馈信道 实时性和译码复杂度是FEC和ARQ两种方式 的折衷
北京邮电大学 无线通信中心
17
9.1信道编码的基本概念
n
n
信道编码是数字通信中用来提高传输可 靠性的一种重要技术 常用信道编码
n n n
重复码 偶校验码 线性分组码
n n
信道编码的基本概念和分类 两种主要的信道编码
n n
分组码 卷积码
n n
其他类型编码和编码界限(了解) 工程应用(了解)
北京邮电大学 无线通信中心
2
主要内容
n n
信道编码的基本概念 线性分组码
n n
循环码 BCH码
n n
卷积码 其他编码类型
n
纠正突发错误码、交织码、级联码、Turbo 码、高效率信道编码TCM
北京邮电大学 无线通信中心 8
9.1 信道编码的基本概念
n
信道编码分类（按纠正错误类型分类）
n
n
n
纠独立随机差错码：分组码和卷积码中的大 部分种类 纠突发差错码：分组码和卷积码中的几类、 交织码 纠混合差错码：级联码
北京邮电大学 无线通信中心
9
9.1 信道编码的基本概念
n
信道编码分类（按约束关系分类）
n
信道分类（按差错出现类型）
n
突发差错信道
n n
n
差错成串出现（记忆性） 原因：信道传输特性不理想（衰落和码间干扰）， 有大的脉冲干扰 例如：短波信道、移动通信信道、散射信道、明 线和电缆信道、磁介质存储
n
混合信道
注意：出错类型是统计意义上的，并不表示错误一定发生
北京邮电大学 无线通信中心 6
9.1 信道编码的基本概念
n n
需要反馈信道 实时性和译码复杂度是FEC和ARQ两种方式 的折衷
北京邮电大学 无线通信中心
17
9.1信道编码的基本概念
n
n
信道编码是数字通信中用来提高传输可 靠性的一种重要技术 常用信道编码
n n n
重复码 偶校验码 线性分组码
线性码和线性分组码
• G中任一元g与H相加得到旳子集称为H旳陪集
• 举例
– 陪集不相交
– 陪集首
H的陪集
– 商集
• 整数群旳子群
– m旳全部倍数
H
– 剩余类
线性空间、线性码与线性分组码
• 利用线性空间中旳子空间作为许用码字旳编码 称线性码
• 当线性空间为有限维空间时即为线性分组码 • GF(q)上旳n维线性空间Vn中旳一种k维子空间
• 中任一矢量r是许用码字旳充要条件是
r h1T
hT2
hT nk
0
h1
H
h2
hnk
校验矩阵
对偶码
• 用校验矩阵H中行矢量张成旳子空间是一 种(n ,n-k)线性分组码，它与码C互为对偶 码
自由距与校验矩阵
• 校验矩阵旳秩为df -1 • 例：纠一种错旳码设计
– 自由距至少为3 – 校验矩阵旳秩至少为2，即任两个列矢量不同 – 当冗余位数m固定时，最多旳非零列矢量个数为2m -1 – 最高效率为(2m-1，2m-1-m，3)码，称为汉明码，是完
线性分组码译码旳基本措施
• 码C作为一种子群，它旳每一种陪集在码 C旳正交空间H中旳投影是一种点，而不 同旳陪集投影不同。
• 每一种陪集有一种最小码重，作为陪集 首，代表最可能旳错误图案。
• 这就引出了伴随式译码：s=rHT，将s与 最可能旳e建一张表，即可经过查表法实 现译码。
小结：引入线性码旳好处
– 对自由距为d旳码，球半径为s(C) = (d-1)/2
• 能够覆盖整个码空间旳以许用码字为中心半径 相等旳球，其最小半径称为码旳覆盖半径 t(C)，
– 显然球半径不不小于覆盖半径 – 当相等时称为完备码，在k和d相不变旳码中n最小 – 当给定编码参数n和k时，覆盖半径越小码距就能够
第六章 线性分组码
第3章 线性分组码
推论1 GF(2)上线性分组码任3个码字x， y， z之间的 汉明距离， 满足以下三角不等式 d(x， y)+d(y， z)≥d(x，z)
定理3 任何二元［n ， k ， d］线性分组码， 码字 的重量或全部为偶数， 或者奇数重量的码字数等于偶 数重量的码字数。
第3章 线性分组码
第3章 线性分组码
定理1 q元［n ,k ,d］线性分组码的最小距离等于非零
码字的最小重量。
d (C) W(C )
定理2 GF(2)上［n ,k ,d］线性分组码中， 任何两个码字x， y之间有如下关系： d(x， y)= W(x+y)=W(x)+W(y)-2W(x ∩ y) 或d(x， y)≤w(x)+w(y)
第3章 线性分组码
定义2一个陪集中具有最小重量的向量称为陪集首 （Coset Leader）。如果有多于一个向量具有最小重量， 则从中随机选择一个定为陪集首。
定义3 一个[n, k]线性码C的标准阵列（Standard Array）是一个GF(qn)上全部向量的qn－k×qk阵列， 它的第一行由码C构成（0在最左边），其他行是陪 集ai＋C，都以相应次序排列，陪集首放在最左边。
定义1设C是GF(q) 上的一个[n, k]码， a V (n, q) ， 定义
a C {a x x C}
称为C的一个陪集（Coset）。
例 二元[3,2,2]线性码C={000，011,101,110}，求其陪集
第3章 线性分组码
定理1 假设C是GF(q) 上的一个[n, k]线性码，则 (1) 若a＋C是C的一个陪集，而且b∈a+C ，则b＋C＝ a＋C。 (2) V(n,q)中的任意的向量a都属于C的某个陪集。 (3) 每个陪集恰好包含qk个向量。 (4) C的任意两个陪集或者不相交或者相等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
环——定义了两种运算的集合
• 按第一种运算（不妨称为加法）构成交 换群 • 第二种运算（不妨称为乘法）满足以下 条件
– 封闭性 – 结合律 – 与加法间满足分配律
域——一种特殊的环
• 乘法有恒等元（称为1元），且除了加法 的恒等元（称为0元）以外有逆的环 • 除0元外，对乘法构成交换群 • 无限域和有限域
第三讲线Biblioteka 码与线性分组码 161电影网整理发布
编码与译码
• 对 二进制(n, k)码，信息数量（或合法码字数）为 2k，可用编码空间的点数为2n个。
• 任一种2k信息集合到二进制序列集合(2n)的映射都
是一种(n, k)码。因此总共可能的编码方案有 种。如，共有1029种(100,50)码。
2n k 2
• 译码运算量：如果直接用最大似然序列译码，对 一般性的编码而言，正比于n* 2k ，对(100,50)码， 则为1017。几乎是不可能译码的。
为什么要引入线性码
• 发现或构造好码是信道编码研究的主要问题 • 编码方案太多，以至全局搜索是不可能的
• 现实的做法是对编码方案加以一定的约束，在 一个子集中寻找局部最优 • 这种约束即要能包含尽可能好的码，又要便于 分析，便于译码
T rh1 hT hTk 0 2 n
h1 h2 H h n k
校验矩阵
对偶码
• 用校验矩阵H中行矢量张成的子空间是一 个(n ,n-k)线性分组码，它与码C互为对偶 码
自由距与校验矩阵
• 校验矩阵的秩为df -1 • 例：纠一个错的码设计
• 目前对线性系统的研究远比非线性系统充分
线性码的定义
• 码字集中的元之间的任意线性组合仍是 合法码字，即对线性组合运算封闭的码 字集，称为线性码 • 因此，为了构成线性空间，必须首先定 义运算
群——定义了一种运算的集合
• 群
– – – – 运算封闭 有恒等元 有逆元 满足结合律
• 交换群
– 满足交换律的群
我们能得到多大的自由距？
• 在大部分情况下，自由距是码设计的首选目标
– 它代表了渐近性能 – 大部分分组译码算法的译码能力也限于自由距
• 普洛特金限（Plotkin）,自由距小于平均距： d nqk-1(q-1)/(qk-1) 或 k/n1-2d/n • 汉明限，球包限：k/n1-H2(d/2n) • 沃尔沙莫夫-吉尔伯特（V-G）限，H阵的秩与 距离的关系：k/n1-H2(d/n) • 其中 H2(x) = -xlog2x – (1-x)log2(1-x)
c d c
0 i 1 i
k
i
• 将所有矢量写成行向量的形式：c0=d*G
d d1 d 2 d k
c1 c 2 G ck
生成矩阵
校验矩阵
• 若C是n维线性空间的一个k维子空间，则必存 在一个的n-k维子空间H，它与C互为零空间。 即CH，或CH=。 • 中任一矢量r是许用码字的充要条件是
• 可以覆盖整个码空间的以许用码字为中心半径 相等的球，其最小半径称为码的覆盖半径 t(C)，
– 显然球半径不大于覆盖半径 – 当相等时称为完备码，在k和d相不变的码中n最小 – 当给定编码参数n和k时，覆盖半径越小码距就可以 越大
线性码的矢量与矩阵表示
• (n,k)线性分组码是GF(q)上的n维线性空间中k个 线性无关的向量c1,c2,……,ck张成的 • 对码空间中任一个码字C0可表示为
最大的自由距存在区间
R=k/n
1 Plotkin Hamming V-G
0.25
0.5
d/2n
线性分组码译码的基本方法
• 码C作为一个子群，它的每一个陪集在码 C的正交空间H中的投影是一个点，而不 同的陪集投影不同。 • 每一个陪集有一个最小码重，作为陪集 首，代表最可能的错误图案。 • 这就引出了伴随式译码：s=rHT，将s与 最可能的e建一张表，即可通过查表法实 现译码。
– m的所有倍数 – 剩余类
H
线性空间、线性码与线性分组码
• 利用线性空间中的子空间作为许用码字的编码 称线性码 • 当线性空间为有限维空间时即为线性分组码 • GF(q)上的n维线性空间Vn中的一个k维子空间 Vn,k称为(n,k)线性分组码
线性分组码的特点
• 全零序列是许用码字 • 与任一码字的距离谱都相同
– 有理数、实数和复数都是无限域 – 信道编码中用到的是有限域，GF(q) – 两者在空间意义上有很强的可类比性
子群与陪集
• 就给定群G所定义的（加法）运算封闭的非空 子集H，称H为G的子群 • G中任一元g与H相加得到的子集称为H的陪集 • 举例
– 陪集不相交 – 陪集首 – 商集
H的陪集
• 整数群的子群
小结：引入线性码的好处
• 简化了分析：距离谱变成了重量谱 • 简化了译码：
– 随机分组码译码需要2k次长为n的距离计算 及比较 – 线性分组码译码需要n-k次长为n的矢量内积 和一张大小为2n-k宽度为n的表
• 说明约束起了作用，但还不够，需要进 一步引入其它约束
– – – – 自由距至少为3 校验矩阵的秩至少为2，即任两个列矢量不同 当冗余位数m固定时，最多的非零列矢量个数为2m -1 最高效率为(2m-1，2m-1-m，3)码，称为汉明码，是完 备码 – 汉明码的对偶码为2 (2m-1，m，2m-1)码，等价于m 序列，又称极长码，如果用BPSK，并看成2m进制调 制时，是一种自相关性最好的调制方式
• 只须考虑重量谱
– 自由距就是最小码重量
– 平均差错概率就是当发全零序列时的条件差 错概率：Pe=x1P(x1)P(e|x1)= P(e|全零)
码的球半径和覆盖半径
• 码空间中以许用码字为中心半径相等的互不相 交的球，其最大半径称为码的球半径 s(C)，
– 对自由距为d的码，球半径为s(C) = (d-1)/2