第三章线性分组码
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第3章线性分组码
8
第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
码的生成矩阵（ k 维线性子空间）
由于[n,k,d]线性分组码是一个k维线性空间。因此必 可找到k个线性无关的矢量，能张成该线性空间。设 C1 , C 2 , C k 是k个线性无关的矢量，则对任意 C ，可有：
C m1C1 m2 C 2 mk C k C1 C2 m1 , m2 , mk C k G称为该分组码的生成矩阵 mG
4
第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念
线性空间的性质
零元素是唯一的 负元素是唯一的， V 关于0元素有 0 0, k 0 0, ( 1) ,
- 唯一
k ( ) k k
如果
如果 k ＝0，那么k＝0或 ＝0.
9
第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
例：一个[7, 3 ]码，m2 m1 m0 → c6 c5 c4 c3 c2 c1 c0 ，如 果码字的生成规则为：
若用矩阵形式表示这些线性方程 组， 则：
C m2 m1
1 0 0 1 1 1 0 m0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1
0 ;（β 称为 的负元素）
3
第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念
数量乘法满足下列两条规则 : ⑤ 1 ⑥ k ( l ) ( kl ) 数量乘法与加法满足下列两条规则： ⑦ (k l ) k l ⑧ k ( ) k k
［ n –i, k -i］缩短码的纠错能力至少与原［n, k ］码 相同。 ［n –i, k -i］缩短码是［n , k ］码缩短i位得到的， 因而码率R 比原码要小， 但纠错能力不一定比原码 强。
线性分组码
系统码的校验矩阵和生成矩阵可以转换。
13
线性分组码的性质
线性分组码中任意两个码字的模2加仍为一个码字，这个性 质称为码的封闭性。 零矢量必须是任一线性分组码中的一个码字，称为零码字。 生成矩阵中各行都是一个码字，且生成矩阵的各行是线性 无关的（任意两行相加不为零）。任意码字C是生成矩阵中 各行的某一线性组合。 校验矩阵的各行应该是线性无关的，否则将得不到r个线性 无关的监督关系式，从而得不到r个独立的监督位。
23
汉明码
汉明码实际上是(2m-1, 2m-m-1)线性分组码，其校验行有m行，共有 n=2m-1列，任一列都不为零且两两互不相等，因此能纠正任何单 个错误。 汉明码的校验矩阵一般有两种构造方式： 一是校验矩阵的标准形式，即H=[PI] 式中P为m×(n-m)维矩阵，I为m×m维单位阵。按这种校验矩阵编 出的码是系统码。 二是校验矩阵的列是按二进制数的自然顺序从左到右排列的非零 列，例如，当n=7,k=4时，H中的第一列为[0 0 1]，第二列为[0 1 0]，…,第七列为[1 1 1]，按这种校验矩阵编出的码是非系统码。 发生单个错误时，伴随式是H中与错误位置对应的列，所以汉明码 伴随式二进制数的值就是错误位置的序号。
14
例题-由生成矩阵生成码字
由生成矩阵 所有码字为
m 000
1 0 0 1 1 1 0 G 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1
生成的（7，3）码的
C 0000000
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
在校验方程的矩阵形式中，令
1 1 则校验方程可以写成 H 1 0
HCT=0 或CHT=0
信息论基础线性分组码PPT
设码字x5 (x0 , x1, x2 , x3, x4 )， 可得 信息位 码字
00 00000 01 01101 10 10111 11 11010
x2
x3
x0 x0
x1
x4 x0 x1
20
线性分组码的基本概念
改写为
1 1
x0 x0
1 0
x1 x1
1 x2 0 0 x2 1
二战期间在路易斯维尔大学当教授，1945年参加曼哈顿计划， 负责编写电脑程式，计算物理学家所提供方程的解。该程式 是判断引爆核弹会否燃烧大气层，结果是不会，于是核弹便 开始试验。
1946至76年在贝尔实验室工作。他曾和约翰·怀尔德·杜奇、 克劳德·艾尔伍德·香农合作。1956年他参与了IBM 650的程 式语言发展工作。
码字无关！
记S= en·HT ，称之为接收序列rn的伴随式.
36
线性分组码的译码
（n，k）线性分组码的校验矩阵，用列向量
表出：
h1,1
h1,2
H
h2,1
h2,2
h1,n
h2,n
h1
h2
hn
hnk
,1
hnk ,2
hnk
,n
其中，hn-i为H矩阵的第i列.
37
线性分组码的译码
设en=(e1， e2，…，en)=(0，…，ei1，0，…，ei2，0，…， ei3，0，…，eit，0，…，0)
信息位 码字
00 00000
1(01) 1(10) 11
01 01101 10 10111
f (11) 11010
11 11010
1(01101) 1(10111) 11010
f (1(01) 1(10)) 1(01101) 1(10111)
线性分组码(免费)
线性分组码8.3.1 基本概念是一组固定长度的码组，可表示为（n, k），通常它用于前向纠错。
在分组码中，监督位被加到信息位之后，形成新的码。
在编码时，k个信息位被编为n位码组长度，而n-k个监督位的作用就是实现检错与纠错。
当分组码的信息码元与监督码元之间的关系为线性关系时，这种分组码就称为。
对于长度为n的二进制线性分组码，它有种可能的码组，从种码组中，可以选择M=个码组（k<n）组成一种码。
这样，一个k比特信息的线性分组码可以映射到一个长度为n码组上，该码组是从M=个码组构成的码集中选出来的，这样剩下的码组就可以对这个分组码进行检错或纠错。
线性分组码是建立在代数群论基础之上的，各许用码的集合构成了代数学中的群，它们的如下：（1）任意两许用码之和（对于二进制码这个和的含义是模二和）仍为一许用码，也就是说，线性分组码具有封闭性；（2）码组间的最小码距等于非零码的最小码重。
在8.2.1节中介绍的奇偶监督码，就是一种最简单的线性分组码，由于只有一位监督位通常可以表示为（n,n-1），式（8-5）表示采用偶校验时的监督关系。
在接收端解码时，实际上就是在计算：（8-6）其中，…表示接收到的信息位，表示接收到的监督位，若S＝0，就认为无错；若S＝1就认为有错。
式（8-6）被称为监督关系式，S是校正子。
由于校正子S的取值只有“0”和“1”两种状态，因此，它只能表示有错和无错这两种信息，而不能指出错码的位置。
设想如果监督位增加一位，即变成两位，则能增加一个类似于式（8-6）的监督关系式，计算出两个校正子和，而共有4种组合：00，01，10，11，可以表示4种不同的信息。
除了用00表示无错以外，其余3种状态就可用于指示3种不同的误码图样。
同理，由r个监督方程式计算得到的校正子有r位，可以用来指示-1种误码图样。
对于一位误码来说，就可以指示-1个误码位置。
对于码组长度为n、信息码元为k位、监督码元为r＝n - k位的分组码（常记作（n，k）码），如果希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示一位错码的n种可能，则要求：（8-7) 下面通过一个例子来说明的。
第3章 线性分组码
由上式经移项运算，解出监督位为
a2 a6 a5 a4 a1 a 6 a 5 a 3 a0 a6 a4 a3
已知信息位后，就可直接计算出监督位。由此得出16个许用码组 表4-5（7，4）汉明码的许用码组 信息码 a6a5a4a3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 监督码 a2a1a0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 信息码 a6a5a4a3 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 监督码 a2a1a0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
§3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
一、 码的校验矩阵与生成矩阵
– ［n ，k ，d］分组码的编码问题就是在n 维 线性空间Vn 中，如何找出满足一定要求的， 有2k 个矢量组成的k 维线性子空间Vn ，k 。 – 或者说， 在满足给定条件(码的最小距离d或 码率R)下， 如何从已知的k 个信息元求得r=n -k 个校验元。
• 二进制(5,3)码
– K位信息空间23
• • • • • • • • 000 001 010 011 100 101 110 111
n位编码空间25
00000 00100 01000 01100 10000 10100 11000 11100 00001 00101 01001 01101 10001 10101 11001 11101 00010 00110 01010 01110 10010 10110 11010 11110 00011 00111 01011 01111 10011 10111 11011 11111
a2 a6 a5 a4 a1 a 6 a 5 a 3 a0 a6 a4 a3
已知信息位后，就可直接计算出监督位。由此得出16个许用码组 表4-5（7，4）汉明码的许用码组 信息码 a6a5a4a3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 监督码 a2a1a0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 信息码 a6a5a4a3 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 监督码 a2a1a0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
§3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
一、 码的校验矩阵与生成矩阵
– ［n ，k ，d］分组码的编码问题就是在n 维 线性空间Vn 中，如何找出满足一定要求的， 有2k 个矢量组成的k 维线性子空间Vn ，k 。 – 或者说， 在满足给定条件(码的最小距离d或 码率R)下， 如何从已知的k 个信息元求得r=n -k 个校验元。
• 二进制(5,3)码
– K位信息空间23
• • • • • • • • 000 001 010 011 100 101 110 111
n位编码空间25
00000 00100 01000 01100 10000 10100 11000 11100 00001 00101 01001 01101 10001 10101 11001 11101 00010 00110 01010 01110 10010 10110 11010 11110 00011 00111 01011 01111 10011 10111 11011 11111
线性码和线性分组码
• G中任一元g与H相加得到旳子集称为H旳陪集
• 举例
– 陪集不相交
– 陪集首
H的陪集
– 商集
• 整数群旳子群
– m旳全部倍数
H
– 剩余类
线性空间、线性码与线性分组码
• 利用线性空间中旳子空间作为许用码字旳编码 称线性码
• 当线性空间为有限维空间时即为线性分组码 • GF(q)上旳n维线性空间Vn中旳一种k维子空间
• 中任一矢量r是许用码字旳充要条件是
r h1T
hT2
hT nk
0
h1
H
h2
hnk
校验矩阵
对偶码
• 用校验矩阵H中行矢量张成旳子空间是一 种(n ,n-k)线性分组码，它与码C互为对偶 码
自由距与校验矩阵
• 校验矩阵旳秩为df -1 • 例：纠一种错旳码设计
– 自由距至少为3 – 校验矩阵旳秩至少为2，即任两个列矢量不同 – 当冗余位数m固定时，最多旳非零列矢量个数为2m -1 – 最高效率为(2m-1，2m-1-m，3)码，称为汉明码，是完
线性分组码译码旳基本措施
• 码C作为一种子群，它旳每一种陪集在码 C旳正交空间H中旳投影是一种点，而不 同旳陪集投影不同。
• 每一种陪集有一种最小码重，作为陪集 首，代表最可能旳错误图案。
• 这就引出了伴随式译码：s=rHT，将s与 最可能旳e建一张表，即可经过查表法实 现译码。
小结：引入线性码旳好处
– 对自由距为d旳码，球半径为s(C) = (d-1)/2
• 能够覆盖整个码空间旳以许用码字为中心半径 相等旳球，其最小半径称为码旳覆盖半径 t(C)，
– 显然球半径不不小于覆盖半径 – 当相等时称为完备码，在k和d相不变旳码中n最小 – 当给定编码参数n和k时，覆盖半径越小码距就能够
线性分组码
x1 + x 2 + x 4 = 0 x1 + x 3 + x 5 = 0 x + x + x = 0 3 6 2
1 1 0 1 0 0 令 H= 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1
6
则 校 验 方 程 （2） 可 写 为
H (x ) 0 或 x H
码字
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x6
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
x1 x 2 x3 x4 x 5 x6
3
译码规则
给 定 信 道 X ， Q ( y x ), Y , 设 有 函 数 F : Y X ， 对 每 一 个 输 出 符 号 y Y都 有 唯 一 确 定 的 输 入 符 号 x X与 之 对 应 ， 则 称 这 样 的 函 数 为 译 码 规则，记为
F ( y ) x, y Y , x X 显然对于同一信道，译码规则不是唯一的。
u1 u2 u3 u1 u 2 u1 u 3 u2 u3
(1) 中 构 造 的 码 字 中 x1 x 2 x 3 称 为 信 息 元 ， x 4 x 5 x 6 称 为 校 验 元 。
15
校验元由方程组
x4 = x1 + x 2 x5 = x1 + x 3 x = x + x 2 3 6
k n
G F (2 ) G F ( 2 )
k
n
它 的 一 个 线 性 变 换 ， 可 用 G F(2) 上 的 k n阶 矩 阵 表 示
线性分组码
• 伴随式是校验矩阵列向量的线性表示。以 下列校验矩阵为例，考察不同错误模式下 的伴随式结构。
• 因此，列向量的线性无关性，与纠错能力 密切相关。：任意d-1个列向量线性无关。
1 0 1 1 0 0 0 H 1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
n-k+1，即d<=n-k+1。
伴随式的计算电路
• 根据校验矩阵H，得到校正子S各元素的数学 表达式，进而给出对应的电路。
• 软件实现方式， sT=HRT为算法。
1 0 1 1 0 0 0 H 1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
C3 =C6 C4 C2 =C6 C5 C4 C1=C6 C5 C0 =C5 C4
C6
1
1
1 0
0 1 1 1
1 1 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0
0
0 1
C5 CC43 C2 C1
• 汉明码定义：最小码距d=3的（n=2m-1，k=2m-m-1）线性 分组码的统称。
两种特殊的H矩阵
• 系统的H矩阵：将重量为1的n-k个列向量排 列成单位阵形式，其他列向量任意放置。 构成系统汉明码的H矩阵。
• 按列向量的二进制数从小到大排列，得到 特殊的非系统汉明码。当发生单个错误的 时候，伴随式的二进制数的大小，就是接 收码字发生错误的位置。因此，译码非常 简单。这种汉明码是最常用的。
• （n,k）的线性分组码，H矩阵列向量中没有0向量，且任 意两列互不相等，即可构成最小码距为3的分组码。H矩阵 为n-k行n列的矩阵，列向量一共有2n-k-1个，即n= 2n-k-1， 满足这种关系，最小码距为3的（n,k）线性分组码称为汉 明码。
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重码空间C。 由于上述映射是两个线性空间之间的线性交换，“线性分组码”由
此 得名。又因为这些矢量在加法运算下构成交换群，所以也称之为“群 码”。返回
4.2 生成矩阵和校验矩阵
在讨论生成矩阵之前，先看一个例题。
例4.1 （6，3）二进制分组码的输入信息组是m=( m2m1m0),码 组输出是c=( c5c4c3c2c1c0 )。已知输入、输出码元之间的关系式 是 c5 m2 , c4 m1, c2 m2 m1, c1 m2 m1 m0 , c0 m2 m0，求码集
g(k 1)0
M
g10 g00
L 其中 gi [gi(n1) L gi1gi0 ],i=k-1,
,0,是G中第i行的行矢量。
与任何一个（n,k）线性码的码空间C相对应，一定存在一个对偶空
间D。事实上，码空间基底数k只是n维n重空间的全部n个基底的一部
分，若能找出另外n-k个基底，也就找到了对偶空间D。既然用K个基底能
信息，长度为n的q元分组码码字可以映射成长度N=bn的二元分组码码
字。
纠错编码的任务是在n维n重矢量空间的 2n 种组合中选择个 2k 构成
一个子空间，或称许用码码集C，然后设法将k比特信息组一一对应的映
射到许用码码集C。不同的编码算法对应不同的码集C以及不同的映射
算法，把这样的码称为(n,k)线性分组码。不编码时，一个二进制码元可
c=[ cn1, L , c1, c0 ]=mG= mk1L m1m0 gk1L g1g0 T
式中，G称为该码的生成矩阵，是k行n列矩阵：
4.2 生成矩阵和校验矩阵
g(k 1)(n1) L
G [gk1L
g1g0 ]T
M
g1(n1) g0(n1)
L L
g(k 1)1 M g11 g01
C以及编码时的映射算法。 解：将关系式列成线性方程组，然后写成矩阵形式如下：
c5 m2
c4 cc32
m1 m0 m2 m1
c5c4c3c2c1c0 )
1
(m2
m1m0
)
0
0
0 1 0
0 0 1
1 1 0
1 1 1
1
0
c
mG
1
c1 m2 m1 m0 c0 m2 m0
4.2 生成矩阵和校验矩阵
是D的生成矩阵，又是C的校验矩阵。
4.2 生成矩阵和校验矩阵
由于C的基底和D的基底正交，空间C和空间D也正交，它们互为零空间。
因此，（n-k）线性码的任意码字c一定正交于其对偶码的任意一个码字，也必 定正交于校验矩阵H的任意一个行矢量，即
cHT 0
式中，0代表零阵，它是 1nn(n k) 1(n k) 全零矢量。 式 cHT 0 可以
立。此处，
GH T [Ik MP][PT MInk ]T [Ik P] [PInk ] [P] [P] 0
式中，两个相同的矩阵模2加后为全零矩阵。这就证明了H确实校验矩阵。
4.2 生成矩阵和校验矩阵
产生一个（n-k）线性码，那么也能用n-k个基底产生一个有 2nk 个码矢 的（n,n-k）线性码，称之为（n-k）线性码的对偶码。将D空间的n-k个
基底排列起来，可构成一个（n-k） n矩阵，称为码空间C的校验矩阵
H，它正是（n,n-k）对偶码的生成矩阵，它的每一行是对偶码的一个码
字。C和D的对偶是相互的，G和C的生成矩阵，又是D的校验矩阵；而H
码字
（ c5c4c3c2c1c0 )
000000 001011 010110 011101 100111 101100 110001 111010
4.2 生成矩阵和校验矩阵
在以上编码过程中，核心的因素是矩阵G，它决定了变换规则，也 决定了码集C。矩阵G可以看成是由3个行矢量组成的，所有码字是这3 个行矢量的进制有 26=64种组合，而3位的信息
组只有8种组合，一一对应到8个码字。可见，码集C包含64种组合中 的8种。分别令信息组 m2m1m0 为（000），（001），…，（111）， 带入上面的矩阵算式，不难算得各信息组对应的码字如下表所示：
信息组
( m2m1m0)
000 000 010 011 100 101 110 111
角度，每个码字可以看成是n维线性空间中的一个矢量，n个码元正是n
个矢量元素。码元取自字符集X={ x0, x1,L , xq1}, 当q=2时是二进制 码，q>2时是q进制（q元）码。多进制q一般取素数或素数的幂次，实
用中多见的是q=3或q=2b (b是正整数)。当q= 2b 时，每码元可携带b bit
用来检验一个n重矢量是否为码字：若等式成立（得零矢量），该n重必为码字， 否则必不是码字。
由于生成矩阵的每个行矢量都是一个码字，因此必有：
T
GH 0
这里，0代表一个尺寸为 [k n][n(n k)] k (n k)的零矩阵。
验证H的方法是看它的行矢量是否与G的行矢量正交，即式
T
GH
0是否成
第四章
4.1 线性分组码基本概念 4.2 生成矩阵和校验矩阵 4.3 伴随式与译码 4.4 码的纠、检错能力与MDC码 4.5 完备码与汉明码 4.6 扩展码、缩短码与删信码 4.7 分组码的性能限
4.1 线性分组码基本概念
（n,k）线性分组码是把信息流的每k个码元（symbol）分成一组，
通过线性变换，映射成由n个码元组成的码字（codeword）。从空间的
携带1b信息（传输率为1b/符号）；编码后，n个二进制码元携带kb信
息（传输率为（k/n）b/符号）。定义k/n= 者说是效率。
Rc为二元分组码的码率，或
4.1 线性分组码基本概念
综上所述，编码算法的核心问题是： ①寻找最佳的码空间，或者等效地说，寻找最佳的一组（k个）基 底，以张成一个码空间。
②k维k重信息组空间 2k的个矢量以何种算法一一对应的映射到k维n
c m2 (100111) m1(010110) m0(001011)
可以验证，这里的3个行矢量线性无关，可以作为基底张成一个三 维6重的码空间，该空间是六维6重空间的子空间。
从上例得到的启示是：码集其实是一个子空间，只要找到一组合 适的基底，它们的线性组合就能产生整个码集。
不失一般性，C也可以扩展为k维n重码空间,即：
此 得名。又因为这些矢量在加法运算下构成交换群，所以也称之为“群 码”。返回
4.2 生成矩阵和校验矩阵
在讨论生成矩阵之前，先看一个例题。
例4.1 （6，3）二进制分组码的输入信息组是m=( m2m1m0),码 组输出是c=( c5c4c3c2c1c0 )。已知输入、输出码元之间的关系式 是 c5 m2 , c4 m1, c2 m2 m1, c1 m2 m1 m0 , c0 m2 m0，求码集
g(k 1)0
M
g10 g00
L 其中 gi [gi(n1) L gi1gi0 ],i=k-1,
,0,是G中第i行的行矢量。
与任何一个（n,k）线性码的码空间C相对应，一定存在一个对偶空
间D。事实上，码空间基底数k只是n维n重空间的全部n个基底的一部
分，若能找出另外n-k个基底，也就找到了对偶空间D。既然用K个基底能
信息，长度为n的q元分组码码字可以映射成长度N=bn的二元分组码码
字。
纠错编码的任务是在n维n重矢量空间的 2n 种组合中选择个 2k 构成
一个子空间，或称许用码码集C，然后设法将k比特信息组一一对应的映
射到许用码码集C。不同的编码算法对应不同的码集C以及不同的映射
算法，把这样的码称为(n,k)线性分组码。不编码时，一个二进制码元可
c=[ cn1, L , c1, c0 ]=mG= mk1L m1m0 gk1L g1g0 T
式中，G称为该码的生成矩阵，是k行n列矩阵：
4.2 生成矩阵和校验矩阵
g(k 1)(n1) L
G [gk1L
g1g0 ]T
M
g1(n1) g0(n1)
L L
g(k 1)1 M g11 g01
C以及编码时的映射算法。 解：将关系式列成线性方程组，然后写成矩阵形式如下：
c5 m2
c4 cc32
m1 m0 m2 m1
c5c4c3c2c1c0 )
1
(m2
m1m0
)
0
0
0 1 0
0 0 1
1 1 0
1 1 1
1
0
c
mG
1
c1 m2 m1 m0 c0 m2 m0
4.2 生成矩阵和校验矩阵
是D的生成矩阵，又是C的校验矩阵。
4.2 生成矩阵和校验矩阵
由于C的基底和D的基底正交，空间C和空间D也正交，它们互为零空间。
因此，（n-k）线性码的任意码字c一定正交于其对偶码的任意一个码字，也必 定正交于校验矩阵H的任意一个行矢量，即
cHT 0
式中，0代表零阵，它是 1nn(n k) 1(n k) 全零矢量。 式 cHT 0 可以
立。此处，
GH T [Ik MP][PT MInk ]T [Ik P] [PInk ] [P] [P] 0
式中，两个相同的矩阵模2加后为全零矩阵。这就证明了H确实校验矩阵。
4.2 生成矩阵和校验矩阵
产生一个（n-k）线性码，那么也能用n-k个基底产生一个有 2nk 个码矢 的（n,n-k）线性码，称之为（n-k）线性码的对偶码。将D空间的n-k个
基底排列起来，可构成一个（n-k） n矩阵，称为码空间C的校验矩阵
H，它正是（n,n-k）对偶码的生成矩阵，它的每一行是对偶码的一个码
字。C和D的对偶是相互的，G和C的生成矩阵，又是D的校验矩阵；而H
码字
（ c5c4c3c2c1c0 )
000000 001011 010110 011101 100111 101100 110001 111010
4.2 生成矩阵和校验矩阵
在以上编码过程中，核心的因素是矩阵G，它决定了变换规则，也 决定了码集C。矩阵G可以看成是由3个行矢量组成的，所有码字是这3 个行矢量的进制有 26=64种组合，而3位的信息
组只有8种组合，一一对应到8个码字。可见，码集C包含64种组合中 的8种。分别令信息组 m2m1m0 为（000），（001），…，（111）， 带入上面的矩阵算式，不难算得各信息组对应的码字如下表所示：
信息组
( m2m1m0)
000 000 010 011 100 101 110 111
角度，每个码字可以看成是n维线性空间中的一个矢量，n个码元正是n
个矢量元素。码元取自字符集X={ x0, x1,L , xq1}, 当q=2时是二进制 码，q>2时是q进制（q元）码。多进制q一般取素数或素数的幂次，实
用中多见的是q=3或q=2b (b是正整数)。当q= 2b 时，每码元可携带b bit
用来检验一个n重矢量是否为码字：若等式成立（得零矢量），该n重必为码字， 否则必不是码字。
由于生成矩阵的每个行矢量都是一个码字，因此必有：
T
GH 0
这里，0代表一个尺寸为 [k n][n(n k)] k (n k)的零矩阵。
验证H的方法是看它的行矢量是否与G的行矢量正交，即式
T
GH
0是否成
第四章
4.1 线性分组码基本概念 4.2 生成矩阵和校验矩阵 4.3 伴随式与译码 4.4 码的纠、检错能力与MDC码 4.5 完备码与汉明码 4.6 扩展码、缩短码与删信码 4.7 分组码的性能限
4.1 线性分组码基本概念
（n,k）线性分组码是把信息流的每k个码元（symbol）分成一组，
通过线性变换，映射成由n个码元组成的码字（codeword）。从空间的
携带1b信息（传输率为1b/符号）；编码后，n个二进制码元携带kb信
息（传输率为（k/n）b/符号）。定义k/n= 者说是效率。
Rc为二元分组码的码率，或
4.1 线性分组码基本概念
综上所述，编码算法的核心问题是： ①寻找最佳的码空间，或者等效地说，寻找最佳的一组（k个）基 底，以张成一个码空间。
②k维k重信息组空间 2k的个矢量以何种算法一一对应的映射到k维n
c m2 (100111) m1(010110) m0(001011)
可以验证，这里的3个行矢量线性无关，可以作为基底张成一个三 维6重的码空间，该空间是六维6重空间的子空间。
从上例得到的启示是：码集其实是一个子空间，只要找到一组合 适的基底，它们的线性组合就能产生整个码集。
不失一般性，C也可以扩展为k维n重码空间,即：