2016中考类比探究
【中考数学】答题技巧与模板构建：专题13几何类比探究题型(原卷版)
专题13 几何类比探究题型题型解读｜模型构建｜通关试练几何的类比探究题型是近年中招解答题的必考题型，该题型往往以压轴题的形式出现，有一定的难度。
探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类。
由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．模型01 图形旋转模型模型一、A 字形（手拉手）及其旋转模型二、K 字型及其旋转手拉手模型是有两个等腰的三角形或者两个等边的三角形，他们有一个共同的顶点，且两个等腰三角形的顶角是相等的，那么就可以用角的和差求得共顶点的另外两个角相等等，然后利用等腰的边D对应相等，可证明两个三角形全等（边角边）组成这样的图形模样的我们就说他是手拉手模型。
在类比探究题型中，往往会对等腰三角形或者等边三角形进行演变，变成一般三角形进行旋转，通常全等三角形变为相似三角形。
模型特征：双等腰；共顶点；顶点相等；绕着顶点作旋转解题依据：等腰共顶手拉手，旋转全等马上有；左手拉左手，右手拉右手，两根拉线抖一抖，它们相等不用愁；拉线夹角与顶角，相等互补答案有。
模型02 图形平移模型探究1.四边形平移变换四边形的平移变换题型中主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等或相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．2.三角形平移变换三角形平移变换主要利用三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平移性质、平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.3.其它图形平移类比探究问题综合考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.模型03 动点引起的题型探究动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目。
三角形与四边形类比探究题(中考收集)
类比探究解决类比探究问题的一般方法：1、根据题设条件，结合各问条件，先解决第一问；2、用解决第一问的方法类比解决下一问，如果不能，两问综合进行分析，找出不能类比的原因和不变特征，依据不变的特征，探索新的方法。
类比探究：图形结构类似、问题类似、常含探究、类比等关键词。
类比探究解题方法和思路1、找特征（中点、特殊角、折叠等），找模型：相似（母子型、A型、非A型、X型、非X型）三线合一、面积、全等三角形等；2、借助几问之间的联系，寻找条件和思路。
3、照搬上一问的方法思路，解决问题，照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等。
4、找结构：寻找不变的结构，利用不变结构的特征解决问题。
常见不变结构及方法：①直角：作横平竖直的线，找全等或相似；②中点：作倍长、通过全等转移边和角；③平行：找相似、转比例。
5、哪些是不变的，哪些是变化的。
哪些条件没有用，如何进行转化，寻找能够类比的方法和思路。
1．如图所示，在正方形上连接等腰直角三角形和正方形，无限重复同一过程，第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2，…，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为S n．（1）计算S1、S2、S3、S4．（2）总结出S n与S n﹣1的关系，并猜想出S1+S2+S3+S4+…+S n与n的关系．2．（淄博）分别以▱ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF 与EF的关系（只写结论，不需证明）；（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．3．将两个用钢丝设计成的能够完全重合的直角三角形模型ABC和直角三角形DEF按如图所示的位置摆放，使点B、F、C、D在同一条直线上，且AB和DE、EF分别相交于点P、M，AC和DE相交于点N．（1）试判断线段AB和DE的位置关系，并说明理由；（2）若PD=AC，线段PE和BF有什么数量关系，请说明你的理由．4．如图，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=90°，点B、E、F按逆时针排列），点P为DE的中点，连PC，PF（1）如图①，点E在BC上，则线段PC、PF的数量关系为________，位置关系为_________（不证明）．（2）如图②，将△BEF绕点B顺时针旋转a（O＜a＜45°），则线段PC，PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明．（3）如图③，△AEF为等腰直角三角形，且∠AEF=90°，△AEF绕点A逆时针旋转过程中，能使点F落在BC上，且AB平分EF，直接写出AE的值是_________ ．5．如图，在△ABC中，AB=AC，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点E作射线EF交AC于点F，使∠AEF=∠B．（1）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；（2）请你探索：当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．6．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE 为斜边作等腰直角△CDE，连接AD，（1）当点E运动过程中∠BCE与∠ACD的关系是________．（2）AD与BC有什么位置关系？说明理由．（3）四边形ABCD的面积是否有最大值？如果有，最大值是多少？如果没有，说明理由．7．直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，点P是三角形ABC内一点，且满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，（1）判断PC与PB的位置关系，并对你的判断加以说明．（2）△ABP与△APC的面积比．8．（内江）如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B 作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）证明：△BDF是等腰直角三角形．（2）猜想线段AD与CF之间的关系并证明．10．如图，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，将△ABC绕斜边AB的中点O旋转至△DEF 的位置，DF交AB于点P，DE交BC于点Q．请猜想OQ与OP有怎样的数量关系？并证明你的结论．11．（1）如图甲，直角三角形ABC中，∠C=90°，分别以AB，AC，BC为边作正方形ABEF，ACMN，BCGH，面积分别设为S，P，Q，则S，P，Q满足怎样的等量关系？（直接写出结果，不需证明）（2）如图乙，直角三角形ABC中，∠C=90°，分别以AB，AC，BC为边作等边三角形ABE，ACM，BCH，面积分别设为S，P，Q，则S，P，Q满足怎样的等量关系？并证明；（3）如图丙，锐角三角形ABC中，分别以AC，BC为边作任意平行四边形ACMN，BCGH，面积分别设为P，Q，NM和HG的延长线相交于点D，连接CD，在AB外侧作平行四边形ABEF，使得BE，AF平行且等于CD，面积设为S，则S，P，Q满足怎样的等量关系？并证明．12．如图所示，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=90°，点B、E、F按逆时针顺序），P为DE的中点，连接PC、PF．（1）如图（1），E点在边BC上，则线段PC、PF的数量关系为________，位置关系为_________（不需要证明）．（2）如图（2），将△BEF绕B点顺时针旋转α°（0＜α＜45），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论并证明．（3）如图（3），E点旋转到图中的位置，其它条件不变，完成图（3），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？直接写出你的结论，不需要证明．13．（富宁县）将两个全等的直角三角形ABC和DBE如图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图①中的直角三角形ABC绕点B顺时针方向旋转，且∠ABD=30°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的直角三角形DBE绕点B顺时针方向旋转，且∠ABD=65°，其它条件不变，如图③，你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．14．（营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF 改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．15．（石家庄）在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为_________ ；（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为_________ ；位置关系为_________ ．16．己知：正方形ABCD．（1）如图①，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．（2）如图②，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图③，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB，得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．17．（葫芦岛）已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM．（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM 的数量关系为_________ ；（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．18．（南通）如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1（如图2）．（1）探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；（2）当α=30°时，求证：△AOE1为直角三角形．19．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为多少？20．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△EGM为等腰三角形；（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．21．（辽阳）已知直角梯形ABCD，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC=CD，E为CD的中点．（1）如图（1）当点M在线段DE上时，以AM为腰作等腰直角三角形AMN，判断NE 与MB的位置关系和数量关系，请直接写出你的结论；（2）如图（2）当点M在线段EC上时，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？请说明理由．22．如图，△ABC与△DEC是两个全等的直角三角形，∠ACB=∠CDE=90°，∠CAB=∠DCE，AB=4，BC=2，△DEC绕点C旋转，CD、CE分别与AB相交于点F、G（都不与A、B点重合），设BG=x．回答下列问题：（1）设CG=y1，请探究y1与x的函数关系，并直接写出y1的最小值；（2）设AF=y2，请探究y2与x的函数关系．23．（丰台区）已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是_________ ；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．24．若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等，则称此三角形为“完美直角三角形”，求“完美直角三角形”的三边长．25．以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当△ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是_________ ，线段AM 与DE的数量关系是_________ ；（2）将图①中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°（0＜θ＜90）后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．26．（邯郸）（1）如图1，四边形ACDG与四边形ECBH都是正方形，且B，C，D在一条直线上，连接DE并延长交线段AB于点F．求证：AB=DE，AB⊥DE；（2）如果将（1）中的两个正方形换成两个矩形，如图2，且==，则AB与DE 的数量关系与位置关系会发生什么变化？请说明你的看法和理由．（3）如果将（1）中的两个正方形换成两个直角三角形，如图3，∠BCE=∠ACD=90°，且=k，且请直接写出AB与DE的数量关系与位置关系．27．锐角为45°的直角三角形的两直角边长也相等，这样的三角形称为等腰直角三角形．我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形，也可称它为等腰直角三角板．把两块全等的等腰直角三角板按如图1放置，其中边BC、FP均在直线l上，边EF与边AC重合．（1）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（1）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．28．如图1，E是等腰Rt△ABC边AC上的一个动点（点E与A、C不重合），以CE为一边在Rt△ABC作等腰Rt△CDE，连接AD，BE．我们探究下列图中线段AD、线段BE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段AD、线段BE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的等腰Rt△CDE绕着点C按顺时针方向旋转任意角度a，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中等腰直角三角形改为直角三角形（如图6），且AC=a，BC=b，CD=ka，CE=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第（2）题图5中，连接BD、AE，且a=4，b=3，k=，求BD2+AE2的值．29．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．（1）若AB=AC，∠BAC=90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应图形并说明理由；（2）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°点D在线段BC上运动，试探究CF与BC位置关系．30．已知△ABC和△ADE分别是以AB．AE为底的等腰直角三角形，以CE，CB为边作平行四边形CEHB，连DC，CH．（1）如图1，当D点在AB上时，则∠DEH的度数为_________ ；CH与CD的数量关系是_________ ，并说明理由；（2）将图1中的△ADE绕A点逆时针旋转45°得图2：则∠DEH的度数为_________ ，CH与CD之间的数量关系为_________ ；（3）将图1中的△ADE绕A点顺时针旋转α（O°＜α＜45°）得图3，请探究CH与CD之间的数量关系，并给予证明．类比找规律专题训练题1、如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去；（1）填表：剪的次数 1 2 3 4 5正方形个数（2）如果剪n次，共剪出多少个小正方形？（3）如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？（4）观察图形，你还能得出什么规律？2、现有黑色三角形“▲”和“△”共200个，按照一定规律排列如下：▲▲△△▲△▲▲△△▲△▲▲……则黑色三角形有个，白色三角形有个。
中考几何中的类比探究解题方法分析
（2）作 EH⊥CD，EQ⊥AB，先证△EFQ∽△EGH，易得 EF EQ ， EG EH
再证△AQE∽△EHC，那么 EA EQ 2 ， EC EH 1
CD m
∴=
CG 2
（3）拓展迁移
第 2页，共 7页
如图 3，梯形 ABCD 中，DC//AB，点 E 是 BC 的延长线上一点，AE 和 BD 相交于点 F。
若
AB
a
BC
，
b(a
0,b 0) ，则
AF
的值是
AF
ab（用含 a，b
的代数式表示）。
CD
BE
EF
EF
E
【解析】过 E 作 EH∥AB，交 BD 延长线于点 H
∴ EA EQ 2 EG EH 1
∴ EF 2 EG
∴EF=2EG；
（3）EF=kEG．
第 6页，共 7页
【上题基本思路：过直角顶点，作横平竖直的线，找全等或相似。】
中考数学类比探题思维误区： 第一问通常是特殊的图形，题中的条件比较充分，而且一般有提示，所以学生做的时，
基本上能得心应手，但做第二、三问时，往往有部分学生，没有按照第一问的思路去思考， 而且是对着题干思考第二、三问，这样就陷入了“自己布置的陷阱”结果做不出来，把一 道题当成三道题来做了。
H
由题意可知:EH∥DC∥AB
∴ BC CD BE EH
∴CD = b EH
D
C
F
又∵ AB a CD
∴AB=a CD
类比探究之类比探索(一)(含答案)
类比探究之类比探索（一）一、单选题(共6道，每道16分)1.问题情境：在特殊四边形的复习课上，老师出了这样一道题：如图2，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的动点，连接EG，FH相交于点O，若∠HOE=∠D，试探究：EG与FH的数量关系．经过小组讨论后，小聪建议分以下两步进行：（1）特殊情况，探索结论当菱形ABCD是正方形时，如图1，EG与FH有怎样的数量关系呢？小聪想：要求EG与FH的数量关系，就要构造全等三角形或相似三角形，于是，分别过点G，H作GM⊥AB于点M，HN⊥BC于点N，证明△GME≌△HNF，从而得到EG=FH．则判定△GME≌△HNF使用的条件可能是( )A.HLB.ASA或AASC.SASD.AAA答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学中的类比探究2.（上接第1题）（2）特例启发，解答题目由此猜想：原题中EG与FH的数量关系是EG=FH，经过思考小聪给出了两种方案：方案一：分别过点G，H作GM⊥AB于点M，HN⊥BC于点N，即可证明结论；方案二：过点G作GM∥AD，交AB于点M，过点H作HN∥AB，交BC于点N，即可证明结论．下列说法正确的是( )A.方案一正确，方案二错误B.方案一错误，方案二正确C.两种方案都正确D.两种方案都错误答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质3.（上接第1，2题）（3）反思提升，拓展延伸课后小聪对本题进行了反思，提出如下猜想：将题目中的菱形ABCD改为平行四边形ABCD，如图3，若AB=a，AD=b，其他条件不变，则EG与FH的数量关系为( )A.EG=FHB.C. D.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究4.如图1，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B，C重合），连接AD．问题引入：（1）当D是BC边的中点时，；当D是BC边上任意一点时，．（用图中已有线段表示）A.1:1，BD:CDB.1:2，BD:BCC.2:1，BC:BDD.1:2，CD:BC答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究5.（上接第4题）探索研究：（2）如图2，在△ABC中，O是线段AD上一点（不与点A，D重合），连接OB，OC，则．（用图中已有线段表示）A.OA:CDB.OA:ODC.OD:ADD.OA:AD答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究6.（上接第4，5题）拓展应用（3）如图3，O是线段AD上一点（不与点A，D重合），连接BO并延长，交AC于点F，连接CO并延长，交AB于点E，则的值为( )A.1B.2C.3D.无法确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究。
中考数学类比研究(二)(讲义及答案)
A D
D
A
A
P
P
E
E
B
CB 图1
图2
CB
C 备用图
2. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 AB 边的中点，以 AE 为边作正方形 AEFG，连接 DE，BG． （1）发现 ①线段 DE，BG 之间的数量关系是__________； ②直线 DE，BG 之间的位置关系是__________． （2）探究 如图 2，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成 立，请说明理由． （3）应用 如图 3，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转一周，记直线 DE 与 BG 的交点为 P，若 AB=4，请直接写出点 P 到 CD 所在直线距离的最大值和最小值．
2. 作图 作图既是理解题意的体现，也是辅助思考，分析问题的一种手段． ①往往需要先画草图理解题意，然后根据分析题目得到的特征不断精准作图． ②精准作图，往往需要先辨识特征，然后依据不变特征分析运动轨迹，设计作图方案． 常见作图特征 （1）与作圆相关 ①一定点一动点，两点间距离确定，则动点在圆上； ②两定点一动点，满足以动点为顶点的角为 90°，则动点在圆上； ③直角三角形中，直角顶点固定，斜边运动但长度不变，则斜边中点在圆上． （2）与折叠相关 ①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上； ②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线． （3）与旋转相关 ①注意旋转中心、旋转方向、旋转角度； ②旋转作图时往往只需保留研究目标即可． （4）与平移相关 根据平移方向和平移距离画出点的运动路径（平移通道）．
把△DEA 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AC= 10 ，AD=2，请直接写出当点 B，D，E 在一条直线上时 CE 的长．
中考数学类比探究专项练习(二)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：想一想类比探究问题常见的不变结构有哪些，处理方式是什么？问题2：类比探究问题在处理时若常见的结构不能解决问题，需要分析不变特征，如何分析不变特征？中考数学类比探究专项练习（二）一、单选题(共4道，每道7分)1.已知四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，DE与CF相交于点G．（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，成立？并证明你的结论；（3）如图3，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．（2）中∠B与∠EGC应满足的关系是( )A.∠B=∠EGCB.∠B+∠EGC=90°C.∠B+∠EGC=120°D.∠B+∠EGC=180°答案：D解题思路：见第2题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究2.（上接第1题）（3）中的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究3.问题情境：张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，P为BC 边上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP的面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．（1）变式探究：如图3，当点P在BC的延长线上时，其他条件不变，求证：PD-PE=CF；（2）结论运用：如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为G，H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；（3）迁移拓展：图5是一个航模的截面示意图，已知在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D，C，且，．M，N分别为AE，BE的中点，连接DM，CN，求△DEM与△CEN的周长之和．（2）中PG+PH的值为( )A.3B.4C.5D.答案：B解题思路：见第4题中解析试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题）4.（上接第3题）（3）中△DEM与△CEN的周长之和为( )A.6B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
中招考试几何类比探究题集锦一参考答案
中招考试几何类比探究题集锦（附参考答案）参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ABD≌△ACF；（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2；（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，请直接写出DE2，BD2，CE2三者之间的等量关系．【解答】解：（1）∵点D关于直线AE的对称点为F，∴EF=DE，AF=AD，∠DAE=∠EAF=α∴∠CAE+∠CAF=α∵∠BAC=2∠DAE=2α．∴∠BAD+∠CAE=∠BAC﹣∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，第1页（共33页）第2页（共33页）∴△ABD ≌△ACF （SAS ），（2）由（1）知，△ABD ≌△ACF （SAS ），∴CF=BD ，∠ACF=∠B ，∵AB=AC ，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB +∠ACF=45°+45°=90°，在Rt △CEF 中，由勾股定理得，EF 2=CF 2+CE 2，∴DE 2=BD 2+CE 2，（3）DE 2=BD 2+CE 2；理由：如图，∵∠BAC=2∠DAE=2α．∴∠DAE=α，∵点D 关于直线AE 的对称点为F ，∴EF=DE ，AF=AD ，∠DAE=∠EAF=α∴∠CAF=∠EAF +∠CAE=α+∠CAE∴∠BAD=∠BAC ﹣∠DAC=2α﹣∠DAC=2α﹣（∠DAE ﹣∠CAE ）=2α﹣（α﹣∠CAE）=α+∠CAE∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，∴DE2=BD2+CE2，2．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．猜测DE、BD、CE三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问第（1）题中DE、BD、CE之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF 均为等第3页（共33页）边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断线段DF、EF的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）DE=BD+CE．理由如下：如图1，∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）如图2，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，第4页（共33页）∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；（3）DF=EF．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CAE，BD=EA，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵BF=AF在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，第5页（共33页）∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．∴DF=EF．3．（1）问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：①∠ACE的度数为60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为AC=CD+CE．（2）拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在边BC 上，连接CE．请判断∠ACE的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．第6页（共33页）【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B=60°，故答案为：60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为：AC=CD+CE；理由是：由①得：△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∵AC=BC=BD+CD，∴AC=CD+CE；故答案为：AC=CD+CE；（2）∠ACE=45°，AC=CD+CE，理由是：如图2，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，第7页（共33页）∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，∵BC=CD+BD，∴BC=CD+CE，∵在等腰直角三角形ABC中，BC=AC，∴AC=CD+CE；（3）如图3，过A作AC的垂线，交CB的延长线于点F，∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，∴BD=2，BC=，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ADB=∠ACB=45°，∴△ACF是等腰直角三角形，由（2）得：AC=BC+CD，∴AC===．第8页（共33页）4．【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并证明AE=EF．【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC ：S△AEF的值．【解答】证明：第一种情况：点E是线段BC上的任意一点，可作三种辅助线：方法一：如图1，在AB上截取AG，使AG=EC，连接EG，第9页（共33页）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．∵AG=EC，∴BG=BE，∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°，∴∠AGE=120°．∵FC是外角的平分线，∠ECF=120°=∠AGE．∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，∴∠GAE=∠FEC．在△AGE和△ECF中，∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；方法二：在CA上截取CG=CE，连结GE，证明类似方法一；方法三：延长FC到G，使CG=CE，连结EG，易证△CEG是等边三角形，第10页（共33页）∴CE=EG，∠G=∠ACB=60°，∠CEG=∠AEF=60°，∴∠CEG+∠CEF=∠AEF+∠CEF，即∠GEF=∠AEC，∴△GEF≌△CEA，∴AE=EF．第二种情况：点E是线段BC延长线上的任意一点如图2，可作三种辅助线：①在CF上截取CG=CE，连接GE②延长AC到G，使CG=CE，连结EG；③或延长BA到G，使BG=BE，连结EG．第②种添加辅助线的方法证明如下：证明：延长AC到G，使CG=CE，连结EG，易证△CEG为等边三角形，∴∠G=∠ECF=60°，EG=CE，又∠AEG=∠CEG+∠AEC=60°+∠AEC，∠CEF=∠AEF+∠AEC=60°+∠AEC，第11页（共33页）∴∠AEG=∠CEF，∴△AEG≌△FEC，∴AE=EF．第三种情况：点E是线段BC反向延长线上的任意一点如图3，可作三种辅助线：①延长AB到G，使BG=BE，连结EG；②延长CF到G，使CG=CE，连结EG；③在CE上截取CG=CF，连结GF现就第①种添加辅助线的方法证明如下：证明：延长AB到G，使BG=BE，连结EG，易证△BEG为等边三角形，∴∠G=∠ECF=60°，第12页（共33页）∵∠AEB+∠BAE=∠ABC=60°，∠AEB+∠CEF=∠AEF=60°，∴∠BAE=∠CEF，∵AB=BC，BG=BE，∴AB+BG=BC+BE，即AG=CE，∴△AEG≌△EFC，∴AE=EF．拓展应用：如图4：作CH⊥AE于H点，∴∠AHC=90°．由数学思考得AE=EF，又∵∠AEF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴△ABC∽△AEF．第13页（共33页）∵CE=BC=AC，△ABC是等边三角形，∴∠CAH=30°，AH=EH．∴CH=AC，AH=AC，AE=AC，∴．∴==．5．问题情境：在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．（1）操作发现：当点O为AC中点时：①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系：AE2+CF2=EF2（无需证明）；②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的结论是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；第14页（共33页）（2）类比延伸：当点O不是AC中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若=，请直接写出=．【解答】解：（1）①猜想：AE2+CF2=EF2，连接OB，如图1，∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，∴OB=AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．∵∠EOF=90°，∴∠EOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF．∴∠EOB=∠FOC，在△OEB和△OFC中，，∴△OEB≌△OFC（ASA）．∴BE=CF，又∵BA=BC，∴AE=BF．在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，∴BF2+BE2=EF2，∴AE2+CF2=EF2；故答案为：AE2+CF2=EF2；第15页（共33页）②成立．证明：连结OB．如图2，∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，∴OB=AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．∵∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC．在△OEB和△OFC中，，∴△OEB≌△OFC（ASA）．∴BE=CF，又∵BA=BC，∴AE=BF．在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，∴BF2+BE2=EF2，∴AE2+CF2=EF2；（2）=，如图3，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N．∵∠B=90°，第16页（共33页）∴∠MON=90°，∵∠EOF=90°，∴∠EOM=∠FON．∵∠EMO=∠FNO=90°，∴△OME∽△ONF，∴=，∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形，∴△AOM∽△OCN，∴=，∵=，∴=，故答案为．第17页（共33页）第18页（共33页）6．阅读发现：（1）如图①，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC=3，BD=BE=1，连结CD ，AE ．易证：△BCD ≌△BAE ．（不需要证明） 提出问题：（2）在（1）的条件下，当BD ∥AE 时，延长CD 交AE 于点F ，如图②，求AF 的长．解决问题：（3）如图③，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，连结CD ，AE ．当∠BAE=45°时，点E 到AB 的距离EF 的长为2，求线段CD的长为 ．【解答】（2）解：如图②中，AB与CF交于点O．由（1）可知：△BCD≌△BAE，∴∠OAF=∠OCB，CD=AE，∵∠AOF=∠COB，∴∠AFO=∠CBO=90°，∴CF⊥AE，∵BD∥AE，∴BD⊥CF，在RT△CDB中，∵∠CDB=90°，BC=3，BD=1，∴CD=AE==2，∵∠BDF=∠DFE=∠DBE=90°，∴四边形EFDB是矩形，∴EF=BD=1，∴AF=AE﹣EF=2﹣1．（3）解：在RT△ABC，RT△EBD中，∵∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，∴AB=BC，BE=BD，∴==，∵∠ABC=∠EBD=90°，∴∠ABE=∠DBC，∴△ABE∽△CBD，∴==，第19页（共33页）第20页（共33页）在RT △AEF 中，∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，EF=2，∴AF=EF=2，AE=2，∴=，∴CD=．故答案为．7．如图1，两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，请猜想（1）中S1与S2的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，BD平分∠ABC，BD=CD，BC=9，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请求相应的BF的长．【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，第21页（共33页）∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；故答案为：DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2=×2×2=2；故答案为：S1=S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，第22页（共33页）∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，第23页（共33页）∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×6÷cos30°=3÷=2，∴BF1=2，BF2=BF1+F1F2=2+2=4，故BF的长为2或4．8．问题解决：如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D 重合），压平后得到折痕MN．当时，求的值．类比归纳：第24页（共33页）在图（1）中，若，则的值等于；若，则的值等于；若（n 为整数），则的值等于．（用含n的式子表示）联系拓广：如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D 重合），压平后得到折痕MN，设，则的值等于．（用含m，n的式子表示）【解答】解：（1）方法一：如图（1﹣1），连接BM，EM，BE．由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．∴MN垂直平分BE，∴BM=EM，BN=EN．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2．∵，∴CE=DE=1．第25页（共33页）设BN=x，则NE=x，NC=2﹣x．在Rt△CNE中，NE2=CN2+CE2．∴x2=（2﹣x）2+12，解得x=，即BN=．在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2，∴AM2+AB2=DM2+DE2．设AM=y，则DM=2﹣y，∴y2+22=（2﹣y）2+12，解得y=，即AM=（6分）∴．方法二：同方法一，BN=．如图（1﹣2），过点N做NG∥CD，交AD于点G，连接BE．∵AD∥BC，∴四边形GDCN是平行四边形．∴NG=CD=BC．同理，四边形ABNG也是平行四边形．∴AG=BN=∵MN⊥BE，∴∠EBC+∠BNM=90度．∵NG⊥BC，∴∠MNG+∠BNM=90°，第26页（共33页）∴∠EBC=∠MNG．在△BCE与△NGM中，∴△BCE≌△NGM，EC=MG．∵AM=AG﹣MG，AM=﹣1=．∴．（2）如图1，当四边形ABCD为正方形时，连接BE，=，不妨令CD=CB=n，则CE=1，设BN=x，则EN=x，EN2=NC2+CE2，x2=（n﹣x）2+12，x=；作MH⊥BC于H，则MH=BC，又点B，E关于MN对称，则MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，则△EBC≌△NMH，∴NH=EC=1，AM=BH=BN﹣NH=﹣1=则：==．故当=，则的值等于；若=，则的值等于；第27页（共33页）（3）若四边形ABCD为矩形，连接BE，=，不妨令CD=n，则CE=1；又==，则BC=mn，同样的方法可求得：BN=，BE⊥MN，易证得：△MHN∽△BCE．故=，=，HN=，故AM=BH=BN﹣HN=，故==．故答案为：；；；．第28页（共33页）第29页（共33页）9．阅读理解：如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，点P 在BC 边上，当∠APD=90°时，易证△ABP ∽△PCD ，从而得到BP•PC=AB•CD ，解答下列问题．（1）模型探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 在BC 边上，当∠B=∠C=∠APD 时，结论BP•PC=AB•CD 仍成立吗？试说明理由；（2）拓展应用：如图3，M 为AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME=∠A=∠B=45°且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．AB=，AF=3，求FG 的长．【解答】解：（1）∵∠APC=∠APD +∠CPD ，∠APC=∠BAP +∠B （三角形外角定理），∠B=∠APD （已知），∴∠BAP=∠CPD，又∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD∴=，∴BP•PC=AB•CD；（2）∵∠AFM=∠DME+∠E（三角形外角定理），∠DME=∠A（已知），∴∠AFM=∠A+∠E（等量代换），又∠BMG=∠A+∠E（三角形外角定理），∴∠AFM=∠BMG．∵∠A=∠B，∴△AMF∽△BGM．当∠A=∠B=45°时，∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=90°，即AC⊥BC且AC=BC．∵M为AB的中点，∴AM=BM=，AC=BC=4．又∵△AMF∽△BGM，∴，∴BG===，又∵，CF=4﹣3=1，∴．第30页（共33页）10．基本模型如下图，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C=90°，则△ABP∽△PCD成立，（1）模型拓展如图1，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C，则△ABP∽△PCD成立吗？为什么？（2）模型应用①如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=2，BC=4，在BC上截取BP=AD，作∠APQ=∠B，PQ交CD于点Q，求CQ的长；②如图3，正方形ABCD的边长为1，点P是线段BC上的动点，作∠APQ=90°，PQ交CD于Q，当P在何处时，线段CQ最长？最长是多少？【解答】解：（1）成立，∵∠A=180°﹣（∠B+∠APB），第31页（共33页）∠CPD=180°﹣（∠1+∠APB），∠B=∠1，∴∠A=∠CPD，∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；（2）①∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠C，∵∠B=∠APQ，∴∠B=∠APQ=∠C，由（1）知，△ABP∽△PCD，∴=，∴=，∴CQ=；②设BP=x，CQ=y．∵∠B=∠APQ=90°，∴△ABP∽△PCQ，∴=，即=，∴y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，第32页（共33页）∴当x=时，y=，最大即当P是BC的中点时，CQ最长，最长为．第33页（共33页）。
河南省中考数学专题复习专题七类比探究题训练
专题七类比探究题类型一线段数量关系问题1 (2018 -河南)(1)问题发现如图①，在△ OAB 和厶OCD 中，OA= OB OC= OD / AOB=Z COD= 40°,连接 AC, BD 交于点 M.填空: AC① 击的值为 ：BD② / AMB 的度数为 _______ ; (2) 类比探究如图②，在△ OAB 和厶OCD 中，/ AOB=Z COD= 90°,/ OAB=Z OCD= 30°,连接 AC 交BD 的延长线于点 ACM.请判断乔的值及/ AMB 的度数，并说明理由；BD(3) 拓展延伸 在⑵ 的条件下，将△ OCD 绕点O 在平面内旋转，AC , BD 所在直线交于点 M 若OD= 1, OB=Q7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长.图① 图② 备用图例1题图②由△ COA^A DOB,得/CAO=/ DBQ 根据三角形的内角和定理 =180°— 140°= 40°;一AC OC 厂一(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△ AO &A BOD 则 BD = OD = 3,由全等三角形的性质得/ AMB 的度 数； ⑶ 正确画出图形，当点 C 与点M 重合时，有两种情况：如解图①和②，同理可得厶 AO &A BOD 则/ AMB AC 厂=90° , BD = 3 ,可得 AC 的长. 【自主解答】【分析】 (1)①证明△ COA^A DOB(SAS,)得AC= BD,比值为1;,得/ AMB= 180°— ( / DBO-/ OABH / ABD)解：⑴问题发现①1【解法提示】•••/ AOB=Z CO 空40•••/ COA F Z DOB .•/ OC= OD OA= OB ，•••△ COA^ DOB(SAS,)• AC= BD, AC 二一=1 BD②40°【解法提示】•/△ COA^A DOB•••/ CAO / DBO. •••/ AO = 40°, •••/ OABH / ABO= 140°,在厶 AMB 中，/ AM = 180°— ( / CAO- / OABH / ABD = 180°— ( / DBO- / OABH / ABD = 180°— 140° =(2)类比探究ACBD = ,3,/ AM = 90°，理由如下:在 Rt △ OCD 中,/ DC(= 30°,/ DO = 90°,同理，得OB = tan 30•••/ AO =/ CO = 90°,• / AO(= BOD • △ AOC^ BOD• AC = …BD =• / AM = 180°—/ CAO- / OA — MBA 180°— ( / DA —/ MB —/ OBD^180°— 90° = 90° (3)拓展延伸①点C 与点M 重合时，如解图①， 同理得△ AO &A BOD AC 厂 • / AM = 90°,侖,3,BD 设 BD= x ，贝U AC = • 3x ,OD• OC = tan 303OD = . 3, / CAO / DBO.在Rt△ COD中,•••/ 0C空30°, OD= 1, ••• CD= 2,BC= x —2.在Rt△ AOB中，/ OA= 30°, OB= '7.•AB= 2OB= 2 ：7 ,在Rt△ AMB中，由勾股定理，得AC+ BC= Ah,即（：3 x）2+ （x —2）2= （2 ：7）2,解得x i= 3, X2=—2（舍去），•AC= 3=：.f3;AC②点C与点M重合时，如解图②，同理得：/ AM= 90°,BD= ；'3,设BD= x，贝U AC= _：3x,在Rt△ AMB中，由勾股定理，得AC+ BC = AB",即（:'3x）2+ （x + 2）2= （2 ；7）2解得x i=—3,解得x2 = 2（舍去）.• AC= 2\ 3.综上所述，AC的长为3 '3或2 ：'3.图①图②例1题解图1 . （2016 -河南）（1）发现如图①，点A为线段BC外一动点，且BC= a, AB= b.填空：当点A位于___________________ 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_____________ (用含a, b 的式子表示)•(2) 应用点A 为线段BC 外一动点，且BC= 3, AB= 1，如图②所示，分别以 AB AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边 三角形ACE 连接CD BE.① 请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ② 直接写出线段BE 长的最大值. ⑶拓展如图③，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2 ,且PA = 2, Pg PB,Z BP 昨90°,请直接写出线段备用图2. (2015 -河南)如图①，在 Rt △ ABC 中，/ B = 90°, BC = 2AB= 8，点D, E 分别是边 BC, AC 的中点，连 接DE.将厶EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 ⑴问题发现(2)拓展探究0)，点B 的坐标为(5 , 0)，点P 为线段AB 外一动点, AM 长的最大值及此时点 P 的坐标.图③ (X .①当a= 0°时,B D = —"F —；②当a = 180°时,AE = _5 ；BD — 2 一'AE的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明.BD (3)解决问题当厶EDC 旋转至A, D, E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长.3. (2014・河南) ⑴问题发现如图①，△ ACB 和厶DCE 均为等边三角形，点 A, D, E 在同一直线上，连接 BE. 填空：① / AEB 的度数为 __________ ;② 线段AD BE 之间的数量关系为 _______________ . (2)拓展探究如图②，△ ACB^n ^ DCE 均为等腰直角三角形， / ACB=Z DCE= 90°,点A, D E 在同一直线上，DCE 中DE 边上的高，连接 BE,请判断/ AEB 的度数及线段 CM AE, BE 之间的数量关系，并说明理由. (3) 解决问题如图③，在正方形 ABCD 中, CD=〔 2,若点P 满足PD= 1,且/ BPD= 90°,请直接写出点 A 到BP 的距离.试判断：当O °Wa <360°时, 图①图① 图② 图③4. （2018 •南阳二模）在厶ABC中，/ ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE,连接EC.（1）操作发现若AB= AC / BAC= 90°，当D在线段BC上时（不与点B重合），如图①所示，请你直接写出线段CE和BD 的位置关系和数量关系是（2）猜想论证在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断.（3）拓展延伸如图③，若AB^AC / BAO90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角/ ACB等于 _______________ 度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C, E重合除外）？此时若作DF丄AD交线段CE于点F,且当AC= 3匹时，请直接写出线段CF的长的最大值是_______ .D C 图③图①图②5. 已知，如图①，△ ABC △ AED是两个全等的等腰直角三角形（其顶点B E重合），/ BAC=Z AED= 90°,O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF.⑴问题发现类型二图形面积关系问题W^.-(2017 •河南)如图①，在 Rt △ ABC 中，/ A = 90°, AB = AC 点 D, E 分别在边 AB, AC 上, A» AE , 连接DC 点M, P, N 分别为DE, DC BC 的中点. (1) 观察猜想图①中，线段PM 与 PN 的数量关系是 ________ ,位置关系是 _________ ; ⑵探究证明把厶ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图②的位置，连接 MN BD CE,判断△ PMN 的形状，并说明理由； (3) 拓展延伸把厶ADE 绕A 在平面内自由旋转，若 AD= 4 , AB= 10，请直接写出△ PMN 面积的最大值.①如图①,OF EC②将△ AED 绕点A 逆时针旋转45°,如图②, OF EC =⑵类比延伸将图①中厶AED 绕点A 逆时针旋转到如图③所示的位置，请计算出 OC 勺值，并说明理由.(3)拓展探究将图①中厶AED 绕点A 逆时针旋转，旋转角为a, 0°WaW 90°, AD= ：2, △ AED 在旋转过程中，存在△ ACD 为直角三角形，请直接写出线段 CD 的长.Ca N例2题图1 1【分析】⑴ 利用三角形的中位线定理得出pg2°E PN^尹D,进而判断出BD= CE即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出PM/CE继而得出/ DPM^Z DCA最后用互余即可得出结论；1 1⑵先判断出厶ABD^A ACE得出BD= CE同⑴的方法得出PMk qBD PN^ qBD即可得出PMk PN,同⑴的方法即可得出结论；⑶ 先判断出MN最大时，△ PMN的面积最大，进而求出AN, AM,即可得出MN最大=A腑AN,最后用面积公式即可得出结论.【自主解答】解：（1）•••点P , N是BC, CD的中点,1••• PN// BD PN=-BD.〜2•••点P , M是CD DE的中点，1•PM/ CE PMI= qCE.•/ AB= AC, AD= AE,•BD= CE•PM= PN.•/ PN// BD•/ DPN=Z ADC•/ PM/ CE• / DP=/ DCA.•••/ BAC= 90° ,• / ADCF Z ACD= 90° , • / MPN=Z DPMM DPN=Z DCAb Z ADC= 90° ,••• PML PN⑵由旋转知，/ BAD=Z CAE•/ AB= AC, A» AE,•△ABD^A ACE(SAS)•••/ ABD=Z ACE BD= CE.1同⑴ 的方法，利用三角形的中位线定理，得PN=尹D,1pg 2CE•PM k PN•••△PMN是等腰三角形，同⑴的方法得，PM/ CE•••/ DPM=/ DCE同⑴的方法得，PN// BD•••/ PNC=Z DBC.•••/ DPN=Z DCBF Z PNC=Z DCBH Z DBC•••/ MPN=Z DPMk Z DPN=Z DCEb Z DCBF Z DBC=Z BCEF Z DBC=Z ACBF Z ACEF Z DBC=Z ACBF Z ABD + Z DBC=Z ACBF Z ABC.•••/ BAC= 90° ,•••/ ACBF Z ABC= 90° ,•••/ MPN= 90° ,•△ PMN是等腰直角三角形，8 N Cl例2题解图(3)如解图，同(2)的方法得，△ PMN是等腰直角三角形,•••当MN最大时，△ PMN的面积最大，• DE// BC且DE在顶点A上面，MN最大=AW AN连接AM AN在厶ADE 中，AD= AE= 4, / DAE= 90° ,••• AMk 2 2在Rt△ ABC中，AB= AC= 10, AN k 5 -'2,• MN最大=2 :'2 + 5 ,：2 = 7 :'2,1 2 1 1 2 1 - 2 49△PMN最大=2^ gMNh 4 X （7、；2）=—.1. (2013 -河南)如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中/ C= 90°,/ B=/E =30(1) 操作发现如图②，固定△ ABC使厶DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是______________ ;②设△ BDC的面积为$,△ AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是__________________ .(2) 猜想论证当厶DEC绕点C旋转到如图③所示的位置时，小明猜想(1)中S与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△ BDC和厶AEC中BC, CE边上的高，请你证明小明的猜想.(3) 拓展探究已知/ABC= 60°，点D是角平分线上一点，BD= CD= 4, DE// AB交BC于点E(如图④).若在射线BA上存在点F,使S^DCF= S^BDE, 请直接写出相应的BF的长.图①图②D为AB边的中点，/ ED「90°,将/ EDF 绕点D旋转，它的两边分2 .已知Rt△ ABC中，BC= AC, / C= 90°,别交AC CB(或它们的延长线)于E, F.当/EDF绕点D旋转到DEL AC 于E时，如图①所示，试证明1S^DEF+ &CEF= •S A ABC・(1)当/EDF绕点D旋转到DE和AC 不垂直时，如图②所示，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，试说明理由.⑵直接写出图③中，&DEF, & CEF与SU BC之间的数量关系.图①图②图③3. (2018 -郑州模拟)如图①所示，将两个正方形ABCD^正方形CGFE如图所示放置，连接DE, BG.(1)图中/ DC曰/ BCG= _________ ° ;设厶DCE的面积为S i,A BCG的面积为S,则S与S的数量关系为猜想论证：⑵如图②所示，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG连接DE BG设厶DCE的面积为S,A BCG的面积为S，猜想S i和S2的数量关系，并加以证明；⑶如图③所示，在△ ABC中，AB= AC= 10 cm,/ B= 30°，把△ ABC沿AC翻折得到厶AEC过点A作AD 平行CE交BC于点D,在线段CE上存在点巳使厶ABP的面积等于△ ACD的面积，请写出CP的长.RG4. (2018 •驻马店一模)如图①，△ ABC与厶CDE都是等腰直角三角形，直角边AC, CD在同一条直线上，点M, N分别是斜边AB, DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD, PM，PN, MN.(1)观察猜想图①中，PM与PN的数量关系是_______________ ，位置关系是 ______________ ；⑵探究证明将图①中的△ CDE绕着点C顺时针旋转a (0 ° <a< 90° )，得到图②，AE与MP BD分别交于点G H判断A PM”的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把厶CDE绕点C任意旋转，若AC= 4, CD= 2,请直接写出△ PMN面积的最大值.图①参考答案类型一针对训练1解：⑴•••点A为线段BC外一动点，且BO a, AB= b,•••当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+ AB= a + b.⑵①CD= BE理由：•••△ ABD与厶ACE是等边三角形，•AD= AB, AC= AE,Z BAD=Z CAE= 60°,•••/ BADb Z BAC=Z CABF Z BAC 即/ CAD=Z EAB.AD= AB在^。
2016中考 类比探究问题
23．(2016金衢十二校联考)（本题10分）定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形”．（1）理解：如图1，已知四边形ABCD 是“垂直四边形”，对角线AC ，BD 交于点O ，AC=8，BD =7，求四边形ABCD 的面积.（2）探究：小明对 “垂直四边形”ABCD （如图1）进行了深入探究，发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，即2222BC AD CD AB +=+．你认为他的发现正确吗？试说明理由． （3）应用：① 如图2，在△ABC 中，︒=∠90ACB ，AC =6，BC =8，动点P 从点A 出发沿AB 方向以每秒5个单位的速度向点B 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发沿CA 方向以每秒6个单位的速度向点A 匀速运动，运动时间为t 秒（10<<t ），连结CP ，BQ ，PQ ．当四边形BCQP 是“垂直四边形”时，求t 的值．② 如图3，在△ABC 中，︒=∠90ACB ，AB =3AC ，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ．请直接写出线段EG 与BC 之间的数量关系．23、解：（1）∵四边形ABCD 是“垂直四边形”， ∴AC ⊥BD . ∴四边形ABCD 的面积为OB AC OD AC ⋅+⋅2121 =28782121=⨯⨯=⋅BD AC ． （2）正确.理由：∵四边形ABCD 是“垂直四边形”， ∴AC ⊥BD .∴222222DO CO BO AO CD AB +++=+， 222222CO BO DO AO BC AD +++=+， ∴2222BC AD CD AB +=+.BPABCDO（第23题答图1）（3）① 过点P 作PD ⊥AC 于点D , ∵︒=∠90ACB ， ∴108622=+=AB ，PD ∥BC . ∴ △P AD ∽△BAC ，∴ABAPBC PD AC AD ==. ∵ 动点P 的速度为每秒5个单位，动点Q 的速度为每秒6个单位. ∴ AP =5t ，CQ =6t ， ∴10586tPD AD ==，∴AD =3t ，PD =4t . ∵ 四边形BCQP 是“垂直四边形”， ∴2222BC PQ CQ BP +=+.∴ 222228)96()4()6()510(+-+=+-t t t t ，解得92=t 或t =0（舍去）. ∴ 当四边形BCQP 是“垂直四边形”时，t 的值为92. ② 2223BC EG =（或BC EG 26=）.。
河北省中考压轴题分析(类比探究)
中考压轴题分析（类比探究）1．（1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，1PA =，PB =2PC =.求BPC ∠的度数.为利用已知条件，不妨把BPC ∆绕点C 顺时针旋转60︒得'AP C ∆，连接'PP ，则'PP 的长为_______；在'PAP ∆中，易证'90PAP ∠=︒，且'PP A ∠的度数为________，综上可得BPC ∠的度数为_______；（2）类比迁移如图，点P 是等腰Rt ABC ∆内的一点，90ACB ∠=︒，2PA =，PB =1PC =.求APC ∠的度数；（3）拓展应用如图，在四边形ABCD 中，5BC =，8CD =，12AB AC AD ==，2BAC ADC ∠=∠，请直接写出BD 的长.【答案】（1）2, 30°，90°；（2）90°；（3）【解析】【分析】（1）由旋转性质、等边三角形的判定可知△CP′P是等边三角形，由等边三角形的性质知∠CP′P=60°，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，继而可得答案．（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′，同理可得△CP′P是等腰直角三角形和△AP′P是等腰直角三角形，所以∠APC=90°；（3）如图3，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，根据勾股定理求CG的长，就可以得BD的长．【详解】（1）把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP'C，连接PP′（如图1）．由旋转的性质知△CP′P是等边三角形；∴CP′P=60°、P′P=PC=2，在△AP′P中，∵AP2+P′A2=12+2=4=PP′2；∴△AP′P是直角三角形；∴∠P′AP=90°．∵PA=12 PC，∴∠AP′P=30°；∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°．（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′．由旋转的性质知△CP′P是等腰直角三角形；∴P′C=PC=1，∠CPP′=45°、，，在△AP′P中，∵AP'2+P′P2=）2+）2=4=AP2；∴△AP′P是等腰直角三角形；∴∠AP′P=90°．∴∠APP'=45°∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°（3）如图3，∵AB=AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，∵∠BAD=∠CAG，∴∠BAC=∠DAG，∵AB=AC，AD=AG，∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD=2AB，∴DG=2BC=10，过A作AE⊥BC于E，∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ADG+∠ADC=90°，∴∠GDC=90°，∴==，∴．本题是四边形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质和旋转的性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，2．（操作发现）如图（1），在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝45°，连接AC ，BD 交于点M ．①AC 与BD 之间的数量关系为 ；②∠AMB 的度数为 ；（类比探究）如图（2），在△OAB 和△OCD 中，∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠OAB ＝∠OCD ＝30°，连接AC ，交BD 的延长线于点M ．请计算AC BD的值及∠AMB 的度数； （实际应用）如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC 、DCE 组成的图形，其中∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°且D 、E 、B 在同一直线上，CE ＝1，BC ，求点A 、D 之间的距离．【答案】【操作发现】①AC =BD ；②∠AMB =45°；【类比探究】AC BD ∠AMB =90°；【实际应用】【解析】操作发现:如图（1），证明△COA ≌△DOB （SAS ），即可解决问题．类比探究:如图（2），证明△COA ∽△ODB ，可得AC CO BD OD==MAK ＝∠OBK ，已解决可解决问题．实际应用:分两种情形解直角三角形求出BE ，再利用相似三角形的性质解决问题即可．【详解】解：操作发现:如图（1）中，设OA 交BD 于K ．∵∠AOB ＝∠COD ＝45°，∴∠COA ＝∠DOB ，∵OA ＝OB ，OC ＝OD ，∴△COA ≌△DOB （SAS ），∴AC ＝DB ，∠CAO ＝∠DBO ，∵∠MKA ＝∠BKO ，∴∠AMK ＝∠BOK ＝45°，故答案为：AC ＝BD ，∠AMB ＝45°类比探究:如图（2）中，在△OAB 和△OCD 中，∵∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠OAB ＝∠OCD ＝30°，∴∠COA ＝∠DOB ，OC ，OA ， ∴OC OA OD OB=， ∴△COA ∽△ODB ，∴AC CO BD OD==MAK ＝∠OBK ， ∵∠AKM ＝∠BKO ，∴∠AMK ＝∠BOK ＝90°．实际应用:如图3﹣1中，作CH ⊥BD 于H ，连接AD ．在Rt △DCE 中，∵∠DCE ＝90°，∠CDE ＝30°，EC ＝1，∴∠CEH ＝60°，∵∠CHE ＝90°，∴∠HCE ＝30°，∴EH ＝12EC ＝12，∴CH在Rt△BCH中，BH92 ==，∴BE＝BH﹣EH＝4，∵△DCA∽△ECB，∴AD：BE＝CD：EC∴AD＝．如图3﹣2中，连接AD，作CH⊥DE于H．同法可得BH＝92，EH＝12，∴BE＝92+12＝5，∵△DCA∽△ECB，∴AD：BE＝CD：EC∴AD＝．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．3．（Ⅰ）如图1，在等边ABC ∆中，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B , C ），连结AM ，以AM 为边作等边AMN ∆，并连结CN ．求证： AB MC CN =+．（Ⅱ）【类比探究】如图2，在等边ABC ∆中，若点M 是BC 延长线上的任意一点（不含端点C ），其它条件不变，则AB MC CN =+是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出AB , MC , CN 三者间的数量关系，并给予证明．（Ⅲ）【拓展延伸】如图3，在等腰ABC ∆中， BA BC =，点M 是AC 上的任意一点（不含端点），连结BM ，以BM 为边作等腰BMN ∆，使BM BN =，试探究AMN ∠与MBC ∠的数量关系，并说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）结论不成立（Ⅲ）1=2AMN MBC ∠∠ 【解析】试题分析：（Ⅰ）通过证明 ΔBAM ≌ΔCAN ，根据全等三角形的性质可得BM CN = ，从而证得AB BC BM MC CN MC ==+=+；（Ⅱ）结论不成立，通过证明 ΔBAM ≌ΔCAN ，根据全等三角形的性质可得BM CN =，由BM CN BC CM AB CM ==+=+，得AB CN CM =- ； （Ⅲ）1AMN=MBC 2∠∠，设AMN=x,A y ∠∠=，由BNM ∠为ΔAMN 的外角，可得BNM A AMN y x ∠∠∠=+=+，从而可得BMA 2x y ∠=+ ，又BMA ∠为ΔBMC 的外角，可得BMA MBC y ∠∠=+ ，从而有2x y MBC y ∠+=+，继而推得1AMN=MBC 2∠∠ .试题解析：（Ⅰ）∵ΔABC ， ΔAMN 都是等边三角形，∴AB=AC ， AM AN =， BAC MAN 60∠∠==︒，∴BAC MAC MAN MAC ∠∠∠∠-=- 即BAM CAN ∠∠=，在ΔBAM 和ΔCAN 中， { AB ACBAM CAN AM AN=∠=∠= ，∴ ΔBAM ≌ΔCAN ()SAS ，∴BM CN = ，∴AB BC BM MC CN MC ==+=+；（Ⅱ）结论不成立，理由： ΔABC ， ΔAMN 都是等边三角形，∴AB=AC ， AM AN =， BAC MAN 60∠∠==︒，∴BAC+MAC MAN+MAC ∠∠∠∠= 即BAM CAN ∠∠= ，在ΔBAM 和ΔCAN 中， { AB ACBAM CAN AM AN=∠=∠= ，∴ ΔBAM ≌ΔCAN ()SAS ，∴BM CN =，∴BM CN BC CM AB CM ==+=+，即AB CN CM =- ；（Ⅲ）1AMN=MBC 2∠∠，理由： 设AMN=x,A y ∠∠=，∵BA BC =，∴A C y ∠∠==，∵BNM ∠为ΔAMN 的外角，∴BNM A AMN y x ∠∠∠=+=+，又BM BN =，∴BMN BNM y x ∠∠==+，∴BMA BMN NMA y x x 2x y ∠∠∠=+=++=+ ，又BMA ∠为ΔBMC 的外角，∴BMA MBC C MBC y ∠∠∠∠=+=+ ，∴2x y MBC y ∠+=+，∴MBC 2x 2AMN ∠∠==，即1AMN=MBC 2∠∠ . 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，结合图形熟练运用相关性质进行解题是关键.4．（1）问题发现如图1，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝50°，连接BD ，CE 交于点F ．填空：①的值为 ；②∠BFC 的度数为 ．（2）类比探究如图2，在矩形ABCD 和△DEF 中，AD ＝3AB ，∠EDF ＝90°，∠DEF ＝60°，连接AF 交CE 的延长线于点P ．求AF CE的值及∠APC 的度数，并说明理由； （3）拓展延伸在（2）的条件下，将△DEF 绕点D 在平面内旋装，AF ，CE 所在直线交于点P ，若DF ＝3，ABP 与点E 重合时AF 的长．【答案】（1）1，50°；（2）90AF APC CE︒=∠=，理由见解析；（3）当点P 与点E 重合时，AF 的长为3或6，理由见解析【解析】【分析】（1）问题发现：由“SAS ”可证△DAB ≌△EAC ，可得BD ＝CE ，∠ACE ＝∠ABD ，即可求解；（2）类比探究：通过证明△ADF ∽△CDE ，可得AF CE=F AD ＝DCE ，即可求解； （3）拓展延伸：过点C 作CM ⊥DE ，由勾股定理可求CE 的长，即可求AF 的长．【详解】（1）问题发现：∵∠BAC ＝∠DAE ＝50°，∴∠DAB ＝∠EAC ，且AB ＝AC ，AD ＝AE∴△DAB ≌△EAC （SAS ）∴BD ＝CE ，∠ACE ＝∠ABD ∴1BD CE= ∵∠BAC +∠ABC +∠ACB ＝180°，且∠BFC +∠FBC +∠FCB ＝∠BFC +∠ABC +∠ABF +∠FCB ＝∠BFC +∠ABC +∠ACB ＝180°∴∠BFC ＝∠BAC ＝50°故答案为：1，50°（2）类比探究：AF CE=，∠APC ＝90° 理由如下：∵∠DEF ＝60°，∠FDE ＝90°∴DF ＝3DE ，∵四边形ABCD 是矩形∴CD ＝AB ，∠ADC ＝90°∴AD ＝3DC ，∠ADC ＝∠EDF ＝90°∴∠EDC ＝∠ADF ，且AD DF CD DE== ∴△ADF ∽△CDE∴AF CE=F AD ＝DCE ∴点A ，点P ，点D ，点C 四点共圆∴∠APC ＝∠ADC ＝90°（3）拓展延伸：如图，过点C 作CM ⊥DE ，交ED 延长线于点M ，∵DF ＝3，∠DEF ＝60°，∠AEC ＝90°∴DE ＝1，∠CEM ＝30°∵∠CEM ＝30°，CM ⊥ED∴,22CE CM EM == ∵CD 2＝CM 2+DM 2，∴7＝24CE +（EM ﹣1）2， ∴CE ＝23∵AF CE= ∴AF ＝6如图，过点C 作CM ⊥DE ，交DE 延长线于点M ，∵DF ＝3，∠DEF ＝60°，∠AEC ＝90°∴DE ＝1，∠CEM ＝30°∵∠CEM ＝30°，CM ⊥ED∴,2CE CM EM == ∵CD 2＝CM 2+DM 2，∴7＝24CE +（EM +1）2， ∴CE ＝3∵AF CE= ∴AF ＝3综上所述：当点P 与点E 重合时，AF 的长为3或6．【点睛】相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出CE 的长是本题的关键．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中考数学中的类比探究题
1、在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．
原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．
小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．
小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°．
小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．
请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；
（2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．
答案：（1）DF=EF．
（2）猜想：DF=FE．
证明：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB=90°．
∵DA=DB，∠ADB=60°．
∴AG=BG，△DBA是等边三角形．
∴DB=BA．
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AC=AB=BG．
∴△DBG≌△BAC．
∴DG=BC．
∵BE=EC，∠BEC=60°，
∴△EBC是等边三角形．
∴BC=BE，∠CBE=60°．
∴DG=BE，∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．
∵∠DFG=∠EFB，∠DGF=∠EBF，
∴△DFG≌△EFB．
∴DF=EF．
（3）猜想：DF=FE．
证明：过点D作DH⊥AB于H，连接HC，HE，HE交CB于K，则∠DHB=90°．
∵DA=DB， ∴AH=BH，∠1=∠HDB． ∵∠ACB=90°， ∴HC=HB． ∵EB=EC，HE=HE， ∴△HBE≌△HCE． ∴∠2=∠3，∠4=∠BEH． ∴HK⊥BC． ∴∠BKE=90°． ∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC， ∴∠HDB=∠BEH=∠ABC． ∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°， ∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°． ∴DB∥HE，DH∥BE． ∴不发生变化
2、如图所示，（1）正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF=90°，连接BE、DF，将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图（1）给予证明；
（2）将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=kAB，AF=kAE，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？结合图（2）说明理由；
（3）将（2）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD=∠EAF=α，其他条件不变，（2）中的结论是否发生变化？结合图（3），如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用a表示出直线BE、DF形成的锐角β。
解：（1）延长DF分别交AB、BE于点P、G，
在正方形ABCD和等腰直角△AEF中AD=AB，AF=AE，∠BAD=∠EAF =90°，
∴∠FAD=∠EAB
∴△FAD≌△EAB，
∴∠FDA=∠EBA，DF=BE
∵∠DPA=∠BPG，
∠ADP+∠DPA=90°
∴∠EBP+∠BPG=90°
∴∠DGB=90°
∴DF⊥BE；
（2）数量关系改变，位置关系不变，
DF=kBE，DF⊥BE，
延长DF交EB于点H，
∵AD=kAB，AF=kAE
∴=k，=k ∴∵∠BAD=∠EAF=α∴∠FAD=∠EAB ∴△FAD∽△EAB
∴∴DF=kBE
∵△FAD∽△EAB，∴∠AFD=∠AEB，
∵∠AFD+∠AFH=180°，∴∠AEH+∠AFH=180°，
∵∠EAF=90°，∴∠EHF=180°-90°=90°，∴DF⊥BE；（3）不改变，DF=kBE，β=180°-a，
延长DF交EB的延长线于点H
∵AD=kAB，AF=kAE
∴=k，=k
∴
∵∠BAD=∠EAF=α
∴∠FAD=∠EAB ∴△FAD∽△EAB ∴=k ∴DF=kBE
由△FAD∽△EAB
得∠AFD=∠AEB
∵∠AFD+∠AFH=180°
∴∠AEB+∠AFH=180°
∵四边形AEHF的内角和为360°，
∴∠EAF+∠EHF=180°
∵∠EAF=α，∠EHF=β
∴a+β=180°
∴β=180°-a。
练习
1、（2011辽宁沈阳）已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．
（1）如图1，当点D在边BC上时，
①求证：∠ADB=∠AFC；
②请直接判断结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．
2、（2010辽宁抚顺）如图所示，（1）正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共
顶点A,∠EAF=90, 连接BE、DF.将Rt△AEF绕点A旋转,在旋转过程中，BE、
DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；
(2)将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△
AEF，且AD=kAB,AF=kAE,其他条件不变.(1)中的结论是否发生变化？
结合图(2)说明理由；
(3)将（2）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△
AEF，且∠BAD=∠EAF=，其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化？
结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段
BE、DF的数量关系，用表示出直线BE、DF形成的锐角.
3、（2011辽宁阜新）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PE＝PB，连接PD，O为AC中点．
（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，当点P AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．。