数学建模作业数学规划模型----供应与选址的问题
【精品】数学建模第二轮-选址最短路问题及巡视路线问题
【精品】数学建模第二轮-选址最短路问题及巡视路线问题
选址最短路问题及巡视路线问题是数学建模中常见的问题之一，关于这两个问题的具体描述以及解决方法如下：
1. 选址最短路问题：
选址最短路问题是指在一片区域内选择一个或多个点作为设施的位置，使得到其他所有点的距离之和最小。
这个问题往往在物流配送、设施规划、网络布置等领域中得到应用。
对于选址最短路问题，可以使用以下方法进行建模和求解：
- 首先，将区域划分为格点，每个格点代表一个可能的设施位置。
- 然后，计算每个格点到其他格点的距离，并构建距离矩阵。
- 接下来，可以使用数学规划方法（如整数规划）或启发式算
法（如贪婪算法、遗传算法）来求解最短距离并确定最佳设施位置。
2. 巡视路线问题：
巡视路线问题是指寻找一条最优路线，使得沿途经过给定的一组点后，总路程最短或总时间最短。
这个问题在旅行路线规划、货物配送、巡逻路线规划等领域中具有重要意义。
对于巡视路线问题，可以使用以下方法进行建模和求解：
- 首先，将问题抽象为图论问题，将给定的一组点作为图的节点，节点之间的路径作为边。
- 接下来，可以使用图论中的最短路径算法（如Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法）来求解最短路径，并确定最优路线。
需要注意的是，选址最短路问题和巡视路线问题的具体求解方法可能因问题的规模和约束条件的不同而不同。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法进行建模和求解。
数学建模 水厂选址
水厂供水方案专业班级：信管1002班：亚坤水厂供水方案摘要：选址是生活中经常遇到的问题，如向居民输送自来水等都是实际需要考虑的问题，在解决此类问题时，可以将实际问题具体化，首先将总区域建立成一个平面坐标，接着将居民区简化成坐标，如此，便可将复杂的生活问题化成数学建模问题。
从建造和经营两方面考虑，在水厂规模与位置未知时，根据日供水收益、居民点分布、投资修建管道的费用等关系，通过约束条件来约束各个变量之间的关系，将其转化为线性规划问题，建立对应的数学模型，利用lingo软件进展求解，得出最优方案。
本文正是研究了一个向六个居民区输水的A、B水厂的选址问题。
对于问题一，本论文采用线性最优化的思想，对本钱在约束函数的条件下，求解其最小值，求解过程使用lingo软件。
对于问题二，由于A、B水厂地址不确定，建立模型为二元二次函数求解。
对于问题三，可在问题二的根底上进一步讨论。
关键字：线性最优化，选址，lingo问题重述水厂供水方案某城市拟建A、B两个水厂。
从建造和经营两方面考虑，水厂分小、中、大三种规模，日均贮水量分别为30万吨、40万吨与50万吨。
由于水资源的原因，A、B两个水厂日进水量总和不超过80万吨。
A、B两个水厂共同担负供给六个居民区用水任务，这六个居民区的位置与拥有的家庭户数由表1给出，每户日均用水量为1.0吨，水厂供给居民点用水的本钱为1.05元/吨公里。
表1各居民区的位置和拥有的家庭户数居民点 1 2 3 4 5 6位置xi 0 1 2 3 4 5 yi 4 5 4 4 1 2家庭户数〔万户〕10 11 8 15 8 22(1)假如A、B两个水厂的位置分别为A=A(1，4)和B=B(4，2)，试确定供水方案使总本钱最低；(2)假如A、B两个水厂的位置尚未确定，请你确定它们的位置与供水方案使总本钱最低；(3)如果该某城市要在平直河岸L(设L位于横坐标轴)上建一抽水站P，供给同岸的A、B两个水厂。
选址问题及最佳巡视路线的数学模型 (1)
本科14组 许泽东，邹志翔，陈佳成选址问题及最佳巡视路线的数学模型摘 要本文解决的问题是缴费站、派出所选址和最佳巡视路线的确定。
合理设置缴费站，可以为居民缴费节省大量时间和精力。
派出所位置和数量的不同选择，会产生不同的建设成本和管理经费。
而最佳巡视路线的确立，可以让领导在最短时间内巡视完所有社区。
为解决以上问题，我们建立的三个最优化模型。
针对问题一，我们先用floyd 算法求出各社区间的最短路，然后用计算机枚举出所有选址方案。
对每一种选址方案都会产生一个平均距离S ，我们以此为指标对方案进行评估。
经过合理化推导，我们得出最优解11712S .=（百米），且此时应该在M,Q,W 三社区设置煤气缴费站。
针对问题二，我们在问题一求出的最短路基础上，建立了0-1线性规划模型。
然后借助matlab 软件求得最优解3=X （即应该设置3个派出所），并给出了各派出所管辖范围。
这样既满足了每个社区在3分钟内至少能得到一个派出所服务，也为派出所的建设管理节省了不少成本。
具体结果如下表3：构建了社区网络的完全图，然后考虑到最优哈密顿圈的求解极其困难，我们连续使用30次模拟退火的方法求得连接各社区的近似最优哈密顿圈。
其中，我们对每次求出的哈密顿圈都进行了合理划分，产生了三个子圈，即三组巡视路线。
最终得到近似最优解128，见表4。
接着，我们还对哈密顿圈划分方法进行了改进，求得近似最优解125（具体结果见表5）。
1.问题重述问题背景 社区已是现代都市的的基础，随着城市社会经济的飞速发展，社区与人们生活的联系越来越密切，人们需要在社区解决日常生活涉及的各种利益和需要，因而人们对社区社会生活服务提出更高的要求，而政府也希望能够更好的指导和管理城市社区，社区生活服务建设以及安全保障等问题便由此而生。
据某项调查显示，我国七成以上的家庭表示需要更多更好的社会化社区服务，其范围涉及食、住、行、工、学、医、娱、境、安等居民生活的各个方面。
数学建模数学规划
数模第二阶段培训（数学规划）例1 油品混合问题一种汽油的特性可用两个指标来描述，其点火性用“辛烷比率”来描述，其挥发性用“蒸汽压”来描述。
某石油炼制厂生产两种汽油，这两种汽油的特性及产量如表1所示表1 某厂炼制的汽油特性辛烷比率蒸汽压（10-2克/cm2）可供数量（万公升）第一种汽油104 4 3第二种汽油94 9 7用这两种汽油可以合成航空汽油与车用汽油两种最终产品，其性能如表2所示表2 航空汽油与车用汽油性能要求辛烷最小比率最大蒸汽压（10-2克/cm2）最大需要量（万公升）售价（万元/万公升）航空汽油102 5 2 1.2车用汽油96 8 不限0.7 根据油品混合工艺知道，当两种汽油混合时，其产品汽油的蒸汽压及辛烷比率与其组成成分的体积及相应指标成正比。
问该厂应如何混合油品才能获得最大收益？例2企业季度生产计划问题某厂甲、乙两种产品，第一季度的最大需求量及单位产品利润和每月的库存成本如表1所示。
表1 产品需求量、利润及库存成本需求量利润（未计库存成本）（元/单位产品）每月库存成本（元/单位产品）一月二月三月甲产品250 540 700 3.0 0.2 乙产品180 150 700 4.5 0.3 生产这两种产品都必须经过由两道工序，分别使用A、B两类机器。
A类机器有4台，B类机器有5台，每台机器每月运转180工时。
生产单位甲产品需机器A0.9工时，机器B1.0工时；生产单位乙产品需机器A0.5工时，机器B0.75工时。
该厂仓库容量为100平方米，存贮每单位甲产品需占面积0.75平方米，每单位乙产品需占面积1.2平方米。
该季度开始时无库存量，计划在本季度结束时甲、乙两种产品各库存40单位。
分别求解以下两个问题：（1）假定一月和二月A、B两类机器各有一台检修，三月份有一台A类机器和两台B 类机器检修，A类机器检修需100工时，B类机器检修需150工时。
该厂应如何安排生产计划，才能使本季度获利最大？（2）规定A、B类机器在本季度内需检修的总台数同（1），确定合理的检修计划，使该厂在本季度获利最大？例3投资问题某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券及其信用等级、到期年限、收益如附表所示。
数学建模选址优化方案
数学建模选址优化方案1. 引言地理选址是许多实际问题中的重要决策过程。
在商业领域，正确选择一个合适的位置可以大大提高企业的竞争优势。
数学建模在选址优化方案中扮演着重要的角色，它可以帮助决策者定量地分析和评估不同选址方案的优劣。
本文将介绍一种数学建模方法，帮助选址决策者优化商业场所的选址。
2. 问题描述假设我们有一个区域，我们希望在这个区域内选择一个或多个位置来建立商业场所。
我们需要考虑以下因素：1.附近的人口数量和分布2.预计的市场需求3.竞争对手的位置和规模4.建筑和土地成本5.交通便利性6.其他相关的因素我们的目标是最大化商业场所的利润，并最小化建立和运营成本。
同时，我们也希望选择的位置能够满足市场的需求，并具备长期发展潜力。
3. 模型建立3.1. 地理数据分析首先，我们需要获取相关的地理数据。
这些数据可以包括人口统计数据、交通数据、竞争对手的位置等。
我们可以使用地理信息系统（Geographical Information System，GIS）来处理和分析这些数据。
GIS可以帮助我们可视化数据，并进行地理数据分析。
3.2. 人口与市场需求模型人口数量和市场需求是影响商业场所成功与否的重要因素。
我们可以使用数学模型来分析人口数量和市场需求之间的关系，并预测未来的市场需求。
一种常见的模型是使用人口分布数据和经济指标来拟合人口与市场需求之间的函数关系。
例如，我们可以使用线性回归模型：需求量 = a * 人口数量 + b * 经济指标其中，a和b为模型的参数，通过拟合可得到。
在预测未来的市场需求时，我们可以使用这个模型来对不同选址方案下的市场需求进行预测。
3.3. 竞争对手分析模型竞争对手的位置和规模对商业场所的成功与否也有重要影响。
我们可以使用数学模型来分析竞争对手之间的关系，并找到最佳的选址方案。
一种常见的模型是使用距离和竞争对手规模之间的函数关系来评估竞争对手的影响。
例如，我们可以使用指数函数：竞争对手影响 = e^(-c * 距离) * 竞争对手规模其中，c为模型的参数，通过数据分析和拟合可得到。
数学建模线性规划模型
设xj(j=1,2)为第j个化工厂每天处理污水量 （河水流量中忽略了工厂的排入量。） 模型为：
min Z 1000 x1 800 x2
工厂1
500 200 工厂2
700
x1 1 0.8 x x 1.6 1 2 s.t x1 2 x2 1.4 x1 , x2 0
6、投资决策问题：
公司拟在某市东、南、西三区建立连锁店， 拟议中有7个位置Ai(i=1,2,…,7)可供选择， 规定东区在A1,A2,A3中至多选2个，西区在 A4,A5中至少选1个，南区在A6,A7中至少选 1个，并选用Ai点，投资bi元，估计每年获 利ci元，但投资总额不得超过B元。问应如 何选址，可使每年利润最大？
请同学们考虑：如何裁，才能使浪费（料头） 最少。
一般的合理下料问题可叙述为：
要利用某类钢材下A1,A2,…,Am一共m种零件 毛料，根据省料原则，在一块钢材上设计出 n种不同的下料方式，设在第j种下料方式中， 可得Ai种零件aij个，设第i种零件的需求量为 bi（如表）.问应采取什么方式，使既满足问 题需要，又使所用钢材最少？
方式 1 … n 需求量
A1
… Am
a11
… Am1
…
… …
a1n
… Amn
b1
… bm
设xj为用第j种方式下料所用钢材数 模型为：
min Z X j
j 1
n
n i 1, m aij X j bi s.t j 1 x 0 j 1, n j
5、指派问题：
一公司饲养动物生长对饲料中三种营养成 分：蛋白质、矿物质、维生素特别敏感， 每个动物每天至少需要蛋白质70g、矿物质 3g、维生素10mg，该公司买到五种不同的 饲料，每种饲料1㎏所含营养成分如表
Matlab供应与选址问题附详细编程
编写程序gying1.m
其详细的程序为：c1=sqrt((5-1.25)^2+(1-1.25)^2);c2=sqrt((5-8.75)^2+(10.75)^2);c3=sqrt((5-0.5)^2+(1-4.75)^2);
c4=sqrt((5-5.75)^2+(1-5)^2);c5=sqrt((5-3)^2+(1-6.5)^2);c6=sqrt((57.25)^2+(1-7.25)^2);
EngineContract.m文件 EngineContractRun.m文件.即时commandwidow命 令文件
运行结果如下：
j1 i1
2
s.t. X ij di , i 1,2,,6 j 1
6
X ij ej , j 1,2
i 1
设 X11=X1, X21= X 2,, X31= X 3, X41= X 4, X51= X 5,, X61= X 6 X21= X 7, X22= X 8,, X32= X 9, X42= X 10, X52= X 11,, X62= X
工地位置（a，b）及水泥日用量 d
1
2
3
4
5
6
a
1.25
8.75
0.5
5.75
3
7.25
b
1.25
0.75
4.75
5
6.5
7.25
d
3
5
4
7
6
11
（一）、建立模型
记工地的位置为(ai，bi)，水泥日用量为di，i=1,…,6;料场位置 为(xj，yj)，日储量为ej，j=1,2；从料场j向工地i的运送量为Xij。
供应链分配问题数学建模案例
供应链分配问题数学建模案例供应链分配问题是指在供应链中要将有限的资源分配到不同的位置或节点，以满足各个节点的需求。
以下是一个数学建模案例，以说明供应链分配问题的建模过程。
假设有一个供应链系统，包括一个工厂和多个销售点。
工厂可以生产两种产品，分别是产品A 和产品B。
销售点有不同的需求，并且每个销售点对产品的需求量不同。
工厂有固定的生产能力，而销售点之间有各自的运输能力和运输成本。
我们需要建立一个数学模型，以确定如何分配工厂的生产能力，以及如何分配产品到各个销售点，以最小化总成本。
步骤1：确定决策变量- 令xi表示工厂给销售点i分配的产品A的数量；- 令yi表示工厂给销售点i分配的产品B的数量；步骤2：确定目标函数目标是最小化总成本，成本包括生产成本和运输成本。
我们设定一个单独的成本变量cij表示将一个单位的产品从工厂运输到销售点i的运输成本。
目标函数可以表示为：minimize ∑(cij * (xi + yi))步骤3：确定约束条件- 工厂的生产能力限制：∑xi ≤ 生产能力A- 工厂的生产能力限制：∑yi ≤ 生产能力B- 销售点的需求限制：xi + y i ≥ 需求量i- 非负约束：xi, yi ≥ 0步骤4：确定其他限制条件- 运输能力限制：∑(xi + yi) ≤ 运输能力i，其中运输能力i表示从工厂到销售点i的最大运输能力。
步骤5：求解模型将目标函数和约束条件输入到相应的优化软件中，求解模型得到最优解。
根据最优解，可以确定生产和分配计划，以满足销售点的需求并最小化总成本。
这只是一个简单的供应链分配问题数学建模案例，实际的供应链问题可能更加复杂，涉及更多的变量和约束。
但是，这个案例可以为理解供应链分配问题的数学建模提供一个基本的框架。
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再编写主程序liaochang2.m为：
clear
x0=[3 5 4 7 1 0 0 0 0 0 5 11 5 4 7 7];
A=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0];
B=[20;20];
Aeq=[1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0];
使用临时料场的情形：
使用两个临时料场A(5,1)，B(2,7)．求从料场j向工地 的运送量 .在各工地用量必须满足和各料场运送量不超过日储量的条件下，使总的吨千米数最小，这是线性规划问题。线性规划模型为：
其中 ，i=1,2,…,6,j=1,2,为常数
设X11=X1,X21=X 2,,X31=X 3,X41=X 4,X51=X 5,,X61=X 6
程序截图如下：
程序的运行结果为：
xx =
3.0000
5.0000
0.0000
7.0000
0.0000
1.0000
0.0000
0.0000
4.0000
0.0000
6.0000
10.0000
fval =
136.2275
运行结果截图如下：
即由料场A、B向6个工地运料方案为：
1
2
3
4
5
6
料场1
3
5
0
7
0
1
料场2
1
2
3
4
5
6
料场1
3
5
4
7
1
0
料场2
0
0
0
0
5
11
总的吨千米数为89.8835，比用临时料场节省约46吨千米。
0
040ຫໍສະໝຸດ 610总的吨千米数为136.2275.
改建两个新料场的情形：
先编写M文件liaochang.m：
functionf=liaoch(x)
a=[1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25];
b=[1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75];
d=[3 5 4 7 6 11];
e=[20 20];
初始值取x03二问题分析对于问题1确定用两料场分别向各工地运送水泥使运输费用总的吨千米数最小即要知道两点间线段最小料场到工地的路线是直的而要满足六个工地的需求又要考虑到两个料场的供应量即在各工地用量必须满足和各料场运送量不超过日储量的条件下使总的吨千米数最小这是线性问题
一、问题提出
某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标系(a，b)表示，距离单位：km）及水泥日用量d（吨）由下表给出。目前有两个料场位于A(5,1)，B(2,7)，日储量各有20吨。
（1）试制定每天的供应计划，即从A，B两料场分别向各工地运送多少水泥，可使运输费用（总的吨千米数）最小，并求出吨千米数。
(注：先画图，在坐标上标出各工地位置（用蓝色*标示）和料场位置（用红色o标示）)
（2）目前公司准备建立两个新的料场，日储量各为20吨，为使运输费用最省，问新的料场应建在何处，并算出两料场分别向工地运输多少吨水泥和费用。
text(7.25,7.25,'¹¤µØ6')
text(5,1,'Áϳ¡A');
text(2,7,'Áϳ¡B');
使用临时料场的情形：
编写程序liaochang1.m如下：
clear
a=[1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25];
b=[1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75];
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1];
B=[20;20];
Aeq=[1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
X12=X 7,X22=X 8,,X32=X 9,X42=X 10,X52=X 11,,X62=X 12
改建两个新料场的情形：
改建两个新料场，要同时确定料场的位置(xj,yj)和运送量 ，在同样条件下使总吨千米数最小．这是非线性规划问题．非线性规划模型为：
设X11=X1,X21=X2,X31=X3,X41=X4,X51=X5,,X61=X6
beq=[3 5 4 7 6 11]';
vlb=[zeros(12,1);-inf;-inf;-inf;-inf];
vub=[];
[x,fval,exitflag]=fmincon('liaoch',x0,A,B,Aeq,beq,vlb,vub)
程序截图如下：
程序运行结果如下：
x =
Columns 1 through 8
x0=[5,2];
y0=[1,7];
plot(x,y,'*b');
holdon;
plot(x0,y0,'or');
text(1.25,1.25,'¹¤µØ1');
text(8.75,0.75,'¹¤µØ2');
text(0.5,4.75,'¹¤µØ3')
text(5.75,5,'¹¤µØ4');
text(3,6.5,'¹¤µØ5');
f1=0;
fori=1:6
s(i)=sqrt((x(13)-a(i))^2+(x(14)-b(i))^2);
f1=s(i)*x(i)+f1;
end
f2=0;
fori=7:12
s(i)=sqrt((x(15)-a(i-6))^2+(x(16)-b(i-6))^2);
f2=s(i)*x(i)+f2;
end
d=[3 5 4 7 6 11];
x=[5 2];
y=[1 7];
e=[20 20];
fori=1:6
forj=1:2
aa(i,j)=sqrt((x(j)-a(i))^2+(y(j)-b(i))^2);
end
end
CC=[aa(:,1); aa(:,2)]'
A=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ];
beq=[d(1);d(2);d(3);d(4);d(5);d(6)];
vlb=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];vub=[];
x0=[1 2 3 0 1 0 0 1 0 1 0 1];
[xx,fval]=linprog(CC,A,B,Aeq,beq,vlb,vub,x0)
3.0000 5.0000 4.0000 7.0000 1.0000 0 0 0
Columns 9 through 16
0 0 5.0000 11.0000 5.6962 4.9289 7.2500 7.7500
fval =
89.8835
exitflag =
5
程序结果截图如下：
即两个新料场的坐标分别为（5.6962,4.9289），（7.2500,7.7500），由料场A、B向6个工地运料方案为：
（注：初始值取x0=[3 5 4 7 1 0 0 0 0 0 5 11 5 4 7 7]’）
二、问题分析
对于问题（1），确定用A，B两料场分别向各工地运送水泥，使运输费用（总的吨千米数）最小，即要知道两点间线段最小，料场到工地的路线是直的，而要满足六个工地的需求，又要考虑到A、B两个料场的供应量，即在各工地用量必须满足和各料场运送量不超过日储量的条件下，使总的吨千米数最小，这是线性问题。。
4、运输途中不发生意外，从料场运出的水泥总量不会超过各个料场的日存储量。
四、模型建立
（显示模型函数的构造过程）
记工地的位置为 ，水泥日用量为 ，i=1,…,6;料场位置为 ，
日储量为 ，j=1,2；料场 向工地 的运送量为 。
目标函数为：
约束条件为：
当用临时料场时决策变量为：
当不用临时料场时决策变量为： ， ，
对于问题（2），需要重新改建六个新的料场，使得在在各工地用量必须满足和各料场运送量不超过日储量的条件下，使总的吨千米数最小，则需要确定新的料场的具体位置，这是非线性问题。
三、模型假设
1、假设料场和建筑工地之间都可以由直线到达；
2、运输费用由“吨千米数”来衡量；
3、两料场的日存储量够向各建筑工地供应；
X12=X7,X22=X8,X32=X9,X42=X10,X52=X11,X62=X12
x1=X13,y1=X14,x2=X15,y2=X16
五、模型求解
（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）
建立chengxu.m程序：
x=[1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25];
y=[1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75];