2022年北师大版高中数学必修第一册同步培优第四章对数运算与对数函数第1节对数的概念
2022_2023学年新教材高中数学第四章对数运算与对数函数1对数的概念课件北师大版必修第一册
[教材要点]
要点一 对数的概念 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么 数b叫作以a为底N的对数，记作l_o_g_a_N_＝__b_．其中a叫作对数的 ___底__数___．N叫作__真__数____．
状元随笔 对数式与指数式之间的关系：
(1)指数式ab＝N与对数式b＝logaN(a>0 , a≠1，N>0)是等价 的，它们表达的是a，b，N三者之间的同一种关系．但a，b，N在
2.将下列各指数式与对数式进行互化：
(1)32－2＝94；
1
(2)8 2 ＝2
2；
(3)log 1 16＝－2；
4
(4)ln x＝13.
解析：(1)∵32－2＝94，∴log
2 3
94＝－2；
(2)∵8
1 2
＝2
2，∴log82
2＝12；
(3)∵log
1 4
16＝－2，∴41－2＝16；
(4)∵ln
4．有以下三个说法： (1)lg(lg 10)＝0； (2)若 10＝lg x，则 x＝10； (3)ln(ln e)＝0. 其中正确的序号是________．
解析：lg(lg 10)＝lg 1＝0；ln(ln e)＝ln 1＝0，故(1)，(3)正确．若 10＝lg x，则 x＝1010，故(2)错误．
题型二 对数恒等式的应用——师生共研 例 1 求下列各式的值： (1)lg 1 000；(2)ln e；(3)log2 24； (4)3 1＋log3 6 ；(5)215 log5 3 .
解析：(1)因为 103＝1 000，所以 lg 1 000＝log101 000＝3；
(2)因为
4.1-4.2++对数的概念++对数的运算+课件-高一上学期数学北师大版必修第一册
2 log 2 1 + 2 + 3 + log 2 1 + 2 − 3 ;
lg 27 + lg8 − 3lg 10
;
lg 1.2
1
1
(6)log + log + log ( > 0且 ≠ 1).
(4)
24 × 53
解析： 1 原式 = l g
= l g 104 = 4.
1
1
3
3
3
lg 3 + 2 lg 2 − 1
2
2
lg 3
+ lg 2 − 3 lg 10
3
2
4 原式 =
=
=
.
3 × 22
lg 3 + 2 lg 2 − 1
2
lg 10
5 原式 = 2 log 3 2 − log 3 32 − log 3 9 + 3 log 3 2 − 3 = 5 log 3 2 − 5 log 3 2 − 2 − 3 = −1.
2 1的对数等于0, 即 log 1 = 0. 由0 = 1, 及指数式与对数式的关系可知 log 1 = 0.
3 底数的对数等于1, 即 log = 1. 由1 = , 及指数式与对数式的关系可知 log = 1.
1
(4)底数的倒数的对数等于 − 1, 即log = −1.
例1 计算 log 2 1 25 + log 4 2 5 + log 8 5 log 5 2 + log 25 4 + log125 8 .
解析：原式 = log 2 53 + 22 52 + 22 5 log 5 2 + 22 52 + 53 23
2021_2022学年新教材高中数学第4章对数运算与对数函数1对数的概念课件北师大版必修第一册
如：
，则
；
【特别提醒】
②
其中底数
对数式
且
，表示的是一个数，即“ 的多少次方等于
的那个数”
故
，真数
；
【特别提醒】
③由对数的概念易知：
；
；
【即时训练】
求下列各式中 的取值范围：
①
；②
.
探究点2
两个特殊底数的对数
在对数运算中，经常用到两个特殊底数的对数
A．e0＝1 与 ln 1＝0
1
－
3
1
1
1
B．8 ＝ 与 log8 ＝－
2
2
3
1
2
C．log39＝2 与 9 ＝3
D．log77＝1 与 71＝7
2．若 a2＝M(a＞0 且 a≠1)，则有( B )
A．log2M＝a
B．logaM＝2
C．loga2＝M
D．log2a＝M
2x －1
3
3．已知 log3
第四章 对数运算与对数函数
§1对数的概念
实例1 把纸沿着中线对折，若要使折得页数为128页，
需折多少次？
设需要折x次，则由题意得
如何计算x的值呢？
2 x 128
实例2 我们研究指数函数时,曾讨论过细胞分裂问题,某种细胞分裂时,由1
个分裂成2个,2个分裂成4个…….1个这样的细胞分裂x次后,得到细胞个数
∙ . =
即
. =
如何求的值呢？
提示：这是一种已知幂，求指数的运算，这就是下面要讲的对数运算.
例如：
，则
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解(1)∵ln(log2x)=0,∴log2x=1.∴x=21=2.
(2)∵log2(lg x)=1,∴lg x=2.∴x=102=100.
(3)由3lo g 3 √ =9 得√=9,解得 x=81.
规律方法
1
2
在对数的运算中,常见的对数的基本性质有:(1)负数和零没有对数;
1
解(1)log24=-2.
(2)log10100=2,或 lg 100=2.
(3)loge16=a,或 ln 16=a.
1
3
-
(4)64 =
1
.
4
(5)xz=y(x>0,且 x≠1,y>0).
探究点二 利用对数式与指数式的关系求值
【例2】 求下列各式中x的值:
(1)4x=5·3x; (2)log7(x+2)=2;
3.常见误区:易忽视对数式中底数与真数的范围.
学以致用•随堂检测全达标
1.将log5b=2化为指数式是( C )
A.5b=2 B.b5=2
C.52=b D.b2=5
2.已知ln x=2,则x等于(
A.±2
B.e2
C.2e
)
D.2e
答案 B
解析 由ln x=2,得e2=x,即x=e2.
3.(多选题)下列选项中,可以求对数的是(
A.0
B.-5 C.π
)
D.7
答案 CD
解析 根据对数的定义可知0和负数没有对数,所以选项A,B没有对数,π>0,
选项C有对数.又7>0,所以选项D有对数.
4.已知a=log23,则2a=
.
答案 3
解析 由a=log23,化对数式为指数式可得2a=3.
北师版高中数学必修第一册4.3 对 数 第1课时 (课件)
54
)x
ห้องสมุดไป่ตู้
4x
625, 5 3
54, x
3.
解析答案
类型三 应用对数的基本性质求值 例3 求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； 解 ∵log2(log5x)＝0. ∴log5x＝20＝1， ∴x＝51＝5. (2)log3(lg x)＝1； 解 ∵log3(lg x)＝1， ∴lg x＝31＝3， ∴x＝103＝1 000.
B.a＝1 D.x＝10
12345
答案
3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( C )
A.e0＝1 与 ln 1＝0
B.
1
83
1与
2
log812＝－13
1
C.log39＝2 与92 3
D.log77＝1 与 71＝7
12345
答案
4.已知logx16＝2，则x等于( B )
A.±4
B.4
C.256
解得 0<x<1.
解析答案
类型二 对数式与指数式的互化 例2 (1)将下列指数式写成对数式：
①54＝625；
解 log5625＝4； ②2－6＝614； 解 log2614＝－6； ③3a＝27；
解 log327＝a； ④13m＝5.73. 解 log1 5.73 m.
3
解析答案
(2)求下列各式中的x的值：
第1课时 对 数
学习目标
1.了解对数的概念； 2.会进行对数式与指数式的互化； 3.会求简单的对数值.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 对数的概念
思考
解指数方程：3x＝
第四章-§1-对数的概念-§2-对数的概念高中数学必修第一册北师大版
例1-4 ［教材改编P106 A组T2］［多选题］(2024·湖南省长沙市期末)下列说法中正
确的是(
AB
)
A.lg lg 10 = 0
B.lg ln e = 0
C.若10 = lg ,则 = 10
【解析】∵ lg 10 = 1,
∴ lg lg 10 = lg 1 = 0,A正确；
∵ ln e = 1,∴ lg ln e = lg 1 = 0,B正确；
∴
4
4
3
4
= 81,即3 = 34 ,
= 4,即 = 16,故log 4 3 81 = 16.
（3）log
2+ 3
2− 3 .
【解析】设 = log
故log
2+ 3
2+ 3
2 − 3 = log
2 − 3 = −1.
2+ 3
2+ 3
−1
,∴ = −1,
例1-3 (2024·山东省聊城一中月考)对数式log
1
⋅
1
log + log −
=
方法2 当 = 1时，左边=右边= 0.
当 ≠ 1时，左边
=
lg
lg +
+
综上，log
lg
lg −
+
=
lg ⋅lg[ + − ]
lg + ⋅lg −
+ log
−
= 2log
=2
lg
⋅
lg +
例15 设,,是直角三角形的三边长，其中为斜边，且 + ≠ 1, − ≠ 1，求证:
新教材高中数学第四章对数运算与对数函数1对数的概念课件北师大版必修第一册
【对点练习】❶ 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)42＝16；(2)102＝100；
1
(3)42＝2；(4)log132＝－5．
2
[解析] (1)log416＝2 ． (2)lg 100＝2．
(3)log42＝12．
(4)21－5＝32．
题型二
对数基本性质的应用
例 2求下列各式中的x： (1)log3(log2x)＝0； (2)log3(log7x)＝1； (3)lg(ln x)＝1； (4)lg(ln x)＝0． [分析] 利用指数式与对数式的互化进行解答．
【对点练习】❷ 求下列各式中 x 的值：
(1)x＝log116； 2
(2)log8x＝－13；
(3)log( 2 －1)
1 3＋2
2＝x．
[解析] (1)∵x＝log2116，∴12x＝16， 即 2－x＝24．∴－x＝4，即 x＝－4．
(2)∵log8x＝－13，∴x＝8－13＝318＝12．
5．若ln e－2＝－x,则x＝____2_． [解析] 由题意可知e－2＝e－x,故x＝2．
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
对数的定义
例 1 (1)在对数式 y＝log(x－2)(4－x)中，实数 x 的取值范围是 ___2_＜__x_＜__4_且__x_≠__3____．
(2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． ①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log 5125＝6．
第四章 对数运算与对数函数
§1 指数幂的拓展
【素养目标】 1．能结合指数幂解对数的相关概念,常用对数、自然对数．(数 学抽象) 3．能结合教材中的例题掌握指数与对数的互化、简单的求值．(数 学运算)
北师版高中数学必修第一册精品课件 第4章 对数运算与对数函数 对数函数y=loga的图象和性质
解:(1)①∵log3<log31=0,
而 log5>log51=0,
∴log3<log5.
②方法 1:∵0<0.7<1,1.1<1.2,
∴log0.71.2<log0.71.1<0.
提示:将不同底数的对数函数的图象画在同一平面直角坐标
系中,沿直线y=1自左向右看对数函数的底数逐渐增大.
5.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质
图象和
a>1
性质
图
象
0<a<1
(1)定义域:(0,+∞)
(2)值域:R
(3)图象过定点(1,0),即 x=1 时,y=0
(6)当 x>1 时,y<0;
f(g(x))=log2(x2+x)中需有g(x)>0;g(f(x))=(log2x)2+log2x中需有
x>0.
(2)判断y=logaf(x)型或y=f(logax)型函数的奇偶性,首先要注意
函数中自变量的范围,再利用奇偶性的定义判断.
分类讨论思想在对数函数中的应用
【典例】 已知函数y=logax(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上的最大
(2)运用分类讨论的思想.在画对数函数图象之前要先判断对
数的底数a的取值是a>1,还是0<a<1.
(3)牢记特殊点.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点
(1,0),(a,1)和
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第四章 §1
A 组·素养自测
一、选择题
1．如果N ＝a 2(a ＞0，且a ≠1)，则有( D ) A ．log 2N ＝a B ．log 2a ＝N C ．log a 2＝N
D ．log a N ＝2
[解析] ∵N ＝a 2(a ＞0，且a ≠1)，∴2＝log a N .
2．下列各组中，指数式与对数式互换不正确的是( C ) A ．32＝9与log 39＝2 B ．27－
13
＝13与log 2713＝－1
3
C ．(－2)5＝－32与log (－2)(－32)＝5
D ．100＝1与lg 1＝0
[解析] 对数的底数和真数都不能为负数． 3.⎝⎛⎭
⎫12－1＋log 0.5
4的值为( C )
A ．6
B ．7
2 C ．8 D ．37
[解析] ⎝⎛⎭
⎫
12－1＋log 0.5
4
＝⎝⎛⎭⎫12－1
·⎝⎛⎭
⎫12log 0.5
4
＝⎝⎛⎭⎫12－1
·⎝⎛⎭
⎫12log 12
4
＝2×4＝8.
4．方程2log 3x ＝1
4的解是( A )
A ．x ＝1
9
B ．x ＝
33
C ．x ＝3
D ．x ＝9
[解析] ∵2log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－
2＝19.
5．已知f (e x )＝x ，则f (3)＝( B ) A ．log 3e B ．ln 3 C ．e 3
D ．3e
[解析] 令e x ＝3，∴x ＝ln 3，∴f (3)＝ln 3，故选B . 6．设函数f (x )＝错误!则满足f (x )＝错误!的x 值为( C ) A ．－3 B ．13 C ．3
D ．－13
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，2－
x ＝14得x ∈∅；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，
log 81x ＝14
得x ＝3. 二、填空题 7．log (
2－1)(3－2
2)＝__2__．
[解析] 原式＝log (
2－1)(
2－1)2＝2.
8．log 4[log 3(log 2x )]＝0，则x ＝__8__．
[解析] 由log 4[log 3(log 2x )]＝0得log 3(log 2x )＝1，得log 2x ＝3，得x ＝23＝8. 9．若log 31－2x
9
＝1，则x ＝__－13__．
[解析] 因为log 31－2x 9＝1，所以1－2x
9＝3，所以x ＝－13.
三、解答题
10．求下列各式中x 的取值范围： (1)log (x －1)(x ＋2)； (2)log (x ＋1)(x －1)2.
[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x －1≠1，x ＋2＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x ≠2，x ＞－2，即⎩
⎪⎨⎪⎧x ＞1，
x ≠2，
故x 的取值范围是{x |x ＞1且x ≠2}． (2)由⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋1＞0，x ＋1≠1，x －1≠0，得⎩⎨⎧x ＞－1，x ≠0，x ≠1.
故x 的取值范围是{x |x ＞－1且x ≠0，x ≠1}． 11．计算下列各式： (1)2ln e
＋lg 1
＋3log 32；
(2)3log 34－lg 10＋2ln
1.
[解析] (1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.
(2)原式＝3log 34－1＋20＝3log 34÷31＋1＝43＋1＝7
3
.
B 组·素养提升
一、选择题
1．若log a 3＝2log 230，则a 的值为( B ) A ．2 B ．3 C ．8
D ．9
[解析] ∵log a 3＝2log 230＝30＝1，∴a ＝3，故选B .
2．(多选题)下列指数式与对数式互化正确的一组是( ACD ) A ．e 0＝1
与ln 1＝0 B ．log 39＝2与91
2
＝3 C ．8－1
3
＝12与log 812＝－1
3
D ．log 77＝1与71＝7
[解析] log 39＝2化为指数式为32＝9，故选ACD . 3．(多选题)下列等式中正确的是( AB ) A ．lg (lg 10)＝0
B ．lg (ln e )＝0
C ．若lg x ＝10，则x ＝10
D ．若ln x ＝e ，则x ＝e 2
[解析] 对于A ，lg (lg 10)＝lg1＝0；对于B ，lg (ln e )＝lg1＝0；对于C ，若lg x ＝10，则x ＝1010；对于D ，若ln x ＝e ，则x ＝e e ，故选AB .
4．已知lg a ＝2.31，lg b ＝1.31，则b
a 等于( B )
A .1100
B ．110
C ．10
D ．100
[解析] ∵lg a ＝2.31，lg b ＝1.31， ∴a ＝10
2.31
，b ＝10
1.31
，∴b a ＝101.
31102.31＝10－
1＝110
.
二、填空题
5．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋
n ＝__12__．
[解析] ∵log a 2＝m ，∴a m ＝2，∴a 2m ＝4，
又∵log a 3＝n ，∴a n ＝3，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝4×3＝12. 6．log
33
3＝__3__．
[解析] 令log 333＝x ，∴(3)x ＝33＝(3)3， ∴x ＝3，∴log 333＝3.
7．log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －1
2
＝4
． [解析] ∵log 5[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴x ＝23＝8， ∴x －
1
2
＝8－12＝18＝122＝2
4
.
三、解答题
8．求下列各式中x 的值： (1)x ＝log 22
4；(2)x ＝log 93；
(3)log x 8＝－3；(4)log 12
x ＝4.
[解析] (1)由已知得⎝⎛⎭
⎫22x ＝4， ∴2－x
2
＝22，－x
2
＝2，x ＝－4.
(2)由已知得9x ＝3，即
32x ＝31
2.
∴2x ＝12，x ＝14
.
(3)由已知得x －3
＝8，即⎝⎛⎭⎫1x 3
＝23，1x ＝2，x ＝12
. (4)由已知得x ＝⎝⎛⎭⎫124
＝116. 9．设x ＝log 23，求23x －2－
3x 2x －2－x 的值．
[解析] 由x ＝log 23，得2－
x ＝13
，2x ＝3，
∴23x －2－3x 2x －2－x ＝(2x )3－(2－x )32x －2－x
＝(2x )2＋1＋(2－x )2＝32
＋1＋⎝⎛⎭⎫132＝919.。