(完整版)平行四边形判定,题型归纳(较难)
中考数学平行四边形的判定经典题型精编
平行四边形的判定一、【基础知识精讲】1.平行四边形的判定方法：①两组对边分别平行②两组对边分别相等③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形④两组对角分别相等⑤对角线互相平分2.平行四边形性质的运用：①直接运用平行四边形性质解决某些问题，如求角的度数，线段的长度,证明角相等或互补,证明线段相等或倍分等．②判别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．③先判别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．二、【例题精讲】例1．（1）根据下列条件，不能判别四边形是平行四边形的是( )A．一组对边平行且相等的四边形B．两组对角分别相等的四边形C．对角线相等的四边形D．对角线互相平分的四边形（2）下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB=CD，AD∥BC B．AB=CD，AB∥CDC．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC例2．已知：如图，□ABCD中，点E、F在对角线上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．例3．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，EF 过点O 交AD 于E ，交BC 于F ，G 是OA 的中点，H 是OC 的中点，求证：四边形EGFH 是平行四边形．三、【同步练习】 A 组1．如图，四边形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ， 若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD 是______, 根据是_____________________ .2．在图中，AC=BD ， AB=CD=EF ，CE=DF ，图中有哪些互相平行的线段？3．一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（ ） A ．88°，108°，88° B ．88°，104°，108° C ．88°，92°，92° D ．88°，92°，88°4．如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，AF=CE ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．OCDBA5、已知如图：在ABCD 中，延长AB 到E ，延长CD 到F ，使BE=DF ， 则线段AC 与EF 是否互相平分？说明理由.6．如图，在ABCD 中，点E 、F 在对角线AC 上，并且OE=OF ．（1）OA 与OC ，OB 与OD 相等吗？ （2）四边形BFDE 是平行四边形吗？（3）若点E ，F 在OA ，OC 的中点上，你能解决上述问题吗？B 组1、在ABCD 中,∠ABC=750，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE=2AB ，则∠AED 等于（ ） A 、600 B 、650 C 、700 D 、7502．如图，在ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上，分别取点K 、L 、M 、N ，使AK=CM 、BL=DN ，则四边形KLMN 为平行四边形FED CBA3．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点A 做BE 的 平行线与线段ED 的延长线交于点F ，连接AE ，CF 。
专题23 平行四边形(归纳与讲解)(原卷版)
专题23 平行四边形【专题目录】技巧1：判定平行四边形的五种常用方法技巧2：平行四边形中的折叠问题【题型】一、平行线的性质、掌握平行四边形的概念及有关性质和判定，并能进行计算和证明．用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”1、平行四边形对边平行且相等；几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD,AD=BC;AB∥CD,AD∥BC2、平行四边形对角相等、邻角互补；几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠1+∠4=180°…3、平行四边形对角线互相平分；【类型】三、利用一组对边平行且相等判定平行四边形3．如图，点E ，F 在□ABCD 的边BC ，AD 上，BE =13BC ，FD =13AD ，连接BF ，DE ． 求证：四边形BEDF 是平行四边形．几何描述：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AO=OC=12AC,BO=OD=12BD【类型】四、利用两组对角分别相等判定平行四边形4.下面给出了四边形ABCD中▱A、▱B、▱C、▱D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．1：2：2：1 B．2：2：1：1 C．1：2：1：2 D．1：1：2：2【类型】五、利用对角线互相平分平分判定平行四边形5．如图，将▱ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．技巧2：平行四边形中的折叠问题【类型】一、平行四边形中的折叠问题1．如图，E，F分别是£ABCD的边AD、BC上的点，EF＝6，▱DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF 翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则▱GEF的周长为（）A．9B．12C．9√3D．18【题型讲解】【题型】一、平行线的性质例1、如图，在▱ABCD中，CE平分▱BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（）A．B．C．D．【题型】二、平行线的性质证明例2、如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E ，B ，D ，F 在同一条直线上，请添加一个条件使得ABE CDF △≌△，下列不正确．．．的是（ ）A ．AE CF =B ．AEB CFD ∠=∠C ．EAB FCD ∠=∠ D ．BE DF =【题型】三、平行线性质与判定例3、已知ABCD ，O 为对角线AC 的中点，过O 的一条直线交AD 于点E ，交BC 于点F ．（1）求证：AOE COF △≌△；（2）若:12AE AD =：，AOE △的面积为2，求ABCD 的面积． 【题型】四、平行线性质与判定证明例4、已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BD 、AC 相交于点E ，过点A 作//AF DC ，交对角线BD 于点F ．（1）求证：DF DEBD BE=； （2）如果ADB ACD ∠=∠，求证：线段CD 是线段DF 、BE 的比例中项． 【题型】五、三角形中位线有关的面积计算例5、如图，▱ABC 中，AD 、BE 是两条中线，则S ▱EDC ：S ▱ABC =（ ）A ．1：2B ．2：3C ．1：3D ．1：4相似三角形（达标训练）一、单选题1．在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．OA OC =，OB OD = B ．AB DC =，AD BC = C ．AB DC ∥，AB DC =D ．AB DC ∥，AD BC =2．如图，平行四边形ABCD 中，100C ∠=︒，点E 在CD 上，且AE AD =，则DAE ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．30︒C ．40︒D ．80︒3．如图，▱ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，BC ＝9，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，则四边形DBFE 的周长是（ ）A ．13B ．15C ．17D ．194．在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列结论一定正确的是（ ）A ．OB OD = B ．AB BC =C ．AC BD = D ．180ABC ADC ∠+∠=︒5．已知：如图，在ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．求证：四边形EBFD 是平行四边形．以下是排乱的证明过程：▱EB FD∴=；▱AB CD EB FD∴=，∥；▱▱四边形EBFD是平行四边形；▱又11,22EB AB FD CD==；▱四边形ABCD是平行四边形．证明步骤正确的顺序是（）AC6只728．在四边形ABCD中，已知AD▱BC，▱B＝▱D，AE▱BC于点E，AF▱CD于点F．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．相似三角形（提升测评）1点A 2ABC 中，，则下列结论错误的是（A AE BFAD ABEF DECE EA3长是（ ）A ．28B ．29C ．30D ．314．如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，4CD =，10AB =，点M ，N 分别是边AD 和对角线BD 的中点，且MN与对角线AC交于点P，则PN的长为（）A．2B．3C．5D．75A6ABC，D则______．7形三、解答题8．如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E．(1)求证：AE=AC；(2)9交(1)(2)。
平行四边形的性质与判定压轴题八种模型全攻略(解析版)
专题05平行四边形的性质与判定压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一利用平行四边形的性质求解】 (1)【考点二利用平行四边形的性质证明】 (3)【考点三判断能否构成平行四边形】 (7)【考点四添一个条件成为平行四边形】 (10)【考点五证明四边形是平行四边形】 (12)【考点六平行四边形中的折叠问题】 (16)【考点七利用平行四边形的性质无刻度作图】 (18)【考点八利用平行四边形的性质与判定综合】 (21)【过关检测】 (27)【典型例题】【考点一利用平行四边形的性质求解】【答案】3【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边；熟练掌握平行四=边形的性质，得出AF AB根据平行四边形的对边平行且相等可得AD BC ∥，6DC AB ==，9AD BC ==；根据两直线平行，内错角相等可得AFB FBC ∠=∠；根据从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得ABF FBC ∠=∠；推得ABF AFB ∠=∠，根据等角对等边可得6AF AB ==，6DE DC ==，即可列出等式，求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，6DC AB ==，9AD BC ==，∵AD BC ∥，∴AFB FBC ∠=∠，∵BF 平分ABC ∠，∴ABF FBC ∠=∠，则ABF AFB ∠=∠，∴6AF AB ==，同理可证：6DE DC ==，∵2EF AF DE AD =+-=，即669EF +-=，解得：3EF =；故答案为：3．【变式训练】【答案】22【分析】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形对角线互相平分求出【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，【答案】16【分析】此题考查了平行四边形的性质及周长的计算，关键．根据题意，OM 垂直平分【考点二利用平行四边形的性质证明】例题：（2023下·广东广州·八年级校考期中）平行四边形ABCD 中，AE BF 、分别平分DAB ∠和ABC ∠交CD 于点E F AE BF 、，、交于点G ．(1)求证：AE BF ⊥；(2)判断DE 和CF 的大小关系，并说明理由【答案】(1)证明见解析(2)DE CF =，理由见解析【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型；（1）证明90BAE ABF ∠+∠=︒，即可推出90AGB ∠=︒即AE BF ⊥；（2）证明,DE AD CF BC ==，再利用平行四边形的性质AD BC =，即可解决问题；【详解】（1）证明：如图，∵在平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，180DAB ABC ∴∠+∠=︒，AE、BF 分别平分DAB ∠和ABC ∠，22DAB BAE，ABC ABF ∴∠=∠∠=∠，22180BAE ABF ∴∠+∠=︒，即90BAE ABF ∠+∠=︒，90AGB ∴∠=︒，AE BF ∴⊥；（2）解：结论：线段DF 与CE 是相等关系，即DF CE =，∵在平行四边形ABCD 中，CD AB ∥，DEA EAB ∴∠=∠，又AE 平分DAB ∠，DAE EAB ∴∠=∠，DEA DAE ∴∠=∠，DE AD ∴=，同理可得，CF BC =，又∵在平行四边形ABCD 中，AD BC =，DE CF ∴=．【变式训练】1．（2023上·福建厦门·九年级校联考阶段练习）如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长BC 到点E ，使得CE BC =，连接AE 交CD 于点F ．证明：AFD EFC △≌△．【答案】证明见解析【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的证明．由平行四边形的性质可得AD BC ∥，AD BC =，从而D FCE ∠=∠，AD CE =，又AFD EFC ∠=∠，通过“AAS ”证得ADF ECF ≌△△．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AD BC =，∴D FCE ∠=∠，∵AD BC =，CE BC =，∴AD CE =，∴在ADF △和ECF △中，D FCE AFD EFC AD EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ADF ECF △△≌．2．（2023下·广东佛山·八年级校联考期末）如图，在平行四边形ABCD 中，2AB BC =，点E 为AB 的中点，连接CE 并延长与DA 的延长线相交于点F ．(1)求证：AEF BEC ≌△△；(2)求证：DE 是CDF ∠的平分线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，连接CE 并延长与DA 的延长线相交于点F 得CB DF ∥，则BCE AFE ∠=∠，根据点E 为AB 的中点得AE BE =，利用AAS 即可证明；（2）根据四边形ABCD 是平行四边形得AB CD ∥，可得AED CDE ∠=∠，根据2AB BC =，点E 为AB 的中点，得AE AD =，则AED ADE ∠=∠，等量代换得CDE ADE ∠=∠，即可得．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，连接CE 并延长与DA 的延长线相交于点F ，∴CB DF ∥，∴BCE AFE ∠=∠，∵点E 为AB 的中点，∴AE BE =，在AEF △和BEC 中，AFE BCE AEF BEC AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEF BEC AAS ≌；（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，∴AED CDE ∠=∠，∵2AB BC =，点E 为AB 的中点，∴AE AD =，∴AED ADE ∠=∠，∴CDE ADE ∠=∠，∴DE 是CDF ∠的平分线．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．3．（2023上·北京海淀·九年级统考期中）如图，ABCD Y 的对角线,AC BD 交于点,O EF 过点O 且分别与,AD BC 交于点,E F ．△≌△(1)求证：AOE COF(2)记四边形ABFE的面积为【答案】(1)证明见解析【考点三判断能否构成平行四边形】例题：（2023下·北京海淀·八年级北京市十一学校校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A ．OA OC =，OB OD=B ．AB CD ∥，AD CB ∥C ．AB CD =，AD CB=D ．AB CD ∥，AD CB=【答案】D 【分析】由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、∵OA OC =，OB OD =，∴四边形ABCD 是平行四边形，故选项A 不符合题意；B 、∵AB CD ∥，AD CB ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，故选项B 不符合题意；C 、∵AB CD =，AD CB =，∴四边形ABCD 是平行四边形，故选项C 不符合题意；D 、由AB CD ∥，AD CB =，不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故选项D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·江西赣州·八年级校联考期末）如图，在ABCD Y 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上．下列条件中，不能．．得出四边形AECF 一定为平行四边形的是（）A ．AF CE=B ．AE CF =C ．AE CF ∥D ．BAE DCF∠=∠【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可．【详解】A 、∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，即AF CE ∥．又AF CE =，∴四边形AECF 为平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）该选项不符合题意．B 、无法证明四边形AECF 为平行四边形，该选项符合题意．C 、∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，即AF CE ∥．又AE CF ∥，∴四边形AECF 为平行四边形．（两组对边分别平行的四边形为平行四边形）该选项不符合题意．D 、∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BAD BCD ∠=∠，B D ∠=∠．又BAE DCF ∠=∠，EAF BAD BAE ∠=∠-∠，FCE BCD DCF ∠=∠-∠，∴EAF FCE Ð=Ð．∵AEC B BAE ∠=∠+∠，AFC D DCF ∠=∠+∠，∴AEC AFC ∠=∠．∴四边形AECF 为平行四边形．（两组对角分别相等的四边形为平行四边形）该选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，牢记平行四边形的判定方法是解题的关键．2．（2023下·安徽合肥·八年级校考期末）如图，AD BC ∥，AD BC =，E 、F 是线段BD 上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF 是平行四边形的是（）A ．BE DF=B ．AEB DFC =∠∠C ．AF FE=D ．AE BD ⊥，CF BD⊥【答案】C 【分析】连接AB 、CD 、AC 交BD 于点O ，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA OC =，OB OD =，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE OF =即可，然后根据各选项的条件分析判断结合平行四边形的判定即可得解．【详解】解：连接AB ，CD ，，AD BCAD BC=，∴四边形ABCD是平行四边形，连接AC交BD于O，∴=，BO ODAO OC=，=，BE DF∴=，OE OF∴四边形AECF是平行四边形，故A不符合题意；，∠=∠AEB CFD\Ð=Ð，AEO CFO∴∥，AE CF，AO OC∠=∠AOE COF=，≌，∴∆∆(AAS)AOE COF∴=，AE CF∴四边形AECF是平行四边形，故B不符合题意；=，故无法判定四边形AECF是平行四边形，故C符合题意；AF FE⊥，，CF BD⊥AE BD∴∠=∠，AEB CFD以下的证明与B相同，故D选项不符合题意；故答案为：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．【考点四添一个条件成为平行四边形】【答案】BE DF =或BF DE =或BAE DCF ∠=∠．【分析】用反推法，假如四边形是平行四边形，会推出什么结果，这结果就是要添加的条件．【详解】解：使四边形AECF 是平行四边形．就要使AE CF ，AE CF =，就要使AEB CFD ≅△△，而在平行四边形中已有AB CD =，ABE CDF ∠=∠，再加一个BE DF =或BF DE =可用SAS 证AEB CFD ≅△△，或BAE DCF ∠=∠用ASA 证AEB CFD ≅△△．故答案为：BE DF =或BF DE =或BAE DCF ∠=∠．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，本题是开放题，答案不唯一，可以针对各种特殊的平行四边形的判定方法，给出条件，本题主要是通过给出证明AEB CFD ≅△△的条件来得到AE CF ，AE CF =，根据四边形中一组对边平行且相等就可证明为是平行四边形．【变式训练】【答案】AD BC=【分析】在DEBF 中可得ED BF ∥行四边形．【详解】解：添加条件AD BC =，【答案】2或3【分析】根据平行四边形的判定可知，分两种情况：可得．【考点五证明四边形是平行四边形】Y的对角线AC，BD相交于点O，例题：（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）已知：如图，ABCDBM AC ⊥，DN AC ⊥，垂足分别为M ，N ．求证：四边形BMDN 是平行四边形．【答案】见解析【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，首先根据平行四边形的性质得到AB CD =，BAM DCN ∠=∠，然后证明出()AAS ABM CDN △△≌，得到MB DN =，然后证明出MB DN ∥，即可证明四边形BMDN 是平行四边形．熟悉相关性质是解题的关键．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB CD =，BAM DCN∠=∠∵BM AC ⊥，DN AC⊥∴90AMB CND ∠=∠=︒∴()AAS ABM CDN △△≌∴MB DN=∵BM AC ⊥，DN AC⊥∴90OMB OND ∠=∠=︒∴MB DN∥∴四边形BMDN 是平行四边形．【变式训练】1．（2023下·天津·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD 中，点G H ，分别是AB CD ，的中点，点E F 、在对角线AC 上，且AE CF =．(1)求证：AGE CHF ≌△△；(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形；(2)若6AB =，8AD =，A ∠=【答案】(1)见解析(2)27由（1）得：四边形CEDF 是平行四边形，CE DF ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，60BCD A ∴∠=∠=︒，CD =【考点六平行四边形中的折叠问题】【答案】40︒/40度【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质．根据平行四边形和折叠的性质，得到而求出MFA∠的度数，利用三角形的内角和定理，进行求解即可．【详解】解：∵平行四边形∥，∴CD AB故答案为：40︒．【变式训练】【答案】110︒/110度【分析】根据平行四边形的性质和外角定义证明折可得240EDB ∠=∠=︒，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：设BE ，DC 交于点∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，∴ABD CDB ∠=∠，由翻折可知：ABD EBD ∠=∠，∴EBD CDB ∠=∠，E A ∠=∠，【答案】30︒/30度【分析】由平行四边形的性质得∠=由三角形外角性质求出AEF【详解】解： 四边形ABCD是平行四边形，【考点七利用平行四边形的性质无刻度作图】例题：（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，只用无刻度的直尺按下列要求画图．（不写画法）(1)在图1中，点E 是BC 的中点，作边AD 上的中点F ；(2)在图2中，ABC ∠的平分线交AD 于点F ，在边BC 上的找点P ，使得连接DP 后，DP 平分ADC ∠．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】本题主要考查利用平行四边形性质作图，（1）利用平行四边形对角线相互平分的性质，即可确定EO AB ∥，且点E 为中点，即可求得点F 也为中点；（2）利用平行四边形对角线相互平分的性质，可判定四边形FBPD 为平行四边形，结合BF 平分ABC ∠，则DP 即为所求．【详解】（1）解：连接AC 和BD 交于点O ，连接EO ，延长EO 交AD 于点F ，如图，（2）连接AC 和BD 交于点O ，连接FO ，延长FO 交BC 于点P ，如图，【变式训练】1．（2023下·江西吉安·八年级统考期末）例在ABCD Y 中，点E 为AB 上一点，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线）(1)如图1，E 为AB 边上一点，AE AD =，画出∠D 的角平分线；(2)如图2，E 为AB 边上一点，AE AD =，画出∠B 的角平分线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接DE ，由AE AD =得AED ADE ∠=∠，结合平行线的性质可得AED CDE ∠=∠，进而可得DE 平分ADC ∠，即DE 即为所求；（2）连接AC BD ，交于点O ，连接EO 并延长交CD 点F ，连接BF ，BF 为所求．【详解】（1）解：如图：DE 即为所求．（2）解：如图：BF 即为所求．【点睛】本题考查作图一复杂作图、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．2．（2023上·湖北黄石·九年级统考期中）如图是由小正方形组成的86⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD 的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺．．．．．．．．在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）．(1)判断四边形ABCD 的形状；(2)在图1中，在CD 上画点E ，使=45ABE ∠︒；(3)在图2中的CD 上画点G ，使CG AD =．【答案】(1)平行四边形(2)见解析（3）解：如图2，点G即为所求；【考点八利用平行四边形的性质与判定综合】Y对角线AC上的两点．例题：（2023下·广东深圳·八年级校考期末）已知：如图，E、F是ABCD(1)若AE CF =，求证：四边形BFDE 是平行四边形；(2)若DE AC ⊥，BF AC ⊥，垂足分别为E 、F ，35EDF ∠=︒，求FBE ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)35︒【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，根据ABCD Y ，得OB OD =，OA OC =，继可证得OE OF =，即可由平行四边形的判定定理得出结论．（2）先由DE AC ⊥，BF AC ⊥，得出90AED BFC ∠=∠=︒，DE BF ∥，再证()AAS ADE CBF ≌△△，得DE BF =，从而证得四边形BFDE 是平行四边形，即可根据平行四边形的性质得35FBE EDF ∠=∠=︒．【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于O ，∵ABCD Y ，∴OB OD =，OA OC =，∵AE CF =，∴AE OA CF OC -=-，即OE OF =，∴四边形BFDE 是平行四边形．（2）解：∵DE AC ⊥，BF AC ⊥，∴90AED BFC ∠=∠=︒，DE BF ∥，∵ABCD Y ，∴AD BC =，AD BC ∥，∴DAE BCF ∠=∠，在ADE V 和CBF V 中，DAE BCF AED BFC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ADE CBF ≌△△，∴DE BF =，∴四边形BFDE 是平行四边形∴35FBE EDF ∠=∠=︒．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·吉林长春·八年级校考期中）如图，ABCD Y 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且BE DF =，连接EF 交BD 于O ．(1)连接BF 、DE ，判断四边形DEBF 的形状并说明理由．(2)若6AE =，2BE =，BOF 的面积为2，求ABCD Y 的面积．(3)若BD AD ⊥，45A ∠=︒，EF AB ⊥，延长EF 交AD 的延长线于G ，当1FG =时，则AB 的长为______．【答案】(1)四边形DEBF 是平行四边形，理由见解析；(2)16；(3)4；【分析】（1）分别证明DF EB ∥，BE DF =，即可；（2）利用平行四边形的性质，由BOF 的面积为2，得到4EFB S = ，再利用三角形同底等高的性质，得到EDB △的面积，再求出8ADB S = ，则可知ABCD Y 的面积为216ADB S = ；（3）由ADB 是等腰直角三角形，得出45A ∠=︒，因为EF AB ⊥，得出45G ∠=︒，所以ODG 与DFG 都是等腰直角三角形，从而依次求得GF 、GE 、AE 的长，则AB 可求；【详解】（1）解：四边形DEBF 是平行四边形；(1)如图①，求证：四边形ABCD 是平行四边形；(2)如图②，BE 平分ABC ∠，交AD 于点E ．若30α=︒，2AB =(3)如图③，平分ABC ∠，交AD 于点E ，作AH CD ⊥交射线DC 图①图②综上所述，线段AF ，DE ，CH 之间的数量关系为DE CH AF +=或DE CH AF-=【过关检测】一、单选题1．（2023上·吉林长春·八年级校联考期末）在ABCD Y 中，80A C ∠+∠=︒，则D ∠的度数为（）A ．140︒B ．40︒C ．70︒D ．80︒【答案】A【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补是解题的关键．由平行四边形的性质得,A C AB CD ∠=∠∥，则180A D ∠+∠=︒，再求出40A ∠=︒，即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,A C AB CD ∠=∠∥，180,A D ∴∠+∠=︒80,A C ∠+∠=︒Q 40,A C \Ð=Ð=°180140,D A ∴∠=︒-∠=︒故选：A ．2．（2023下·全国·八年级假期作业）有下列说法：①平行四边形的两组对边分别平行且相等；②平行四边形的对角线互相平分；③平行四边形的对角相等、邻角互补；④平行四边形的对角线相等．其中正确的说法有（）A ．4个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】略3．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图，点P 是ABCD Y 内的一点，过点P 作直线EF 、GH 分别平行于AB 、BC ，与ABCD Y 的边分别交于G 、F 、H 、E ．则图中平行四边形的个数为（）A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，进行判断即可．【详解】解：∵ABCD Y ，∴,∥∥AD BC AB CD ，∵过点P 作直线EF 、GH 分别平行于AB 、BC ，∴,EF AB CD GH AD BC ∥∥∥∥，∴四边形,,,,,,,AGPE ABFE AGHD GBCH EPHD PFCH EFCD GBFP 均为平行四边形，∴加上ABCD Y 共9个；故选D ．4．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，点E 是ABCD Y 边AD 延长线上一点，连接BE 、CE 、BD ，BE 与CD 交于点F ．添加以下条件，不能判定四边形BCED 为平行四边形的是（）A ．DE DA=B ．ABD DCE ∠=∠C ．DEB BCD ∠=∠D ．EF FB=【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，理解并掌握平行四边形的判定定理是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，CD AB ∥，AD BC =，CD AB =，若DE DA =，由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，即可判断选项A ；若ABD DCE ∠=∠，易得DCE CDB ∠=∠，即可证明BD CE ∥，由“两组对边分别平行的四边形为平行四边形”即可判断选项B ；若EF FB =，证明DEF CBF ≌△△，由全等三角形的性质可得DE CB =，由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，即可判断选项D ；由DEB BCD ∠=∠不能证明四边形BCED 为平行四边形，即可判断选项C ．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，CD AB ∥，AD BC =，CD AB =，即DE BC ∥，若DE DA =，则有DE BC =，∴四边形BCED 为平行四边形，故选项A 不符合题意；∵CD AB ∥，∴ABD CDB ∠=∠，若ABD DCE ∠=∠，则有DCE CDB ∠=∠，∴BD CE ∥，又∵DE BC ∥，∴四边形BCED 为平行四边形，故选项B 不符合题意；∵DE BC ∥，∴DEF CBF ∠=∠，若EF FB =，则在DEF 和CBF V 中，DEF CBF EF FB DFE CFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)DEF CBF ≌，∴DE CB =，又∵DE BC∥∴四边形BCED 为平行四边形，故选项D 不符合题意；由DEB BCD ∠=∠不能证明四边形BCED 为平行四边形，选项C 符合题意．故选：C ．5．（2023下·浙江·八年级校联考期中）如图，E ，F 分别是平行四边形ABCD 的边AB ，CD 上的点，AF 与A ．a b+B ．12c a b --【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形12DEC S DC EM =⋅ ，ABCD S DC EM c =⋅= ，12DEC S c ∴= ， 四边形ABCD 是平行四边形，二、填空题【答案】24︒【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出形两个锐角角互余即可求得答案．【答案】213【分析】本题主要考查平行四边形的性质及勾股定理的运用，长度，则BD即可求解，解答本题的关键在于表示出所需边长．【详解】解：∵四边形ABCD【答案】40【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定是解题的关键．【答案】40°/40度【分析】根据平行四边形的性质可得∠=∠，然后由四边形内角和定理即可解决问题．EFD EFN【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∥，∴AB CDAD BC，∴∠=∠，DAM AMB，DAM BAM ∠=∠∴∠=∠，BAM AMB同理可证，AE EM=，可得1()2EF AD CM=-=综上所述，EF的长为故答案为：5或2．三、解答题(1)求证：CE AB=(2)连接CF，若CF DE⊥【答案】(1)见解析（2）解：过点D作DH⊥=，∵E∠=60°，CD CE是等边三角形，∴CDE∥，∵CD AB(1)求证：四边形ADFE 是平行四边形；(2)若25BD AE ==，，直接写出【答案】(1)见解析(2)13【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理(1)在BC 上取点M ，使四边形ABME 为平行四边形；(2)在CD 的延长线上取一点F ，使四边形BDFA 为平行四边形．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接EO 并延长交为平行四边形，则AE BM ∥，又因为E 为AD 的中点，以四边形ABME 为平行四边形；（2）连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，连接AF ，则点则FC AB ∥，所以ABE DFE ∠=∠，又因为E 为AD 的中点，所以()AAS ABE DFE ≌△△，即AB DF =，所以四边形BDFA 【详解】（1）解：点M 即为所求：（2）解：如图，点F 即为所求：【点睛】本题考查作图-复杂作图、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关．14．（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在ABCD Y 中，点E 是CD 延长线上的一点，连接AE ，EAD DBC ∠=∠，BE 交AD 于点F ．(1)求证：四边形ABDE 为平行四边形；(2)若4BAD EAD ∠=∠，50BDC ∠=︒，求C ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)104度【分析】（1）平行四边形的性质，得到AD BC ∥，AB CD ，进而得到ADB DBC ∠=∠，推出EAD ADB ∠=∠，得到AE BD ，即可得证；（2）邻补角求出BDE ∠，平行四边形的性质，得到BAE BDE ∠=∠，结合4BAD EAD ∠=∠，求出EAD ∠，进而得到DBC ∠的度数，再利用外角的性质，求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AB CD ，(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)若AB BF ⊥，8AB =，6BF =，AC 【答案】(1)证明见解析(2)192516．（2023上·辽宁沈阳·九年级东北育才双语学校校考阶段练习）将ED绕点E逆时针旋转90︒得到EF(1)当点E 在线段BC 上，=45ABC ∠︒时，如图①，求证：BEF AED ≌△△：(2)当点E 在线段BC 延长线上，=45ABC ∠︒时，如图②；当点E 在线段CB 延长线上，ABC ∠如图③，请猜想并直接写出线段AE ，EC ，BF 的数量关系；(3)在（1）、（2）的条件下，若3BE =，5DE =，则CE =______．【答案】(1)见解析∴()SAS BEF AED ≌；（2）解：当=45ABC ∠︒时，如图②：∵AE BC ⊥，=45ABC ∠︒，∴45BAE ∠=︒，90AEB ∠=︒，∴AE BE =，90BEF AEF ∠+∠=︒，∵ED 绕点E 逆时针旋转90︒得到EF ，∴,90DE EF DEF =∠=︒，∴90AEF AED ∠+∠=︒，∴AED BEF ∠=∠，在BEF △和AED △中，AE BE AED BEF DE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BEF AED ≌；∴BF AD =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC AD =，∴BF BC =，∵BE BC EC =+，∴AE BF EC =+；当135ABC ∠=︒时，如图③：∵135ABC ∠=︒，∴=45ABE ∠︒，∵AE BC ⊥，∴45BAE ∠=︒，90AEB ∠=︒，∴AE BE =，90BED AED ∠+∠=︒，∵ED 绕点E 逆时针旋转90︒得到EF ，∴,90DE EF DEF =∠=︒，∴90BED BEF ∠+∠=︒，【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的全等的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法，证明BEF AED ≌△△，以及掌握全等三角形对应边相等，平行四边形对边相等．。
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OOO ⎪ ⎨ ⎩ ⎩⎬ 一、知识点讲解：1. 平行四边形的性质：（⎧ 1）两组对边分别平行；⎪ DC（2）两组对边分别相等四边形 ABCD 是平行四边形⇒ ⎪ 3（⎨ ）两组对角分别相等； （⎪ 4）对角线互相平分； AB（⎩ 5）邻角互补 .2. 平行四边形的判定：DC.3.矩形的性质： A B（⎧ 1）具有平行四边形的所有通性; DC DC因为四边形 ABCD 是矩形⇒ （⎪ 2）四个角都是直角; （⎪ 3）对角线相等.AB AB(4)是轴对称图形，它有两条对称轴．4 矩形的判定：(1)有一个角是直角的平行四边形； (2)有三个角是直角的四边形； (3) 对角线相等的平行四边形；(4) 对角线相等且互相平分的四边形． ⇒四边形 ABCD 是矩形. 两对角线相交成 60°时得等边三角形。
5. 菱形的性质：D（⎧ 1）具有平行四边形的所有通性 因为 ABCD 是菱形⇒ ⎪ 2）四个边都相等；6. 菱形的判定：（⎨（⎪ 3）对角线垂直且平分对角. ACBD（1） 平行四边形 + 一组邻边等⎫ （2） 四个边都相等（3） 对角线垂直的平行四边形 ⎪⇒四边形 ABCD 是菱形. ⎪A C⎭菱形中有一个角等于 60°时，较短对角线等于边长；菱形中，若较短对角线等于边长，则有等边三角形；B 菱形中，两对角线把菱形分成 4 个全等的直角三角形，每个直角三角形的斜边是菱形的边，两直角边分别是两对角线的一半。
菱形的面积等于两对角线长积的一半。
OOEFOAEO F C⎩ （⎨ ⇒ 7.正方形的性质：D（⎧ 1）具有平行四边形的所有通性；C DC四边形 ABCD 是正方形⇒ ⎪2）四个边都相等，四个角都是直角 （⎪ 3）对角线相等垂直且平分对角.A B A B8. 正方形的判定：（1） 平行四边形 + 一组邻边等+ 一个直角⎫ ⎪（2） 菱形 +一个直角 （3） 菱形 +对角线相等 （4） 矩形 + 一组邻边等 （5） 矩形 + 对角线互相垂直⎪ ⎪⎬ 四边形 ABCD 是正方形. ⎪ ⎪ ⎭9. 1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。
专题9.3 平行四边形的判定【九大题型】(举一反三)(苏科版)(解析版)
专题9.3 平行四边形的判定【九大题型】【苏科版】
【题型1 判断能否构成平行四边形】...................................................................................................................1【题型2 添加条件构成平行四边形】...................................................................................................................4【题型3 数图形中平行四边形的个数】...............................................................................................................7【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】.....................................................................................10【题型5 证明四边形是平行四边形】.................................................................................................................14【题型6 全等三角形拼平行四边形问题】.........................................................................................................18【题型7 利用平行四边形的判定和性质求解】.................................................................................................22【题型8 利用平行四边形的判定和性质证明】.................................................................................................28【题型9 平行四边形的应用】.............................................................................................................................36
平行四边形的判定知识点总结及其对应题型含详解
平行四边形的判定01 基础题知识点1两组对边分别相等的四边形是平行四边形1•如图，AB=CD=EF，且厶ACE^ABDF，则图中平行四边形的个数为（C）CA・1B・2C・3D・42•若四边形ABCD的边AB=CD，BC=DA，则这个四边形是平行四边形，理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形.知识点2两组对角分别相等的四边形是平行四边形3•下而给出四边形ABCD中的度数之比，英中能判宦四边形ABCD 为平行四边形的是（E）2・ 1 ： 2 ： 3 ： 4 B. 2 ： 3 ： 2 ： 3C・2：2：3：3 D1 ：2：2：34• 一个四边形的三个相邻内角的度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（刀）A・ 88°， 108° > 88°B. 88°， 104°， 108°C- 88°，92°，92°D. 108°，72°，108°知识点3对角线互相平分的四边形是平行四边形5.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件BO=DO（答案不唯二1（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形.6・已知：如图，在四边形ABCD中，AB〃CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO=CO. 求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：•••AB〃CD，•••ZABO=ZCDO， ZBAO=ZDCO.••• AABO^ACDOGUS)・•••BO=DO.•••四边形ABCD是平行四边形.7 •如图，在-ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形.证明：•••四边形ABCD是平行四边形，•••OA=OC > OB=OD.•••点E，F分别是OB，OD的中点，AOE=OF.又VOA=OC，・•.四边形AECF是平行四边形.知识点4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形8.如图所示，四边形ABCD和AEFD都是平行四边形，则四边形BCFE是平行四边形，理由:•纠.对也atm的四边形肚丫行四边形.9• （2016新疆）如图，在四边形ABCD中，AD〃BC，AE丄AD交BD于点E，CF丄BC交BD 于点F，且AE=CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：TAE丄AD，CF丄BC，•••ZEAD=ZFCB = 90° . VAD/7BC，••• ZADE= ZCBF.在ZXAED 和Z\CFB 中，fZADE=ZCBF，< ZEAD=ZFCB，I AE=CF、:.AAED^ACFBC^S)・AAD=BC.•••四边形ABCD是平行四边形.02 中档题10•小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD 的中点重叠，并用钉子固左，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（J）2・对角线互相平分的四边形是平行四边形B•两组对角分别相等的四边形是平行四边形C •两组对边分别相等的四边形是平行四边形D•两组对边分别平行的四边形是平行四边形11- （2016衢州）已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x=4或_2.12•已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，点E，F在AC上，且AF= CE.求证：四边形BEDF是平行四边形.VAB=CD，BC=AD，・•.四边形ABCD是平行四边形.•••AO=CO，BO=DO.VAF=CE，•••AF-AO=CE-CO，即OF=OE. 又VOB = OD，•••四边形BEDF是平行四边形・13・（2017-南京）如图，在ABCD中，点E > F分别在AD，BC上，且AE=CF，EF，BD 相交于点O，求证：OE=OF.证明：连接BE，DF.•••四边形ABCD是平行四边形，:.AD//BC > AD=BC.VAE=CF，•••DE=BF.又VDE/7BF，.•・四边形BEDF是平行四边形..-.OE=OF.14・(2016张家界)已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，E是BC的中点，直线AE 交DC 的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论.解：四边形ABFC是平行四边形. 证明：•••AB〃CD， AZBAE=ZCFE.TE 是BC 的中点，•••BE=CE. 在Z\ABE 和ZkFCE 中，rZBAE=ZCFE，< ZAEB=ZFEC，I BE=CE，A AABE^AFCE(AAS)・:.AB=CF. 又•:AB〃CF、：•四边形是平行四边形.03 综合题15 •如图所示，在四边形ABCD中，AD/7BC，AD=24 cm，BC = 30 cw，点P从点A向点D以1 c?n/s 的速度运动，到点D即停止.点Q从点C向点B以2 an!s的速度运动，到点B 即停止.直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，英中一个四边形为平行四边形？解：设当P，Q两点同时岀发ts后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形. 根据题意> 得AP=5 > PD=(24-t)cw，CQ=25，BQ=(30-2t)c?w(0WtW15)・①若四边形ABQP是平行四边形，•••AD〃BC，•••还需满足AP=BQ./.t=30—2t.解得t=10.•••10s后四边形ABQP是平行四边形：②若四边形PQCD是平行四边形，VAD//BC，•••还需满足PD=CQ./. 24—t=2t.解得t=8.••・8 s后四边形PQCD是平行四边形.综上所述：当P，Q两点同时出发8秒或10秒后，所截得两个四边形中英中一个四边形为平行四边形.。
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对角线取值范围问题(同三角形第三边中线取值范围）平行四边形一边长为10,一条对角线长为6，则它的另一条对角线长a的取值范围为 ( )A．4〈a〈16 B．14〈a<26 C．12<a<20 D．8〈a<32平行四边形的判定：1：定义法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形4：对角线相互平分的四边形是平行四边形14.平行四边形的判定（一）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形例题1：如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC．过点A作AE⊥BC于点E；过点C作CF∥AE,交AD于点F;求证：四边形AECF为平行四边形练习：1、已知：如图，△ABC是等边三角形,D、E分别是BA、CA的延长线上的点，且AD=AE，连接ED并延长到F，使得EF=EC，连接AF、CF、BE．(1）求证：四边形BCFD是平行四边形;证明：（1）∵△ABC为等边三角形，且AE=AD，∴由题可知∠AED=∠ADE=∠EAD=60°∴EF∥BC，又∵EC=EF,∴△ECF为等边三角形,即∠EFC=∠EDB=60°，∴CF∥BD∴四边形BCFD为平行四边形．2、如图：平行四边形ABCD中,M、N分别是AB、CD的中点，AN与DM相交于点P，BN与CM相交于点Q.试说明PQ与MN互相平分。
3、如图，在四边形ABCD中,AH、CG、BE、FD分别是∠A、∠C、∠B、∠D的角平分线，且BE∥FD，AH∥CG，证明四边形ABCD为平行四边形．15。
平行四边形的判定（二）：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例题1:如图，在ABCD中,延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G。
求证:AF＝DF【答案】解:（1）证明：如图1，连接BD、AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD。
∵DE＝CD，∴AB∥DE，AB＝DE。
∴四边形ABDE是平行四边形。
∴AF＝DF。
练习:1、如图，已知平行四边形ABCD,过A作AM⊥BC于M,交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F,连结AF、CE ．（1）求证：四边形AECF 为平行四边形；【答案】(1）证明∵四边形ABCD 是平行四边形（已知），∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）。
又∵AM 丄BC （已知），∴AM⊥AD。
∵CN 丄AD （已知）,∴AM∥CN。
∴AE∥CF。
又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC(平行四边形的对边相等）。
在△ADE 和△CBF 中， ∠DAE=∠BCF=90 ,AD=CB,∠ADE=∠FBC， ∴△ADE≌△CBF（ASA ），∴AE=CF（全等三角形的对应边相等）。
∴四边形AECF 为平行四边形(对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
2、如图：在ABCD 中,H F G E ,,,分别是四条边上的点，且,AE CF BG DH ==,试说明：EF 与GH 相互平分．例题2：如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形,点D 在BC 边上，AB 边上有一点F ，且BF=DC ，连接EF 、EB ．（1)求证：△ABE ≌△ACD ； （2）求证:四边形EFCD 是平行四边形练习：1、如图1，在△OAB 中，∠OAB=90°,∠AOB=30°，OB=8.以OB 为一边,在△OAB 外作等边三角形OBC,D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E。
(1)求点B的坐标。
(2）求证：四边形ABCE是平行四边形。
(3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG,求OG的长.【解析】（1)∵∠AOB=30°,OB=8，∴AB=4,OA=4，∴B(4,4）。
(2)∵△OBC是等边三角形,∴OC=OB=8。
∵D点为OB的中点，∴OD=4.又∵AD是Rt△OAB斜边的中线,∴AD=OB=OD,∴∠ODA=180°-2×30°=120°，∴∠EDO=60°.又∠EOD=60°,∴△OED为等边三角形,∴OE=4,∴E（0,4）,∴CE=4，CE=AB.又∵CE∥AB,∴四边形ABCE是平行四边形。
(3）∵GA=GC,∴GA2=GC2.即OG2+OA2=（OC-OG)2，OG2+（4）2=（8-OG）2，∴OG=1.16.平行四边形的判定(三）:两组对边分别相等的四边形是平行四边形例题1:如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C,分别以A、C为圆心,BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是【】A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．梯形练习：1、如图,点A 、B 、C 是坐标平面内不在同一直线上的三点，画出以A 、B 、C 三点为顶点的平行四边形．．ABC xy例题2：如图所示,试证明：四边形PONM 是平行四边形．练习： 1、在ABCD 中，分别以AD,BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF ，连接BE ，DF.求证:四边形BEDF 是平行四边形.2、四边形的四条边长分别是a 、b 、c 、d ，其中a 、c 为对边，且满足cd ab d c b a 222222+=+++，则这个四边形一定是（ ）A ．平行四边形B ．两组对角分别相等的四边形C ．对角线互相垂直的四边形D ．对角线相等的四边形3、等边△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，且CD=BE，以AD为边作等边△ADF，如图．求证：四边形CDFE是平行四边形．4、如图所示，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF，猜想：四边形ADEF是什么四边形，试证明你的结论．证明:四边形ADEF是平行四边形．连接ED、EF，∵△ABD、△BCE、△ACF分别是等边三角形，∴AB=BD，BC=BE，∠DBA=∠EBC=60°．∴∠DBE=∠ABC．∴△ABC≌△DBE．同理可证△ABC≌△FEC，∴AB=EF，AC=DE．∵AB=AD，AC=AF，∴AD=EF，DE=AF．∴四边形ADEF是平行四边形17.平行四边形的判定（四）:对角线相互平分的四边形是平行四边形例题1：已知A （2，3）B （—2,5）,A 、B 点关于原点的对称点分别为C 、D,依次连接A 、B 、C 、D 点，则四边形ABCD 是什么四边形？例题2、如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线BD ，过A 、C 两点分别作AE BD ⊥于E 点，CF BD ⊥于F 点，求证：四边形AECF 是平行四边形练习：1、如图是某市一公园的路面示意图，其中，ABCD 是平行四边形，BE ⊥AC, DF ⊥AC ，E 、F 是垂足，G 、H 分别是BC 、AD 的中点,连接EG 、GF 、FH ，HE 为公园中小路，问小明从B 地经E 地，H 地到F 地，与小强从D 地经F 地，G 地到E 地，谁的路程远？2、如图所示,在ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上两点，且AF =CE,求证：四边形BEDF 是平行四边形．3、如图，在ABCD 中，点M 、N 是对角线AC 上的点，且AM =CN ， DE =BF ，求证：四边形MFNE 是平行四边形18。
坐标平行四边形知识点总结：若A 、B 、C 为已知点，则求一点D 与他们构成平行四边形，则有三个点1D 、2D 、3D ，则有1D =A+B-C 2D =A+C-B 3D =B+C —A （按照中点坐标公式和对角线相互平分性质)例题1、已知点A （﹣1，0),B （2，﹣1），D(0，1)．请在直角坐标系中找一点C 与A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形，则点C 的坐标为 ______________________。
练习：1、若以A （—0.5,0），B （2，0），C （0,1）三点为顶点要画平行四边形,则第 四个顶点不可能在【 】A. 第一象限 B 。
第二象限 C 。
第三象限 D 。
第四象限2、已知点D 与点A （8,0），B(0，6）,C(a ，﹣a ）是一平行四边形的四个顶点，则CD 长的最小值为 ．例题2、如图,在平面直角坐标系中，已知Rt △AOB 的两条直角边0A 、08分别在y 轴和x 轴上,并且OA 、OB 的长分别是方程27120x x -+=的两根（OA 〈0B)，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒l 个单位长度的速度向点O 运动;同时，动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 运动,设点P 、Q 运动的时间为t 秒． (1）求A 、B 两点的坐标。
（2）当t=2时,在坐标平面内,是否存在点M ，使以A 、P 、Q 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由练习：1、如图x C y ⊥⊥BC 轴于点，BA 轴于A 点，B(3,4)，四边形ABCD 沿直线EF 折叠，点A 落在BC 边上的G 处,E 、F 分别在AD 、AB 上,且AF=2． （1)求G 点坐标；（2）求直线EF 解析式；（3）点N 在x 轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由19。
动点平行四边形例题1：在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＞BC,BC=6cm ，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动,Q 以2cm/s 的速度由C 出发向B 运动，几秒后四边形ABQP 是平行四边形?练习：1、如图,在△ABC 中,AB=AC ，射线AM ∥BC ，点P 从点A 出发沿射线AM 运动,同时点Q 从点B 出发沿射线BC 运动,设运动时间为t （s ）．(1）连接PQ 、AQ 、PC ，当PQ 经过AC 的中点D 时，求证：四边形AQCP 是平行四边形； (2)若BC=6cm ，点P 速度为1cm/s ，点Q 的速度为4cm/s ，填空: ①当t 为_______s 时，以A 、Q 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形；（1）证明：∵D 为AC 中点， ∴AD=CD ， ∵AM ∥BC ， ∴∠PAC=∠ACB ，QPCBA在△ADP和△CDQ中，∠PAD＝∠DCQAD＝CD∠ADP＝∠CDQ,∴△ADP≌△CDQ（ASA），∴PD=DQ，又∵AD=CD，∴四边形AQCP是平行四边形;（2）①当Q在线段BC上，AP=QC时,以A、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形，由题意得：t=6-4t，解得：t=1.2，当Q在C的右边时，AP=QC时，以A、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形，由题意得:t=4t—6,解得:t=2，故答案为：1。