中考真题解析分类汇编之平行四边形的判定
中考专题-平行四边形的性质与判定
中考专题-平行四边形的性质与判定【课前热身】1、已知□ABCD,若AB=15㎝, BC=10cm,则AD=____㎝. 周长=____ cm.2、已知□ABCD, ∠A=50度, 则∠C=____ 度. ∠B=____ 度.3、如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 长度之和为20cm,若△OAD 的周长为17cm ，则AD=____cm.4、在四边形ABCD 中,若分别给出六个条件:①AB ∥CD ②AD=BC ③OA=OC ④AD ∥ BC ⑤AB=CD ⑥OB=OD.现在,以其中的两个为一组,能直接确定四边形ABCD 为平行四边形的条件是 _________ (只填序号)5．□ABCD 中，若∠A ＋∠C ＝130 o ，则∠D 的度数是 .6．如图，已知□ABCD 中，周长为36cm,AB=8cm ，则BC= cm,当∠B=60°时，AD 、BC 之间的距离AE= cm ，平行四边形ABCD 的面积为 cm 。
（第3题) (第6题) （第7 题）7、如图，在□ABCD 中，周长为24cm,对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长差是2cm ，则AB 的长是 cm 。
8、在□ABCD 中，AE=CF ，求证：DE=BF【考点链接】 1．平行四边形：(1)平行四边形的定义： 是平行四边形．平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD 记作，读作平行四边形ABCD ．2．平行四边形的性质：(1) 平行四边形的对边 ． (2)平行四边形的对角 ，邻角 。
(3)平行四边形的对角线 ．(4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积． 3．平行四边形的判别方法：(1) 的四边形是平行四边形． (2) 的四边形是平行四边形． （3) 的四边形是平行四边形．(4) 的四边形是平行四边形。
三、典例精析ABOCDABC例1 如图，在□ABCD 中，AB ＝5，AD ＝8，DE 平分∠ADC ，则BE ＝_______________．（例1） （变式1） （变式2）变式1 如图，在□ABCD 中，E 是AD 边上的中点，若ABE EBC ∠=∠，2AB =，则□ABCD 的周长是_________.变式2 如图，在□ABCD 中，∠A=130°，在AD 上取DE=DC ，则∠E C B=________. . 例2、如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是对角线BD 上两点，且BE=DF ，要判别四边形AECF 是平行四边形，你能找出几种方法？变式一：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是对角线BD 上两点，且AE ∥CF ， 求证：（1）△ABE ≌△CDF; （2） ∠EAF=∠ECF变式二：如图，E ，F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE=AF ．请你猜想：BE•与DF 有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．例3在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＞BC ，BC=6cm ，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动，Q 以2cm/s 的速度由C 出发向B 运动，几秒后四边形ABQP 是平行四边形？变式：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD=5cm, BC=8cm ，G 是CD 的中点，P 是BC 边上的一动点（P 与点B 、CQ CDDDB CE D CABE F不重合），连接PG 并延长交AD 的延长线于点Q 。
人教中考数学一模试题分类汇编——平行四边形综合含答案解析
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF＝120°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折叠可知，BC＝DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴AE PD1==BE BP∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜边上的中线，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等边三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60°，∵AB∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60°，∴∠EDF＝120°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度2．如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，分别延长AC至E，BC至F，且CE＝EF，延长FE交AD的延长线于G．（1）求证：AE＝EG；（2）如图2，分别连接BG，BE，若BG＝BF，求证：BE＝EG；（3）如图3，取GF的中点M，若AB＝5，求EM的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5 2【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：∠CAD＝∠G，可得AE＝EG；（2）作辅助线，证明△BEF≌△GEC（SAS），可得结论；（3）如图3，作辅助线，构建平行线，证明四边形DMEN是平行四边形，得EM＝DN＝12AC，计算可得结论．【详解】证明：（1）如图1，过E作EH⊥CF于H，∵AD⊥BC，∴EH∥AD，∴∠CEH＝∠CAD，∠HEF＝∠G，∵CE＝EF，∴∠CEH＝∠HEF，∴∠CAD＝∠G，∴AE＝EG；（2）如图2，连接GC，∵AC＝BC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴AG是BC的垂直平分线，∴GC＝GB，∴∠GBF＝∠BCG，∵BG＝BF，∴GC＝BE，∵CE＝EF，∴∠CEF＝180°﹣2∠F，∵BG＝BF，∴∠GBF＝180°﹣2∠F，∴∠GBF＝∠CEF，∴∠CEF＝∠BCG，∵∠BCE＝∠CEF+∠F，∠BCE＝∠BCG+∠GCE，∴∠GCE＝∠F，在△BEF 和△GCE 中，CE GCE F CG BF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEF ≌△GEC （SAS ），∴BE ＝EG ；（3）如图3，连接DM ，取AC 的中点N ，连接DN ，由（1）得AE ＝EG ，∴∠GAE ＝∠AGE ，在Rt △ACD 中，N 为AC 的中点，∴DN ＝12AC ＝AN ，∠DAN ＝∠ADN ， ∴∠ADN ＝∠AGE ，∴DN ∥GF ，在Rt △GDF 中，M 是FG 的中点， ∴DM ＝12FG ＝GM ，∠GDM ＝∠AGE ， ∴∠GDM ＝∠DAN ，∴DM ∥AE ，∴四边形DMEN 是平行四边形， ∴EM ＝DN ＝12AC ， ∵AC ＝AB ＝5， ∴EM ＝52． 【点睛】 本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键．3．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF 与BE交于点O．（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）12；探究：2或2．【解析】试题分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，∵△AOB与△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12．探究：解：分为两种情况：①如图1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四边形A′DCB是平行四边形，∴BC=A′D=2，过B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=，∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2；②如图2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四边形A′BDC是平行四边形，∴A′C=BD=2，过C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；即△ABC的面积是2或2．考点：四边形综合题．4．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC．（1）求证：△AEF≌△DCE．（2）若DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6cm.【解析】分析：（1）根据EF⊥CE，求证∠AEF=∠ECD．再利用AAS即可求证△AEF≌△DCE．（2）利用全等三角形的性质，对应边相等，再根据矩形ABCD的周长为32cm，即可求得AE的长.详解：（1）证明：∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．在Rt△AEF和Rt△DEC中，∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．∴△AEF≌△DCE．（2）解：∵△AEF≌△DCE．AE=CD．AD=AE+4．∵矩形ABCD的周长为32cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得，AE=6（cm）．答：AE的长为6cm．点睛：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．5．点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系；（2）当点P运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P在射线OA上运动，恰好使得∠OEF＝30°时，猜想此时线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．【答案】（1）OE ＝OF ．理由见解析；（2）补全图形如图所示见解析，OE ＝OF 仍然成立；（3）CF ＝OE+AE 或CF ＝OE ﹣AE ．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及垂线，即可判定()AOE COF AAS ∆≅∆，得出OE =OF ； （2）先延长EO 交CF 于点G ，通过判定()AOE COG ASA ∆≅∆，得出OG =OE ，再根据Rt EFG ∆中，12OF EG =，即可得到OE =OF ； （3）根据点P 在射线OA 上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P 在线段OA 上时，当点P 在线段OA 延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可．【详解】（1）OE =OF ．理由如下：如图1．∵四边形ABCD 是矩形，∴ OA =OC ．∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴90AEO CFO ∠=∠=︒．∵在AOE ∆和COF ∆中，AEO CFO AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AOE COF AAS ∆≅∆，∴ OE =OF ；（2）补全图形如图2，OE =OF 仍然成立．证明如下：延长EO 交CF 于点G ．∵AE BP ⊥，CF BP ⊥，∴ AE //CF ，∴EAO GCO ∠=∠．又∵点O 为AC 的中点，∴ AO =CO ．在AOE ∆和COG ∆中，EAO GCO AO CO AOE COG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，∴()AOE COG ASA ∆≅∆，∴ OG =OE ，∴Rt EFG ∆中，12OF EG =，∴ OE =OF ； （3）CF =OE +AE 或CF =OE -AE ． 证明如下：①如图2，当点P 在线段OA 上时．∵30OEF ∠=︒，90EFG ∠=︒，∴60OGF ∠=︒，由（2）可得：OF =OG ，∴OGF ∆是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，由（2）可得：AOE COG ∆≅∆，∴ CG =AE ．又∵ CF =GF +CG ，∴ CF =OE +AE ；②如图3，当点P 在线段OA 延长线上时．∵30OEF ∠=︒，90EFG ∠=︒，∴60OGF ∠=︒，同理可得：OGF ∆是等边三角形，∴ FG =OF =OE ，同理可得：AOE COG ∆≅∆，∴ CG =AE ．又∵ CF =GF -CG ，∴ CF =OE -AE ．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决．6．猜想与证明：如图1，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．【答案】猜想：DM=ME，证明见解析；（2）成立，证明见解析.【解析】试题分析：延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（1）、延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（2）、连接AE，根据正方形的性质得出∠FCE=45°，∠FCA=45°，根据RT△ADF中AM=MF得出DM=AM=MF，根据RT△AEF中AM=MF得出AM=MF=ME，从而说明DM=ME.试题解析：如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=DE，∴DM=HM=ME，∴DM=ME．（1）、如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM∴DM=HM=ME，∴DM=ME，（2）、如图2，连接AE，∵四边形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，∴AE和EC在同一条直线上，在RT△ADF中，AM=MF，∴DM=AM=MF，在RT△AEF中，AM=MF，∴AM=MF=ME，∴DM=ME．考点：（1）、三角形全等的性质；（2）、矩形的性质.7．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．【答案】（1）AG2=GE2+GF2（2）【解析】试题分析：（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+x）2，解得x=，推出BN=，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题.试题解析：（1）结论：AG2=GE2+GF2．理由：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于对角线BD对称，∵点G在BD上，∴GA=GC，∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CF=GE，在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，∴AG2=GF2+GE2．（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，∴∠AMN=30°，∴AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，∴1=x2+（2x+x）2，解得x=，∴BN=，∴BG=BN÷cos30°=．考点：1、正方形的性质，2、矩形的判定和性质，3、勾股定理，4、直角三角形30度的性质8．如图1所示，（1）在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P 是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN．（2）若将（1）中“正三角形ABC”改为“正方形ABCD”，N是∠DCP的平分线上一点，若∠AMN=90°，则AM=MN是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．（3）若将（2）中的“正方形ABCD”改为“正n边形A1A2…A n“，其它条件不变，请你猜想：当∠A n﹣2MN=_____°时，结论A n﹣2M=MN仍然成立．（不要求证明）【答案】0 (2)180 nn【解析】分析：（1）要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN．（2）同（1），要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN．详（1）证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°．∵N是∠ACP的平分线上一点，∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120°．在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM=MN．（2）解：结论成立；理由：在边AB上截取AE=MC，连接ME．∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°．∵N是∠DCP的平分线上一点，∴∠NCP=45°，∴∠MCN=135°．在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM=MN．（3）由（1）（2）可知当∠A n-2MN等于n边形的内角时，结论A n-2M=MN仍然成立；即∠A n-2MN=()02180nn-时，结论A n-2M=MN仍然成立；故答案为[()02180nn-]．点睛：本题综合考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定，同时考查了学生的归纳能力及分析、解决问题的能力．难度较大．9．如图1，在菱形ABCD中，ABC=60°，若点E在AB的延长线上，EF∥AD，EF=BE，点P 是DE的中点，连接FP并延长交AD于点G．（1）过D作DH AB,垂足为H，若DH=，BE=AB,求DG的长；（2）连接CP，求证：CP FP；（3）如图2，在菱形ABCD中，ABC=60°，若点E在CB的延长线上运动，点F在AB的延长线上运动，且BE=BF，连接DE,点P为DE的中点，连接FP、CP，那么第（2）问的结论成立吗？若成立，求出的值；若不成立，请说明理由．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据菱形得出DA∥BC，CD=CB，∠CDG=∠CBA=60°，则∠DAH=∠ABC=60°，根据DH⊥AB得出∠DHA=90°，根据Rt△ADH的正弦值得出AD的长度，然后得出BE的长度，然后证明△PDG≌△PEF，得出DG=EF，根据EF∥AD，AD∥BC 得出EF∥BC，则说明△BEF为正三角形，从而得出DG的长度；（2）连接CG、CF，根据△PDG≌△PEF得出PG=PF，然后证明△CDG≌△CBF，从而得到CG=CF，根据PG=PF得出垂直；（3）过D作EF的平行线，交FP延长于点G，连接CG、CF证△PEF≌△PDG，然后证明△CDG≌△CBF，从而得出∠GCE=120°，根据Rt△CPF求出比值．试题解析：（1）解：∵四边形ABCD为菱形∴DA∥BC CD="CB" ∠CDG=∠CBA=60°∴∠DAH=∠ABC=60°∵DH⊥AB ∴∠DHA=90°在Rt△ADH中 sin∠DAH=∴AD=∴BE=AB=×4=1 ∵EF∥AD ∴∠PDG=∠PEB ∵P为DE的中点∴PD=PE∵∠DPG=∠EPF ∴△PDG≌△PEF ∴DG=EF ∵EF∥AD AD∥BC ∴EF∥BC∴∠FEB=∠CBA=60°∵BE=EF ∴△BEF为正三角形∴EF=BE=1 ∴DG=EF=1、证明：连接CG、CF由（1）知△PDG≌△PEF ∴PG=PF在△CDG与△CBF中易证：∠CDG=∠CBF=60° CD=CB BF=EF=DG ∴△CDG≌△CBF∴CG=CF ∵PG=PF ∴CP⊥GF（3）如图：CP⊥GF仍成立理由如下：过D作EF的平行线，交FP延长于点G连接CG、CF证△PEF≌△PDG ∴DG=EF=BF ∵DG∥EF ∴∠GDP=∠EFP ∵DA∥BC∴∠ADP=∠PEC∴∠GDP－∠ADP=∠EFP－∠PEC ∴∠GDA=∠BEF=60°∴∠CDG=∠ADC+∠GDA=120°∵∠CBF=180°－∠EBF=120°∴∠CBF=∠CDG ∵CD=BC DG=BF ∴△CDG≌△CBF∴CG=CF ∠DCG=∠FCE ∵PG=PF ∴CP⊥PF ∠GCP=∠FCP∵∠DCP=180－∠ABC=120°∴∠DCG+∠GCE=120°∴∠FCE+∠GCE=120°即∠GCE=120°∴∠FCP=∠GCE=60°在Rt△CPF中 tan∠FCP=tan60°==考点：三角形全等的证明与性质．10．（本题满分10分）如图1，已知矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，若将该纸片沿着过点B的直线折叠（折痕为BM），点A恰好落在CD边的中点P处．（1）求矩形ABCD的边AD的长．（2）若P为CD边上的一个动点，折叠纸片，使得A与P重合，折痕为MN，其中M在边AD上，N在边BC上，如图2所示．设DP＝x cm，DM＝y cm，试求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．（3）①当折痕MN的端点N在AB上时，求当△PCN为等腰三角形时x的值；②当折痕MN的端点M在CD上时，设折叠后重叠部分的面积为S，试求S与x之间的函数关系式【答案】（1）AD＝3；（2）y=－其中，0＜x＜3；（3）x=；（4）S=.【解析】试题分析：（1）根据折叠图形的性质和勾股定理求出AD的长度；（2）根据折叠图形的性质以及Rt△MPD的勾股定理求出函数关系式；（3）过点N作NQ⊥CD，根据Rt△NPQ 的勾股定理进行求解；（4）根据Rt△ADM的勾股定理求出MP与x的函数关系式，然后得出函数关系式.试题解析：（1）根据折叠可得BP=AB=6cm CP=3cm 根据Rt△PBC的勾股定理可得：AD＝3．（2）由折叠可知AM＝MP，在Rt△MPD中，∴∴y=－其中，0＜x＜3.（3）当点N在AB上，x≥3，∴PC≤3，而PN≥3，NC≥3.∴△PCN为等腰三角形，只可能NC＝NP．过N点作NQ⊥CD，垂足为Q，在Rt△NPQ中，∴解得x=．（4）当点M在CD上时，N在AB上，可得四边形ANPM为菱形．设MP＝y，在Rt△ADM中，，即∴ y=．∴ S=考点：函数的性质、勾股定理.。
全国中考数学试题分类解析汇编套专题专题平行四边形
2012年全国中考数学试题分类解析汇编159套63专题专题43：平行四边形一、选择题1. 2012广东佛山3分依次连接任意四边形各边的中点,得到一个特殊图形可认为是一般四边形的性质,则这个图形一定是A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形答案 A;考点三角形中位线定理,平行四边形的判定;分析根据题意画出图形,如右图所示：连接AC,∵四边形ABCD各边中点是E、F、G、H,∴HG∥AC,HG=12AC,EF∥AC,EF=12AC;∴EF=GH,EF∥GH;∴四边形EFGH是平行四边形;由于四边形EFGH是平行四边形,它就不可能是梯形；同时由于是任意四边形,所以AC=BD或AC⊥BD不一定成立,从而得不到矩形或菱形的判断;故选A;2. 2012浙江杭州3分已知平行四边形ABCD中,∠B=4∠A,则∠C=A．18°B．36°C．72°D．144°答案B;考点平行四边形的性质,平行线的性质;分析由平行四边形性质求出∠C=∠A,BC∥AD,推出∠A+∠B=180°,求出∠A的度数,即可求出∠C：∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠C=∠A,BC∥AD;∴∠A+∠B=180°;∵∠B=4∠A,∴∠A=36°;∴∠C=∠A=36°;故选B;3. 2012湖北武汉3分在面积为15的平行四边形ABCD中,过点A作AE垂直于直线BC于点E,作AF垂直于直线CD于点F,若AB＝5,BC＝6,则CE＋CF的值为A．11＋1132B．11－1132C ．11＋1132或11－1132D ．11－1132或1＋32答案C; 考点平行四边形的性质和面积,勾股定理;分析依题意,有如图的两种情况;设BE=x,DF=y;如图1,由AB ＝5,BE=x,得222AE AB BE 25x =-=-;由平行四边形ABCD 的面积为15,BC ＝6,得2625x =15-,解得53x=2±负数舍去; 由BC ＝6,DF=y,得222AF AD DF 36y =-=-;由平行四边形ABCD 的面积为15,AB ＝5,得2536y =15-,解得y=33±负数舍去;∴CE＋CF=6－532＋5－33=11－1132; 如图2,同理可得BE= 532,DF=33; ∴CE＋CF=6＋532＋5＋33=11＋1132; 故选C;4. 2012湖南益阳4分如图,点A 是直线l 外一点,在l 上取两点B 、C,分别以A 、C 为圆心,BC 、AB 长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB 、AD 、CD,则四边形ABCD 一定是A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．梯形答案A;考点作图复杂作图,平行四边形的判定;分析∵别以A 、C 为圆心,BC 、AB 长为半径画弧,两弧交于点D,∴AD=BC,AB=CD;∴四边形ABCD 是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形;故选A;5. 2012四川广元3分 若以A,0,B2,0,C0,1三点为顶点要画平行四边形,则第四个顶点不可能在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案C;考点平行四边形的判定,坐标与图形性质;分析根据题意画出图形,如图所示：分三种情况考虑：①以CB 为对角线作平行四边形ABD 1C,此时第四个顶点D 1落在第一象限；②以AC 为对角线作平行四边形ABCD 2,此时第四个顶点D 2落在第二象限；③以AB 为对角线作平行四边形ACBD 3,此时第四个顶点D 3落在第四象限;则第四个顶点不可能落在第三象限;故选C;6. 2012四川德阳3分 如图,点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点,点F 是边BC 上的一个动点不与点B 重合.以BD 、BF 为邻边作平行四边形BDEF,又AP BE 点P 、E 在直线AB 的同侧,如果BD B 14A =,那么△PBC 的面积与△ABC 面积之比为A.41B.53C.51D.43 答案D;考点平行四边形的判定和性质;分析过点P 作PH∥BC 交AB 于H,连接CH,PF,PE;∵APBE,∴四边形APEB 是平行四边形;∴PE AB;, ∵四边形BDEF 是平行四边形,∴EFBD; ∴EF∥AB;∴P,E,F 共线;设BD=a,∵1BD AB 4=,∴PE=AB=4a;∴PF=PE﹣EF=3a; ∵PH∥BC,∴S △HBC =S △PBC ;∵PF∥AB,∴四边形BFPH 是平行四边形;∴BH=PF=3a;∵S △HBC ：S △ABC =BH ：AB=3a ：4a=3：4,∴S △PBC ：S △ABC =3：4;故选D;7. 2012四川巴中3分不能判定一个四边形是平行四边形的条件是A. 两组对边分别平行B. 一组对边平行,另一组对边相等C. 一组对边平行且相等D. 两组对边分别相等答案B;考点平行四边形的判定分析根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; A、D、C均符合是平行四边形的条件,B则不能判定是平行四边形;故选B;8. 2012四川自贡3分如图,在平行四边形ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分∠BAD交BC边于点E,则线段BE,EC的长度分别为A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 答案B;考点平行四边形的性质,平行的性质,等腰三角形的判定和性质;分析∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE;∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC;∴∠DAE=∠AEB;∴∠BAE=∠BEA;∴AB=BE=3;∴EC=AD﹣BE=2;故选B;答案D;考点平行四边形的性质,平行的性质,等腰三角形的判定;分析∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB=CD,AD=BC;∴∠AEB=∠E BC;又BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC;∴∠ABE=∠AEB;∴AB=AE;同理可得：DC=DF;∴AE=DF;∴AE－EF=DE－EF,即AF=DE;当1EF AD4=时,设EF=x,则AD=BC=4x;∴AF=DE=14AD－EF=;∴AE=AB=AF+EF=;∴AB：BC=：4=5：8;∵以上各步可逆,∴当AB：BC=：4=5：8时,1EF AD4=;故选D;10. 2012山东聊城3分如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在边BC上,如果点F是边AD上的点,那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是A．DF=BE B．AF=CE C．CF=AE D．CF∥AE答案C;考点平行四边形的性质,全等三角形的判定;分析根据平行四边形的性质和全等三角形的判定方法逐项分析即可：A、当DF=BE时,由平行四边形的性质可得：AB=CD,∠B=∠D,利用SAS可判定△CDF≌△ABE；B、当AF=CE时,由平行四边形的性质可得：BE=DF,AB=CD,∠B=∠D,利用SAS可判定△CDF≌△ABE；C、当CF=AE时,由平行四边形的性质可得：AB=CD,∠B=∠D,利用SSA不能可判定△CDF≌△ABE；D、当CF∥AE时,由平行四边形的性质可得：AB=CD,∠B=∠D,∠AEB=∠CFD,利用AAS可判定△CDF≌△ABE;故选C;11. 2012山东泰安3分如图,在平行四边形ABCD中,过点C的直线CE⊥AB,垂足为E,若∠EAD=53°,则∠BCE的度数为A．53°B．37°C．47°D．123°答案B;考点平行四边形的性质,对项角的性质,平行的性质;分析设CE与AD相交于点F;∵在平行四边形ABCD中,过点C的直线CE⊥AB,∴∠E=90°,∵∠EAD=53°,∴∠EFA=90°﹣53°=37°;∴∠DFC=37∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC;∴∠BCE=∠DFC=37°;故选B;12. 2012广西南宁3分如图,在平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,对角线AC,BD相交于点O,则OA的取值范围是A．2cm＜OA＜5cm B．2cm＜OA＜8cm C．1cm＜OA＜4cm D．3cm＜OA＜8cm答案C;考点平行四边形的性质,三角形三边关系;分析∵平行四边形ABCD 中,AB=3cm,BC=5cm, ∴OA=OC=12AC 平行四边形对角线互相平分, BC －AB ＜AC ＜BC ＋AB 三角形三边关系,即2cm ＜AC ＜8cm;∴1cm＜OA ＜4cm;故选C;13. 2012内蒙古包头3分如图,过口ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ,那么图中的口AEMG 的面积S 1 与口HCFG 的面积S 2的大小关系是A .S 1 > S 2 < S 2 C .S 1 = S 2 = S 2答案C;考点平行四边形的判定和性质;分析易知,四边形BHME 和MFDG 都是平行四边形;∵平行四边形的对角线把平行四边形分成了两个面积相等的三角形,∴ABD BCD EBM BHM GMD DMF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===，，;∴ABD EBM GMD BCD BHM DMF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆--=--,即S 1 = S 2;故选C;14. 2012黑龙江绥化3分如图,在平行四边形ABCD 中,E 是CD 上的一点,DE ：EC=2：3,连接AE 、BE 、BD,且AE 、BD 交于点F,则S △DEF ：S △EBF ：S △ABF =A ．2：5：25B ．4：9：25C ．2： 3：5D ．4：10：25答案D;考点平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质;分析由DE ：EC=2：3得DE ：DC=2：5,根据平行四边形对边相等的性质,得DE ：AB=2：5 由平行四边形对边平行的性质易得△DFE∽△BFA∴DF：FB= DE ：AB=2：5,S △DEF ：S △ABF =4：25;又∵S △DEF 和S △EBF 是等高三角形,且DF ：FB =2：5,∴S △DEF ：S △EBF =2：5=4：10;∴S △DEF ：S △EBF ：S △ABF =4：10：25;故选D;二、填空题1. 2012广东汕头4分如图,在 ABCD 中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点A 为圆心,AD 的长为半径画弧交AB 于点E,连接CE,则阴影部分的面积是 ▲ 结果保留π．答案133π-;考点平行四边形的性质,扇形面积的计算分析过D点作DF⊥AB于点F;∵AD=2,AB=4,∠A=30°,∴DF=AD sin30°=1,EB=AB﹣AE=2;∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积=230211 4121336023ππ⨯⨯⨯--⨯⨯=-;2. 2012浙江衢州4分如图,平行四边形ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,CD=2DE．若△DEF的面积为a,则平行四边形ABCD的面积为▲ 用a的代数式表示．答案12a;考点平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质;分析∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,AB=CD,∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF;∴S△DEF：S△CE B=DE：CE2,S△DEF：S△ABF=DE：AB2,∵CD=2DE,∴DE：CE=1：3,DE：AB=1：2,∵S△DEF=a,∴S△CBE=9a,S△ABF=4a,∴S四边形BCDF=S△CEB﹣S△DEF=8a;∴S ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=8a+4a=12a;3. 2012江苏南京2分如图,在平行四边形ABCD中,AD=10cm,CD=6cm,E为AD上一点,且BE=BC,CE=CD,则DE= ▲ cm答案;考点平行四边形的性质,平行的性质,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质;分析∵四边形ABCD是平行四边形,AD=10cm,CD=5cm,∴BC=AD=10cm,AD∥BC,∴∠2=∠3;∵BE=BC,CE=CD,∴BE=BC=10cm,CE=CD=5cm,∠1=∠2,∠3=∠D;∴∠1=∠2=∠3=∠D;∴△BCE∽△CDE;∴BC CECD DE=,即1055DE=,解得DE=;4. 2012江苏镇江2分如图,E是平行四边形ABCD的边CD上一点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,且AD=4,CE1AB3=,则CF的长为▲ ;答案2;考点平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质的;分析∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥DC,BC=AD=4;∴△CEF∽△ABF;∴CE CF AB BF =; 又∵CE 1AB 3=,BF=BC+CF=4+ CF,∴CF 14CF 3=+,解得CF=2; 5. 2012湖北鄂州3分如图,ABCD 中,AE⊥BC 于E,AF⊥CD 于F,若AE=4,AF=6,sin∠BAE=31,则CF= ▲ .考点平行四边形的性质,锐角三角函数定义,勾股定理,相似三角形的判定和性质;分析由AE⊥BC 和sin∠BAE=13,得BE 1AB 3=;∴可设BE=k,则AB=3k;∵AE=4,∴根据勾股定理得222AB AE BE =+,即()2223k 4k =+,解得;;∵四边形ABCD ,∠D=∠B;又∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AFD=∠AEB=900;∴△AFD∽△AEB;∴DF AF BE AE=;64=,解得DF DF= =6. 2012湖南永州3分如图,平行四边形ABCD 的对角线相交于点O,且AB≠AD,过O 作OE⊥BD 交BC 于点E ．若△CDE 的周长为10,则平行四边形ABCD 的周长为 ▲ ．答案20;考点平行四边形的性质,线段垂直平分线的性质;144482分析∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OB=OD,AB=CD,AD=BC 平行四边形对边相等,对角线互相平分;∵OE⊥BD,∴BE=DE 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;∵△CDE 的周长为10,即CD+DE+EC=10,∴平行四边形ABCD 的周长为：AB+BC+CD+AD=2BC+CD=2BE+EC+CD=2DE+EC+CD=2×10=20;7. 2012湖南怀化3分如图,在ABCD 中,AD=8,点E 、F 分别是BD 、CD 的中点,则EF=▲ .答案4;考点平行四边形的性质,三角形中位线定理;分析∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BC=AD=8;∵点E 、F 分别是BD 、CD 的中点,∴EF=12BC=12×8=4; 8. 2012湖南湘潭3分如图,在ABCD 中,点E 在DC 上,若EC ：AB=2：3,EF=4,则BF=▲ ． 答案6;考点平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质;分析∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD;∴∠CAB=∠ACD,∠ABE=∠BEC; ∴△ABF∽△CEF;∴AB BF CE EF=, 又∵EC：AB=2：3, EF=4,∴3BF 24=,解得BF=6; 9. 2012四川成都4分如图,将ABCD 的一边BC 延长至E,若∠A=110°,则∠1= ▲ ．答案70°;考点平行四边形的性质,平角的性质; 分析∵平行四边形ABCD 的∠A=110°,∴∠BCD=∠A=110°;∴∠1=180°﹣∠BCD=180°﹣110°=70°;10. 2012辽宁本溪3分如图,在□ABCD 中,∠ABC 的平分线BE 交AD 边于点E,交对角线AC 于点F,若AB 3BC 5=,则AF AC = ▲ ; 答案38; 考点平行四边形的性质,平行的性质,相似三角形的判定和性质;分析∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,∠EBC=∠AEB;∵BE 是∠ABC 的角平分线,∴∠EBC=∠AEB=∠ABE,AB=AE; ∵AB 3BC 5=,∴AE 3BC 5=; ∵AD∥BC,∴△AFE∽△CFB;∴AE AF 3BC FC 5==;∴AF 3AF FC 8=+;∴AF 3AC 8=; 11. 2012贵州黔西南3分如图,在△ABC 中,∠ACB＝90°,D 是BC 的中点,DE⊥BC,CE2012山东烟台3分ABCD中,已知点A﹣1,0,B2,0,D0,1．则点C的坐标为▲ ．答案3,1;考点平行四边形的性质,坐标与图形性质;分析画出图形,根据平行四边形性质求出DC∥AB,DC=AB=3,根据D的纵坐标和CD=3即可求出答案：∵平行四边形ABCD中,已知点A﹣1,0,B2,0,D0,1,∴AB=CD=2﹣﹣1=3,DC∥AB;∴C的横坐标是3,纵坐标和D的纵坐标相等,是1;∴C的坐标是3,1;13. 2012吉林长春3分如图,ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上,点B与点E、F不重合．若△ACD的面积为3,则图中的阴影部分两个三角形的面积和为▲ .答案3;考点平行四边形和矩形的性质;分析∵四边形ABCD是平行四边形,∴△ACD的面积=△ACB的面积;又∵△ACD的面积为3,∴△ACB的面积为3;∵△ACB的面积矩形AEFC的面积的一半, ∴阴影部分两个三角形的面积和=△ACB的面积=3; 14. 2012黑龙江龙东地区3分如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在边BC、AD上,请添加一个条件使四边形AECF是平行四边形只填一个即可;答案AF=CE答案不唯一;考点平行四边形的判定和性质;分析根据平行四边形性质得出AD∥BC,AF=CE,得出AF∥CE;根据有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形的判定,可添加AF=CE 或FD=EB;根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形的定义,可添加AE∥FC;添加∠AEC=∠FCA 或∠DAE=∠DFC 等得到AE∥FC,也可使四边形AECF 是平行四边形;三、解答题1. 2012北京市5分已知：如图,点E,A,C 在同一条直线上,AB∥CD,AB=CE,AC=CD．求证：BC=ED.答案证明：∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ECD,∵在△BAC 和△E CD 中,AB=EC,∠BAC=∠ECD ,AC=CD,∴△BAC≌△ECDSAS;∴CB=ED;考点平行线的性质,全等三角形的判定和性质;分析首先由AB∥CD,根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD,再由条件AB=CE,AC=CD 可证出△BAC 和△ECD 全等,再根据全等三角形对应边相等证出CB=ED;2. 2012陕西省6分如图,在ABCD 中,∠ABC 的平分线BF 分别与AC 、AD 交于点E 、F ．1求证：AB=AF ；2当AB=3,BC=5时,求AE AC 的值． 答案解：1证明：如图,在ABCD 中,AD∥BC, ∴∠2=∠3;∵BF 是∠ABC 的平分线,∴∠1=∠2;∴∠1=∠3;∴AB=AF;2∵AEF CEB 23∠=∠∠=∠，,∴△AEF∽△CEB;∴AE AF 3EC BC 5==, ∴AE 3AC 8=; 考点平行四边形的性质,平行线的性质,等腰三角形的判定,相似三角形的判定和性质;分析1由在ABCD 中,AD∥BC,利用平行线的性质,可求得∠2=∠3,又由BF 是∠ABC 的平分线,易证得∠1=∠3,利用等角对等边的知识,即可证得AB=AF;2易证得△AEF∽△CEB,利用相似三角形的对应边成比例,即可求得AE AC的值; 3. 2012广东省6分已知：如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,对角线AC 、BD 相交于点O,BO=DO ． 求证：四边形ABCD 是平行四边形．答案证明：∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,在△ABO 与△CDO 中,∵∠ABO=∠CDO,BO=DO,∠AOB=∠COD,∴△ABO≌△CDOASA;∴AB=CD;∴四边形ABCD是平行四边形;考点平行的性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定;分析根据AB∥CD可知∠ABO=∠CDO,再由BO=DO,∠AOB=∠COD,即可根据ASA得出△ABO≌△CDO,故可得出AB=CD,从而根据一组对边平行且相等的四边是平行四边形的判定得出结论;4. 2012广东湛江8分如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF．求证：1△ABE≌△CDF；2四边形BFDE是平行四边形．答案证明：1∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB=CD,在△ABE和△CDF中,∵AB=CD,∠A=∠C,AE=CF,∴△ABE≌△CD FSAS;2∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC;∵AE=CF,∴AD﹣AE=BC﹣CF,即DE=BF;∴四边形BFDE是平行四边形;考点平行四边形的性质和判定,全等三角形的判定;分析1由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,对角相等的性质,即可证得∠A=∠C,AB=CD,又由AE=CF,利用SAS,即可判定△ABE≌△CDF;2由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边平行且相等,即可得AD∥BC,AD=BC,又由AE=CF,即可证得DE=BF;根据对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可证得四边形BFDE是平行四边形;5. 2012浙江湖州8分已知：如图,在ABCD中,点F在AB的延长线上,且BF=AB,连接FD,交BC于点E．1说明△DCE≌△FBE的理由；2若EC=3,求AD的长．答案1证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AB∥DC;∴∠CDE=∠F;又∵BF=AB,∴DC=FB;在△DCE和△FBE中,∵ ∠CDE=∠F,∠CED=∠BEF, DC=FB,∴△DCE≌△FBEAAS;2解：∵△DCE≌△FBE,∴EB=EC;∵EC=3,∴BC=2EB=6;∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC;∴AD=6;考点平行四边形的性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质;分析1由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边平行且相等,即可得AB=DC,AB∥DC,继而可求得∠CDE=∠F,又由BF=AB,即可利用AAS,判定△DCE≌△FBE;2由1,可得BE=EC,即可求得BC的长,又由平行四边形的对边相等,即可求得AD的长;6. 2012浙江衢州6分如图,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,且BE=DF,连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系并对你的猜想加以证明．答案解：猜想：AE=CF;证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD;∴∠ABE=∠CDF;在△ABE和△CDF中,AB=CD,∠ABE=∠CDF,BE=DF,∴△ABE≌△CDFSAS,∴AE=CF;考点平行四边形的性质,平行线的性质,全等三角形的判定和性质; 分析由四边形ABCD是平行四边形,即可得AB∥CD,AB=CD,然后利用平行线的性质,求得∠ABE=∠CDF,又由BE=DF,即可由SAS证得△ABE≌△CDF,从而可得AE=CF;7. 2012江苏淮安8分已知：如图在平行四边形ABCD中,延长AB到点E,使BE=AB,连接DE交BC于点F;求证：△BEF≌△CDF答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,DC=AB; ∴∠CDF=∠B,∠C=∠FBE;又∵BE=AB,∴BE=CD;∵在△BEF和△CDF中,∠CDF=∠B,BE=CD,∠C=∠FBE,∴△BEF≌△CDFASA;考点平行四边形的性质,平行的性质,全等三角形的判定;分析根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD,AB∥CD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠C=∠FBE,然后利用ASA证明即可;8. 2012江苏泰州10分如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．答案证明：∵AE⊥AD,CF⊥BC,∴∠EAD=∠CFB=90°;∵AE∥CF,∴∠AED=∠CFB;在Rt△AED和Rt△CFB中,∵∠EAD=∠CFB=90°,∠AED=∠CFB, AE=CF,∴Rt△AED≌Rt△CFBASA;∴AD=BC;又∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形;考点平行的性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定;分析由垂直得到∠EAD=∠BCF=90°,根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB,得到AD=BC,根据平行四边形的判定判断即可;9. 2012江苏无锡8分如图,在ABCD中,点E在边BC上,点F在BC的延长线上,且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF．答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AB∥DC;∴∠B=∠DCF;∵在△ABE和△DCF中,AB=DC,∠B=∠DCF,BE=CF,∴△ABE≌△DCFSAS;∴∠BAE=∠CDF;考点平行四边形的性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质;分析根据平行四边形的性质可得AB=DC,AB∥DC,再根据平行线的性质可得∠B=∠DCF,即可由SAS证明△ABE≌△DCF,再根据全等三角形对应边相等的性质得到结论;10. 2012江苏徐州6分如图,C为AB的中点;四边形ACDE为平行四边形,BE与CD相交于点F;求证：EF=BF;答案证明：∵四边形ACDE为平行四边形,∴ED=AC,ED∥AC;∴∠D=∠FCB,∠DEF=∠B;又∵C为AB的中点,∴AC=BC;∴ED=BC;在△DEF和△C BF中,∵∠D=∠FCB,ED=BC,∠DEF=∠B,∴△DEF≌△CBFSAS;∴EF=BF;考点平行四边形的性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质;分析根据平行四边形对边平行且相等的性质,易用SAS证明△DEF≌△CBF,从而根据全等三角形对应边相等的性质即可证得EF=BF;11. 2012福建厦门10分已知ABCD,对角线AC与BD相交于点O,点P在边AD上,过点P分别作PE⊥AC、PF⊥BD,垂足分别为E、F,PE＝PF．1如图,若PE＝错误!,EO＝1,求∠EPF的度数；2若点P是AD的中点,点F是DO的中点,BF ＝BC＋3错误!－4,求BC的长．答案解：1连接PO ,∵ PE＝PF,PO＝PO,PE⊥AC、PF⊥BD,∴ Rt△PEO≌Rt△PFOHL;∴∠EPO＝∠FPO;在Rt△PEO中, tan∠EPO＝错误!＝错误!,∴ ∠EPO＝30°;∴ ∠EPF＝60°;2∵点P是AD的中点,∴ AP＝DP;又∵ PE＝PF,∴ Rt△PEA≌Rt△PFDHL;∴∠OAD＝∠ODA;∴ OA＝OD;∴ AC＝2OA＝2OD＝BD;∴ABCD是矩形;∵ 点P是AD的中点,点F是DO的中点,∴ AO∥PF;∵ PF⊥BD,∴ AC⊥BD;∴ABCD是菱形;∴ABCD是正方形;∴ BD＝错误!BC;∵ BF＝错误!BD,∴BC＋3错误!－4＝错误!BC,解得,BC＝4;考点平行四边形的性质,角平分线的性质,三角形中位线定理,全等三角形的判定和性质,正方形的判定和性质,锐角三角函数定义;分析1连接PO,利用解直角三角形求出∠EPO=30°,再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等,根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO,从而得解;2根据条件证出 ABCD是正方形;根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解; 12. 2012福建莆田8分如图,四边形ABCD是平行四边形,连接AC．14分请根据以下语句画图,并标上相应的字母用黑色字迹的钢笔或签字笔画．①过点A画AE⊥BC于点E；②过点C画CF∥AE,交AD于点F；24分在完成1后的图形中不再添加其它线段和字母,请你找出一对全等三角形,并予以证明．答案解：1画图如下：2△ABC≌△CDA ;证明如下：∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AB＝CD,BC＝DA;又∵ AC＝CA,∴△ABC≌△CDASSS;考点作图复杂作图,平行四边形的性质,全等三角形的判定;分析1根据语句要求画图即可;2首先根据平行四边形的性质和AE∥CF,可得①△ABC≌△CDA,②△AEC≌△CFA,③△ABE≌△CDF;下面给出其它两个的证明：②△AEC≌△CFA;证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC;∴ ∠DAC＝∠ACE;∵AE∥CF,∴ ∠EAC＝∠ACF;∵AC=CA,∴ △AEC≌△CFAASA;③△ABE≌△CDF;证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC,∠B＝∠D,AB ＝CD ;又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形;∴∠AEC＝∠AFC;∴∠AEB＝∠CFD;∴△ABE≌△CDFAAS;13. 2012福建南平8分如图,已知四边形ABCD是平行四边形,若点E、F分别在边BC、AD上,连接AE、CF,请再从下列三个备选条件中,选择添加一个恰当的条件．使四边形AECF是平行四边形,并予以证明, 备选条件：AE=CF,BE=DF,∠AEB=∠CFD,我选择添加的条件是：注意：请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中,画出符合要求的示意图,并加以证明答案解：添加的条件可以是BE=DF答案不唯一;证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC;∵BE=DF,∴AF=CE,即AF=CE,AF∥CE;∴四边形AECF是平行四边形;考点平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,平行的判定和性质;分析根据平行四边形性质得出AD∥BC,AD=BC,求出AF∥CE,AF=CE,根据平行四边形的判定推出即可;当AE=CF时,四边形AECF可能是平行四边形,也可能是等腰梯形;当∠AEB=∠CFD时,四边形AECF也是平行四边形,证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠B=∠D;∵∠AEB=∠CFD,∴△AEB≌△CFDAAS;∴AE=CF;∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC;∴∠AEB=∠EAF;∴∠CFD=∠EAF;∴AE∥FC;∴四边形AECF是平行四边形;14. 2012福建泉州9分如图,BD是平行四边形ABCD的一条对角线,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,求证∠DAE=∠BCF.答案证明：证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC平行四边形对边平行且相等∴∠ADB=∠CBD两直线平行,内错角相等;∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AED=∠CFB=90°垂直的定义;在△ADE和△CBF中,∵∠ADB=∠CBD,∠AED=∠CFB,AD=CB,∴△ADE≌S△CBFAAS;∴∠DAE=∠BCF全等三角形的对应角相等;考点平行四边形的性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质;分析由四边形ABCD为平行四边形,根据平行四边形的对边平行且相等得到AD=BC,AD与BC平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,再由AE⊥BD,CF⊥BD得到一对直角相等,利用AAS可得出三角形ADE与三角形CBF全等,利用全等三角形的对应角相等可得出∠DAE=∠BCF,得证;15. 2012湖北黄石7分如图,已知在平行四边形ABCD中,BE=DF.求证：∠DAE=∠BCF.答案证明：∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC,且AD=BC;∴∠ADE=∠BCF;又∵BE=DF, ∴BF=DE;∴△ADE≌△CBFSAS;∴∠DAE=∠BCF ;考点平行四边形的性质,平行线的性质,全等三角形的判定和性质;分析根据平行四边形性质求出AD∥BC,且AD=BC,推出∠ADE=∠CBF,求出DE=BF,由SAS证△ADE≌△CBF,推出∠DAE=∠BCF即可;16. 2012湖南郴州8分已知：点P是ABCD的对角线AC的中点,经过点P的直线EF交AB于点E,交DC 于点F．求证：AE=CF．答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠PAE=∠PCF;∵点P是ABCD的对角线AC的中点,∴PA=PC;在△PAE和△PCE中,∵∠PAE=∠PCF,PA=PC,∠APE=∠CPF,∴△PAE≌△PCEASA;∴AE=CF;考点平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质;分析由四边形ABCD是平行四边形,易得∠PAE=∠PCF,由点P是 ABCD 的对角线AC的中点,可得PA=PC,又由对顶角相等,可得∠APE=∠CPF,即可利用ASA证得△PAE≌△PCF,即可证得AE=CF;17. 2012四川广安6分如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,且BE=AD,点F在AD上,AF=AB,求证：△AEF≌△DFC．答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD; ∴∠D=∠EAF;∵AF=AB,BE=AD,∴AF=CD,AD﹣AF=BE﹣AB,即DF=AE;在△AEF和△DFC中,∵AE=DF,∠EAF=∠D,AF=DC,∴△AEF≌△DFCSAS,考点平行四边形的性质,平行线的性质,全等三角形的判定;分析由四边形ABCD是平行四边形,利用平行四边形的性质,即可得AB=CD,AB∥CD,又由平行线的性质,即可得∠D=∠EAF,然后由BE=AD,AF=AB,求得AF=CD,DF=AE,从而由SAS证得;18. 2012辽宁鞍山8分如图,点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上,DG=DC,CE=CF,点P是射线GC上一点,连接FP,EP．求证：FP=EP．答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC;∴∠DGC=∠GCB,∵DG=DC,∴∠DGC=∠DCG;∴∠DCG=∠GCB;∵∠DCG+∠DCP=180°,∠GCB+∠FCP=180°,∴∠DCP=∠FCP;∵在△PCF和△PCE中,CE=CF,∠FCP=∠ECP,CP=CP,∴△PCF≌△PCESAS;∴PF=PE;考点平行四边形的性质,平行的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质;分析根据平行四边形的性质推出∠DGC=∠GCB,根据等腰三角形性质求出∠DGC=∠DCG,推出∠DCG=∠GCB,根据等角的补角相等求出∠DCP=∠FCP,根据SAS证出△PCF≌△PCE即可;19. 2012辽宁大连9分如图,□ABCD中,点E、F分别在AD、BC上,且ED＝BF,EF与AC相交于点O.求证：OA＝OC.答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC;∵ED＝BF,∴AE=CF;∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC;∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC;在△AOE 和△COF中,∵∠OAE=∠OCF,AE=CF,∠OEA=∠OFC,∴△AOE ≌△COFASA;∴OA＝OC;考点平行四边形的性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质;分析根据平行四边形的性质可得AD BC;由等量减等量差相等得AE=CF；由两直线平行内错角相等得∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC;由ASA证得△AOE ≌△COF,从而根据全等三角形对应边相等的性质得OA＝OC;20. 2012辽宁沈阳10分已知,如图,在荀ABCD中,延长DA到点E,延长BC到点F,使得AE＝CF,连接EF,分别交AB,CD于点M,N,连接DM,BN.1求证：△AEM≌△CFN；21世纪教育网2求证：四边形BMDN是平行四边形.答案证明：1 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC ,AD∥BC;∴∠E=∠F,∠DAB=∠BCD; ∴∠EAM=∠FCN;又∵AE=CF ∴△AEM≌△CFNASA;2 ∵由1△AEM≌△CFN, ∴AM=CN;又∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB CD ;∴BM DN;∴四边形BMDN是平行四边形;考点平行四边形的判定和性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质;分析1根据平行四边形的性质可得出AD∥BC,∠DAB=∠BCD,再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F,∠EAM=∠FCN,从而利用ASA可作出证明;2根据平行四边形的性质及1的结论可得BM DN,则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明;21. 2012贵州六盘水12分如图,已知E是 ABCD中BC边的中点,连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．1求证：△ABE≌△FCE．2连接AC．BF,若∠AEC=2∠ABC,求证：四边形ABFC为矩形．答案证明：1∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥DC;∴∠ABE=∠ECF;又∵E为BC的中点,∴BE=CE;在△ABE和△FCE中,∵∠ABE=∠FCE,BE=CE,∠AEB=∠FEC,∴△ABE≌△FCEASA;2∵△ABE≌△FCE,∴AB=CF;又AB∥CF,∴四边形ABFC为平行四边形;∴BE=EC,AE=EF;又∵∠AEC=2∠ABC,且∠AEC为△ABE的外角,∴∠AEC=∠ABC+∠EAB;∴∠ABC=∠EAB,∴AE=BE;∴AE+EF=BE+EC,即AF=BC;∴四边形ABFC为矩形;考点平行四边形的性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形和判定,矩形的判定;分析1由ABCD为平行四边形,根据平行四边形的对边平行得到AB与DC平行,根据两直线平行内错角相等得到一对角相等,由E为BC的中点,得到两条线段相等,再由对应角相等,利用ASA可得出三角形ABE与三角形FCE全等;2由△ABE≌△FCE,根据全等三角形的对应边相等得到AB=CF；再由AB与CF平行,根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABFC为平行四边形,根据平行四边形的对角线互相平分得到AE=EF,BE=EC；再由∠AEC为三角形ABE的外角,利用外角的性质得到∠AEB等于∠ABE+∠EAB,再由∠AEC=2∠ABC,得到∠ABE=∠EAB,利用等角对等边可得出AE=BE,可得出AF=BC,利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出ABFC为矩形;22. 2012山东济南7分1如图1,在ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,AE=CF．求证：DE=BF．2如图2,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,BD是∠ABC的平分线,求∠BDC的度数．答案1证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠A=∠C,在△ADE和△CBF中,AD=CB ,∠A=∠C ,AE=CF,∴△ADE≌△CBFSAS;∴DE=BF；2解：∵AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠C=12180°－40°=70°,又∵BD是∠ABC的平分线,∴∠DBC=12∠ABC=35°;∴∠BDC=180°－∠DBC－∠C=75°;考点平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质,角平分线的定义,角形的内角和定理;分析1根据四边形ABCD是平行四边形,利用平行四边形的性质得到一对边和一对角的对应相等,在加上已知的一对边的相等,由“SAS”,证得△ADE≌△CBF,最后根据全等三角形的对应边相等即可得证;2根据AB=AC,利用等角对等边和已知的∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数,再根据已知的BD是∠ABC的平分线,利用角平分线的定义求出∠DBC的度数,最后根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数;23. 2012山东潍坊10分如图,已知平行四边形ABCD,过A作AM⊥BC于M,交BD于E,过C作CN⊥AD于N,交BD于F,连结AF、CE．。
平行四边形的判定含答案
平行四边形的判定一．选择题（共15小题）1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（）A．10B．8C．7D．62．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC B．AB＝CD C．AD＝BC D．∠ABD＝∠CBD 3．如图，平行四边形OABC的顶点A，B坐标分别为（﹣6，0），（﹣8，2），则点C的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（2，2）D．（﹣2，2）4．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则△COD的周长是（）A．8B．10C．12D．165．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD∥BC6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD7．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CDC．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB 8．满足下列条件的四边形，不一定是平行四边形的是（）A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等C．一组对边平行且相等D．一组对边平行，另一组对边相等9．下列四个选项中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B，∠B＝∠CC．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，∠A＝∠C10．从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD，这四个条件中选取两个，使四边形ABCD成为平行四边形，下面不能说明是平行四边形的是（）A．①②B．①③C．②④D．①④11．在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（）A．两组邻边相等B．一组对边平行且另一组对边相等C．两组对边分别平行D．对角线互相垂直12．不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．AB∥CD，∠A＝∠CC．AD∥BC，AD＝BC D．∠A＝∠C，∠B＝∠D13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（）A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C 14．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠B＝∠C；∠A＝∠DC．AB＝CD，CB＝AD D．AB＝AD，CD＝BC15．下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的个数是（）①AB∥CD，AD＝BC；②AB＝CD，AD＝BC；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④AB＝AD，CB＝CDA．1个B．2个C．3个D．4个二．解答题（共15小题）16．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．17．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE＝BF．求证：四边形ABCD是平行四边形．18．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，AB＝CD，点E是CD的中点．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若AC＝4，AD＝4，求四边形ABCE的面积．19．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO，点E、F分别在AO，CO上，且BE∥DF，AE＝CF．求证：四边形ABCD为平行四边形．20．如图：已知∠B＝∠E＝90°，点B、C、F、E在一条直线上AC＝DF，BF＝EC．求证四边形ACDF是平行四边形．21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝9cm，BC＝6cm，点P、Q分别从点A、C 同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动．问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？22．已知：如图，A，B，C，D在同一直线上，且AB＝CD，AE＝DF，AE∥DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．23．如图，已知△ABC是等边三角形，E为AC上一点，连接BE．将AC绕点E旋转，使点C落在BC上的点D处，点A落在BC上方的点F处，连接AF．求证：四边形ABDF是平行四边形．24．如图，已知，AE⊥BD于E点，CF⊥BD于F点，∠1＝∠2，BE＝DF，连接AB，CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．25．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC．连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．26．如图，AD是△ABC边BC上的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，F是BE的中点，连结CE．求证：四边形ADCE是平行四边形．27．如图，D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点F，若F A＝FC．求证：四边形ADCE是平行四边形；28．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE ＝BF．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形ABCD是平行四边形．29．如图，已知△ABC是等边三角形，点D在BC边上，△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交线段AC于点E，连接BF．求证：（1）△AFB≌△ADC；（2）四边形BCEF是平行四边形．30．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DF，AC∥DE，BE＝FC，连接BD、AF．求证：四边形ABDF是平行四边形．平行四边形的判定参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（）A．10B．8C．7D．6解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7，∴AB的长可能为6．故选：D．2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC B．AB＝CD C．AD＝BC D．∠ABD＝∠CBD 解：A、∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OA＝OC，故此选项不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，故此选项不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，故此选项不符合题意；D、当四边形ABCD是菱形时，∠ABD＝∠CBD，故此选项符合题意；故选：D．3．如图，平行四边形OABC的顶点A，B坐标分别为（﹣6，0），（﹣8，2），则点C的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（2，2）D．（﹣2，2）解：∵A（﹣6，0），∴OA＝6，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC＝OA＝6，∵B（﹣8，2），∴C（﹣2，2），故选：D．4．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则△COD的周长是（）A．8B．10C．12D．16解：∵在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，∴BO＝，∴BD＝10，∴△COD的周长＝OD+OC+CD＝5+3+4＝12，故选：C．5．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD∥BC解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；B、∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；C、∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；D、AB＝DC，AD∥BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；故选：D．6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．7．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CDC．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB 解：A、∵∠ABD＝∠BDC，OA＝OC，又∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD，∴DO＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；B、∠ABC＝∠ADC，AB＝CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；C、∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；D、∵∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥CB，∵∠ABD＝∠BDC，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；故选：B．8．满足下列条件的四边形，不一定是平行四边形的是（）A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等C．一组对边平行且相等D．一组对边平行，另一组对边相等解：A、∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，∴选项A不符合题意；B、∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴选项B不符合题意；C、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴选项C不符合题意；D、∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形或平行四边形，∴选项D符合题意；故选：D．9．下列四个选项中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B，∠B＝∠CC．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，∠A＝∠C解：A、AB＝CD，AC＝BD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；B、∠A＝∠B，∠B＝∠C不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；C、AB＝CD，AD∥BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；D、∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝∠B+∠C＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；故选：D．10．从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD，这四个条件中选取两个，使四边形ABCD成为平行四边形，下面不能说明是平行四边形的是（）A．①②B．①③C．②④D．①④解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：①②、③④、①③、②④．故选：D．11．在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（）A．两组邻边相等B．一组对边平行且另一组对边相等C．两组对边分别平行D．对角线互相垂直解：A、两组邻边相等的四边形是筝形，故本选项不符合题意；B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形或平行四边形，故本选项不符合题意；C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：C．12．不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．AB∥CD，∠A＝∠CC．AD∥BC，AD＝BC D．∠A＝∠C，∠B＝∠D解：A、AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，错误；B、∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠C+∠D＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，正确；C、∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，正确；D、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴∠A+∠D＝∠C+∠D＝180°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，正确；故选：A．13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（）A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C解：D、当AB∥CD，AD＝BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形；B、AB∥CD，AB＝DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形；C、AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形；D、∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠C+∠D＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形；故选：A．14．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠B＝∠C；∠A＝∠DC．AB＝CD，CB＝AD D．AB＝AD，CD＝BC解：A、根据AD∥CD，AD＝BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；B、根据∠B＝∠C，∠A＝∠D不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；C、根据AB＝CD，AD＝BC，得出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；D、根据AB＝AD，BC＝CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；故选：C．15．下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的个数是（）①AB∥CD，AD＝BC；②AB＝CD，AD＝BC；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④AB＝AD，CB＝CDA．1个B．2个C．3个D．4个解：①AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形；②AB＝CD，AD＝BC；能判定四边形ABCD为平行四边形；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；不能判定四边形ABCD为平行四边形；④AB＝AD，CB＝CD；不能判定四边形ABCD为平行四边形；能判定四边形ABCD为平行四边形的个数有1个，故选：A．二．解答题（共15小题）16．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．（1）证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE，又∵AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形．17．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE＝BF．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，∴∠DEC＝∠BF A＝90°，在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴∠DCE＝∠BAF，∴AB∥CD，又∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．18．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，AB＝CD，点E是CD的中点．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若AC＝4，AD＝4，求四边形ABCE的面积．（1）证明：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∴AB∥EC，∵点E是CD的中点，∴，∵，∴AB＝EC，∴四边形ABCE是平行四边形；（2）解：∵∠ACD＝90°，AC＝4，，∴，∵，∴AB＝2，∴S平行四边形ABCE＝AB•AC＝2×4＝8．19．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO，点E、F分别在AO，CO上，且BE∥DF，AE＝CF．求证：四边形ABCD为平行四边形．证明：∵BE∥DF，∴∠BEO＝∠DFO，在△BEO与△DFO中，，∴△BEO≌△DFO（ASA），∴EO＝FO，∵AE＝CF，∴AE+EO＝CF+FO，即AO＝CO，∵BO＝DO，∴四边形ABCD为平行四边形．20．如图：已知∠B＝∠E＝90°，点B、C、F、E在一条直线上AC＝DF，BF＝EC．求证四边形ACDF是平行四边形．证明：∵BF＝EC，∴BF﹣CF＝EC﹣CF，即BC＝EF，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴∠ACB＝∠DFE，∴∠ACF＝∠DFC，∴AC∥DF，又∵AC＝DF，∴四边形ACDF是平行四边形．21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝9cm，BC＝6cm，点P、Q分别从点A、C 同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动．问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？解：设点P，Q运动的时间为ts．依题意得：CQ＝2t，BQ＝6﹣2t，AP＝t，PD＝9﹣t．①当BQ＝AP时，四边形APQB是平行四边形．即6﹣2t＝t，解得t＝2．②当CQ＝PD时，四边形CQPD是平行四边形，即2t＝9﹣t，解得：t＝3．所以经过2或3秒后，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．22．已知：如图，A，B，C，D在同一直线上，且AB＝CD，AE＝DF，AE∥DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．证明：连接AF，ED，EF，EF交AD于O．∵AE＝DF，AE∥DF．∴四边形AEDF为平行四边形，∴EO＝FO，AO＝DO，又∵AB＝CD，∴AO﹣AB＝DO﹣CD，∴BO＝CO，又∵EO＝FO，∴四边形EBFC是平行四边形．23．如图，已知△ABC是等边三角形，E为AC上一点，连接BE．将AC绕点E旋转，使点C落在BC上的点D处，点A落在BC上方的点F处，连接AF．求证：四边形ABDF是平行四边形．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB，∠ACB＝60°；∵将AC绕点E旋转∴ED＝CE，EF＝AE∴△EDC是等边三角形，∴DE＝CD＝CE，∠DCE＝∠EDC＝60°，∴FD＝AC＝BC，∴△ABC、△AEF、△DCE均为等边三角形，∴∠CDE＝∠ABC＝∠EF A＝60°，∴AB∥FD，BD∥AF，∴四边形ABDF是平行四边形．24．如图，已知，AE⊥BD于E点，CF⊥BD于F点，∠1＝∠2，BE＝DF，连接AB，CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AE⊥BD于E点，CF⊥BD于F点，∴∠AED＝∠BFC＝90°，∵BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，即：BF＝DE又∵∠1＝∠2，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AD＝BC，又∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．25．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC．连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．解：∵BE＝FC，∴BE+EC＝FC+EC，∴BC＝FE，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SSS），∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥DF，又∵AB＝DF，∴四边形ABDF是平行四边形．26．如图，AD是△ABC边BC上的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，F是BE的中点，连结CE．求证：四边形ADCE是平行四边形．证明：∵AD是△ABC边BC上的中线，F是BE的中点，∴BF＝EF，BD＝CD，∴DF∥CE，∴AD∥CE，∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形．27．如图，D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点F，若F A＝FC．求证：四边形ADCE是平行四边形；证明：∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ECA，在△DAF和△ECF中，∴△DAF≌△ECF（ASA），∴CE＝AD，∴四边形ADCE是平行四边形；28．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE ＝BF．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形ABCD是平行四边形．证明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFC＝90°，在Rt△DEC和Rt△BFC中，，∴Rt△DEC≌Rt△BFC（HL），∴EC＝AF，∴EC﹣EF＝AF﹣EF即AE＝FC；（2）∵Rt△DEC≌Rt△BFC，∴∠DCE＝∠BAF，∴AB∥DC，又∵AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形．29．如图，已知△ABC是等边三角形，点D在BC边上，△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交线段AC于点E，连接BF．求证：（1）△AFB≌△ADC；（2）四边形BCEF是平行四边形．证明：（1）∵△ABC和△ADF都是等边三角形，∴AF＝AD，AB＝AC，∠F AD＝∠BAC＝60°，又∵∠F AB＝∠F AD﹣∠BAD，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD，∴∠F AB＝∠DAC，且AF＝AD，AB＝AC∴△AFB≌△ADC（SAS）；（2）∵△AFB≌△ADC，∴∠ABF＝∠C＝60°．又∵∠BAC＝∠C＝60°，∴∠ABF＝∠BAC，∴FB∥AC，又∵BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形；30．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DF，AC∥DE，BE＝FC，连接BD、AF．求证：四边形ABDF是平行四边形．证明：∵BE＝FC，∴BE+CE＝FC+CE，即BC＝FE，∵AB∥DF，AC∥DE，∴∠ABC＝∠DFE，∠ACB＝∠DEF，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴AB＝DF，∵AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形．。
中考数学真题分类汇编及解析(二十七)平行四边形
（2022•广东中考）如图，在▱ABCD 中，一定正确的是（ ）A ．AD ＝CDB ．AC ＝BD C ．AB ＝CD D ．CD ＝BC【解析】选C ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ＝CD 。
（2022•舟山中考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8．点E ，F ，G 分别在边AB ，BC ，AC 上，EF ∥AC ，GF ∥AB ，则四边形AEFG 的周长是（ ）A ．32B ．24C ．16D ．8【解析】选C ．因为EF ∥AC ，GF ∥AB ，所以四边形AEFG 是平行四边形，∠B ＝∠GFC ，∠C ＝∠EFB ，因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ，所以∠B ＝∠EFB ，∠GFC ＝∠C ，所以EB ＝EF ，FG ＝GC ，因为四边形AEFG 的周长是AE +EF +FG +AG ，所以四边形AEFG 的周长是AE +EB +GC +AG ＝AB +AC ，因为AB ＝AC ＝8，所以四边形AEFG 的周长是AG +AC ＝8+8＝16。
（2022•泰安中考）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AB ．下列结论：①AB ⊥AC ；②AD ＝4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE =14S △ABC ，其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】选A ．因为点E 为BC 的中点，所以BC ＝2BE ＝2CE ，又因为BC ＝2AB ，所以AB ＝BE ，因为∠ABC ＝60°，所以△ABE 是等边三角形，所以∠BAE ＝∠BEA ＝60°，（2022•达州中考）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（）A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF【解析】选B．因为D，E分别是AB，BC的中点，所以DE是△ABC的中位线，所以DE∥AC，DE=12 AC，A、当∠B＝∠F，不能判定AD∥CF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；B、因为DE＝EF，所以DE=12DF，所以AC＝DF，因为AC∥DF，所以四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；C、根据AC＝CF，不能判定AC＝DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；（2022•宜宾中考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，D 是BC 上的点，DE ∥AB 交AC 于点E ，DF ∥AC 交AB 于点F ，那么四边形AEDF 的周长是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【解析】选B ．因为DE ∥AB ，DF ∥AC ，所以四边形AFDE 是平行四边形，∠B ＝∠EDC ，∠FDB ＝∠C因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ，所以∠B ＝∠FDB ，∠C ＝∠EDF ，所以BF ＝FD ，DE ＝EC ，所以C ▱AFDE ＝AB +AC ＝5+5＝10。
中考数学平行四边形的判定经典题型精编
平行四边形的判定一、【基础知识精讲】1.平行四边形的判定方法：①两组对边分别平行②两组对边分别相等③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形④两组对角分别相等⑤对角线互相平分2.平行四边形性质的运用：①直接运用平行四边形性质解决某些问题，如求角的度数，线段的长度,证明角相等或互补,证明线段相等或倍分等．②判别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．③先判别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．二、【例题精讲】例1．（1）根据下列条件，不能判别四边形是平行四边形的是( )A．一组对边平行且相等的四边形B．两组对角分别相等的四边形C．对角线相等的四边形D．对角线互相平分的四边形（2）下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB=CD，AD∥BC B．AB=CD，AB∥CDC．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC例2．已知：如图，□ABCD中，点E、F在对角线上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．例3．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，EF 过点O 交AD 于E ，交BC 于F ，G 是OA 的中点，H 是OC 的中点，求证：四边形EGFH 是平行四边形．三、【同步练习】 A 组1．如图，四边形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ， 若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD 是______, 根据是_____________________ .2．在图中，AC=BD ， AB=CD=EF ，CE=DF ，图中有哪些互相平行的线段？3．一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（ ） A ．88°，108°，88° B ．88°，104°，108° C ．88°，92°，92° D ．88°，92°，88°4．如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，AF=CE ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．OCDBA5、已知如图：在ABCD 中，延长AB 到E ，延长CD 到F ，使BE=DF ， 则线段AC 与EF 是否互相平分？说明理由.6．如图，在ABCD 中，点E 、F 在对角线AC 上，并且OE=OF ．（1）OA 与OC ，OB 与OD 相等吗？ （2）四边形BFDE 是平行四边形吗？（3）若点E ，F 在OA ，OC 的中点上，你能解决上述问题吗？B 组1、在ABCD 中,∠ABC=750，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE=2AB ，则∠AED 等于（ ） A 、600 B 、650 C 、700 D 、7502．如图，在ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上，分别取点K 、L 、M 、N ，使AK=CM 、BL=DN ，则四边形KLMN 为平行四边形FED CBA3．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点A 做BE 的 平行线与线段ED 的延长线交于点F ，连接AE ，CF 。
中考数学专题复习 专题23 平行四边形(教师版含解析)
中考专题23 平行四边形问题1.平行四边形定义有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用符号“□ABCD”表示，读作“平行四边形ABCD”。
2.平行四边形的性质(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分。
3.平行四边形的判定(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
4.平行四边形的面积：S平行四边形=底边长×高=ah【经典例题1】(2020年•温州)如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为( )A．40°B．50°C．60°D．70°【标准答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．【答案剖析】∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，∴∠C＝(180°﹣40°)÷2＝70°，∵四边形BCDE是平行四边形，∴∠E＝70°．【知识点练习】(2019•山东临沂)如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( )A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND【标准答案】A【答案剖析】由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵OM＝AC，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形．【经典例题2】(2020年•凉山州)如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于16 ．【标准答案】16．【答案剖析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，证OE是△ABD的中位线，则AB＝2OE，AD＝2AE，求出AE+OE＝4，则AB+AD＝2AE+2OE＝8，即可得出标准答案．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD的中位线，∴AB＝2OE，AD＝2AE，∵△AOE的周长等于5，∴OA+AE+OE＝5，∴AE+OE＝5﹣OA＝5﹣1＝4，∴AB+AD＝2AE+2OE＝8，∴▱ABCD的周长＝2×(AB+AD)＝2×8＝16；【知识点练习】(2019•湖北武汉)如图所示，在▱ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为．【标准答案】21°．【答案剖析】设∠ADE＝x，∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，∵AE＝EF＝CD，∴DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCA＝x，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，∴2x＝63°﹣x，解得：x＝21°，即∠ADE＝21°。
九年级中考数学专题复习-平行四边形专题
四边形的判定专题1．如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若GB＝3，BC＝6，BF ＝，求AB的长．2．如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB 于点N．（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；（2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC 的长为5cm，求线段AB的长度．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．5．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若AB＝5，BC＝8，求AF+AG的值．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是．7．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD 的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．8．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝50°，则当∠BOD ＝°时，四边形BECD 是矩形．9．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC：∠BAD＝1：2，BE∥AC，CE∥BD．（1）求tan∠DBC的值；（2）求证：四边形OBEC是矩形．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．11．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．12．如图，矩形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）只需添加一个条件，即，可使四边形BEDF为菱形．13．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE 和AF．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的周长．15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC ＝，求BC的长．17．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长．18．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC ＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD 的面积．19．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．20．如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE、AF．（1）证明：AF＝CE；（2）当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．22．如图，已知四边形ABCD是菱形，DF⊥AB于点F，BE⊥CD于点E．（1）求证：AF＝CE；（2）若DE＝2，BE＝4，求sin∠DAF的值．23．如图，已知▱ABCD中，AB＝AC，CO⊥AD，垂足为点O，延长CO、BA交于点E，联结DE．（1）求证：四边形ACDE是菱形；（2）联结OB，交AC于点F，如果OF＝OC，求证：2AB2＝BF•BO．24．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，且AE＝AF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若∠EAF＝60°，CF＝2，求菱形ABCD的面积．25．如图，菱形ABCD 的边长为，对角线AC、BD交于O，且DE∥AC，AE∥BD．（1）判断四边形AODE的形状并给予证明；（2）若四边形AODE的周长为14，求四边形AODE的面积．26．如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，F是AD的中点，连接EC．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；27．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以OC，OD为邻边作平行四边形OCED，连接OE．（1）求证：四边形OBCE是平行四边形；（2）连接BE交AC于点F．若AB＝2，∠AOB＝60°，求BF的长．。
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平行四边形的判定全国中考真题解析分类汇编一、选择题1. （郴州）如图，下列四组条件中•不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A、AB=DC , AD=BCB、AB // DC , AD // BCC、AB // DC, AD=BCD、AB // DC , AB=DC考点：平行四边形的判定。
分析：平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.解答：根据平行四边形的判定，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形.故选：C.点评：此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况. 对于判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.”应用时要注意必须是一组”而一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形.2. （泰州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,给出下列四组条件：①AB // CD, AD // BC;②AB=CD , AD=BC ； @A0=C0 , B0=D0 ;@AB // CD, AD=BC •其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（）A、1组B、2组C、3组D、4组考点：平行四边形的判定。
专题：几何综合题。
分析：根据平行四边形的判断定理可作出判断.解答：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形；故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，故选：C，点评：此题主要考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是做题的关键.3. （柳州）如图，在平行四边形ABCD中，EF// AD，HN// AB，则图中的平行四边形的个数共有（）C、7个D、5个考点：平行四边形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：根据根据平行四边形的定义即可求解.解答：根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边DEOH、DEFC、DHGA、BGOF、BGHC、BAEF、AGOE、CHOF 和ABCD都是平行四边形，共9个.故选B.点评：此题考查的知识点是平行四边形的判定和性质，本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复.4. （江苏苏州）如图，在四边形ABCD中，AB // CD, AD // BC, AC、BD相专题：计算题.分析：根据在四边形ABCD中，AB // CD，AD // BC，求证四边形ABCD是平行四边形，然后即可求解.解答：•••在四边形ABCD 中，AB // CD，AD // BC，•••四边形ABCD是平行四边形，••• AC=6，1 1••• AO= 2AC= 2 >6=3.故答案为：3.点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定与性质的理解和掌握，难度不大，属于基础题.5. （湖南张家界）顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理。
分析：顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等.所以是平行四边形. 解答：解：根据三角形中位线定理，可知边连接后的四边形的两组对边相等，再根据平行四边形的判定可知，四边形为平行四边形.故选A.点评：本题用到的知识点为：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.二、填空题1. （天津）如图，点D、E、F分别是△ ABC的边AB、BC、CA的中点，连接考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理专题：推理填空题。
分析：由已知点D 、E 、F 分别是△ ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，根据三角 形中位线定理，可以推出 EF // AB 且EF=AD , EF=DB , DF // BC 且DF=CE , 所 以得到3个平行四边形.解答：已知点D 、E 、F 分别是△ ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，••• EF // AB 且 EF=AD , EF=DB ,DF // BC 且 DF=CE ,•••四边形ADEF 、四边形BDFE 和四边形CEDF 为平行四边形，故答案为：3.点评：此题考查的是平行四边形的判定及三角形中位线定理， 关键是有三角形中 位线定理得出四边形的对边平行且相等而判定为平行四边形.2. （辽宁沈阳）如图，在?ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，且BE // DF ,分析：由四边形ABCD 是平行四边形，可得 AD // BC ,又由BE // DF ,即可证 得四边形BFDE 是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得/ EDF 的度数. 解答：解：•••四边形ABCD 是平行四边形,度.考点：平行四边形的判定与性质。
••• AD // BC, ••• BE// DF,•••四边形BFDE是平行四边形,:丄 EDF=Z EBF=45 .故答案为：45.点评：此题考查了平行四边形的判定与性质. 注意平行四边形的对角相等，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.三、解答题1. (江苏徐州，23, 8)如图，在四边形ABCD中，AB=CD , BF=DE , AE丄BD, CF丄BD，垂足分别为E，F.(1)求证：△ ABECDF;(2)若AC与BD交于点O,求证：AO=CO .考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。
分析：(1)由BF=DE，可得BE=CF，由AE 丄BD , CF 丄BD ,可得/ AEB= / CFD=90，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可证得：△ ABECDF;(2)由厶ABE◎△ CDF,即可得/ ABE= / CDF,根据内错角相等，两直线平行, 即可得AB // CD，又由AB=CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO=CO .解答：证明：(1)v BF=DE ,••• BF- EF=DE - EF,即BE=CF,••• AE 丄BD, CF丄BD ,•••/ AEB= / CFD=90 ,••• AB=CD ,••• Rt A ABE 也Rt△CDF ( HL);(2 •:△ ABE ◎△ CDF,•••/ ABE= / CDF,••• AB // CD,••• AB=CD ,•••四边形ABCD是平行四边形，••• AO=CO.点评：此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质. 此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用.2. (宁夏)已知，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF , BE=DF , BE / DF.求证：四边形A BCD是平行四边形.考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：因为AE=CF，DF=BE，DF / BE,所以可根据SAS判定△ ADF ◎△CBE，即有AD=BC，AD / BC,故可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定.解答：证明：：DF / BE•••/ DFA=Z BECv DF=BE，EF=EF••• AF=CEv AE=CF•••△ ADFCBE (SAS)••• AD=BC•••/ DAC= / BCA••• AD // BC•••四边形ABCD是平行四边形.点评：此题主要考查平行四边形的判定以及全等三角形的判定. 平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法.3. 如图，在梯形ABCD中，AD // BC, AB=DC，过点D作DE丄BC,垂足为E,并延长DE至F,使EF=DE.连接BF、CD、AC .(1)求证：四边形ABFC是平行四边形；(2)如果DE2=BE?CE，求证四边形ABFC是矩形.考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：(1)连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得AC // BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；(2)利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形.解答：证明：(1)连接BD，•••梯形ABCD 中，AD // BC，AB=DC，••• AC=BD，/ ACB= / DBCT DE丄BC，EF=DE，••• BD=BF，/ DBC= / FBC，••• AC=BF，/ ACB= / CBF••• AC // BF，•••四边形ABFC是平行四边形；(2)v DE2=BE?CEDS-CB••• B書一DE,vZ DEB= / DEC=90 ,•••△ BDEs^ DEC•••Z BDC= Z BFC=90 ,•••四边形ABFC是矩形.点评：本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的判定及性质等，是一道集合了好几个知识点的综合题，但题目的难度不算大.4. (新疆建设兵团)请判断下列命题是否正确？如果正确，请给出证明；如果不正确，请举出反例.(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(2)一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.考点：平行四边形的判定；反证法.专题：证明题.分析：(1)作出草图，连接一条对角线，然后证明三角形全等，根据全等三角形的对应角相等在证明另一组对边也平行，然后根据平行四边形的定义即可证明；(2)不正确，可以做出一个筝形”图形说明.解答：(1)已知：如图，在四边形ABCD中，AB // CD，AB = CD，求证：四边形ABCD是平行四边形，证明：连接BD，v AB // CD，• Z ABD = Z BDC，AB = CD在厶ABD 和厶CDB 中，Z ABD =Z BDC，BD = BDD•••△ ABD ◎△ CDB ( SAS),•••/ ADB = Z DBC (全等三角形对应角相等),••• AD II BC (内错角相等，两直线平行),•••四边形ABCD是平行四边形；(2) —组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四/ BCD，对角线AC被BD平分，但四边形ABCD点评：本题主要考查了平行四边形的判定定理的证明，连接对角线构造出全等三角形是解题的关键.5. (河池)如图1，在厶ABO 中，/ OAB=90，/AOB=30，OB=8.以OB 为一边，在厶OAB外作等边三角形OBC, D是OB的中点，连接AD并延长交OC 于E.(1)求点B的坐标；(2)求证：四边形ABCE是平行四边形；(3)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG, 求OG的长.S 1 5 2考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质。