重庆大学高数(工学下)期末试题九(含答案)

A卷

B卷

20 — 20 学年 第 学期

开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:

考试方式：

开卷闭卷 其他

考试时间: 120 分

一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 已知向量{}4,3,4a =-与向量{}2,2,1b =则a b ⋅=(

).

(A) 6 (B) 6- (C) 1 (D) 3- 知识点:向量的内积；难度等级:1。答案: (A).

2. 设arctan ,4z xy π⎛⎫

=+ ⎪

⎝

⎭

则z x

∂=∂().

(A)

)

4

(1π

+

+xy xy (B)

2

)

4

(11π

+

++xy x

(C)

2

2)4

(1)

4(sec π

π

+

++xy xy xy (D)

2

)4

(1π

+

+xy y

知识点:多元函数偏导数；难度等级:1。答案: (D). 3. 两个半径为R 的直交圆柱体所围立体的表面积是().

(A) 004R

dx ⎰ (B) 0

8R

dx ⎰

(C) 04R dx ⎰ (D) 0

16R

dx dy ⎰

知识点:二重积分的应用；难度等级:2。答案:(D)

分析:可设两个圆柱面的方程为222222,.x y R x z R +=+=由对称性,为第一卦象的面积的8倍.又由对称性,在第一卦限两个曲面部分面积相等,故可取在第一卦限222x z R +=部分面积的16倍,而该面积为00

,R

dx ⎰选D.

4．设u =(1,0,1)

()

(

).rot gradu =

(A)1

4

(B)0 (C)(0,0,0) (D)(1,0,1) 知识点:旋度定义；难度等级:1。答案:(C)

分析:经计算,对应的旋度场为无旋场,即任意一点处旋度为0,

选C.

5. 微分方程231x

y y e ''-=+的一个特解为(

).

(A)313

x y e =+ (B) 213x y e =+

(C) 313

x y e =- (D) 213

x

y e =- 知识点:二阶常系数非齐次线性微分方程；难度等级: 2。答案: D

分析:原方程的特解为方程31y y ''-=与方程23x

y y e ''-=的特解之和,而方程31y y ''-=的特解为11,3

y =- 方程23x

y y e ''-=的

特解为22.x y e =因此原方程的特解为2121.3

x y y y e =+=-故应选

(D). 6. 设

()f u 具有连续导数,∑是曲面22z x y +=与2

28z x y --=所围

成立体表面之外侧,则zdxdy dzdx y

x

f x dydz y x f y ++

⎰⎰)(1)(1=( ) (A)16π (B)16π-

(C)8π- (D)因()f u 未知,故无法确定.

知识点:对坐标曲面积分的计算 ,高斯公式；难度等级:2。答案:(A)

分析:利用高斯公式可得积分为所围成立体体积:

4

8

4

16,y

y

D D V dy dxdz dy dxdz π=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰选A.

二、填空题(每小题3分,共18分)

7. 微分方程2y x '=的通解为___________.

知识点:可分离变量微分方程；难度等级:1。 答案:2.y x C =+

8. 级数22

1

(1)n

n x x n ∞

=++∑的收敛区间是___________. 知识点:函数项级数的敛散性；难度等级:2。答案:10.x -≤≤

分析:因为幂级数∑∞

=1n 2n

n

y 的收敛域为11,y -≤≤故原级数的收敛域

为112++≤-x x 1,≤解此不等式组得10.x -≤≤

9. 已知曲线弧:

L (01),y x =≤≤则2___________.L x yds =⎰ 知识点:曲线对弧长的积分；难度等级:1。答案:1.3

分析

:1

201.3

L x yds x ==⎰⎰ 10. 设曲线x t y t z t =+=-=+2131223,,在t =-1对应点处的法平面为,S 则点(,,)-241到S 的距离___________.d =

知识点:曲线的切线与法平面、点到平面的距离；难度等级:2。 答案:2.

分析:先求S 的方程.法平面的法向量即切线的方向向量:

2(2,6(1),3(1))(2,6,3).n =⨯-⨯-=-

切点为(1,2,1).-所以法平面方程为2(1)6(2)3(1)0.x y z +--+-=即

263110.x y z -++=故点(,,)-241到S 的距离

2.d =

=

=

11．设L 为圆周224x y +=沿逆时针方向一周,则

22L

y xdy x ydx -⎰

___________.=

知识点:曲线对坐标的积分,格林公式；难度等级:2。答案:8.π 分析: 利用格林公式,积分化为

22

222

()8.D

x y d d r rdr π

σθπ+=⋅=⎰⎰⎰⎰ 12. 设∑是球面2222x y z R ++=在第二卦限部分,则

2__________.x dS ∑

=⎰⎰

知识点:曲面对坐标的积分,对称性；难度等级:2。答案:4

.6

R π

分析: 222x dS y dS z dS ∑

∑

∑

==⎰⎰⎰⎰⎰⎰

()2221

3x y z dS ∑

=++⎰⎰ 224114.386

R R R ππ=⋅⋅= 三、计算题(每小题6分,共24分)

13. 将函数)1ln()(32x x x x f +++=展开成x 的幂级数. 知识点:幂级数间接展开；难度等级:2。

解:22()ln[(1)(1)]ln(1)ln(1),f x x x x x =++=+++

11

(1)ln(1),(1,1],n n

n u u u n -∞

=-+=∈-∑ ∴11211

(1)(1)(),(1,1].n n n n

n n f x x x x n n --∞∞==--=+∈-∑∑

11

(1)(1),(1,1].n n

n n x x x n -∞

=-=+∈-∑

14. 设Ω是由曲线2

2x y z =⎧⎨

=⎩

绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的空间区域,求22()d .x y z V Ω

++⎰⎰⎰

知识点:三重积分计算,旋转曲面方程；难度等级:2。 分析:旋转体横截面为圆,整个落在一圆柱体内,可用柱坐标计算

解:由曲线2

02x y z

=⎧⎨

=⎩绕z 轴旋转一周所成的曲面为22

2.x y z += 2224

x y z

z ⎧+=⇒⎨

=⎩ 22:8.D x y +≤ 22()d x y z V Ω

++⎰⎰⎰