电路 第五版邱关源 第十三章

T
0
பைடு நூலகம்
f ( t ) dt
可展开成收敛的傅里叶级数
注意 一般电工里遇到的周期函数都能满足
狄里赫利条件。
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1.周期函数展开成傅里叶级数

f (t ) f (t nT )
f (t ) a0 [ak cos k1 t bk sin k1t ]
k 1
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13.4 非正弦周期电流电路的计算
（谐波分析法）
①利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成傅 氏级数，取有限项； ②直流分析（C对直流相当于开路、L 相于短路。）
③对各次谐波分别应用相量法计算；（注意:交流 各谐波的 XL、XC不同。） ④将以上计算结果转换为瞬时值（时域形式）叠加。
C2
200
C3中只有三次谐波电流，说明L、C1、C2对一 次谐波发生串联谐振。即：
1 jL jC 2 0 jC1 j(L 1 C 2 )
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8 C1 F 5 9 10
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13.5 对称三相电路中的谐波
1. 对称三相电路中的谐波
（2）对电力变压器的危害 （3）对电力电缆的危害
谐波引起电力电缆爆裂
谐波使变压器噪声增大， 有时还发出金属声。
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4 谐波产生的危害
（4）对电动机的危害 负序谐波在电动机中产生负序旋转磁场，形成与电动机 旋转方向相反的转矩，起制动作用。
电机轴承的电气损坏
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u( t ) U 0 U km cos(kt uk )
k 1
i ( t ) I 0 I km cos(kt ik )
k 1

ui U 0 I 0 U 0 I km cos(kt ik ) I 0 U km cos(kt uk )
IS 0
I S 0 78.5μA
电容断路，电感短路
R
Uo
U 0 RIS 0 20 78.5 10 1.57mV
6
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（b)基波作用
is1 100 sin 10 t μA
6
1 1 j1kΩ 6 12 j1C j10 1000 10 j1 L j10 10 j1kΩ
U 3
( R jXL 3)( jXC 3) 0 Z (31 ) 374.5 89.19 R j( XL 3 XC 3)
6 10 3 I S 3 Z (31 ) 33.3 U 374.5 89.190 2 12.47 89.20 mV 2
分解为多个 电源
23
13.3 有效值、平均值和平均功率
1. 非正弦周期量的有效值 1 T 2 周期量有效值的定义 I i dt T 0
若
i ( t ) I 0 I km cos(kt k )
k 1
I I I I
2 0 2 1 2 2
U U U U
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2. 计算举例 例 方波信号激励的电路。求u, 已知：
R 20、 L 1mH、C 1000 pF I m 157μA、 T 6.28μs
解
iS
iS
R C L
u
(1) 方波信号的展开式为：
I m 2I m 1 iS (sin t sin 3t Im 2 π 3 1 sin 5t ) 0 T/2 T 5 代入已知数据： I m 157μA, T 6.28μs
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100 6 (c)三次谐波作用 is 3 sin 3 10 t μA 3 1 1 I 0 . 33 k S3 6 12 31C 3 10 1000 10
R
j31L
31 L 3 10 10 3kΩ
6 3
1 j 31C
k 1

系数关系： A0 a0
2 2 Akm ak bk
ak Akm cos k bk k arctan ak
bk Akm sin k
f ( t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
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6

1.周期函数展开成傅里叶级数
4 谐波产生的危害
（5）对低压开关设备的危害
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4 谐波产生的危害
（6）对弱电系统设备的干扰
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4 谐波产生的危害
（7）影响继电保护和自动装置的可靠性
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3.周期函数的频谱（图） 幅度频谱 Akm
直观描述各谐波分量所占的比重 Akm ～k1
13.1 非正弦周期信号
半波整流电路的输出信号
示波器内的水平扫描电压 周期性锯齿波
全波整 流波形
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1
数字电路中的脉冲信号 交直流共存电路
t T
+V
vi
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非正弦周期信号的特点
(1) 不是正弦量 (2) 按周期规律变化
f (t ) f (t nT )
2 0 2 1 2 2
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2. 非正弦周期电压、电流的平均值
周期信号的平均值定义：
I av
1 T

T
0
| i | dt
整流平均值 正弦量的平均值为：
I av
1 T I av 0 T
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2 I cost dt 0.898I
若
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3.非正弦周期电流电路的平均功率（有功）
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0 0 50 100 150 200 250 300
0 0 -0.5
-1
50
100
150
200
250
300
-0.5
-1
-1.5
-1.5
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4 谐波产生的危害
（1）谐波危害 —对电力电容器的危害
电容器放电
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绝缘子高压击穿
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4 谐波产生的危害
各次谐波分量为标准正弦量
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2.利用函数的对称性可使系数的确定简化 f ( t) ①偶函数
f (t ) f ( t )
②奇函数
bk 0
－T/2 o
f ( t)
T/2
T/2
t
f (t ) f ( t )
③奇谐波函数
ak 0
-T/2
o f (t)
t
T f (t ) f (t ) 2
U km cos(kt uk ) I km cos(kt ik )
k 1 k 1


k 1

k 1
1 P T

T
0
u idt P0 P1 P2 ......
不同频率 的电压电 流不产生 平均功率
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率 平均功率表达式表面上与叠加定理相似，但只是巧 合，功率不能使用叠加定理。
( R jXL 5)( jXC 5) Z (51 ) 208.3 89.53 R j(5 XL 5 XC 5)
6 10 5 I s 5 Z (51 ) 20 U
2
208 .3 89.53
4.166 89.53 mV 2
6 3
I S1
1 j1C
R
j1L
U 1
XL>>R
( R jX L ) ( jX C ) X L XC L Z (1 ) 50kΩ R j( X L X C ) R RC
6 100 10 5000 U1 I S1 Z (1） 50 mV 2 2
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100 6 (d)五次谐波作用 is 5 sin 5 10 t μA 5
1 0.2k 6 12 51C 5 10 1000 10 51 L 5 10 10 5kΩ
6 3
1
I S5
1 j 51C
R
j51L
U 5
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例
已知 :is 5 20 cos 1000t 10 cos 3000t A L=0.1H，C3＝1F，C1中只有基波电流，C3中
解 C1中只有基波电流， 说明L和C2对三次谐波 发生并联谐振。即：
1
只有三次谐波电流，求C1、C2。
is
100
C1 C3 L
1 10 5 C2 2 H H 6 L 9 10 0.1 9
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(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：
U 0 1.57 mV
5000 U1 mV 2
12.47 U3 89.2 mV 2
4.166 U5 89.53 mV 2
u U 0 u1 u3 u5 1.57 5000 sin t 12.47 sin( 3t 89.2 ) 4.166 sin( 5t 89.53 ) mV
f ( t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
o 相位频谱
1
31 51 71
kω1
描述各谐波分量的初相位情况 k～k1
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截取项数问题
直流分量+基波 直流分量
基波 直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
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is
k 1
a2 k b2 k 0 o
T/2
T
t
8
f 2018/10/13 (t ) a0 [ak cos k1 t bk sin k1t ]
3 谐波产生的原因
整流设备、电弧炉、轧机、矿井提升机、电力机车、电焊 机等大型设备的用电容量，每年在成倍甚至数十倍的增长。这些 大型设备的使用不仅耗电量大，还会对电网造成很大的无功冲击 ，形成电压闪变和产生谐波污染。
k 1
f (t ) f (t nT )
f ( t ) A0 Akm cos( k1t k )
基波（同频）
直流分量
f (t ) A0 A1m cos(1t 1 )
1 2 / T
二次谐波 （2倍频） k次谐波
A2 m cos(21t 2 ) Akm cos(k1t k )
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3 谐波产生的原因
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10
3 谐波产生的原因
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11
3 谐波产生的原因
2018/10/13
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3 谐波产生的原因
• 电焊机
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4 谐波产生的危害
以上大型设备的使用不仅耗电量大，还会对电网 造成很大的无功冲击，形成电压闪变和产生谐波污染。 使电能质量下降。
系数计算： a0
1 T f (t )dt 0 T
1 2π ak 0 f ( t ) cos(k1t )d( 1t ) π 1 2π bk 0 f (t ) sin( k1t )d(1 t ) π
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1.周期函数展开成傅里叶级数
f (t ) a0 [ak cos k1 t bk sin k1t ]
非正弦周期信号产生的原因 (1) 激励是非正弦周期量;
(2) 电路本身为非线性电路(含非线性元件)。
非正弦周期电流电路： 基于相量法的 谐波分析法 激励为非正弦周期量的线性稳态电路。
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13.2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
若周期函数满足狄里赫利条件：
①有限个极值点；
②有限个间断点； ③在一个周期内绝对可积，即：
Im
T/2 T
Is0
is1
t
is 3
is 5
Im 2Im 1 1 is (sint sin 3t sin 5t ) 2 3 5
IS0
is 1
is 3
is 5
谐波分析法： 将周期激励展开为傅里叶级数，依据叠加定理，让 直流量和各次谐波分别作用，再得响应的方法。
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t
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电流源各谐波分量为：
100 100 6 6 sin 5 10 t μA is 3 sin 3 10 t μA is 5 5 3 （2） 对各次谐波分量单独计算：
（a) 直流分量 IS0 作用
I S 0 78.5μA is1 100 sin 106 t μA