数学分析第二学期期末考试题及答案
数学分析第二学期考试题
一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题4分，
共32分）
1、 函数)(xf在[a,b]上可积的必要条件是（ b ）
A、连续 B、有界 C 、无间断点 D、有原函数
2、函数)(xf是奇函数，且在[-a,a]上可积，则（ b ）
A、aaadxxfdxxf0)(2)( B、0)(aadxxf
C、aaadxxfdxxf0)(2)( D、)(2)(afdxxfaa
3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ a ）
A、 101dxx B、 11dxx C、 0sinxdx D 、1131dxx
4、级数1nna收敛是1nna部分和有界且0limnna的（ c ）
A 、充分条件 B、必要条件 C、充分必要条件 D 、无关条件
5、下列各积分中可以直接运用牛顿-莱布尼兹公式求值的是（ a ）
A、10arcsinxdx B、11lneedxxx
C、12111dxx D、10sinxdxx
6、下面结论错误的是（ b ）
A、若)(xf在],[ba上可积，则)(xf在],[ba上必有界；
B、若)(xf在),(ba内连续，则 )(dxxfba存在；
C、 若)(xf在],[ba上可积，则)(xf在],[ba上必可积；
D、 若)(xf在],[ba上单调有界，则)(xf在],[ba上必可积。
7、下列命题正确的是（ d ）
A、)(1xann在[a，b]绝对收敛必一致收敛
B、)(1xann在[a，b] 一致收敛必绝对收敛
C、 若0|)(|limxann，则)(1xann在[a，b]必绝对收敛
D、)(1xann在[a，b] 条件收敛必收敛
8、012121)1(nnnxn的和函数为（ c ）
A、xe B、xsin C、)1ln(x D、xcos
二、计算题：（每小题7分，共28分）
9、914)(dxxf，求202)12(dxxxf。
10、计算 02221dxxx。
11、计算11nnxn的和函数，并求1)1(nnn。
12、计算xxdx22cossin
三、讨论题与应用：（每小题10分，共20分）
13、讨论221sin2)1(nnnnnx的敛散性
14、抛物线xy22把圆822yx分成两部分，求这两部分面积之比。
四、证明题：（每小题10分，共20分）
15、设f(x)是以T为周期的函数，且在[0，T]上可积，证明
TTaadxxfdxxf0)()(
16、设)(xf在[a，b]连续，证明00)(sin2)(sindxxfdxxxf，并求
02cos1sindxx
xx
参考答案
一、1、B 2、B3、A4、C5、C6、D7、D8、C9、C10、C
二、1、2022202)12()12(21)12(xdxfdxxxf（3分）令122xu，
912022)(21)12(duufdxxxf
（3分）
2、02221dxxx=4)1arctan(lim)1()1(11lim002AAAAxxdx（6分）
3、解：令)(xf=11nnxn，由于级数的收敛域)1,1[（2分），)('xf=xxnn1111，
)(xf
=)1ln(110xdttx（2分），令1x，得2ln)1(1nnn
4、解：两边对x求导02232xxxzzzz（3分）xzzzx2322（2分）
2)1,1,1(
x
z
（1分）
5、解：xyxyx||0222（5分）0lim22200yxyxyx（1分）
由于x=-2，x=2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）
三、1、解、000)(4),(22222222224yxyxyxyyxxyyxfx（2分）
000)(4),(22222222224yx
yxyxyyxxx
yxf
y
(4分）
1)0,0(),0(lim)0,0(02
yfyfxy
z
xx
y
1)0,0()0,(lim)0,0(02
xfxfyx
z
yy
x
（6分）
2、解：由于xnxnnnnn221sin2|sin2)1(|lim（3分），即1sin22x级数绝对收敛
1sin22x条件收敛，1sin22x
级数发散（7分）
所以原级数发散（2分）
四、证明题（每小题10分，共20分）
1、证明：因为)(1xf在[a，b]上可积，故在[a，b]上有界，即0M，使得
]),[()(1baxMxf
，（3分）从而)(|)(|)(12axMdttfxfxa一般来说，
若对n有)!1()()(1naxMxfnn（5分）则)()!1()()(1nnabMxfnn，所以
)}({xf
n
在[a，b]上一致收敛于0（2分）
aaTaTdttfTtdTtftTxdxxf00)()()()(
（2）（4分）
将式（2）代入（1）得证（2分）
2、 yexzyx1，2yxeyzyx，（7分）则012yxyeyxeyzyxzxyxyx（3分）
3、 证明：令tx
0000)(sin)(sin))(sin()()(sindtttfdttfdttftdxxxf
得证（7
分）8cos1sin2cos1sin20202dxxxdxxxx（3分）
数学分析期末考试题及答案ppt
数学分析期末考试题及答案ppt1. 极限的概念和性质- 题目1：求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
- 答案：极限值为1。
2. 连续函数的性质- 题目2：判断函数 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 在 \(x = 0\) 处是否连续。
- 答案：不连续。
3. 导数的定义和计算- 题目3：求函数 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) 的导数。
- 答案： \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\)。
4. 微分中值定理- 题目4：证明函数 \(f(x) = x^2\) 在区间 \([0,1]\) 上至少存在一点 \(c\)，使得 \(f'(c) = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0}\)。
- 答案：根据罗尔定理，由于 \(f(0) = 0\) 且 \(f(1) = 1\)，且 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续可导，故存在 \(c \in (0,1)\) 使得 \(f'(c) = 1\)。
5. 定积分的计算- 题目5：计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。
- 答案： \(\frac{1}{3}x^3 \Big|_0^1 = \frac{1}{3}\)。
6. 级数的收敛性- 题目6：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 是否收敛。
- 答案：收敛。
7. 多元函数的偏导数- 题目7：求函数 \(f(x, y) = x^2y + y^3\) 的偏导数 \(f_x\) 和 \(f_y\)。
- 答案： \(f_x = 2xy\)，\(f_y = x^2 + 3y^2\)。
8. 多元函数的极值- 题目8：求函数 \(f(x, y) = x^2 + y^2\) 在点 \((1, 1)\) 处的极值。
- 答案：点 \((1, 1)\) 是局部最小值点。
山东师范大学《数学分析》期末考试复习题及参考答案
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参考答案：D
34.
A.
B.
C.
D.
参考答案：A
35.
A.
B.
C.
D.
参考答案：A
36.
参考答案：D
37.
A.极限存在
B.连续
C.可微
D.以上结论均不成立
参考答案：D
38.
参考答案：C
39.
参考答案：C
40.
A.必要非充分的条件
B.充分非必要的条件
C.充分且必要的条件
D.即非充分又非必要的条件
参考答案：A
参考答案：正确
2.
参考答案：错误
3.
参考答案：正确
4.
参考答案：正确
5.
参考答案：正确
6.
参考答案：正确
7.
参考答案：正确
8.
参考答案：错误
9.
参考答案：正确
10.若集E的每一点都是E的内点(即int E = E )，则E为开集.（）
参考答案：正确
11.
参考答案：正确
12.
参考答案：正确
13.若在点A的任何邻域内都含有E的点，则A是集E的聚点.
D.7F4D7D3CEBAD853D55B56DEDD91B2E8
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2021-2022学年数学分析II期末试题参考答案
课程编号：100171019 北京理工大学2021-2022学年第二学期2021级数学分析（II ）期终考试试题A 卷解答1.(23分)求下列函数的偏导数或全微分 (1)设cos xyz e=，求dz .(2)设(,)z z x y =由方程zx y z e ++=所确定的隐函数，求z x ∂∂和22zx∂∂.(3)设1()()z f xy yg x y x=++，其中f 和g 在R 上有连续的二阶导数，求z x ∂∂，z y ∂∂和2zy x∂∂∂ 解：(1)cos (cos )xy dz e d xy =cos (sin )()xy e xy d xy =−cos sin ()xy xye ydx xdy =−+.(2)方程关于x 求导，y 是常数，z 是x 的函数，1z x x z e z +=，11x zz e =−. 23(1)(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. 方法二. zzxx x x xx z e z z e z =+，221(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. (3)//211()()()z f xy f xy y yg x y x x x∂=−+⋅++∂ //21()()()yf xy f xy yg x y x x =−+++，//1()()()z f xy x g x y yg x y y x∂=⋅++++∂ //()()()f xy g x y yg x y =++++，2/////()()()zf xy yg x y yg x y y x∂=⋅++++∂∂ /////()()()yf xy g x y yg x y =++++.2.(15分)(1)求二重积分22Dy I dxdy x=⎰⎰，其中D 为由1,2,y y y x x ===所围的区域. (2)求三重积分I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中Ω由0,0,0,21x y z x y z ===++=所围成.(3)求第一型曲面积分()MI x y z dS =++⎰⎰，其中M为上半球面：z =222x y R +≤(0)R >. 解：(1)2221221y y Dy y I dxdy dy dx x x==⎰⎰⎰⎰22111()yyy dy x =−⎰2223111()()y y dy y y dy y=−=−⎰⎰ 94=. 方法二. 22212221122212x x Dy y y I dxdy dx dy dx dy x xx ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2)设D 为xy −平面上由0,0,21x y x y ==+=所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰120x yDdxdy xdz −−=⎰⎰⎰(12)Dx x y dxdy =−−⎰⎰[]11(1)20(1)2x dx x x xy dy −=−−⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰. 方法二. 对任意的[0,1]x ∈，x D 为yz −平面上由0,0,21y z y z x ==+=−所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰1xD dx xdydz =⎰⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰(3) x z =y z =，()MI x y z dS =++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221x y Rdxdy +≤=⎰⎰3R π=.3.(8分)设(,)z z x y =在2R 有连续偏导数，并且322cos(2)3cos(2)dz axy x y dx x y b x y dy ⎡⎤⎡⎤=+++++⎣⎦⎣⎦其中,a b 是常数，求,a b 的值和(,)z z x y =的表达式. 解：由条件3cos(2)x z axy x y =++，223cos(2)y z x y b x y =++， 则232sin(2)xy z axy x y =−+，26sin(2)yx z xy b x y =−+. 因为xy z 和yx z 都连续，所以xy yx z z =, 232sin(2)axy x y −+26sin(2)xy b x y =−+, 取,02x y π==，解得2b =，进而得出2a =.再由32cos(2)x z xy x y =++，23(,)sin(2)()z x y x y x y y ϕ=+++， 22/32cos(2)()y z x y x y y ϕ=+++， 于是/()0y ϕ=，()y C ϕ=.故23(,)sin(2)z x y x y x y C =+++.4.(10分)求幂级数211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域及和函数的表达式.解：记21(1)()(21)!n n n n u x x n −−=+. 对任意的0x ≠，21()0,()2(23)n n u x xn u x n n +=→→+∞+， 则211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑收敛. 即得211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域为(,)−∞+∞. 记211(1)()(21)!n n n n S x x n +∞−=−=+∑，定义域为(,)−∞+∞.容易求得(0)0S =. 对任意的0x ≠，利用幂级数的性质，2/11(1)()()2(21)!nn n S x x n +∞=−=+∑/211(1)2(21)!n n n x n +∞=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/21111(1)2(21)!n n n x x n +∞+=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/11(sin )2x x x⎛⎫=− ⎪⎝⎭ 2cos sin 2x x xx−=.5.(10分)设()f x 是以2π为周期的函数，它在区间(,]ππ−上的表达式为00()20x f x x ππ−<≤⎧=⎨<≤⎩. (1)求()f x 的Fourier 级数；(2)求()f x 的Fourier 级数的和函数在区间[0,2]π上的表达式；(3)求11(1)21n n n −+∞=−−∑.解：(1)先计算()f x 的Fourier 系数， 01()a f x dx πππ−=⎰122dx ππ==⎰，1()cos n a f x nxdx πππ−=⎰12cos 0nxdx ππ==⎰，1,2,n =，1()sin n b f x nxdx πππ−=⎰ ()0122sin 1(1)n nxdx n πππ==−−⎰2421(21)n k n k k π=⎧⎪=⎨=−⎪−⎩，1,2,k =.()f x 的Fourier 级数为()01cos sin 2n n n a a nx b nx +∞=++∑ 14sin(21)121k k xk π+∞=−=+−∑. (2) 12(0,)4sin(21)10(,2)2110,,2k x k x x k x ππππππ+∞=∈⎧−⎪+=∈⎨−⎪=⎩∑. (3)令2x π=，1411sin (21)2212k k k ππ+∞=⎛⎫+−= ⎪−⎝⎭∑，解得11(1)214n n n π−+∞=−=−∑.6.(12分)(1)判别下列广义积分的收敛性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(a) 30411dx +∞−⎰ (b) 20sin x dx +∞⎰ (2)设()af x dx +∞⎰收敛，并且lim ()x f x L →+∞=.证明：0L =.解：(1)(a) 0,1x x ==为瑕点， 考虑30411dx +∞−⎰1122133330122444411111111dx dx dx dx +∞=+++−−−−⎰⎰⎰⎰.因为330004411lim lim111x x x →+→+==−−，3431141lim 111x x x →→−⋅==−，31342433441lim lim111x x xxx +→+∞→+∞⋅==−−，而其中1351244+=>，所以112213333012244441111,,,1111dx dx dx dx +∞−−−−⎰⎰⎰⎰都收敛，于是30411dx +∞−⎰收敛，又被积函数非负，故是绝对收敛.(b)0x =不是瑕点，20sin x dx +∞⎰与21sin x dx +∞⎰具有相同的收敛性，只讨论21sin x dx +∞⎰即可.令2t x =，则2111sin 2x dx +∞+∞=⎰⎰, 1+∞⎰条件收敛. 那么20sin x dx +∞⎰条件收敛.(2)假设0L ≠，不妨设0L >.由lim ()x f x L →+∞=，根据极限性质，存在0X >，使得当x X >时，()2Lf x >.则A X ∀>，()()()A X AaaXf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()2X aLf x dx A X >+−⎰， 由此推出lim()A aA f x dx →+∞=+∞⎰，与()af x dx +∞⎰收敛矛盾.假设不成立，即0L =.7.(12分)(1)证明：函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，但在(0,)+∞不一致收敛.(2)证明：1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续且可导.证：(1)对任意的[,)x δ∈+∞和任意的正整数n ，0nx n ne ne δ−−<<， 而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明1nn neδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.记()nx n u x ne −=，对任意的正整数n ，取1(0,)n x n=∈+∞， 1()0,n n u x ne n −=→+∞，则()nxn u x ne−=在(0,)+∞不一致收敛于0.故函数项级数1nx n ne +∞−=∑在(0,)+∞不一致收敛. (2) (0,)x ∀∈+∞，存在0δ>，使得(,)x δ∈+∞.因为()nxn u x ne−=在(0,)+∞连续(1,2,)n =，利用(1)，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，所以和函数1()nx n f x ne +∞−==∑在[,)δ+∞上连续，于是它在x 连续.由x 的任意性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续.对任意的0δ>，/22()nx n n u x n e n e δ−−=−≤，[,),1,2,x n δ∀∈+∞=，而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明21nn n eδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数/1()n n u x +∞=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.根据一致收敛的函数项级数的逐项可导性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间[,)(0)δδ+∞>可导. 同理可得，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上可导.8.(10分)设1α>，10n n a a +<≤，0,1,2,n =.证明：111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛. 证：由条件，{}n a 单调递增，则要么{}n a 有上界要么{}n a 趋于+∞. (1)设{}n a 有上界. 则{}n a 收敛，记lim n n A a →+∞=，显然0A >.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时， 2n Aa >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么1111120()()()22n n n n n n n n a a a a a a A A a a A ααα+−−−−−−≤<=−. 由于1001(),nk k n k a a a a A a n −=−=−→−→+∞∑，说明11()n n n a a +∞−=−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.(2) 设{}n a 无上界，即lim n n a →+∞=+∞.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时，1n a >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么11111110n n n n n n n n n na a a a a a a a a a α−−−−−−−≤≤=−. 由于 110011111(),nk k k n n a a a a a =−−=−→→+∞∑， 说明1111()n n n a a +∞=−−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.。
数学分析期末复习题答案
数学分析期末复习题答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上是（）A. 增函数B. 减函数C. 偶函数D. 奇函数答案：C2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 以下哪个级数是收敛的（）A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...C. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...D. 1 + 2 + 3 + 4 + ...答案：C二、填空题1. 函数f(x)=x^3-3x+2的导数是________。
答案：3x^2-32. 函数f(x)=e^x的不定积分是________。
答案：e^x + C3. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是________。
答案：0三、解答题1. 求函数f(x)=x^2-4x+3的极值点。
解：首先求导数f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2。
检查二阶导数f''(x)=2，因为f''(2)>0，所以x=2是极小值点，极小值为f(2)=-1。
2. 证明函数f(x)=x^3在R上是单调递增的。
证明：对于任意x1, x2∈R，且x1<x2，我们有f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)。
由于x1<x2，所以x1-x2<0，且x1^2+x1x2+x2^2>0，因此f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)=x^3在R上是单调递增的。
3. 计算定积分∫[0,1] (x^2-2x+1)dx。
解：首先求不定积分∫(x^2-2x+1)dx=(1/3)x^3-x^2+x+C，然后计算定积分∫[0,1] (x^2-2x+1)dx=[(1/3)x^3-x^2+x]_0^1=(1/3-1+1)-(0)=1/3。
大一第二学期数学分析期末试题
数学分析-2样题(一)1.(4分) 级数1n n u ∞=∑收敛的必要条件是 lim 0;n n u →∞=2. (4分) 级数13121(1)n n n∞-=-∑为（ A ）.A.绝对收敛;B. 条件收敛;C.发散;D. 收敛性不确定. 3. (4分)幂级数1(1)n nn n ∞-=-∑( D ). A. 2;R = B.1;2R = C.3;R = D.1.3R =一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1. arctan x x dx ⎰ 2. x e dx -⎰3. ln 0⎰4. 20sin 1cos x xdx xπ+⎰二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数, ()0baf x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.三. (10分)证明20sin 0xdx xπ>⎰. 四. (15分)证明函数级数0(1)n n x x ∞=-∑在不一致收敛, 在[0,]δ(其中)一致收敛.五. (10分)将函数,0(),0x x f x x x ππππ+ ≤≤⎧=⎨- <≤⎩展成傅立叶级数.六. (10分)设22220(,)0,0xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩证明: (1) (0,0)x f ', (0,0)y f '存在; (2) (,)x f x y ',(,)y f x y '在(0,0)不连续;(3) (,)f x y 在(0,0)可微.七. (10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板?八. (15分)设01σ<<, 证明111(1)n n n σσ∞=<+∑. 数学分析-2样题(二)一. (各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.(0)a >2. 1172815714x x dx x x++⎰3. 10arcsin x dx ⎰4. 1000π⎰二. (各5分,共10分)求下列数列与函数极限: 1. 221lim nn k nn k→∞=+∑2. 20lim1xt xx x e dt e →-⎰三.(10分)设函数在[,]a b 连续,对任意[,]a b 上的连续函数()g x , ()()0g a g b ==,有()()0baf xg x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.四. (15分)定义[0,1]上的函数列2212,211()22211n n x x n f x n n x x n n x n ⎧ , 0≤≤⎪⎪⎪=- , <≤⎨⎪⎪0 , <≤⎪⎩证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛. 五. (10分)求幂级数0(1)n n n x ∞=+∑的和函数.六. (10分)用εδ-定义证明2(,)(2,1)lim (43)19x y x y →+=.七. (12分)求函数22(2)(2)(0)u ax x by y ab =-- ≠的极值.八. (13分)设正项级数1n n a ∞=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞=.B 4． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定4. 已知0!n xn x e n ∞==∑，则求xxe -= 10(1)!n n n x n +∞=-∑5．(7分) 求幂级数1(1)(1)nn n x n ∞=--∑的收敛域.6．(7分) 将21()2f x x x=--展开为麦克劳林级数. 21111231212x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+---⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2分 ()11316(1)2x x =+-+ 3分 0011(1)362nn n n n x x ∞∞==⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑5分 10111(1)32n n n n x ∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑6分 -1<X<14. （本小题满分7分）将xx f 1)(=展开成3-x 的幂级数，并求收敛域。
北京交通大学工科数学分析期末考试(A)卷答案
∂ z ∂ z + 2 = ze 2 x 2 ∂y ∂x
2 2
∂z ∂z = f ′(u )e x sin y ， = f ′(u )e x cos y ∂y ∂x ∂2 z = f ′′(u )e 2 x sin 2 y + f ′(u )e x sin y ， ∂x 2
(
)
2 2 2 st′ = ( x′)t + ( y′)t + (z ′)t = 9 sin 2 t cos 4 t + 9 cos 2 t sin 2 t + 4 sin 2 2t = 5 sin t cos t ， G 1 所以， T = (− 3 cos t， 3 sin t， − 4 ) ， 5
Ω Σ1 Σ1
(
)
……5
(
)
= ∫∫∫ dxdydz + 16
Ω
x 2 + z 2 ≤2
∫∫ dzdx
=π∫
1
3
(
y − 1 dy + 32π
……8
)
2
= 34π
九． （本题满分 8 分） 设直线
P (1， − 2， 5) ，试求常数 a ， b ．
解：
⎧x + y + b = 0 2 2 在平面 π 上，而平面 π 与曲面 z = x + y 相切于点 ⎨ ⎩ x + ay − z − 3 = 0
工科数学分析（A）卷答案-1
3 ⎧ ⎪ f x ( x， y ) = 4 x − 2 x − 2 y = 0 ⎨ 3 ⎪ ⎩ f y (x， y ) = 4 y − 2 x − 2 y = 0 解得其驻点为 M 0 ( 0， 0 ) 、 M 1 ( 1， 1 ) 、 M 2 ( − 1， 1 ) ，则______________ ．