二次函数压轴题的常用解题思路

二次函数压轴题

例题：如图，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．

（1）b=，点B的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；

（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=x2+bx+c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为（2，0）．当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在（2）条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．

①求S的取值范围；②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有个．

分析：（1）将A（﹣1，0）代入y=x2+bx+c，可以得出b=+c；根据一元二次方程根与系数的关系，得出﹣1•x B=，即x B=﹣2c；（2）由y=x2+bx+c，求出此抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，c），则可设直线BC的解析式为y=kx+c，将B点坐标代入，运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x+c；由AE∥BC，设直线AE得到解析式为y=x+m，将点A的坐标代入，运用待定系数法求出直线AE得到解析式为y=x+；解方程组，求出点E坐标为

（1﹣2c ，1﹣c ），将点E 坐标代入直线CD 的解析式y =﹣x +c ，求出c =﹣2，进而得到抛物线的解析式为y =x 2﹣x ﹣2；

（3）①分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x ＜0时，由0＜S ＜S △ACB ，易求0＜S ＜5；（Ⅱ）当0＜x ＜4时，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，交CB 于点F ．设点P 坐标为（x ，x 2﹣x ﹣2），则点F 坐标为（x ，x ﹣2），PF =PG ﹣GF =﹣x 2+2x ，S =PF •OB =﹣x 2+4x =﹣（x ﹣2）2+4，根据二次函数的性质求出S 最大值=4，即0＜S ≤4．则0＜S ＜5；②由0＜S ＜5，S 为整数，得出S =1，2，3，4．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x ＜0时，根据△PBC 中BC 边上的高h 小于△ABC 中BC 边上的高AC =

，得出满足条件的△PBC 共有4个；（Ⅱ）当0＜x ＜4时，由于S =﹣x 2+4x ，根据

一元二次方程根的判别式，得出满足条件的△PBC 共有7个；则满足条件的△PBC 共有4+7=11个．解答过程略。

点评：本题是以二次函数为背景的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，直线平移的规律，求两个函数的交点坐标（二、以直线或抛物线知识为载体，运用函数建模、求解方程思想），三角形的面积（四、运用等价转换的思想），一元二次方程的根的判别及根与系数的关系等知识（四、综合多个知识点），综合性较强，有一定难度，运用数形结合（一）、分类讨论（三、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想）及方程思想（二、方程思想）是解题的关键．

例2如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是(4，0)，并且OA ＝OC ＝4OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；

(3)过动点P 作PE 垂直于y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线，垂足为F ，

连接EF .当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标

．

解：(1)由A (4，0)，可知OA ＝4.

∵OA ＝OC ＝4OB ，∴OC ＝4，OB ＝1， ∴C (0，4)，B (－1，0)．

解法一：设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，

从而得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪

⎧a ＝－1，

b ＝3，

c ＝4.

∴此抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋3x ＋4.

解法二：设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －4)(x ＋1)(a ≠0)， ∵C (0，4)在抛物线上，

∴4＝a (0－4)(0＋1)，解得a ＝－1.

∴此抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋3x ＋4.

(2)存在．

第一种情况，当以点C 为直角顶点时，过点C 作CP 1⊥AC 交抛物线于点P 1，过点P 1作y 轴的垂线，垂足为M .

∵∠ACP 1＝90°，∴∠MCP 1＋∠ACO ＝90°， ∵∠OAC ＋∠ACO ＝90°，∴∠MCP 1＝∠OAC . ∵OA ＝OC ，∴∠MCP 1＝∠OAC ＝45°， ∴∠MCP 1＝∠MP 1C ，∴MC ＝MP 1.

设P 1(m ，－m 2＋3m ＋4)，则m ＝－m 2＋3m ＋4－4. 解得m 1＝0(舍)，m 2＝2，

∴－m 2＋3m ＋4＝－4＋6＋4＝6. 即P 1(2，6)．

(3)连接OD ，由题意知，四边形OFDE 为矩形，则OD ＝EF ，根据直线外一点到直线上的各点的线段中，垂线段最短可知，当OD ⊥AC 时，OD 最短，即EF 最短．

由(1)知，在Rt △AOC 中，OC ＝OA ＝4， 则AC ＝OC 2＋OA 2＝42＋42＝4 2. 根据等腰三角形性质，D 为AC 的中点，

又∵DF ∥OC ，∴DF ＝1

2

OC ＝2，∴点P 的纵坐标为2.

从而得－x 2＋3x ＋4＝2，解得x 1＝3＋172，x 2＝3－17

2.

∴当EF 最短时，点P 的坐标分别为(3＋172，2)或(3－17

2

，2)．

例3 已知抛物线C ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (－3，0)和B (0，3)两点，将这条抛物线的顶点记为M ，它的对称轴与x 轴的交点记为N .

(1)求抛物线C 的函数表达式； (2)求点M 的坐标；

(3)将抛物线C 平移到抛物线C ′，抛物线C ′的顶点记为M ′，它的对称轴与x 轴的交点记为N ′，如果以点M ，N ，M ′，N ′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C 怎样平移？为什么？

解：(1)根据题意，得⎩

⎪⎨⎪

⎧－9－3b ＋c ＝0，c ＝3，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝3，

∴y ＝－x 2－2x ＋3.

(2)∵x ＝－b 2a ＝－2

2

＝－1，∴y ＝4，

∴M (－1，4)．

(3)由题意，知以点M ，N ，M ′，N ′为顶点的平行四边形的边MN 的对边只能是M ′N ′.∴MN ∥M ′N ′，且MN ＝M ′N ′，

∴MN ·NN ′＝16，∴NN ′＝4.

①当以M ，N ，M ′，N ′为顶点的平行四边形是▱MNN ′M ′时，将抛物线C 向左或向右平移4个单位长度可得到符合条件的抛物线C ′.如图所示．

②当以M ，N ，M ′，N ′为顶点的平行四边形是▱MNM ′N ′时，将抛物线C 先向左或向右平移4个单位长度，再向下平移8个单位长度，可得到符合条件的抛物线C ′.如图所示．

∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C ′.