非线性物理1-2
非线性物理
非线性物理基础一、孤立波1. 孤立水波孤立波是一种在水面上传播的具有特殊性质的波动，其形状是一个孤立的波峰，传播过保持形状不变。
孤立波不同于水波，水波在传播过程会弥散开去而不能保持其形状。
2.孤立水波的发现1834年，J S Russell（英国）在爱丁堡格拉斯哥运河旁观看船的行驶，偶然观察到孤立波这一奇特现象。
3.水槽实验重物从水槽的一端掉下，观察水波的激起情况。
Russell 速度公式：v2 = g ( h + a )h表示水深，a 为水波的振幅。
水波越高，传播越快。
4.用不可压缩流体观点导出Russell公式Boussinesg （1871年）和Rayleigh（1876年）假设孤立水波有一个比水深大得多的长度范围，根据非粘滞不可压缩流体的运动方程推导了Russell的公式，同时得到“波包”公式：u（x, t）= a sech2 [β( x －v t ) ]v2 = g ( h + a )β－2 = 4 h2 ( h + a )/3a其中a > 0, 且a << h 才成立。
u(x, t) 是何种微分方程的解？5.水波方程的建立1895年，D J Korteweg 在G de Vrise 的指导下，撰写博士论文，选择了水槽中孤立波的数学描述问题。
u t + αu u x + u xxx = 0u 为波的振幅，α为常数。
这个方程称为KdV方程。
u(x,t) = (12/α)sech2(x – 4 t)在KdV方程中，第二项是非线性的，该项为零时，化为齐次波动方程，其解代表色散解。
只有当非线性项和色散项调配适合时，才会出现孤立波。
二、孤立子1．孤立子的“由来”1834年发现孤立水波（J S Russell）1895年建立水波方程（KdV方程）1955年揭示除水外，其它介质中也可存在非线性孤立波（Fermi, Pasta, and Ulam）（64个质点用非线性弹簧相连，研究能量分布）1965年研究等离子体中非线性孤波的相互碰撞过程，孤波不会改变其形状，Zabusky and Kruskal 首次引入了“孤立子”概念。
第十六章 非线性物理简介
第十六章非线性物理简介引子：英国的海岸线有多长－－浅谈分形理论1967年，美国科学家曼德尔布罗在《科学》杂志上发表了一篇文章，题目是“英国的海岸线有多长？统计自相似和分形维”。
海岸线曲曲弯弯，包含了数不清的小湾和小半岛。
如果一个巨人一步能跨一公里，他可以沿着海岸走，丈量出海岸线的一个长度。
如果他一步只有五百米，他就会丈量出一个长一些的长度。
如果是一个一步只有一米的人来丈量，他可以分辨出更多的细节，得到更长的长度。
随着尺子变小，长度越来越长。
那英国的海岸线到底有多长？这看起来平庸的问题却开创了一门新的学科—分形几何学。
分形一词是由拉丁文“fractus”转化而来，原意为不规则的、支离破碎的物体。
1975年，曼德尔布罗翻阅儿子拉丁语字典时得到启发，用该词创造出一个新英文单词“fractal”，用以描述他一直研究的各种不规则的几何体。
1982年，他在《大自然的断裂状物体几何》中写道：“为什么几何给人的印象那么枯燥乏味？原因之一是它不能描绘出云彩、山峰或树的自然形状。
因为云朵不是球面，山坡不是锥体，海岸不是圆形，树皮不光滑，闪电也不是直线。
”那么隐藏在这些不规则形状之后的是什么呢？曼德尔布罗发现：“如果你仔细观察一棵树，就会发现它的每一部分都形似它的整体。
”这样的例子在自然界里比比皆是：花菜、雪花、闪电、云彩、山峰、肺、血管…曼德尔布罗认为这种部分与整体的自相似性就是自然结构的基本特性，他在1986给出定义“一分形乃以其某种方式使部分相似于整体的形状”。
分形概念一经提出很快就越出数学的范畴。
在物理学里，分形结构就有很多：一维准晶体，枝晶生长图样，聚合物生长，介电击穿形成的放电图样，逾渗模型里的集团结构，相变过程的临界行为，布朗运动，混沌系统里的奇异吸引子等等。
20世纪90年代，美国宇宙学家林德甚至提出，真空场的起伏波，由于时空膨胀而冻结，成为新的时空膨胀点，从而使整个宇宙生长为一个分形时空树。
现在分形的研究已成为非线性科学研究中的一个重要内容，并扩展到生态、生命、经济、人文等许多领域，在一些电子艺术中甚至出现奇异绚丽的分形视觉艺术作品，在计算机上也可以生成美丽如画的自然风光。
非线性物理引言01
2015年6月26日
PLD Lab, LSSMS
非线性物理：引言
非线性的基本印象：
1. 我们看到，简单的单摆问题在描
述方程是非线性的情况下变得很
复杂，其背后的数学问题在于叠 加原理破缺。
2. 另一种情况是描述系统的微分方
程是线性的，但是边界条件却是 不确定的。我们举粘性指问题为 例说明。 3. 粘性指问题的背景。。。
非线性物理：引言
非线性的外貌：
1. 分界线将系统动力学分成单摆与圆周运动两个区域： H<02 时
来回摆动， H>02 时，圆周运动。
2. 摆动初始位置 x0，摆动周期越长，除非给定初速：H>02。
2015年6月26日 PLD Lab, LSSMS
非线性物理：引言
非线性的外貌：
1. 事实上，可以将运动方程中 sin(x) 项级数展开看：
授课：
1. 只讲授一些基本现象和概念 2. 某些问题可能深入到研究前沿 3. 听课时保持安静，听不听随便 4. 作业要作 5. 可以课后通过email、小百合 bbs讨论问题 6. 可以进行课外论文研究
2015年6月26日
作业和考试：
1. 一共六个章节，每章一个作业 ，书面上交 2. 作业两人一组，以小论文形式
2015年6月26日 PLD Lab, LSSMS
非线性物理：引言
非线性的基本印象：
1. 这是一个流体力学问题。如果考虑流体流动很缓慢，而且粘度
不是很高，那么两种流体内部都满足线性微分方程 2P=0。
2. 问题是求解这个微分方程需要空间边界条件。遗憾的是两种流 体边界是随时间演化的，从而导致边界失稳，是典型的非线性 问题。
。要求A4纸撰写或打印。
数学物理中的非线性问题研究
数学物理中的非线性问题研究在数学和物理学中，非线性问题是一类具有重要研究价值和广泛应用的问题。
非线性问题的研究主要涉及到非线性方程、非线性波动、非线性动力学等领域，对于解释和预测自然界现象，以及在技术和工程应用中起着重要的作用。
一、非线性方程非线性方程是指含有非线性项的数学方程。
与线性方程不同，非线性方程的解无法通过叠加原理简单求解。
非线性方程的研究对于解决一些实际问题具有重要意义。
1. 一维非线性方程一维非线性方程是指只包含一个自变量的非线性方程。
常见的一维非线性方程有非线性常微分方程、非线性偏微分方程等。
这些方程在物理和数学的众多领域中都有广泛应用，如力学、天文学、生物学等。
2. 多维非线性方程多维非线性方程是指包含多个自变量的非线性方程。
多维非线性方程的研究对于理解多变量系统的行为和相互作用具有重要作用，例如在流体力学中的非定常流动和混沌现象的研究中经常涉及多维非线性方程的求解。
二、非线性波动非线性波动是指波动系统中存在非线性效应的现象。
相比于线性波动，非线性波动系统具有更加丰富的动力学行为，包括波的相互作用、波的散射等。
1. 非线性波动的类型非线性波动可以分为几种不同类型，如孤立波、相干结构、脉冲波等。
这些非线性波动的类型在不同的实际问题中会有不同的应用，比如孤立波可以用来描述水波、光波、声波等。
2. 非线性波动的数学描述非线性波动的数学描述一般通过非线性偏微分方程来表示。
研究非线性波动的数学方法包括传统的数值模拟方法、解析近似方法以及量子力学中的玻尔兹曼方程等。
三、非线性动力学非线性动力学是研究非线性系统行为的学科。
非线性动力学的研究对于预测和控制复杂系统的演化具有重要意义，如天体力学、气象学、生态学等。
1. 混沌现象混沌现象是非线性动力学中的重要现象，它表现为系统的演化对初始条件极其敏感，稍有差异就可能导致完全不同的结果。
混沌现象的研究对于深入理解系统行为和预测系统演化具有重要意义。
稳定的稳定：物理学中的非线性现象与稳定性理论
稳定的稳定：物理学中的非线性现象与稳定性理论稳定性是物理学中的一个重要概念，描述了系统在面对扰动时保持稳定的能力。
然而，在某些物理现象中，我们会观察到一种有趣的现象，即稳定性的稳定性，即系统在经历一系列复杂的非线性过程后，仍能保持其稳定的特性。
本文将探讨物理学中的非线性现象和稳定性理论，并对稳定性的稳定性进行详细分析。
1. 非线性现象非线性现象是指系统响应不随输入的线性组合而变化的现象。
这意味着系统的行为具有非线性特征，即输入和输出之间存在非线性关系。
在物理学中，非线性现象具有广泛的应用，例如混沌系统、非线性波动等。
非线性现象在一定条件下可以产生有趣且复杂的行为，因此对于理解和解释这些现象的稳定性至关重要。
2. 稳定性理论稳定性理论是研究系统在扰动下的行为变化的一门学科。
根据系统的特性和动力学方程，我们可以判断系统是否具有稳定性。
在线性系统中，稳定性可以通过线性稳定性分析方法确定。
然而，在非线性系统中，稳定性分析更加复杂。
我们需要使用李雅普诺夫稳定性理论、中心流形定理等方法来判断系统的稳定性。
3. 稳定性的稳定性稳定性的稳定性是指系统在面对复杂的非线性现象时仍能保持其稳定性的能力。
这种现象在物理学中经常出现，如自激振荡现象、非线性共振等。
稳定性的稳定性逆向了我们对非线性系统行为的直觉，表明即使系统经历了复杂的非线性过程，它仍然能够回到稳定状态。
4. 非线性系统的稳定性分析对于非线性系统的稳定性分析，我们需要使用一些计算方法来获得系统的稳定性信息。
其中一个重要的方法是李雅普诺夫指数的计算。
李雅普诺夫指数可以用来衡量系统的稳定性，它描述了系统在相空间中的轨迹分离程度。
根据李雅普诺夫指数的正负性，我们可以判断系统的长期行为。
5. 典型的非线性现象：混沌系统混沌系统是非线性系统中最具代表性的现象之一。
混沌系统具有极其敏感的依赖于初始条件的行为，即蝴蝶效应。
混沌系统的稳定性难以预测，但我们可以通过分析系统的特征值、分岔图、Poincaré截面等方法来研究其稳定性。
非线性物理2-2(流体的不稳定性、洛伦兹方程、李雅普诺夫指数、埃侬吸引子、洛伦兹吸引子)
2.洛伦兹方程
C1与 C2的稳定性 当 r 继续增加直到 r =13.962时， 两个螺旋线外径会接触合并一起。
rc
( b 3) 24.7368, ( 10, b 8 / 3) - (b 1)
r = rc 时两个平衡点C1与 C2发展成了中心点, 其邻域的相轨 线是椭圆. r > rc 时, C1与C2成了不稳定的焦点. 定态对流失稳，是不稳 定的. 这时将出现一次新分岔－霍夫分岔, 平衡点C1与C2失稳发 展成为奇怪吸引子.
1.李雅普诺夫指数
奇怪吸引子
取 =2.1 ， 并 取 有 较 大 差 别 的 三 个 初 始 值 x01 =0.08 ， x02=0.12, x03=0.16。运算结果如左图，经过五次迭代,三个运算 结果趋于一致，~045.
取 =3.7，取差别很小两个初始值 x01 =0.04，x02=0.05。运 算结果如右图，第二迭代差别就已显示出来,以后虽在第七次 迭代时很接近，但随后又快速分离开来。
x yz0 x y b(r - 1), z r - 1
洛伦兹方程有三个平衡点
若r < 1，只存在一个平衡点x=y=z=0。此平衡点是洛伦兹方 程的不动点，相应于贝纳尔德实验中液体的静止状态。 洛伦兹方程的平衡点随瑞利数 r 的增加而发生分裂，原来 稳定的平衡点变为不平衡状态。
n -1 df ( x ) 1 n, ln n n =0 dx
xn
式中 xn 为第 n 次迭代值。取 n ，得李雅普诺夫指数计算 公式：
1 n -1 df ( x n , ) lim ln n n dx n 0
1.李雅普诺夫指数
洛伦兹的设想
例谈非线性物理问题的解决方法
例谈非线性物理问题的解决方法
非线性物理问题是我们面对现实生活中最重要的一类问题，它包括微观和宏观两类。
一般来说，非线性物理问题的解决方法大致可以分为两类:理论分析法和计算机模拟法。
一、理论分析
理论分析法是根据物理现象的基本规律，运用数学知识和计算方法，从而根据几何特征和物理条件分析和求解非线性物理问题，进而提出解决之策。
例如，利用一阶泰勒展开、高阶多项式插值方法等数学方程和计算方法可以进行精细分析，从而对微观现象形成有效的分析模型。
例如，下腔静脉进入肝脏的流动机制可以通过蒙特卡洛模拟、伯努利方程实现分析和求解，从而得到下腔静脉的流入速度。
二、计算机模拟
计算机模拟法是指通过数值计算方法，利用科学的数值技术构建出物理过程的模型，并对模型参数进行不断的精确推演，最终求出合理的解决方案。
例如，计算机模拟可以模拟汽车行驶过程中运动规律受空气阻力影响，分析汽车在复杂道路上的运动状态，从而得出行车安全性能的综合分析结果。
总而言之，非线性物理问题严谨、有效的求解和分析是我们进行各种研究和设计的必要前提，理论分析和计算机模拟是推动非线性物理问题的有效解决的关键。
未来，随着信息技术的迅猛发展，非线性物理问题的研究将会有更多的解决方案形成，从而更清晰地构建出世界真实物理现象。
非线性物理学
§4 非线性物理学上一世纪初量子力学和相对论的发现，因为提出了突破人们传统思维的新概念，将人类的世界观推进到超越经典的领域，而被公认为是物理学或更确切地说是科学的两次革命。
牛顿创立的经典力学被发现并不始终是正确的。
当深入到微观尺度（<10-8cm），应该取代为量子力学，当物体的速度接近于光速（～10 10cm/s），则相对论是正确的。
非线性科学作为科学的一个新分支，如同量子力学和相对论一样，也将我们引向全新的思想，给予我们惊人的结果。
非线性科学的诞生，进一步宣布了牛顿的经典决定论的局限性。
它指出，即使是通常的宏观尺度和一般物体的运动速度，经典决定论也不适用于非线性系统的混沌轨道的行为分析。
非线性科学涵盖各种各样尺度的系统，涉及以任意速率运动的对象，这一事实丝毫不降低这一新学科的创新性，恰恰相反，刚好说明它具有广泛的应用性。
从这一点来看，其实非线性科学的诞生和发展更有资格被称为科学的一场革命。
非线性科学，目前有六个主要研究领域，即：混沌、分形、模式形成、孤立子、元胞自动机，和复杂系统。
而构筑多种多样学科的共同主题乃是所研究系统的非线性。
一个系统，如果其输出不与其输入成正比，则它是非线性的。
例如一个介电晶体，当其输出光强不再与输入光强成正比，就成为非线性介电晶体。
例如弹簧，当其位移变得很大时，胡克定律就失效，弹簧变为非线性振子。
又例如单摆，仅当其角位移很小时，行为才是线性的。
实际上，自然科学或社会科学中的几乎所有已知系统，当输入足够大时，都是非线性的。
因此，非线性系统远比线性系统多得多。
客观世界本来就是非线性的，线性只是一种近似。
任何系统在线性区和非线性区的行为之间存在显着的定性上的差别。
例如单摆的振荡周期在线性区不依赖于振幅，但在非线性区，单摆的振荡周期是随振幅而变的。
从数学上看，非线性系统的特征是迭加原理不再成立。
迭加原理是指描述系统的方程的两个解之和仍为其解。
迭加原理可以通过两种方式失效。
《非线性物理》课件
非线性物理中的数学工具
分形几何
分形几何是用分形的概念和方法来研究各种几何对象，具有广泛的应用前景。
随机过程
随机过程广泛应用于自然科学和技术领域，如物理、化学、生物学、经济学、社会学等。
神经网络模型
神经网络模型被应用于物理学、化学、生物学、环境科学、神经科学等领域。
复杂网络在非线性物理中的研究
复杂网络的定义
化工
非线性动力学方法在化工领域 可用于研究热力学平衡、化工 反应中的振荡现象等。
自然灾害
飓风、火山喷发、地震等天灾 预测和监测需应用非线性物理 理论和方法。
节能环保
非线性物理理论可用于压缩和 放松过程中制冷剂的温度、密 度的变化以及涡量特性的研究。
解决非线性问题的数值方法
数值方法是针对非线性问题的各种特定性质精心设计的、用于在计算机上模拟动力学现象的方法。
自相似性与尺度不变性
1
常见的复杂现象
2
自相似性和尺度不变性在非线性物理中
是极为重要的概念，与还原现象、分形
体系等密切相关。
3
定义与形式
物体本身在不同比例下有着相同的性质 和形状，是自相似性的一种体现。
实际应用
自相似性和尺度不变性不仅用于探索复 杂系统的本质，还可以帮助人们解决各 种实际应用问题。
混沌现象的定义和特征
脑图像重建
非线性动力学方法在脑图像重建、功能分析以及计 算机模拟等领域的应用也越来越广泛。
神经元模型
非线性物理与现代技术的结合
非线性物理的研究已产生非常广泛的社会应用，如飞行器、新能源、材料科学、医疗设备、通信技术等等。
1 集成电路
非线性动力学的相关理论 和分析方法可用于研究电 路噪声、误码率等关键应 用指标。
非线性物理(单摆杜芬方程)讲义
面。所有相轨线都将呈现在柱
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期 周期与摆角无关？
T0 2 / 0 2 l g ? T ?
T0为零摆角极限下的周期 看看实验结果：
T/T0
0 1.0000 5 1.0005 10 1.0019 20 1.0077 30 1.0174 45 1.0369
定性结论：
1. 周期随摆角增加 而增加 2. 随摆角增加波形 趋于矩形
d 2 g sin 0 2 dt l
d 2 2 0 sin 0 2 dt
(1) (2) (3)
非线性方程, 式中角频率：
0 g / l
线性化处理
d 2 2 0 sin 0 2 dt
x x x sin x x 3! 5! 7!
g l
t
看作 t )，可得
(16)
1 2 E 1 cos H 2 mgl
由此解得
常量
2H 1 cos
(17)
3 任意角度无阻尼单摆的相图与势能曲线
单摆完整相图
0 ]附近相轨线为近似椭圆形的闭合道； 1.坐标原点[ 0， 2.平衡点[ 0 ]为单摆倒置点(鞍点),附近相轨线双曲线; 0 ]或相反的连线为分界线. 0 ]到[ 3.从[
相图
引入代换 0t t 得： d 2 0 2 dt 一次积分后：
1 d 1 2 E 2 dt 2
2
(6)
式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 d dt , 看作为两 个变量，则方程是一个圆周方程，圆的半径为 2 E ，振动过 程是一个代表点沿圆周转动。
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综上所述，受驱单摆的运动状态有如下特点：
(1) 在小驱动力下，单摆作规则的周期运动。当驱动力矩增 加到某—临界值时，单摆从周期的运动状态进入随机运动状态， 这种状态常被称为混沌。
(2) 混沌状态并不是混乱一片。从相图上看，相轨线的分布 虽然弥散开来，但并不均匀地分布到整个区间，而是有疏有密 地分布着。在庞加来截面上，起始时相点虽然随机地分布着， 然而在足够长的时间以后，一种由相点描绘的内部结构逐步地 显露出来。
x "(t )
( 2
F 2 )2
4 2
2
cos(
t
tg1
2 2
2
)
非齐次线性微分方程的通解 x(t) x'x"
A0e t cos( t )
( 2
F
2)2
4 2 2
cos(
t
tg1
2
2
2
)
第一项随时间衰减，经一段时间后第一项将衰减到零，最后仅剩下第二部分
(2 2 ) 22
共振
频率 r
2 2 2
共振频率r小于系统自振频率，
共振时的最大振幅为：
Ar 2
F 2 2
arctg22 2
共振时最大振幅与阻尼有关
2.庞加莱映射
庞加莱截面与庞加莱映射 相图可把非线性系统的状态形象地描绘出来，但是随阻尼
d 2
dt 2
2
d
dt
2 sin
F
cost
下面将给出当＝1/4，v＝2/3为定值时，F 由小到大取一系列
数值时的数值计算结果。
3. 初识单摆的复杂运动
数值计算结果
1. F 1 附近出现对称性破缺
a. 小摆角的对称椭圆在 F 1 附近变为蛋形，说明这里发生
了对称性破缺； b. 蛋形的朝向与相角的取值有关； c. 这时单摆仍作单周期运动，在庞加莱截面上是一个单点。
1．线性单摆的受迫振动(小驱动力的单摆)
小摆角驱动单摆的通解 2. 非齐次方程的特解: 设 x "(t ) Ae i t
求导： 代入
dx " iAe i t
dt
d 2x " dt 2
2Ae
i t
d 2x dt 2
2
dx dt
2x
Fe i t
消去公因子 e i t 2A 2iA 2A F
b. 运动会在一个势谷内绕上几圈，然后随机地进入到相邻的 势谷内再绕上几圈，往复不已。
c. 在庞加莱截面上，相点已离开曲线扩散开来。
3. 初识单摆的复杂运动
数值计算结果
3. 初识单摆的复杂运动
数值计算结果
3. 初识单摆的复杂运动
数值计算结果
3. 初识单摆的复杂运动
数值计算结果
3. 初识单摆的复杂运动
3. 初识单摆的复杂运动
数值计算结果
3. 初识单摆的复杂运动
数值计算结果
3. 初识单摆的复杂运动
数值计算结果
2 F = 1.093 附近做准周期运动： a.当驱动力继续上升时,相轨线偏离闭
合的单周期轨道，复杂化起来。 b.在F = 1.093时相图上，相轨线虽在
[-p,p]的单摆势谷来回环绕，但始终无 法达到周期重复状态。
d 2
dt 2
2
d
dt
F
cost
(t )
F
cos( t)
( 2 2 )2 4 2 2
3. 初识单摆的复杂运动
小驱动力单摆
(t )
F
cos( t)
( 2 2 )2 4 2 2
d (t)
F
sin( t )
dt
人们将这种把时间上的连续运动 转变为离散的图象处理方法称为 庞加莱映射。
2.庞加莱映射
庞加莱截面与轨线运动
单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在 截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。两倍周期运动，每 个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四周期 运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就留下四 个点；推广到无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。
2.庞加莱映射
庞加莱截面与轨线运动
单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置 穿过，截面上只留下一个点。 两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点； 四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上留下四个点; 无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。
2
dx dt
2x
Fe i t
这是非齐次线性微分方程, 其通解是它的齐次线性方程的通解和
它的一个特解的和
x (t ) x '(t ) x "(t )
1. 齐次方程的通解:
类似线性阻尼单摆，得： x ' (t) A0et cos( t )
02 2
( 2 2 )2 4 2 2
1. 在小驱动力下单摆的相轨线是闭合椭圆曲线
2. 说明小驱动力受驱阻尼单摆存在一个周期吸引子。
3. 驱动频率及阻尼力系数为定值时，椭圆的半径驱动力矩 F 增
大而增大，(即摆角在增大)。
3. 初识单摆的复杂运动
数值计算结果
随着驱动力的增大，相轨线的半径也增大，这就意味着摆角的 增大，使得sin的小摆角近似已不再适用,相轨线的表达式将 无法得到，此时相轨线只能根据单摆的运动方程，用数值计算 来求得。
力与驱动力的加入，其相图也会变得越来越复杂。例如，即 使是弱驱动力与弱阻尼单摆-杜芬方程，相图已复杂多了。 • 庞加莱在相空间里取一常数坐标截面，称为庞加莱截面，研 究相轨线与该截面的交点，用以分析系统的复杂行为。 • 在n 维相空间里取一个n-1维面。相轨线通过截面时留下点的 一幅图象反映了轨线运行情况。
A
( 2
F
2)
2i
tg1
2 2
2
A F e i
(2 2 )2 4 2 2
1．线性单摆的受迫振动(小驱动力的单摆)
小摆角驱动单摆的通解
A F e i
x " (t ) Ae i t
代入、 以后特解为：
x " (t ) F e e i i( t )
第一章 非线性振动初步
第三节 受迫振荡
1．线性单摆的受迫振动 2. 庞加莱截面 3. 初识单摆的复杂运动
1．线性单摆的受迫振动(小驱动力的单摆)
小摆角驱动单摆的通解
驱动单摆方程
d 2x dt 2
2
dx dt
2x
F
cos
t
/ 2m
F f / ml
驱动力写成指数
d 2x dt 2
x(t) x'x"
( 2
F 2 )2
4 2 2
cos(
t
tg1
2 2
2
)
衰减过程常称为过渡过程。
1．线性单摆的受迫振动(小驱动力的单摆)
谐振特性
研究幅频特性：
A
F
( 2 2 )2 4 2 2
将分母根号下对频率求导并令其等于零：
df (v ) d [(2 2 )2 422 ] 0 d d
(3) 这些情况说明，混沌具有非常丰富的内部结构层次。
混沌运动的其它例子
土卫七的复杂运动
公转轨道：距土星 1481100 千米 直径：286 千米 (410 260 220) 质量：1.771019 千克
形轨线成了在圆环面的环线。取某常数位相，即在该位相处截 取一平面，环线在穿过时留下了一个点。
2.庞加莱映射
单摆的三维相空间
2.庞加莱映射
受驱转子的运动
它的相图有一个奇怪吸引子 (无周期运动)。相轨线绕着该吸 引子一圈又一圈地不停地转动， 结果相空间的轨线越来越复杂。 图中那一团相轨线就是在绕了 1000圈后在该吸引子附近的形状。
2.庞加莱映射
单摆的三维相空间 阻尼单摆的运动方程
d 2
dt 2
2
d
dt
2 sin
F
cost
引入新变量,即相位 ： d
dt
可得到描述单摆运动的三维相空间 , , ,相角有周期性，
把2 np 和2(n+1)p 平面连接起来，相空间扩展为圆环。原来圆
右下角是庞加莱截面图，图形 不仅简单得多，而且显示出某种 结构。由庞加莱截面图可见，转 子的相轨线尽管极其复杂，但它 不是毫无规律的，而是具有某种 内在的规律性在内。
3. 初识单摆的复杂运动
小驱动力单摆 阻尼单摆方程为：
d 2
dt 2
in
F
cost
小驱动力作用 作小幅度振动
c.在庞加莱截面上，相点处于一条曲 线上，可以认定系统处于准周期状态 （接近正确的周期运动）。
d.庞加莱截面上的图形与所取截面的 位置(即相角)有关。
3. 初识单摆的复杂运动
数值计算结果
3. 初识单摆的复杂运动
数值计算结果
3. F = 1.15 附近进入混沌状态
a. 运动已扩展到势谷( p,p )两侧的势谷内。
( 2 2 )2 4 2 2
2
d
dt
/
2
F
2
( 2 2 )2 4 2 2
3. 初识单摆的复杂运动
小驱动力单摆