高中数学第2章几个重要的不等式章末分层突破学案北师大版
高中数学第2章几个重要的不等式2.3.2 数学归纳法的应用学案 北师大版
3.2 数学归纳法的应用1．会利用数学归纳法证明一些简单的不等式及综合问题．2．了解贝努利不等式及其应用的条件，会用数学归纳法证明贝努利不等式．(难点)[基础·初探]教材整理 贝努利不等式定理阅读教材P 38～P 39“练习”以上部分，完成下列问题．定理 对任何实数x ≥－1和任何正整数n ，有(1＋x )n≥1＋nx .在贝努利不等式中当x ＝0时，n 为大于1的自然数，不等式形式将有何变化？ 【解】 当x ＝0时，不等式将变成等式，即(1＋x )n ＝1＋nx .[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]设b >a >0，n ∈N ＋，证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≥na(b －a )＋1.【精彩点拨】 由b >a >0，令1＋x ＝b a(x >0)，利用贝努利不等式证明． 【自主解答】 由b >a >0，知b a>1， 令1＋x ＝b a(x >0)， 则x ＝b a－1，由贝努利不等式(1＋x )n≥1＋nx ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a n＝(1＋x )n≥1＋nx ＝1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －1， 故⎝ ⎛⎭⎪⎫b a n≥na(b －a )＋1.利用1＋x ＝b a代换，为利用贝努利不等式创造条件.[再练一题] 1．试证明⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1n ＋2n +1>1－1n ＋1与⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1n +1>⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n (n ∈N ＋)．【证明】 由n ∈N ＋，∴n ＋1≥2. 由贝努利不等式，得 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1n ＋2n +1>1－n ＋1n ＋2＝1－1n ＋1. (2)由(1)得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1n +1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1n +1>1－1n ＋1， 故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1n +1>⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1-n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n.＋【精彩点拨】验证n ＝1，2，3时，不等式成立―→假设n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1―→n ＝k ＋1成立，结论得证【自主解答】 (1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，左边>右边；当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边； 当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边． 因此当n ＝1,2,3时，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥3且k ∈N )时，不等式成立． 当n ＝k ＋1时， 2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2＝k 2＋2k ＋1＋k 2－2k －3＝(k 2＋2k ＋1)＋(k ＋1)(k －3)(因k ≥3，则k －3≥0，k ＋1>0) ≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2. 所以2k ＋1＋2>(k ＋1)2.故当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．根据(1)(2)知，原不等式对于任何n ∈N ＋都成立．通过本例可知，在证明n ＝k ＋1时命题成立的过程中，针对目标k 2＋2k ＋1，采用缩小的手段，但是由于k 的取值范围k 太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤把验证n＝1扩大到验证n ＝1，2，的方法，使假设中k 的取值范围适当缩小到k ≥3，促使放缩成功，达到目标.[再练一题]2．已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N ＋)，求证：S 2n >1＋n2(n ≥2，n ∈N ＋).【导学号：94910039】【证明】 (1)当n ＝2时，S 22＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立．(2)假设n ＝k 时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k2.当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1>1＋k2＋2k2k ＋2k ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12. 故当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对n ∈N ＋，n ≥2，S 2n >1＋n2都成立.设f (n )＝1＋2＋3＋…＋n ，由f (1)＝1>2，f (3)>1，f (7)>32，f (15)>2，….(1)你能得到怎样的结论？并证明；(2)是否存在一个正数T ，使对任意的正整数n ，恒有f (n )<T 成立？并说明理由． 【精彩点拨】 找出数列1,3,7,15，…的通项公式，再利用数列12，1，32，2，…的通项公式，猜想一般性的结论，然后用数学归纳法证明．【自主解答】 (1)数列1,3,7,15，…的通项公式为a n ＝2n－1；数列12，1，32，2，…的通项公式为a n ＝n2，∴猜想：f (2n－1)>n2.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，f (21－1)＝f (1)＝1>12，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时不等式成立， 即f (2k－1)>k2，则f (2k ＋1－1)＝f (2k－1)＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－2＋12k ＋1－1>f (2k－1)＋12k ＋1＋…＋>f (2k－1)＋12>k 2＋12＝k ＋12.∴当n ＝k ＋1时不等式也成立．据①②知，对任何n ∈N ＋原不等式均成立．(2)对任意给定的正数T ，设它的整数部分为T ′，记m ＝T ′＋1，则m >T .由(1)知，f (22m－1)>m ，∴f (22m－1)>T ，这说明，对任意给定的正数T ，总能找到正整数n (如可取假设中n 为2m )，使得f (n )≥T ，∴不存在正数T ，使得对任意的正整数n ，总有f (n )<T成立．利用数学归纳法解决探索型不等式的思想是先通过观察、判断，猜想出结论，然后用数学归纳法证明，否定一个命题，只需找出一个反例即可.[再练一题] 3．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．【解】 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13×1＋1>a24，则2624>a24，∴a <26， 又a ∈N ＋，∴取a ＝25. 下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. (1)n ＝1时，已证． (2)假设当n ＝k 时，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524. ∴当n ＝k ＋1时， 1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋1k ＋＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝ ⎛ 13k ＋2⎭⎪⎫＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1 >2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13k ＋2＋13k ＋4－2k ＋. ∵13k ＋2＋13k ＋4＝k ＋9k 2＋18k ＋8>2k ＋，∴13k ＋2＋13k ＋4－2k ＋>0，∴1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋1k ＋＋1>2524也成立． 由(1)，(2)可知，对一切n ∈N ＋，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524， ∴a 的最大值为25.[构建·体系]1．用数学归纳法证明2n≥n 2(n ≥5，n ∈N ＋)成立时第二步归纳假设的正确写法是( ) A ．假设n ＝k 时命题成立 B ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立 C ．假设n ＝k (k ≥5)时命题成立 D ．假设n ＝k (k >5)时命题成立 【解析】 由题意知n ≥5，n ∈N ＋， ∴应假设n ＝k (k ≥5)时命题成立． 【答案】 C2．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N ＋)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项【解析】 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1－1.∴共增加2k项． 【答案】 D3．用数学归纳法证不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764成立，起始值至少取( )A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】 左边等比数列求和S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＞12764，即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＞127128，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜1128，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫127. ∴n ＞7，∴n 取8，选B. 【答案】 B4．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1)时，第一步即证明不等式__________成立.【导学号：94910040】【解析】 因为n >1，所以第一步n ＝2，即证明1＋12＋13<2成立．【答案】 1＋12＋13<25．证明：1＋12＋13＋…＋1n<2n (n ∈N ＋)．【证明】 (1)当n ＝1时，不等式成立． (2)假设n ＝k 时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k<2k . 那么n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1 ＝2kk ＋＋1k ＋1<k ＋k ＋＋1k ＋1＝2k ＋1.这就是说，n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据(1)(2)可知不等式对任意n ∈N ＋成立．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(十三) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324(n ≥2)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )A ．增加了一项1k ＋B ．增加了两项12k ＋1和12k ＋2C ．增加了B 中的两项但减少了一项1k ＋1D ．以上均不正确 【解析】 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＝12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝12k ＋1－12k ＋2.故选C. 【答案】 C2．利用数学归纳法证明不等式“n 2<2n对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，n 0应取值为( )A ．1B ．3C ．5D ．7【解析】 12<21,22＝22,32>23,42＝24，利用数学归纳法验证n ≥5，故n 0的值为5. 【答案】 C3．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N ＋)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，k ＋2＋k ＋＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋＋k ＋＝k ＋2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确【解析】 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法． 【答案】 D4．对于正整数n ，下列说法不正确的是( ) A ．3n≥1＋2n B ．0.9n≥1－0.1n C ．0.9n <1－0.1nD ．0.1n≥1－0.9n【解析】 由贝努利不等式(1＋x )n≥1＋nx (x ≥－1，n ∈N ＋)， 当x ＝2时，(1＋2)n≥1＋2n ，A 正确．当x ＝－0.1时，(1－0.1)n≥1－0.1n ，B 正确，C 不正确． 当x ＝0.9时，(1－0.9)n≥1－0.9n，因此D 正确． 【答案】 C 5．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >m 24对大于1的一切自然数n 都成立，则自然数m 的最大值为( )A ．12B ．13C ．14D ．不存在【解析】 令f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)， 易知f (n )是单调递增的．∴f (n )的最小值为f (2)＝13＋14＝712.依题意712>m24，∴m <14.因此取m ＝13. 【答案】 B 二、填空题6．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N ＋)”时，第一步的验证为__________.【导学号：94910041】【解析】 当n ＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．【答案】 21＋1≥12＋1＋27．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出__________．【答案】 1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n (n ≥2，n ∈N ＋)8．用数学归纳法证明a n ＋bn2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n(a ，b 是非负实数，n ∈N ＋)时，假设n ＝k 时不等式a k ＋b k2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k(*)成立，再推证n ＝k ＋1时不等式也成立的关键是将(*)式同乘__________．【解析】 要想办法出现a k ＋1＋bk ＋12，两边同乘以a ＋b2，右边也出现了要求证的⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k+1.【答案】a ＋b2三、解答题9．设a ，b 为正实数，证明：对任意n ∈N ＋，有(a ＋b )n≥a n＋n ·a n －1b .【证明】 由(1＋x )n≥1＋nx (x ≥－1，n ∈N ＋)，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋ba n ≥1＋nb a ⎝⎛⎭⎪⎫其中ba >0，即a ＋b na n≥1＋nb a，∴(a ＋b )n≥a n＋n ·ba na，故(a ＋b )n≥a n＋nb ·an －1.10．设0<a <1，定义a 1＝1＋a ，a n ＋1＝1a n ＋a .求证：对一切正整数n ∈N ＋，有1<a n <11－a .【证明】 (1)当n ＝1时，a 1>1，又a 1＝1＋a <11－a ，∴当n ＝1时，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，命题1<a k <11－a成立．当n ＝k ＋1时，由递推公式，知a k ＋1＝1a k＋a >(1－a )＋a ＝1，同时，a k ＋1＝1a k ＋a <1＋a ＝1－a 21－a <11－a，当n ＝k ＋1时，命题也成立， 即1<a k ＋1<11－a.综合(1)、(2)可知，对一切正整数n ，有1<a n <11－a.[能力提升]1．用数学归纳法证明12＋13＋14＋…＋1n ＋>12－1n ＋2，假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标是( )A.122＋132＋…＋1k ＋2>12－1k ＋3B.122＋132＋…＋1k ＋2>12－1k ＋2C.122＋132＋…＋1k 2>12－1k ＋1D.122＋132＋…＋1k －2>12－1k【解析】 注意不等式两边含变量“n ”的式子，因此当n ＝k ＋1时，应该是含“n ”的式子发生变化，所以n ＝k ＋1时，应为122＋132＋…＋1k ＋2＋1k ＋2>12－1k ＋＋2. 【答案】 A2．若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱对角面的个数为( ) A ．2f (k ) B ．k －1＋f (k ) C ．f (k )＋kD ．f (k )＋2【解析】 由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角面的个数与底面上由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角线一样，设n ＝k 时，底面为A 1A 2…A k ，n ＝k ＋1时底面为A 1A 2A 3…A k A k ＋1，增加的对角线为A 2A k ＋1，A 3A k ＋1，A 4A k ＋1，…，A k －1A k ＋1，A 1A k ，共有(k －1)条，因此对角面也增加了(k －1)个．【答案】 B3．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f (n )表示这n 条直线的交点的个数，则f (4)＝______；当n >4时，f (n )＝____________________(用n 表示).【导学号：94910042】【解析】 f (3)＝2，f (4)＝5，f (5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f (4)－f (3)＝3，f (5)－f (4)＝4，…，f (n )－f (n －1)＝n －1. 累加，得f (n )－f (3)＝3＋4＋…＋(n －1)＝3＋n －2(n －3)，∴f (n )＝12(n ＋1)(n －2)．【答案】 5 12(n ＋1)(n －2)4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N ＋)．(1)判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n .【解】 (1)S 1＝a 1＝12，∴1S 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， 即S n －S n －1＝－2S n S n －1. ∴1S n －1S n －1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列． (2)证明：①当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1，成立．②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N ＋)时，不等式成立，即S 21＋S 22＋…＋S 2k ≤12－14k 成立，则当n ＝k ＋1时，S 21＋S 22＋…＋S 2k ＋S 2k ＋1≤12－14k ＋1k ＋＝12－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k－1k ＋2＝12－14·k 2＋k ＋1k k ＋2 <12－14·k 2＋k k k ＋2＝12－1k ＋.即当n ＝k ＋1时，不等式成立． 由①②可知对任意n ∈N ＋不等式成立．。
2018_2019学年高中数学第二章几个重要的不等式章末复习学案北师大版选修4_5
第二章 几个重要的不等式章末复习学习目标 1.梳理本章的重点知识，构建知识网络.2.进一步理解柯西不等式、排序不等式和贝努利不等式，并能够熟练应用.3.理解数学归纳法的基本思想，初步形成“归纳—猜想—证明”的思维模式．1．柯西不等式定理1：对任意实数a ，b ，c ，d ，有(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.当向量(a ，b )与向量(c ，d )共线时，等号成立．定理2：设a 1，a 2，…，a n 与b 1，b 2，…，b n 是两组实数，则有(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.当向量(a 1，a 2，…，a n )与向量(b 1，b 2，…，b n )共线时，等号成立．即a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n时(规定a i ＝0时，b i ＝0)等号成立．推论：设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是两组实数，则有(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2. 当向量(a 1，a 2，a 3)与向量(b 1，b 2，b 3)共线时等号成立． 2．排序不等式定理1：设a ，b 和c ，d 都是实数，如果a ≥b ，c ≥d ，那么ac ＋bd ≥ad ＋bc . 当且仅当a ＝b (或c ＝d )时取“＝”号． 定理2：(排序不等式)设有两个有序实数组a 1≥a 2≥…≥a n 及b 1≥b 2≥…≥b n ，则(顺序和)a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥ (乱序和)1212n j j n j a b a b a b ＋＋＋≥ (逆序和)a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1.其中j 1，j 2，…，j n 是1,2，…，n 的任一排列方式，上式当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n (或b 1＝b 2＝…＝b n )时取“＝”号． 3．贝努利不等式对任何实数x ≥－1和任何正整数n ，有(1＋x )n≥1＋nx .4．数学归纳法数学归纳法原理是证明关于正整数n 的命题．步骤：(1)验证当n 取第一个值n 0(如n 0＝1或2等)时命题正确．(2)假设当n ＝k 时(k ∈N ＋，k ≥n 0)命题正确，证明当n ＝k ＋1时命题也正确.类型一 利用柯西不等式证明不等式例1 已知a ，b ，c ，d 为不全相等的正数，求证：1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d 2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.证明 由柯西不等式知，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2＋1c2＋1d 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋1c 2＋1d 2＋1a 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da 2，于是1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d 2≥1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.①等号成立⇔1a 1b ＝1b 1c ＝1c 1d ＝1d 1a⇔b a ＝c b ＝d c ＝a d⇔a ＝b ＝c ＝d .又已知a ，b ，c ，d 不全相等，则①中等号不成立． 即1a ＋1b ＋1c ＋1d ＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.反思与感悟 利用柯西不等式证题的技巧(1)柯西不等式的一般形式为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n )2(a i ，b i ∈R ，i ＝1,2，…，n )，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解．(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化，运用时要注意体会．跟踪训练1 设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥1003.证明 ∵左边＝13(12＋12＋12)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2 ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥13(1＋9)2＝1003. 等号成立的条件均为a ＝b ＝c ＝13，∴原结论成立．类型二 利用排序不等式证明不等式例2 设A ，B ，C 表示△ABC 的三个内角弧度数，a ，b ，c 表示其对边，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.证明 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .三式相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C ) ＝π(a ＋b ＋c )，得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.引申探究若本例条件不变，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.证明 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由0＜b ＋c －a,0＜a ＋b －c,0＜a ＋c －b ， 有0＜A (b ＋c －a )＋C (a ＋b －c )＋B (a ＋c －b ) ＝a (B ＋C －A )＋b (A ＋C －B )＋c (A ＋B －C ) ＝a (π－2A )＋b (π－2B )＋c (π－2C ) ＝(a ＋b ＋c )π－2(aA ＋bB ＋cC )． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的策略(1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根据需要进行恰当地组合．这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择． (2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷．跟踪训练2 设a ，b ，c 为正数，求证：a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10.证明 由a ，b ，c 的对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab.由排序不等式，得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ca ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a.① 又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c，再次由排序不等式，得a 11a ＋b 11b ＋c 11c ≤a 11b ＋b 11c ＋c 11a.② 由①②得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10.等号成立的条件为a ＝b ＝c . 类型三 归纳—猜想—证明例3 已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式． (1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，5×2n －2，n ≥2，n ∈N ＋.(2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立． ②假设当n ＝k 时成立，即a k ＝5×2k －2(k ≥2，k ∈N ＋)，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设，有a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2＝5＋5(1－2k －1)1－2＝5×2k －1.故当n ＝k ＋1时公式也成立．由①②可知，对n ≥2，n ∈N ＋均有a n ＝5×2n －2.所以数列{a n }的通项a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，5×2n －2，n ≥2，n ∈N ＋.反思与感悟 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路：观察——归纳——猜想——证明．即先通过观察部分项的特点，进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明． 跟踪训练3 在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N ＋)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，并猜想a n ，b n 的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想．(1)解 由条件可得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，则a 2＝2b 1－a 1＝6，b 2＝a 22b 1＝9；a 3＝2b 2－a 2＝12，b 3＝a 23b 2＝16；a 4＝2b 3－a 3＝20，b 4＝a 24b 3＝25.猜想a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.(2)证明 ①当n ＝1时，由a 1＝2，b 1＝4知，结论正确． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时结论正确， 即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2. 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k ＝(k ＋1)2(k ＋2)2(k ＋1)2＝(k ＋2)2. 即当n ＝k ＋1时结论正确． 由①②知猜想的结论正确．类型四 利用柯西不等式或排序不等式求最值例4 (1)求实数x ，y 的值，使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值． 解 由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1， 即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16，当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时，上式取等号．故x ＝52，y ＝56.(2)设a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是互不相等的正整数，求M ＝a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋a 552的最小值．解 设b 1，b 2，b 3，b 4，b 5是a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的一个排列，且b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5. 因此b 1≥1，b 2≥2，b 3≥3，b 4≥4，b 5≥5. 又1≥122≥132≥142≥152.由排序不等式，得a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋a 552≥b 1＋b 222＋b 332＋b 442＋b 552≥1×1＋2×122＋3×132＋4×142＋5×152＝1＋12＋13＋14＋15＝13760.即M 的最小值为13760.反思与感悟 利用柯西不等式或排序不等式求最值的技巧(1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易． (2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件，不能忽略． 跟踪训练4 已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围． 解1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x ≤12xy ＋12yz ＋12zx＝12⎝⎛⎭⎪⎫1×zx ＋y ＋z ＋1×xx ＋y ＋z＋1×y x ＋y ＋z≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(12＋12＋12)⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋y ＋z ＋x x ＋y ＋z ＋y x ＋y ＋z 12＝32. 故λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.1．函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为( ) A.3B ．－3C ．－3D ．3答案 D解析 y 2＝(2·2－2x ＋1·2x ＋1)2≤[(2)2＋12][(2－2x )2＋(2x ＋1)2]＝3×3＝9. ∴y ≤3，y 的最大值为3.2．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋n y＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A ．(m ＋n )2B.mC.n D ．(m ＋n )2答案 A解析 根据柯西不等式，得x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫m x ＋n y ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·m x＋y ·n y 2＝()m ＋n 2，当且仅当x m ＝yn时，等号成立， 这时u 取最小值(m ＋n )2.3．设a 1，a 2，…，a n 都是正数，b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的任一排列，P ＝a 21b －11＋a 22b －12＋…＋a 2n b －1n ，Q ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P ＝Q B ．P >Q C ．P <Q D ．P ≥Q答案 D解析 设a 1≥a 2≥…≥a n >0，可知a 21≥a 22≥…≥a 2n ，a －1n ≥a －1n －1≥…≥a －11. 由排序不等式，得a 21b －11＋a 22b －12＋…＋a 2n b －1n ≥a 21a －11＋a 22a －12＋a 2n a －1n ，即a 21b －11＋a 22b －12＋…＋a 2n b －1n ≥a 1＋a 2＋…＋a n . ∴P ≥Q ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n >0时等号成立．4．用数学归纳法证明“n 3＋5n 能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为________________________． 答案 k 3＋5k ＋3k (k ＋1)＋6解析 (k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋3k 2＋3k ＋1＋5k ＋5＝k 3＋5k ＋3k 2＋3k ＋6 ＝k 3＋5k ＋3k (k ＋1)＋6.5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋4＋…＋n 2＝n 4＋n 22(n ∈N ＋)，则当n ＝k ＋1时，左端应在n＝k 的基础上加上________________． 答案 (k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2解析 当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，所以增加了(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2.1．对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式． 2．参数配方法是由旧知识得到的新方法，注意体会此方法的数学思想．3．对于排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立的条件是其中一序列为常数序列．4．数学归纳法是用来证明和正整数有关的命题的，要特别注意归纳奠基和归纳递推是必不可少的两个步骤．一、选择题1．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，则a 的最大值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ∵(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2. ∴5－a 2≥(3－a )2. 解得1≤a ≤2.验证：当a ＝2时，等号成立．2．已知2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( ) A.53，109，56B.2029，3029，4029C ．1，12，13D ．1，14，19答案 B解析 由柯西不等式，得(22＋32＋42)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋4z )2， 即x 2＋y 2＋z 2≥10029.当且仅当x 2＝y 3＝z4时，等号成立，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 3＝z 4，2x ＋3y ＋4z ＝10，可得x ＝2029，y ＝3029，z ＝4029.3．已知x ，y ∈R ＋，且xy ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D.14答案 A解析 ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2≥⎝⎛⎭⎪⎫1×1＋1x ×1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2＝22＝4.4．已知a ，b ，x 1，x 2∈R ＋，ab ＝1，x 1＋x 2＝2，则M ＝(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)与4的大小关系是( )A ．M ＞4B ．M ＜4C ．M ≥4D．M ≤4 答案 C解析 M ＝(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(bx 1)2＋(ax 2)2] ≥[ab (x 1＋x 2)]2＝(x 1＋x 2)2＝4.5．用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n ，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1＞2n ＋12成立时，当n ＝2时验证的不等式是( ) A ．1＋13＞52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15＞52C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15≥52D ．以上都不对答案 A解析 当n ＝2时，2n －1＝3,2n ＋1＝5，∴1＋13＞52.6．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N ＋)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.二、填空题7．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋n ，用数学归纳法证明f (n )≥3，在假设当n ＝k 时成立后，f (k ＋1)与f (k )的关系是f (k ＋1)＝f (k )·________________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2k k ＋1解析 f (k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋k ，f (k ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋k ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋k ＋2，∴f (k ＋1)＝f (k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2k k ＋1. 8．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2，用数学归纳法证明a n ＝4·2n －1－2的第二步中，设当n ＝k 时结论成立，即a k ＝4·2k －1－2，那么当n ＝k ＋1时，应证明等式_________成立．答案 a k ＋1＝4·2(k ＋1)－1－29．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n ＞4时，f (n )＝________(用含n 的式子表示)． 答案 5 12(n －2)(n ＋1)解析 f (3)＝2，f (4)＝5，f (5)＝9，f (6)＝14，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f (4)－f (3)＝3，f (5)－f (4)＝4，f (6)－f (5)＝5，…，f (n )－f (n －1)＝n －1. 累加，得f (n )－f (3)＝3＋4＋…＋(n －1)＝3＋(n －1)2(n －3)．∴f (n )＝12(n －2)(n ＋1)．10．如图，矩形OPAQ 中，a 1≤a 2，b 1≤b 2，则阴影部分的矩形面积之和________空白部分的矩形面积之和．答案 ≥解析 由题图可知，阴影部分的面积等于a 1b 1＋a 2b 2，而空白部分的面积等于a 1b 2＋a 2b 1，根据顺序和≥逆序和可知，答案为≥. 三、解答题11．已知f (n )＝(2n ＋7)×3n＋9(n ∈N ＋)，用数学归纳法证明f (n )能被36整除． 证明 (1)当n ＝1时，f (1)＝(2＋7)×3＋9＝36，能被36整除． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，f (k )＝(2k ＋7)×3k＋9能被36整除， 则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]×3k ＋1＋9＝(2k ＋7)×3k ＋1＋2×3k ＋1＋9＝(2k ＋7)×3k×3＋2×3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)×3k＋9]－27＋2×3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)×3k＋9]＋18(3k －1－1)． 由于3k －1－1是2的倍数，故18(3k －1－1)能被36整除，即当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)也能被36整除．根据(1)和(2)可知，对一切正整数n ，都有f (n )＝(2n ＋7)×3n＋9能被36整除． 12．设x 1，x 2，…，x n ∈R ＋，且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1.求证：x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.证明 ∵(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n＝(1＋x 1＋1＋x 2＋…＋1＋x n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n ≥⎝⎛⎭⎪⎫1＋x 1·x 11＋x 1＋1＋x 2·x 21＋x 2＋…＋1＋x n ·x n 1＋x n 2＝(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1，∴x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1. 13．已知a ，b ，c 为正数，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .证明 考虑到正数a ，b ，c 的对称性，不妨设a ≥b ≥c >0， 则1a ≤1b ≤1c，bc ≤ca ≤ab ，由排序不等式知，顺序和≥乱序和， ∴bc a ＋ca b ＋ab c ≥ab b ＋bc c ＋caa，即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2abc≥a ＋b ＋c .∵a ，b ，c 为正数， ∴两边同乘以abca ＋b ＋c，得b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .四、探究与拓展14．上一个n 层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为f (n )，则下列猜想正确的是( ) A ．f (n )＝nB ．f (n )＝f (n )＋f (n －2)C ．f (n )＝f (n )·f (n －2)D ．f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝1，2，f (n －1)＋f (n －2)，n ≥3答案 D解析 当n ≥3时，f (n )分两类，第一类，从第n －1层再上一层，有f (n －1)种方法；第二类，从第n －2层再一次上两层，有f (n －2)种方法，所以f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)，n ≥3. 15．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n(n ∈N ＋)，g (n )＝2(n ＋1－1)(n ∈N ＋)． (1)当n ＝1,2,3时，分别比较f (n )与g (n )的大小(直接给出结论)； (2)由(1)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并证明你的结论． 解 (1)f (1)＞g (1)，f (2)＞g (2)，f (3)＞g (3)． (2)当n ＝1时，f (1)＞g (1)； 当n ＝2时，f (2)＞g (2)； 当n ＝3时，f (3)＞g (3)． 猜想：f (n )＞g (n )(n ∈N ＋)，即1＋12＋13＋…＋1n＞2(n ＋1－1)(n ∈N ＋)．下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝2(2－1)，f (1)＞g (1)， 不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k＞2(k ＋1－1)．则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1＞2(k＋1－1)＋1k＋1＝2k＋1＋1k＋1－2，g(k＋1)＝2(k＋2－1)＝2k＋2－2，所以只需证明2k＋1＋1k＋1＞2k＋2，即证2(k＋1)＋1＝2k＋3＞2(k＋2)(k＋1)，即证(2k＋3)2＞4(k＋2)(k＋1)，即证4k2＋12k＋9＞4k2＋12k＋8，此式显然成立．所以，当n＝k＋1时不等式也成立．综上①②可知，对n∈N＋，不等式都成立，即1＋12＋13＋…＋1n＞2(n＋1－1)(n∈N＋)成立．。
高中数学 第二章 函数章末分层突破学案 北师大版必修1(2021年最新整理)
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第二章函数[自我校对]①对应关系②函数的值域③解析法④简单的幂函数⑤单调性的定义⑥函数的奇偶性⑦奇偶性的判定方法函数的定义域1数非负等)的自变量的取值范围．2．已知函数f(x)的定义域为［a，b］，求函数f［φ(x）］的定义域,可解不等式a≤φ(x）≤b求得；如果已知函数f［φ（x）］的定义域，可通过求函数φ(x)的值域，求得函数f（x）的定义域．（1)若函数y＝错误!的定义域为R，则实数a的取值范围是________．（2）已知函数f（x)的定义域为[0，1］,则函数f错误!的定义域为________．【精彩点拨】(1）对任意x∈R，都有ax2＋4ax＋3≠0成立，分a＝0，a≠0两种情况，a≠0时，Δ<0即可；（2）由0≤错误!x－1≤1解出x的范围即为所求．【规范解答】（1)依题意，x∈R,解析式有意义，即对任意x∈R,都有ax2＋4ax＋3≠0成立，故方程ax2＋4ax＋3＝0无实根．①当a＝0时，3≠0满足要求；②当a≠0时，则有Δ＝16a2－12a＜0，即0＜a＜错误!时满足要求．综上可知a∈错误!。
（2)由题意知，0≤错误!x－1≤1，解得2≤x≤4。
因此，函数f错误!的定义域为[2，4]．【答案】（1)错误!（2)[2，4][再练一题]1．已知函数f（2x－1）的定义域为［0,1），求f(1－3x)的定义域。
高中数学第二章几个重要的不等式3.1数学归纳法学案北师大版
3.1 数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的基本原理.2.了解数学归纳法的应用范围.3.会用数学归纳法证明一些简单问题．知识点数学归纳法在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．思考1 试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？答案①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．思考2 由这种思想方法所得的数学方法叫数学归纳法，那么，数学归纳法适用于解决哪类问题？答案适合解决一些与正整数n有关的问题．梳理数学归纳法的概念及步骤(1)数学归纳法的定义一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：①证明当n＝n0时命题成立；②假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．(2)数学归纳法适用范围数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明．(3)数学归纳法的基本过程类型一 用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n ＝1－12n (n ∈N ＋)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，等式成立， 即12＋122＋…＋12k ＝1－12k . 当n ＝k ＋1时，12＋122＋…＋12k ＋12k ＋1＝1－12k ＋12k ＋1＝1－12k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，原等式对n ∈N ＋均成立．反思与感悟 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n ＝n 0时命题的形式，二是要准确把握由n ＝k 到n ＝k ＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n ＝k ＋1成立时，必须使用归纳假设．跟踪训练1 用数学归纳法证明1＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)(n ∈N ＋)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝1×2×36＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，等式成立， 即12＋22＋32＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6.当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，等式对任何n ∈N ＋都成立． 类型二 证明与整除有关的问题例2 求证：x 2n－y 2n(n ∈N ＋)能被x ＋y 整除．证明 (1)当n ＝1时，x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )能被x ＋y 整除． (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，x 2k－y 2k能被x ＋y 整除， 那么当n ＝k ＋1时，x2k ＋2－y2k ＋2＝x 2·x 2k －y 2·y 2k －x 2y 2k ＋x 2y 2k ＝x 2(x 2k －y 2k )＋y 2k (x 2－y 2)．∵x 2k－y 2k与x 2－y 2都能被x ＋y 整除， ∴x 2(x 2k－y 2k)＋y 2k(x 2－y 2)能被x ＋y 整除．即当n ＝k ＋1时，x2k ＋2－y2k ＋2能被x ＋y 整除．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，命题均成立．反思与感悟 利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这往往要利用“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧来凑出n ＝k 时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．跟踪训练2 用数学归纳法证明：n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3能被9整除(n ∈N ＋)． 证明 (1)当n ＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时结论成立， 即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除． 则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3＝[k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3]＋[(k ＋3)3－k 3] ＝[k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3]＋9k 2＋27k ＋27 ＝[k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3]＋9(k 2＋3k ＋3)．因为k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，9(k 2＋3k ＋3)也能被9整除， 所以(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3也能被9整除， 即当n ＝k ＋1时结论也成立． 由(1)(2)知，命题对一切n ∈N ＋成立．1．用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和等于(n －2)π”时，归纳奠基中n 0的取值应为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 边数最少的凸n 边形为三角形，故n 0＝3. 2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－an ＋21－a(n ∈N ＋，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为( ) A ．1 B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3答案 B解析 当n ＝1时，n ＋1＝2，故左边所得的项为1＋a ＋a 2. 3．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N )能被8整除，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1应变形为________________________． 答案 81×(34k ＋1＋52k ＋1)－56×52k ＋1(或25×(34k ＋1＋52k ＋1)＋56×34k ＋1)解析 34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝34k ＋5＋52k ＋3＝81×34k ＋1＋25×52k ＋1＝81×34k ＋1＋81×52k ＋1－56×52k ＋1＝81×(34k ＋1＋52k ＋1)－56×52k ＋1.4．用数学归纳法证明1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N ＋)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，等式成立， 即1＋3＋…＋(2k －1)＝k 2，那么，当n ＝k ＋1时，1＋3＋…＋(2k －1)＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.所以当n ＝k ＋1时等式成立．由(1)(2)可知，等式对任意正整数n 都成立．1．应用数学归纳法时应注意的问题(1)第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n ＝1，有时需验证n ＝2，n ＝3. (2)对n ＝k ＋1时式子的项数以及n ＝k 与n ＝k ＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．(3)“假设n ＝k 时命题成立，利用这一假设证明n ＝k ＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范．2．判断利用数学归纳法证明问题是否正确 (1)要看有无归纳奠基．(2)证明当n ＝k ＋1时是否应用了归纳假设．3．与n 有关的整除问题一般都用数学归纳法证明．其中关键问题是从当n ＝k ＋1时的表达式中分解出n ＝k 时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式，这样才能得出结论成立．一、选择题1．已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1及其证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1成立，则当n ＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立．判断以上论述( )A ．命题、推理都正确B ．命题正确、推理不正确C ．命题不正确、推理正确D ．命题、推理都不正确答案 B解析 推理不正确，错在证明当n ＝k ＋1时，没有用到假设当n ＝k 时的结论，命题由等比数列求和公式知正确．2．在数列{a n }中，a 1＝2－1，前n 项和S n ＝n ＋1－1，先算出数列的前4项的值，再根据这些值归纳猜想数列的通项公式是( ) A ．a n ＝n ＋1－1 B ．a n ＝n n ＋1－1 C ．a n ＝2n －n D ．a n ＝n ＋1－n答案 D解析 ∵a 1＝2－1，S 2＝3－1，∴a 2＝S 2－S 1＝3－2，a 3＝S 3－S 2＝4－3，a 4＝S 4－S 3＝5－4， 猜想：a n ＝n ＋1－n .3．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)时正确，再推n ＝2k ＋3时正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时正确，再推n ＝2k ＋1时正确C ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时正确，再推n ＝k ＋1时正确D ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时正确，再推n ＝k ＋2时正确 答案 B解析 ∵n 为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：假设当n ＝2k －1(k ∈N ＋)时正确，再推出当n ＝2k ＋1时正确，故选B. 4．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2 C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2答案 D解析 因为f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)， 所以f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， 所以f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.5．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)＝14n (n ＋1)(n ＋a )(n ＋b )对一切正整数n 都成立，则a ，b 的值等于( )A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝2，b ＝3 答案 D解析 令n ＝1,2得到关于a ，b 的方程组，解得即可．6．某个命题与正整数n 有关，若当n ＝k (k ∈N ＋)时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( ) A ．当n ＝6时该命题不成立 B ．当n ＝6时该命题成立 C ．当n ＝4时该命题不成立 D ．当n ＝4时该命题成立 答案 C解析 由已知得当n ＝k 时成立⇒n ＝k ＋1时成立． ∴当n ＝k ＋1时不成立⇒当n ＝k 时不成立． ∴由当n ＝5时不成立知，当n ＝4时不成立． 二、填空题7．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N ＋)，则f (n ＋1)－f (n )＝________.答案13n ＋13n ＋1＋13n ＋2解析 因为f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1，所以f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2，所以f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.8．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n 个式子应为______． 答案 1－4＋9－16＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n －1·n (n －1)29．已知平面上有n (n ∈N ＋，n ≥3)个点，其中任何三点都不共线，过这些点中任意两点作直线，设这样的直线共有f (n )条，则f (3)＝__________，f (4)＝___________，f (5)＝__________，f (n ＋1)＝f (n )＋____________. 答案 3 6 10 n解析 当n ＝k 时，有f (k )条直线．当n ＝k ＋1时，增加的第k ＋1个点与原k 个点共连成k 条直线，即增加k 条直线，所以f (k ＋1)＝f (k )＋k .所以f (3)＝3，f (4)＝6，f (5)＝10，f (n＋1)＝f (n )＋n . 10．观察下列等式： (1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …，照此规律，第n 个等式可为____________________． 答案 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)解析 由已知，得第n 个等式左边为(n ＋1)(n ＋2)…·(n ＋n )，右边为2n×1×3×…×(2n －1)．所以第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)． 三、解答题11．用数学归纳法证明：当n 为正整数时，f (n )＝32n ＋2－8n －9能被64整除．证明 (1)当n ＝1时，f (1)＝34－8－9＝64，命题显然成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，命题成立，即f (k )＝32k ＋2－8k －9能被64整除．当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝32(k ＋1)＋2－8(k ＋1)－9＝9(32k ＋2－8k －9)＋9×8k ＋9×9－8(k ＋1)－9＝9(32k ＋2－8k－9)＋64(k ＋1)，即f (k ＋1)＝9f (k )＋64(k ＋1)． ∴当n ＝k ＋1时命题也成立．综合(1)(2)可知，对任意的n ∈N ＋，命题都成立．12．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N ＋)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，所以等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即 1－12＋13－14＋...＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)， 则当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12(k ＋1)，所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对任意n ∈N ＋等式都成立．13．请观察以下三个式子： (1)1×3＝1×2×96；(2)1×3＋2×4＝2×3×116；(3)1×3＋2×4＋3×5＝3×4×136，归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论． 解 结论：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n (n ＋2)＝n (n ＋1)(2n ＋7)6.证明：(1)当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以命题成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，命题成立， 即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k (k ＋2)＝k (k ＋1)(2k ＋7)6，当n ＝k ＋1时，1×3＋2×4＋…＋k (k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋3)＝k (k ＋1)(2k ＋7)6＋(k ＋1)(k ＋3)＝k ＋16(2k 2＋7k ＋6k ＋18)＝k ＋16(2k 2＋13k ＋18)＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋9)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋7]6，所以当n ＝k ＋1时，命题成立． 由(1)(2)知，命题成立． 四、探究与拓展14．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是________． 答案 (k ＋1)2＋k 2解析 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12. 当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12， 所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.15．已知数列11×4，14×7，17×10，110×13，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算数列和S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．解 S 1＝11×4＝14，S 2＝14＋14×7＝27，S 3＝27＋17×10＝310，S 4＝310＋110×13＝413.上面四个结果中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1，于是可以猜想S n ＝n3n ＋1.其证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时猜想成立， 即11×4＋14×7＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k3k ＋1成立， 则当n ＝k ＋1时，11×4＋14×7＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1]＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时，猜想成立．由(1)(2)知，猜想对任意n ∈N ＋，S n ＝n3n ＋1都成立．。
2017-2018学年北师大版高中数学必修二第二章解析几何初步章末分层突破学案
第二章解析几何初步章末分层突破[自我校对]①一个方向②倾斜角③斜截式④截距式⑤平行⑥垂直⑦圆的一般方程⑧直线与圆的位置关系线.直线方程的一般式则可以表示所有直线，求直线的方程常用待定系数法.选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程；与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等.求与直线y ＝43x ＋53垂直，且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线l 的方程.【导学号：39292128】【精彩点拨】 由条件易求得l 的斜率，设l 在y 轴上的截距为b ，利用三角形的面积列出方程，求出b 的值即可.另外，若从三角形面积的表达式上考虑，也可设直线的截距式来解.【规范解答】 法一：∵直线l 与直线y ＝43x ＋53垂直，∴设直线方程为y ＝－34x ＋b ，则直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为x 0＝43b ，y 0＝b .又∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积为24， ∴S ＝12|x 0||y 0|＝24，即12⎪⎪⎪⎪⎪⎪43b |b |＝24，b 2＝36，解得b ＝6或b ＝－6， 故直线l 的方程为y ＝－34x ＋6或y ＝－34x －6，即3x ＋4y －24＝0或3x ＋4y ＋24＝0. 法二：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1， 则直线的斜率k ＝－b a. ∵l 与直线y ＝43x ＋53垂直，∴k ＝－b a ＝－34，即b a ＝34.又∵l 与坐标轴围成的三角形的面积为24， ∴12|ab |＝24，即|ab |＝48， 解得a ＝8，b ＝6，或a ＝－8，b ＝－6. ∴直线l 的方程为x 8＋y 6＝1或x －8＋y－6＝1，即3x ＋4y －24＝0或3x ＋4y ＋24＝0. [再练一题]1.已知一条直线经过点A (1,2)，并且与点B (2,3)和C (0，－5)的距离相等，求此直线的方程.【解】 (1)当所求直线的斜率存在时，可设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0. 由题意，得|2k －3－k ＋2|1＋k 2＝|0＋5－k ＋2|1＋k 2， 即|k －1|＝|k －7|，解得k ＝4， ∴此直线方程为4x －y －2＝0.(2)当所求直线的斜率不存在时，方程为x ＝1， 经验证，x ＝1符合题意.综上，此直线的方程为x ＝1或4x －y －2＝0.利用待定系数法解题.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)；(3)解出a ，b ，r (或D ，E ，F )；(4)代入圆的方程.有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的方程.【精彩点拨】 可设出圆的标准方程或一般方程，结合已知条件列出方程组，用待定系数法求解；也可利用圆的几何性质确定出圆心坐标和半径，从而求解圆的标准方程.【规范解答】 法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆为C (a ，b )，由|CA |＝|CB |，CA ⊥l ，得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)2＋(b －6)2＝(a －5)2＋(b －2)2＝r 2，b －6a －3×43＝－1，解得a ＝5，b ＝92，r 2＝254，∴圆的方程为(x －5)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －922＝254.法二：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为C ，由CA ⊥l ，A (3,6)，B (5,2)在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39，∴所求圆的方程为：x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.法三：设圆心为C ，则CA ⊥l ，又设AC 与圆的另一交点为P ，则CA 方程为y －6＝－34(x－3)，即3x ＋4y －33＝0.又k AB ＝6－23－5＝－2，∴k BP ＝12，∴直线BP 的方程为x －2y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3，∴P (7,3)，∴圆心为AP 中心⎝ ⎛⎭⎪⎫5，92，半径为|AC |＝52，∴所求圆的方程为(x －5)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －922＝254. [再练一题]2.已知圆经过点A (2，－1)，圆心在直线2x ＋y ＝0上且与直线x －y －1＝0相切，求圆的方程.【解】 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0). ∵圆心在直线y ＝－2x 上，∴b ＝－2a ， 即圆心为(a ，－2a ).又圆与直线x －y －1＝0相切，且过点(2，－1)， ∴|a ＋2a －1|2＝r ，(2－a )2＋(－1＋2a )2＝r 2， 即(3a －1)2＝2(2－a )2＋2(－1＋2a )2， 解得a ＝1或a ＝9.∴a ＝1，b ＝－2，r ＝2或a ＝9，b ＝－18，r ＝338， 故所求圆的方程为：(x －1)2＋(y ＋2)2＝2， 或(x －9)2＋(y ＋18)2＝338.关于对称问题，线与已知直线垂直，“平分”是指两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解.已知直线l ：y ＝3x ＋3，求点P (4,5)关于l 的对称点的坐标.【精彩点拨】 设对称点P ′的坐标为(x ′，y ′)，则直线l 为PP ′的垂直平分线，所以PP ′⊥l ，PP ′的中点在l 上，列出关于x ′，y ′的方程组，解之即可.【规范解答】 设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则线段PP ′的中点M 在直线l 上，且直线PP ′垂直于直线l .即⎩⎪⎨⎪⎧y ′＋52＝3×x ′＋42＋3，y ′－5x ′－4×3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2，y ′＝7，所以点P 关于l 的对称点的坐标为(－2,7). [再练一题]3.已知直线l ：y ＝3x ＋3，求直线l 关于点A (3,2)对称的直线的方程.【导学号：39292129】【解】 设直线l 关于点A (3,2)的对称直线为l ′， 由于l ∥l ′，可设l ′的方程为y ＝3x ＋b (b ≠3)，任取y ＝3x ＋3上的点(0,3)关于A (3,2)对称的点一定在l ′上，设为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧0＋x2＝3，3＋y 2＝2，所以x ＝6，y ＝1，代入y ＝3x ＋b ，得b ＝－17，故l ′的方程为y ＝3x －17. 即所求直线方程为3x －y －17＝0.“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法.数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”.本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题，如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”，因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到事半功倍的效果.当直线y ＝k (x －2)＋4和曲线y ＝1＋4－x 2有交点时，实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤512，34B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，512D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫512，＋∞ 【精彩点拨】 根据图形的特点求解.【规范解答】 先作出已知曲线y ＝1＋4－x 2的图形，再根据直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4).如图所示，曲线是以(0,1)为圆心，r ＝2为半径的半圆，直线表示过定点(2,4)的动直线.由图形中关系可求得k PC ＝|－2k ＋3|1＋k2＝2， 解得k ＝512，所求k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫512，＋∞. 【答案】 D [再练一题]4.圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )【导学号：39292130】A.36B.18C.6 2D.5 2【解析】 因为圆心C (2,2)到直线x ＋y －14＝0的距离d ＝|2＋2－14|2＝52>r ＝32，故直线与圆相离.如图，作圆的两条切线且与直线x ＋y －14＝0平行，则两切线l 2、l 1间的距离就是圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差，它们的差是圆的直径6 2.【答案】 C1.平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0【解析】 ∵所求直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，∴设所求的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0.∵所求直线与圆x 2＋y 2＝5相切，∴|m |1＋4＝5，∴m ＝±5.即所求的直线方程为2x ＋y＋5＝0或2x ＋y －5＝0.【答案】 A2.一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－34【解析】 由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D.【答案】 D3.在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45π B.34π C.(6－25)πD.54π 【解析】 ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上.设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |.又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.【答案】 A4.圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A.－43 B.－34C. 3D.2【解析】 圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.【答案】 A5.设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________.【解析】 如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连接ON .M 点的纵坐标为1，MN 与⊙O 相切于点N .设∠OMN ＝θ，则θ≥45°， 即sin θ≥22，即ON OM ≥22. 而ON ＝1，∴OM ≤ 2.∵M 为(x 0,1)，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1，∴x 0的取值范围为[－1,1]. 【答案】 [－1,1]。
高中数学第2章几个重要的不等式分层突破北师大版选修
[再练一题] 1．设 a，b，x，y 都是正数，且 x＋y＝a＋b，求证：a＋a2 x＋b＋b2 y≥a＋2 b.
【证明】 因为 a，b，x，y 都是正数，x＋y＝a＋b，
由柯西不等式可知
a＋a2 x＋b＋b2 y(a＋x＋b＋y)
≥
a a＋x·
a＋x＋
b b＋y·
b＋y2＝(a＋b)2.
又 ax＋y＋z＝1，求 2x2＋3y2＋z2 的最小值．
【解】 由柯西不等式，得
2x2＋3y2＋z2＝161(2x2＋3y2＋z2)·12＋13＋1 ≥161 2x·22＋ 3y·33＋z·12＝161(x＋y＋z)2＝161， ∴2x2＋3y2＋z2≥161.
当且仅当
2x＝ 2
[再练一题] 2．设 a，b，c 为某一个三角形的三条边，a≥b≥c，求证：(1)c(a＋b－c)≥b(c ＋a－b)≥a(b＋c－a)； (2)a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.
【证明】 (1)用比较法：c(a＋b－c)－b(c＋a－b) ＝ac＋bc－c2－bc－ab＋b2＝b2－c2＋ac－ab ＝(b＋c)(b－c)－a(b－c)＝(b＋c－a)(b－c)． 因为 b≥c，b＋c－a≥0， 于是 c(a＋b－c)－b(c＋a－b)≥0， 即 c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)．① 同理可证 b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)．② 综合①②，证毕．
【精彩点拨】 由 f(n)与 g(n)的关系，直接比较不容易，可先比较前 n 项， 猜想出结论，再由数学归纳法证明．
【规范解答】 由 f( 2)＝1－ 222n＋1＝1－2n＋2 1，g(n)＝1－n2＋2 1， ∴要比较 f( 2)与 g(n)的大小，只需比较 2n 与 n2 的大小． 当 n＝4 时，24＝16＝42， 当 n＝5 时，25＝32>52＝25， 当 n＝6 时，26＝64>62＝36. 故猜测当 n≥5(n∈N＋)时，2n>n2，下面用数学归纳法加以证明．
高中数学第二章几个重要的不等式2排序不等式学案北师大版选修4_
b3c3＋ c3a3＋a3b3≥ b3c3＋c3a3＋ a3b3＝ c3＋ a3＋ b3．
111 又∵ a2≥b2≥ c2，c3≥b3≥ a3，
b2 c2 a2 c2 a2 b2 ∴ c3＋ a3＋ b3≥c3＋a3＋ b3
111 ＝ c＋ a＋ b．
综上，原不等式成立． 【例 2】证明：设 a≥ b≥ c＞ 0? a＋ b≥ c＋a≥ c＋ b．
1 又∵ c＞ 0，∴ c＞ 0．
11 从而 bc≥ ca．
11 同理，∵ b≥ c＞ 0，于是 b≤ c，
1 又∵ a＞ 0，∴ a＞ 0．
11 于是得 ca≥ ab．
111 从而 bc≥ ca≥ ab．
111 (2)由(1)bc≥ca≥ ab，和顺序和≥乱序和，得
a5
b5
c5
b5
c5
a5 b2 c2 a2
x
y
bx－ ay
∴ x＋ a－ y＋ b＝ x＋ a y＋ b ＞ 0，
x
y
∴ x＋ a＞ y＋ b．
4．证明：根据所证明的不等式中 a， b， c 的“位置”的对称性，不妨设 a≥b≥ c＞ 0，
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
11 1 则 a≤ b≤ c， bc≤ca≤ ab．
－a2)(b1－ b2)＞ 0， 1
∴ a1b1＋ a2b2＞ a1b2＋ a2b1，且 a1b1＋ a2b2＞2＞ a1b2＋ a2b1．
1 又∵ 1＝ a1＋ a2≥ 2 a1a2，∴ a1a2≤ 4．
1
∵
0＜
a1＜
a2，∴
a1a2＜
． 4
1
名师高中数学北师大版选修2-3同步导学案：第2章 章末
章末分层突破[自我校对]①均值②条件概率③正态分布④正态分布密度曲线的性质必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．【精彩点拨】本题是条件概率问题，根据条件概率公式求解即可．【规范解答】设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2题抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n(Ω)＝A25＝20.根据分步乘法计数原理，n(A)＝A 13×A 14＝12. 于是P(A)＝Ω＝1220＝35. (2)因为n(AB)＝A 23＝6， 所以P(AB)＝Ω＝620＝310. (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率P(B|A)＝＝31035＝12. 法二：因为n(AB)＝6，n(A)＝12， 所以P(B|A)＝＝612＝12. [再练一题]1．掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率．【解】 设“掷出的点数之和大于或等于10”为事件A ，“第一颗骰子掷出6点”为事件B.法一：P(A|B)＝＝336636＝12. 法二：“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种，故n(B)＝6.“掷出的点数之和大于或等于10”且“第一颗掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)，共3种，即n(AB)＝3.从而P(A|B)＝＝36＝12.清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．特别注意以下两公式的使用前提：(1)若A ，B 互斥，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立． (2)若A ，B 相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，反之成立．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求P(X＝1)．【精彩点拨】解决本题的关键是将复杂事件拆分成若干个彼此互斥事件的和或几个彼此相互独立事件的积事件，再利用相应公式求解．【规范解答】记A i表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0,1,2，B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D＝A1BC＋A2B＋A2B C，P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0,1,2，所以P(D)＝P(A1BC＋A2B＋A2B C) ＝P(A1BC)＋P(A2B)＋P(A2B C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.(2)X＝1表示在同一工作日有一人需使用设备．P(X＝1)＝P(BA0C＋B A0C＋B A1C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)·P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25.[再练一题]2．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第1,2,3个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分．假设这名同学答对第1,2,3个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6.且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率．【解】记“这名同学答对第i个问题”为事件A i(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率为：P1＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)·P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.(2)这名同学至少得300分的概率为：P 2＝P 1＋P(A 1A 2A 3)＝P 1＋P(A 1)P(A 2)P(A 3) ＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.2．应用范围：均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛，如同等资本下比较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等．3．求解思路：应用时，先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列．对于一般类型的随机变量，应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是概率的计算．计算概率时要结合事件的特点，灵活地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解．若离散型随机变量服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接代入公式计算其数学期望与方差．甲、乙、丙三支足球队进行比赛，根据规则：每支队伍比赛两场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．已知乙队胜丙队的概率为15，甲队获得第一名的概率为16，乙队获得第一名的概率为115.(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P 1，P 2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列及数学期望、方差．【精彩点拨】 (1)通过列方程组求P 1和P 2；(2)由题意求出甲队得分ξ的可能取值，然后再求出ξ的分布列，最后求出数学期望和方差．【规范解答】 (1)设“甲队胜乙队”的概率为P 1，“甲队胜丙队”的概率为P 2.根据题意，甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，所以甲队获得第一名的概率为P 1×P 2＝16.①乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队， 所以乙队获得第一名的概率为(1－P 1)×15＝115.②解②，得P 1＝23，代入①，得P 2＝14，所以甲队胜乙队的概率为23，甲队胜丙队的概率为14.(2)ξ的可能取值为0,3,6.当ξ＝0时，甲队两场比赛皆输，其概率为P(ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14；当ξ＝3时，甲队两场只胜一场，其概率为P(ξ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝712；当ξ＝6时，甲队两场皆胜，其概率为 P(ξ＝6)＝23×14＝16.所以ξ的分布列为所以E ξ＝0×4＋3×12＋6×6＝4.D ξ＝⎝⎛⎭⎪⎫0－1142×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1142×712＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6－1142×16＝5916.[再练一题]3．(2015·天津高考)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【解】 (1)由已知，有P(A)＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P(X ＝k)＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1,2,3,4)．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望EX ＝1×14＋2×7＋3×7＋4×14＝2.主要是：(1)掌握正态分布曲线函数关系式；(2)理解正态分布曲线的性质；(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率．正态分布的概率通常有以下两种方法：(1)注意“3σ原则”的应用．记住正态总体在三个区间内取值的概率．(2)注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请您判断考生成绩X 在550～600分的人数．【精彩点拨】 根据正态分布的性质，求出P(550＜x≤600)，即可解决在550～600分的人数．【规范解答】 ∵考生成绩X ～N (500,502)， ∴μ＝500，σ＝50，∴P(550<X≤600)＝12[P(500－2×50<X≤500＋2×50)－P(500－50<X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，∴考生成绩在550～600分的人数为2 500×0.135 9≈340(人)． [再练一题]4．已知随机变量X 服从正态分布N(0，σ2)，若P(X ＞2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝( )A ．0.447B ．0.628C ．0.954D ．0.977【解析】 ∵随机变量X 服从标准正态分布N(0，σ2)， ∴正态曲线关于x ＝0对称．又P(X ＞2)＝0.023， ∴P(X ＜－2)＝0.023，∴P(－2≤X≤2)＝1－2×0.023＝0.954. 【答案】 C在概率运算过程中，会经常遇到求两个或三个事件的概率或确定参数的值的问题，此时可考虑方程(组)的方法，借助题中条件列出含参数或未知量的方程(组)进行求解即可．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29. (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．【精彩点拨】 设出甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品，依题意，它们相互独立，利用乘法公式，结合方程思想来解决．【规范解答】 (1)设A ，B ，C 分别表示甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题设条件，有⎩⎪⎨⎪⎧ B ＝14，C＝112，＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧－＝14， ①－＝112， ②＝29. ．③由①③得，P(B)＝1－98P(C)，代入②得：27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0， 解得P(C)＝23或119(舍去)．将P(C)＝23分别代入②③，可得P(A)＝13，P(B)＝14.即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件． 则P(D)＝1－P(D )＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.[再练一题]5．A ，B ，C 相互独立，如果P(AB)＝16，P(B －C)＝18，P(AB C )＝18，则P(A B)＝________.【解析】 设P(A)＝a ，P(B)＝b ，P(C)＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝16，－＝18，－＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝12，c ＝14，∴P(A B)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12＝13.【答案】 131．(2016·江苏高考)已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．【解析】 5个数的平均数x ＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，所以它们的方差s 2＝15[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.【答案】 0.12．(2016·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________．【解析】 法一：由题意可知每次试验不成功的概率为14，成功的概率为34，在2次试验中成功次数X 的可能取值为0,1,2，则P(X ＝0)＝116，P(X ＝1)＝C 12×14×34＝38，P(X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916.所以在2次试验中成功次数X 的分布列为则在2E(X)＝0×116＋1×38＋2×916＝32.法二：此试验满足二项分布，其中p ＝34，所以在2次试验中成功次数X 的均值为E(X)＝np ＝2×34＝32.【答案】 323．(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．【解】 (1)设A 表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)设B 表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)， 故P(B|A)＝＝＝0.150.55＝311. 因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为EX1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.4．(2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX. 【解】 (1)记事件A ：“甲第一轮猜对”， 记事件B ：“乙第一轮猜对”， 记事件C ：“甲第二轮猜对”， 记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”． 由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D ， 由事件的独立性与互斥性，P(E)＝P(ABCD)＋P(A BCD)＋P(A B CD)＋P(AB C D)＋P(ABC D )＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A )·P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B )P(C)P(D)＋P(A)P(B)·P(C )P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D )＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14×23×34×23＋34×13×34×23＝23， 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得 P(X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P(X ＝1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×13×14×13＋14×23×14×13 ＝10144＝572， P(X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P(X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112， P(X ＝4)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×23×34×13＋34×23×14×23 ＝60144＝512， P(X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X 的分布列为所以数学期望EX ＝0×144＋1×72＋2×144＋3×12＋4×12＋6×4＝6.5．(2015·四川高考)某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望．【解】 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，X 的可能取值为1,2,3. P(X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P(X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P(X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15，所以X 的分布列为因此，X EX ＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3) ＝1×15＋2×35＋3×15＝2.。
高中数学北师大版选修2-2学案：第2章 章末分层突破 Word版含解析
A.－B.
C.D.－或
【解析】f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)＝[x＋(a－1)][x＋(a＋1)].
显然(2)(4)不符合，若(1)是f′(x)的图像，则有a＝0，与已知矛盾，故(3)是f′(x)的图像，∴a＝－1.
∴f(－1)＝－－1＋1＝－.
【答案】A
10.过点(－1，0)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，则其中一条切线为()
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，
即y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
y0＝x＋x0－16，
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
【解析】y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－(x>0)，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－(m>0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1).
【答案】(1，1)
5.(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________.
【解析】因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝lnx－3x，所以f′(x)＝－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.
【答案】y＝－2x－1
章末综合测评(二)变化率与导数
北师大版数学高一北师大版必修3学案 第2章 章末分层突破
章末分层突破[自我校对]①顺序结构②条件结构③循环结构用自然语言描述算法1.一找：认真分析问题，找出解决此类问题的一般数学方法；二借：借助有关变量或参数对算法加以表述；三划：将解决问题的过程划分为若干步骤；四表：用简单的语言将各个步骤表示出来．2．用自然语言描述算法的注意事项(1)要与解决问题的一般方法相联系，从中提炼出算法．(2)可引入适当的变量和参数对算法的具体步骤加以表达．(3)解决问题的算法一定要在有限的步骤之内完成．(4)算法过程能够便于在计算机上执行．已知在直角△ABC中，∠C是直角，c＝13，b＝12，求△ABC的面积．写出解决该问题的算法步骤．【精彩点拨】结合直角三角形知识求出另一直角边然后求面积．【规范解答】 1.输入一直角边长b和斜边长c；2．由勾股定理a2＋b2＝c2求另一直角边长a；3．利用面积公式S＝12a·b，求面积S；4．输出面积S.[再练一题]1．已知平面直角坐标系中两点A(－1,0)，B(3,2)，写出求线段AB的垂直平分线方程的一个算法．【解】 1.计算x0＝－1＋32＝1，y0＝0＋22＝1，得AB的中点N(1,1)；2．计算k1＝2－03－(－1)＝12，得AB斜率；3．计算k＝－1k1＝－2，得AB垂直平分线的斜率；4．由点斜式得直线AB的垂直平分线的方程，并输出．算法框图1.(1)用标准，即使用标准的图形符号．(2)按顺序，即框图一般按从上到下、从左到右的顺序画．(3)看出入，即大多数程序框图的图形符号只有一个入口和一个出口，判断框是唯一具有超过一个出口的符号，条件结构中要在出口处标明“是”或“否”．(4)明循环，即循环结构要注意变量的初值及循环终止条件．(5)辨流向，即流程线的箭头表示执行的方向，不可缺少．(6)简说明，即在图形符号内的描述语言要简练、清晰．2．程序框图识图问题解法要点(1)分析程序框图中所使用的算法逻辑结构．(2)根据相应的逻辑结构确定该算法的功能，能用数学表达式表示的要用数学表达式表示出来；不能用数学表达式表示的要明确算法的过程与步骤．(3)根据算法功能解决相应的问题，已知输入值求输出结果或已知输出结果求输入值时，要通过算法功能，根据输入值与输出值之间的关系求解．(2015·陕西高考)根据下边框图2-1，当输入x为2 006时，输出的y ＝() 【导学号：63580031】图2-1A．2B．4C．10 D．28【精彩点拨】根据框图所给的已知条件分析求解，直到得出满足条件的结果．x每执行一次循环减少2，当x变为－2时跳出循环，y＝3－x＋1＝32＋1＝10.【规范解答】初始条件：x＝2 006；第1次运行；x＝2 004；第2次运行：x＝2 002；第3次运行：x＝2 000；…；第1 003次运行：x＝0；第1 004次运行：x＝－2.不满足条件x≥0，停止运行，所以输出的y＝32＋1＝10，故选C.【答案】 C[再练一题]2．(2014·江西高考)阅读如下程序框图2-2，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为()图2-2A ．7B ．9C ．10D ．11【解析】 初始值，S ＝0，i ＝1，接下来按如下运算进行： 第一次循环，S ＝lg 13＞－1，再次进入循环，此时i ＝3；第二次循环；S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15＞－1，再次进入循环，此时i ＝5； 第三次循环：S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＞－1，再次进入循环，此时i ＝7； 第四次循环，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＞－1，再次进入循环，此时i ＝9； 第五次循环，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111＜－1，退出循环，此时i ＝9. 【答案】 B算法语句的设计与应用(1)条件语句主要用于需要进行条件判断的算法．循环语句主要用于含有一定规律的计算，在使用时需要设计合理的计数变量．(2)两种循环语句在设计时，要注意For 语句和Do Loop 语句的一般格式，注意循环体的确定以及循环终止条件的确定．(3)在设计整个问题的算法语句时，可能既有条件语句又有循环语句，因此要注意几种语句的书写格式．试设计一个求分段函数y ＝⎩⎨⎧x －1，x ＞1，2x ＋1，－1≤x ≤1，x ＋1，x ＜－1的函数值的算法(要求画出程序框图，写出算法语句)．【精彩点拨】 结合分段函数y 的表达式，用选择结构画出算法框图．再写出算法语句．【规范解答】 算法的程序框图为：算法语句为：输入x；If x＞1Theny＝x－1ElseIf x＜－1Theny＝x＋1Elsey＝2* x＋1End IfEnd If输出y.[再练一题]3．将一张足够大的纸，第一次对折，第二次对折，第三次对折，…，如此不断地对折27次，这时纸的厚度将会超过世界第一高峰的高度，请完成如图2-3的程序框图，并用算法语句描述算法(假设10层纸的厚度为0.001 m)．提示：(设用变量n来表示纸的层数，用h来表示纸的厚度)图2-3【解】①n＝2n；②i≥27；③h＝n10×0.001.用变量n来表示纸的层数．用h来表示纸的厚度．用算法语句描述算法如下：n＝1For i＝1To27n＝2*nNexth=n10*0.001输出h.分类讨论思想并逐类求解，然后综合得结论，这就是分类讨论思想．在具体问题的算法设计中，往往需要根据条件进行逻辑判断，并进行不同的处理(如条件结构和循环结构)，这实际上运用了分类讨论的数学思想方法．(2014·安徽高考)如图2-4所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()图2-4A．34B．55C．78D．89【精彩点拨】利用循环结构结合其运行特点逐步运行即可，但要注意循环终止的条件．【规范解答】当输入x＝1，y＝1，执行z＝x＋y及z≤50，x＝y，y＝z后，x，y，z的值依次对应如下：x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y＝2，z＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x＝3，y＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝13，z＝21；x＝13，y＝21，z＝34；x＝21，y＝34，z＝55.由于55≤50不成立，故输出55.故选B.【答案】 B[再练一题]4．执行如图2-5所示的程序框图，若输入n＝8，则输出的S＝()图2-5A.49B.23C.89D.1011【解析】 选A.循环体中的算法实际是求S ＝122－1＋142－1＋162－1＋182－1的值．故S ＝122－1＋142－1＋162－1＋182－1＝13＋115＋135＋163＝49. 【答案】 A1．(2016·四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图2-6所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n ，x 的值分别为3,2，则输出v 的值为( )图2-6A．9B．18C．20 D．35【解析】由程序框图知，初始值：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2，第一次执行：v＝4，i＝1；第二次执行：v＝9，i＝0；第三次执行：v＝18，i＝－1.结束循环，输出当前v的值18.故选B.【答案】 B2．(2015·天津高考)阅读下面程序框图2-7，运行相应的程序，则输出i的值为()图2-7A．2 B．3C．4 D．5【解析】S＝10，i＝0，i＝i＋1＝1，S＝S－i＝10－1＝9，不满足S≤1，i＝i＋1＝2，S＝S－i＝9－2＝7，不满足S≤1，i＝i＋1＝3，S＝S－i＝7－3＝4，不满足S≤1，i＝i＋1＝4，S＝S－i＝4－4＝0，满足S≤1，输出i＝4.【答案】 C3．(2015·湖南高考)执行如图2-8所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝()图2-8A.67 B.37C.89 D.49【解析】第一次循环：S＝11×3，i＝2；第二次循环：S＝11×3＋13×5，i＝3；第三次循环：S＝11×3＋13×5＋15×7，i＝4，满足循环条件，结束循环．故输出S＝11×3＋13×5＋15×7＝121－13＋13－15＋15－17＝37，故选B.【答案】 B4．(2016·天津高考)阅读下边的程序框图2-9，运行相应的程序，则输出S 的值为()图2-9A．2 B．4C．6 D．8【解析】S＝4不满足S≥6，S＝2S＝2×4＝8，n＝1＋1＝2；n＝2不满足n>3，S＝8满足S≥6，则S＝8－6＝2，n＝2＋1＝3；n＝3不满足n>3，S＝2不满足S≥6，则S＝2S＝2×2＝4，n＝3＋1＝4；n＝4满足n>3，输出S＝4.故选B.【答案】 B章末综合测评(二)算法初步一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面的叙述中，不是解决问题的算法的是()A．从北京到海南岛旅游，先坐火车，再坐飞机抵达B．按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100C．方程x2－4＝0有两个实根D．求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3，再计算3＋3＝6,6＋4＝10,10＋5＝15，最终结果为15【解析】算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，C只是描述了事实，没有解决问题的步骤．【答案】 C2．用二分法求方程x2－10＝0的近似根的算法中要用哪种算法结构() A．顺序结构B．选择结构C．循环结构D．以上都用【解析】由求方程x2－10＝0的近似根的算法设计知以上三种结构都用到．【答案】 D3．下列程序中的For语句终止循环时，S等于()S＝0For M＝1To10S＝S＋MNext输出S.A．1B．5C．10D．55【解析】S＝0＋1＋2＋3＋…＋10＝55.【答案】 D4．下列给出的赋值语句中正确的是()A．0＝M B．x＝－xC．B＝A＝－3 D．x＋y＝0【解析】赋值语句不能计算，不能出现两个或两个以上的“＝”且变量在“＝”左边．【答案】 B5．当A＝1时，下列程序A＝A*2A＝A*3A＝A*4A＝A*5输出A.输出的结果A是()A．5 B．6C．15 D．120【解析】运行A＝A*2得A＝1×2＝2.运行A＝A*3得A＝2×3＝6.运行A＝A*4得A＝6×4＝24.运行A＝A*5得A＝24×5＝120.即A＝120.故选D.【答案】 D6．(2014·福建高考)阅读如图1所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为()图1A．1 B．2C．3 D．4【解析】当n＝1时，21＞12成立，执行循环，n＝2；当n＝2时，22＞22不成立，结束循环，输出n＝2，故选B.7．(2016·菏泽高一检测)执行如图2所示的算法框图，输出的S 值为( )图2A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】 运行如下：①k ＝0，S ＝1；②S ＝1×20＝1，k ＝1；③S ＝1×21＝2，k ＝2；④S ＝2×22＝8，k ＝3.此时输出S .【答案】 C8．(2015·福建高考)阅读如图3所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为( )图3A ．2B ．7C ．8D ．128【解析】 由程序框图知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，9－x ，x <2.∵输入x的值为1，比2小，∴执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y的值为8.【答案】 C9．(2016·北京高考)执行如图4所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为()图4A．1 B．2C．3 D．4【解析】开始a＝1，b＝1，k＝0；，k＝1；第一次循环a＝－12第二次循环a＝－2，k＝2；第三次循环a＝1，条件判断为“是”，跳出循环，此时k＝2.【答案】 B10．阅读如图5所示的算法框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写()图5A ．i ≥3B ．i ≥4C ．i ≥5D ．i ≥6【解析】 此算法框图运行如下：①i ＝1，s ＝2；②s ＝1，i ＝3；③s ＝－2，i ＝5；④s ＝－7，i ＝7此时应结束循环．所以i ＝5时不满足循环条件，i ＝7时满足循环条件． 【答案】 D11．当a ＝16时，下面的算法输出的结果是( ) If a ＜10 Then y ＝2* a Else y ＝a * a End If 输出y . A.9 B.32 C ．10D ．256【解析】 该程序是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a (a ＜10)，a 2(a ≥10)的函数值，所以当a ＝16时y ＝162＝256.【答案】D12．阅读如图6所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m的值为2，则输出的结果i＝()图6A．2 B．3C．4 D．5【解析】m＝2，A＝1，B＝1，i＝0.第一次：i＝0＋1＝1，A＝1×2＝2，B＝1×1＝1，A>B；第二次：i＝1＋1＝2，A＝2×2＝4，B＝1×2＝2，A>B；第三次：i＝2＋1＝3，A＝4×2＝8，B＝2×3＝6，A>B；第四次：i＝3＋1＝4，A＝8×2＝16，B＝6×4＝24，A<B.终止循环，输出i＝4.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．如图7是求12＋22＋32＋…＋1002的值的算法框图，则正整数n＝________.图7【解析】由题意知s＝12＋22＋32＋…＋1002，先计算s＝s＋i2，i再加1，故n＝100.【答案】10014．下面的程序运行后输出的结果是________．x＝1i＝1Dox＝x＋1i＝i＋1Loop While i＜＝5输出x.【解析】每循环一次时，x与i均增加1直到i＞5时为止，所以输出的结果为6.【答案】 615．如图8给出一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y的值，若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则这样的x的值的集合为________．图8【解析】 这个程序框图对应的函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤2，2x －3，2＜x ≤5，1x ，x ＞5.当x ≤2时，由x 2＝x ，得x ＝0或1； 当2＜x ≤5时，由2x －3＝x ，得x ＝3；当x ＞5时，由1x ＝x ，得x ＝±1(舍)，故x ＝0或1或3.【答案】 {0,1,3}16．已知程序： 【导学号：63580032】 输入x ； If x ＞0 Then y ＝3*x /2＋3 ElseIf x ＜0 Then y ＝－3*x /2＋5 Else y ＝0 End If End If 输出y .若输出y 的值为6，则输入x 的值为________． 【解析】 由程序知，当x ＞0时， 3x2＋3＝6.解得x ＝2； 当x ＜0时，－3x 2＋5＝6，解得x ＝－23， 显然x ＝0不成立． 【答案】 2或－23三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)下面给出了一个问题的算法： 1．输入x .2．若x ≥4，则y ＝2x －1；否则，y ＝x 2－2x ＋3. 3．输出y .问题：(1)这个算法解决的问题是什么？ (2)当输入的x 值为多少时，输出的y 值最小？【解】 (1)这个算法解决的问题是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x ＜4的函数值．(2)当x ≥4时，y ＝2x －1≥7；当x ＜4时，y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，所以y min ＝2，此时x ＝1.即当输入的x 值为1时，输出的y 值最小．18．(本小题满分12分)将某科成绩分为3个等级：85分～100分为“A”；60分～84分为“B”；60分以下为“C”．试用条件语句表示某个成绩等级的程序(分数为整数)．【解】 程序：输入x ；If x ＜60 Then输出CElseIf x ＜＝84 Then输出BElse输出AEnd IfEnd If19．(本小题满分12分)已知函数y ＝⎩⎨⎧ 2x ＋1，x ＜0，1，x ＝0，x 2＋1，x ＞0.画出算法框图并编写算法语句，输入自变量x 的值，输出相应的函数值．【解】 算法框图如图所示：算法语句如下：输入x；If x＜0 Theny＝2 x＋1ElseIf x＝0 Theny＝1Elsey＝x2＋1End IfEnd If输出y.20．(本小题满分12分)给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推．要计算这30个数的和，现已给出了解决该问题的算法框图(如图9所示)，图9(1)请在图中处理框内①处和判断框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能；(2)根据算法框图写出算法．【解】(1)因为是求30个数的和．故循环体应执行30次，其中i是计数变量，因此判断框内的条件就是限制计数变量i的，故应为i＞30.算法中的变量p 实质是表示参与求和的各个数，由于它也是变化的，且满足第i个数比其前一个数大i－1，第i＋1个数比其前一个数大i，故应有p＝p＋i.故①处应填p＝p＋i；②处应填i＞30.(2)根据框图．写出算法如下：i＝1p＝1S＝0DoS＝S＋pp＝p＋ii＝i＋1Loop While i＜＝30输出S.21．(本小题满分12分)如图10所示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数关系式．并写出算法，画出算法框图，写出程序．图10【解】函数关系如下y＝⎩⎪⎨⎪⎧2x(0≤x≤4)，8(4＜x≤8)，2(12－x)(8＜x≤12).算法如下：1．输入x.2．如果0≤x≤4，则使y＝2x；否则执行3. 3．如果4＜x≤8，则使y＝8；否则执行4.4．如果8＜x≤12，则使y＝2(12－x)；否则结束．5．输出y.算法框图如图所示：算法语句：输入x；If x＞＝0And x＜＝4Theny＝2*xElseIf x＜＝8Theny＝8ElseIf x＜＝12Theny＝2*(12－x)End IfEnd IfEnd If输出y.22．(本小题满分12分)设计一个算法，求满足1×2＋2×3＋…＋n×(n＋1)<1 000的最大整数n，画出框图，并用循环语句描述．【解】算法框图如下所示：用语句描述为：n＝0S＝0Don＝n＋1S＝S＋n*(n＋1)Loop While S<1 000输出n－1.。
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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第2章几个重要的不等式章末分层突破学案北师大版选修4-5[自我校对]①一般形式的柯西不等式②排序不等式③逆序和④乱序和⑤原理⑥贝努利不等式可证明一些简单不等式．已知a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3. 【精彩点拨】 根据特征不等式的特点，可考虑用柯西不等式证明，但要先构造向量(1,1,1)，利用|m ·n |2≤|m |2·|n |2证明．【规范解答】 因为a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，令m ＝(13a ＋1，13b ＋1，13c ＋1)，n ＝(1,1,1)．则|m ·n |2＝(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)2， |m |2·|n |2＝3[(13a ＋1)＋(13b ＋1)＋(13c ＋1)] ＝3[13(a ＋b ＋c )＋3]＝48. ∵|m ·n |2≤|m |2·|n |2，∴(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)2≤48， ∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3. [再练一题]1．设a ，b ，x ，y 都是正数，且x ＋y ＝a ＋b ，求证：a 2a ＋x ＋b 2b ＋y≥a ＋b2.【证明】 因为a ，b ，x ，y 都是正数，x ＋y ＝a ＋b ， 由柯西不等式可知⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋x ＋b 2b ＋y (a ＋x ＋b ＋y ) ≥⎝⎛⎭⎪⎫a a ＋x ·a ＋x ＋b b ＋y ·b ＋y 2＝(a ＋b )2.又a ＋x ＋b ＋y ＝2(a ＋b )．所以a 2a ＋x ＋b 2b ＋y ≥ a ＋b 22 a ＋b ＝a ＋b2.应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．已知a ，b ，c 为正数，求证：a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b.【精彩点拨】 本题属于左3项右3项的类型，虽然a ，b ，c 没有顺序，但可用顺序不等式证明，不妨先设a ≥b ≥c ，再利用定理证明．【规范解答】 由于不等式关于a ，b ，c 对称，可设a ≥b ≥c >0. 于是a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a.由排序不等式，得a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a，及a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b.以上两个同向不等式相加再除以2，即得原式中的不等式． [再练一题]2．设a ，b ，c 为某一个三角形的三条边，a ≥b ≥c ，求证：(1)c (a ＋b －c )≥b (c ＋a －b )≥a (b ＋c －a )；(2)a 2(b ＋c －a )＋b 2(c ＋a －b )＋c 2(a ＋b －c )≤3abc . 【证明】 (1)用比较法：c (a ＋b －c )－b (c ＋a －b ) ＝ac ＋bc －c 2－bc －ab ＋b 2＝b 2－c 2＋ac －ab ＝(b ＋c )(b －c )－a (b －c )＝(b ＋c －a )(b －c )． 因为b ≥c ，b ＋c －a ≥0，于是c (a ＋b －c )－b (c ＋a －b )≥0， 即c (a ＋b －c )≥b (c ＋a －b )．① 同理可证b (c ＋a －b )≥a (b ＋c －a )．② 综合①②，证毕． (2)由题设及(1)知a ≥b ≥c ，a (b ＋c －a )≤b (c ＋a －b )≤c (a ＋b －c )，于是由排序不等式“逆序和≤乱序和”得a 2(b ＋c －a )＋b 2(c ＋a －b )＋c 2(a ＋b －c )≤ab (b ＋c －a )＋bc (c ＋a －b )＋ca (a ＋b －c ) ＝3abc ＋ab (b －a )＋bc (c －b )＋ca (a －c )．③ 再一次由“逆序和≤乱序和”得a 2(b ＋c －a )＋b 2(c ＋a －b )＋c 2(a ＋b －c )≤ac (b ＋c －a )＋ba (c ＋a －b )＋cb (a ＋b －c ) ＝3abc ＋ac (c －a )＋ab (a －b )＋bc (b －c )．④ 将③和④相加再除以2，得a 2(b ＋c －a )＋b 2(c ＋a －b )＋c 2(a ＋b －c )≤3abc .些求最值问题的唯一工具，应用的关键是根据题设条件，对目标函数进行配凑，以保证出现常数结果，同时，注意等号成立的条件．求实数x ，y 的值使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值． 【精彩点拨】 根据x ，y 的系数适当构造形式求解，切忌等号成立的条件． 【规范解答】 由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2]≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1，即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16，当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时，上式取等号．故所求x ＝52，y ＝56.[再练一题]3．已知x ＋y ＋z ＝1，求2x 2＋3y 2＋z 2的最小值． 【解】 由柯西不等式，得2x 2＋3y 2＋z 2＝611(2x 2＋3y 2＋z 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1≥611⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ·33＋z ·12＝611(x ＋y ＋z )2＝611， ∴2x 2＋3y 2＋z 2≥611.当且仅当2x 22＝3y 33＝z 1，即x ＝311，y ＝211，z ＝611时取等号．∴2x 2＋3y 2＋z 2的最小值为611.殊情况入手，猜想，探索出结论，再对结论进行证明，主要是应用数学归纳法．已知f (n )＝1－2x 2n ＋1，g (n )＝n 2－1n 2＋1，当n ≥4时，试比较f (2)与g (n )的大小，并说明理由．【精彩点拨】 由f (n )与g (n )的关系，直接比较不容易，可先比较前n 项，猜想出结论，再由数学归纳法证明．【规范解答】 由f (2)＝1－22 2n＋1＝1－22n ＋1，g (n )＝1－2n 2＋1， ∴要比较f (2)与g (n )的大小，只需比较2n与n 2的大小． 当n ＝4时，24＝16＝42， 当n ＝5时，25＝32>52＝25， 当n ＝6时，26＝64>62＝36.故猜测当n ≥5(n ∈N ＋)时，2n >n 2，下面用数学归纳法加以证明． (1)当n ＝5时，命题显然成立．(2)假设n ＝k (k ≥5，且k ∈N ＋)时，不等式成立， 即2k>k 2(k ≥5)， 则当n ＝k ＋1时， 2k ＋1＝2·2k >2·k 2＝k 2＋k 2＋2k ＋1－2k －1＝(k ＋1)2＋(k －1)2－2>(k ＋1)2·(k －1)2>2. 由(1)(2)可知，对一切n ≥5，n ∈N ＋，2n>n 2成立．综上可知，当n ＝4时，f (2)＝g (n )＝n 2－1n 2＋1；当n ≥5时，f (2)>g (n )．[再练一题]4．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N ＋)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，并猜想a n ，b n 的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想．【解】 (1)由条件可得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，则a 2＝2b 1－a 1＝6，b 2＝a 22b 1＝9；a 3＝2b 2－a 2＝12，b 3＝a 23b 2＝16；a 4＝2b 3－a 3＝20，b 4＝a 24b 3＝25.猜想a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.(2)证明：①当n ＝1时，由a 1＝2，b 1＝4知结论正确． ②假设当n ＝k 时结论正确，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2. 则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k ＝ k ＋1 2 k ＋2 2k ＋12＝(k ＋2)2.即n ＝k ＋1时结论正确． 由①②知猜想的结论正确.思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题．本章常把要证明的不等式通过换元或恒等变形把命题转化为柯西不等式或排序不等式的形式加以解决．已知a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c. 【精彩点拨】 构造柯西不等式的证明． 【规范解答】 ∵a －c ＝(a －b )＋(b －c )， ∵a >c ，∴a －c >0， ∴(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[(a －b )＋(b －c )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ≥(1＋1)2＝4，∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c. [再练一题]5．设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥1003.【证明】 ∵左边＝13(12＋12＋12)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋ a ＋b ＋c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥13(1＋9)2＝1003， ∴原结论成立．1．(陕西高考)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )·(bm ＋an )的最小值为________．【解析】 ∵a ，b ，m ，n ∈R ＋，且a ＋b ＝1，mn ＝2， ∴(am ＋bn )(bm ＋an ) ＝abm 2＋a 2mn ＋b 2mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2) ≥2ab ·mn ＋2(a 2＋b 2) ＝4ab ＋2(a 2＋b 2) ＝2(a 2＋b 2＋2ab ) ＝2(a ＋b )2＝2，当且仅当m ＝n ＝2时，取“＝”． ∴所求最小值为2. 【答案】 22．(湖南高考)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.【解析】 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2，即(x ＋2y ＋3z )2≤14，因此x ＋2y ＋3z ≤14.因为x ＋2y ＋3z ＝14，所以x ＝y 2＝z 3，解得x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，于是x ＋y ＋z ＝3147. 【答案】31473．(湖南高考)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 【解析】 ∵a ＋2b ＋3c ＝6，∴1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.∴(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a ＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号．【答案】 124．(上海高考)设常数a >0.若9x ＋a 2x≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________．【解析】 由题意可知，当x >0时，f (x )＝9x ＋a 2x ≥29x ·a 2x ＝6a ≥a ＋1⇒a ≥15，当且仅当9x ＝a 2x ，即x ＝a3时等号成立．【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞5．(全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．【解】 (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.章末综合测评(二) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设xy >0，则⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋4y 2⎝⎛⎭⎪⎫y 2＋1x2)的最小值为( )A ．－9B ．9C ．10D ．0【解析】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋2y·y 2＝9.【答案】 B2．设n ∈N ＋，则4n与3n 的大小关系是( ) A ．4n>3n B ．4n＝3n C ．4n <3nD ．不确定【解析】 4n＝(1＋3)n.根据贝努利不等式，有(1＋3)n≥1＋n ×3＝1＋3n >3n ，即4n>3n . 【答案】 A3．已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，455B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－165，165C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，165 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－455，455【解析】 ∵4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2) ＝(1＋1＋1＋1)(a 2＋b 2＋c 2＋d 2) ≥(a ＋b ＋c ＋d )2，即4(16－e 2)≥(8－e )2， 64－4e 2≥64－16e ＋e 2， 即5e 2－16e ≤0， ∴e (5e －16)≤0， 故0≤e ≤165.【答案】 C4．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件，50件，20件，现在选择商店中单价为5元，3元，2元的奖品，则至少要花( )A ．300元B ．360元C ．320元D ．340元【解析】 由排序原理，逆序和最小． ∴最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元)． 【答案】 C5．函数y ＝2－9x －4x(x >0)的最大值是( )A ．－10B ．10C ．－11D ．11【解析】 y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋4x ≤2－236＝－10.【答案】 A6．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋4c 2＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是( )【导学号：94910043】A ．5B ．102 C ．8 D ．132【解析】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122(a ＋b ＋4c 2)≥(a ＋b ＋2c )2，∴a ＋b ＋2c ≤52＝102. 当且仅当a ＝b ＝25，c ＝510时等号成立．【答案】 B7．若x ＋2y ＋4z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( )A ．21B ．121C ．16D ．116【解析】 ∵1＝x ＋2y ＋4z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋16，∴x 2＋y 2＋z 2≥121，即x 2＋y 2＋z 2的最小值为121.【答案】 B8．设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．S (n )共有n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13B ．S (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14C ．S (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14D ．S (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14【解析】 S (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14.【答案】 D9．设a ，b ，c 为正数，且a ＋2b ＋3c ＝13，则3a ＋2b ＋c 的最大值为( ) A.1333B ．1332C.13D ．613【解析】 (a ＋2b ＋3c )⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·3＋2b ·1＋3c ·132＝(3a＋2b ＋c )2，∴(3a ＋2b ＋c )2≤1323，∴3a ＋2b ＋c ≤1333，当且仅当a3＝2b 1＝3c 13时取等号． 又a ＋2b ＋3c ＝13，∴a ＝9，b ＝32，c ＝13时，原式取到最大值1333.【答案】 A10．已知a ，b ，c 为正数，且满足a ＋2b ＋3c ＝1，则1a ＋12b ＋13c 的最小值为( )A ．7B ．8C ．11D ．9【解析】 ∵a ，b ，c 为正数，且满足a ＋2b ＋3c ＝1，1a ＋12b ＋13c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥33a ·2b ·3c ·331a ·12b ·13c ＝9，当且仅当a ＝2b ＝3c ＝13时取等号．因此1a ＋12b ＋13c 的最小值为9.【答案】 D11．用数学归纳法证明12＋cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n －1)α＝sin 2n ＋12α·cos 2n －12αsin α(α≠k π，k ∈Z ，n ∈N ＋)，在验证n ＝1时，左边计算所得的项是( )A.12B.12＋cos α C.12＋cos α＋cos 3α D.12＋cos α＋cos 2α＋cos 3α 【解析】 首项为12，末项为cos(2×1－1)α＝cos α.【答案】 B12．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z的值为( )A.14 B ．13 C.12D ．34【解析】 由题意可得x 2＋y 2＋z 2＝2ax ＋2by ＋2cz ，①①与a 2＋b 2＋c 2＝10相加可得(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝10，所以不妨令⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝a ，y －b ＝b ，z －c ＝c或⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝b ，y －b ＝c ，z －c ＝a .则x ＋y ＋z ＝2(a ＋b ＋c )， 即a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．证明1＋12＋13＋14＋…＋12n －1>n2(n ∈N ＋)，假设n ＝k 时成立，当n ＝k ＋1时，左边增加的项数是__________．【解析】 左边增加的项数为2k ＋1－1－2k ＋1＝2k.【答案】 2k14．已知x ，y ，z ∈R ，x ＋y ＋z ＝9，则x ＋y ＋z 的最大值是________．【解析】 (x ＋y ＋z )2≤(12＋12＋12)·(x ＋y ＋z )＝3×9＝27，所以x ＋y ＋z ≤3 3.当且仅当x ＝y ＝z ＝3时取“＝”． 【答案】 3 315．若x ＋y ＋z ＋t ＝4，则x 2＋y 2＋z 2＋t 2的最小值为________．【解析】 比较已知条件、待求式子，发现把待求式子乘以一个常量后，可满足四维柯西不等式条件并同时用到已知条件，得(x 2＋y 2＋z 2＋t 2)(12＋12＋12＋12)≥(x ＋y ＋z ＋t )2，当且仅当x ＝y ＝z ＝t ＝1时，取最小值4.【答案】 416．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2的最小值是________. 【导学号：94910044】【解析】 由柯西不等式，得y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos α2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫1×1＋1sin α·1cos α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2sin 2α2≥(1＋2)2＝3＋2 2.当且仅当1cos α＝1sin α，即α＝π4时等号成立．【答案】 3＋2 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设x ，y ，z ∈R ，且 x －1 216＋ y ＋2 25＋ z －324＝1.求x ＋y ＋z 的最大值和最小值．【解】 根据柯西不等式，知 [42＋(5)2＋22]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋252＋⎝⎛⎭⎪⎫z －322 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4·x －14＋5·y ＋25＋2·z －322， 当且仅当x －116＝y ＋25＝z －34，即x ＝215，y ＝－1，z ＝195或x ＝－115，y ＝－3， z ＝115时等号成立．∴25×1≥(x ＋y ＋z －2)2，∴|x ＋y ＋z －2|≤5，∴－3≤x ＋y ＋z ≤7， 即x ＋y ＋z 的最大值为7，最小值为－3.18．(本小题满分12分)设x 2＋2y 2＝1，求u (x ，y )＝x ＋2y 的最小值.【导学号：94910045】【解】 由柯西不等式，有 |u (x ，y )|＝|1·x ＋2·2y | ≤1＋2·x 2＋2y 2＝ 3. 得u max ＝3，u min ＝－ 3. 分别在⎝⎛⎭⎪⎫33，33，⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33时取到．19．(本小题满分12分)求证：12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)．【证明】 (1)当n ＝2时，12>0，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2)时，原不等式成立． 即12＋13＋14＋15＋…＋12k －1>k －22， 则当n ＝k ＋1时，左边＝12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k －1＋1＋12k －1＋2＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k －1＋1＋12k －1＋2＋…＋12＋2>k －22＋12＋12＋…＋12＝k －22＋2k －12＝k －12＝ k ＋1 －22. ∴当n ＝k ＋1时，原不等式成立．由(1)(2)知，原不等式对n ≥2的所有的自然数都成立． 故12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 为正数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.【解】 (1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1. (2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c 为正数，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥ ⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.21．(本小题满分12分)已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1. (1)求证：x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13；(2)求4x＋4y＋4z 2的最小值．【解】 (1)证明：因为x >0，y >0，z >0，所以由柯西不等式得： [(y ＋2z )＋(z ＋2x )＋(x ＋2y )]⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥(x ＋y ＋z )2， 又因为x ＋y ＋z ＝1.所以x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥ x ＋y ＋z 2y ＋2z ＋ z ＋2x ＋ x ＋2y ＝13.(2)由平均值不等式得4x ＋4y ＋4z 2≥334x ＋y ＋z 2， 因为x ＋y ＋z ＝1， 所以x ＋y ＋z 2＝1－z ＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z －122＋34≥34， 故4x＋4y＋4z 2≥33434＝32，当且仅当x ＝y ＝14，z ＝12时等号成立，所以4x＋4y＋4z 2的最小值为3 2.22．(本小题满分12分)用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)．【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝12＋1，∴32≤1＋12≤32，命题成立． 当n ＝2时，左边＝1＋22＝2；右边＝12＋2＝52，∴2<1＋12＋13＋14<52，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时命题成立，即1＋k 2<1＋12＋13＋…＋12k <12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…12k ＋2k <12＋k ＋2k·12k ＝12＋(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)可知，命题对所有n ∈N ＋都成立．。