北京市西城161中2018届高三上期中【文】数学真题卷试题(解析版)
2017-2018北京西城161中学高三上期中【文】数学真题卷
北京一六一中学2018届高三年级期中考试文科数学试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集U =R ，集合{0,1,2}A =，{2,3,4}B =，如图阴影部分所表示的集合为（ ）．A ．{2}B ．{0,1}C ．{3,4}D ．{0,1,2,3,4}【答案】B【解析】阴影部分表示的集合为()U A B ð．∵{0,1,2}A =，{2,3,4}B =，∴(){0,1}U A B =ð． 故选B ．2．若a 、b 是任意实数，且a b >，则下列不等式成立的是（ ）．A ．1b a< B ．11a b < C ．22a b > D ．33a b >【答案】D 【解析】对于A ，当2a =-，3b =-时，满足a b >，但312b a =>，故A 错误； 对于B ，当2a =，2b =-时，满足a b >，但11a b>，故B 错误； 对于C ，当1a =，2b =-时，满足a b >，但22a b <，故C 错误；对于D ，因为3y x =在R 上单调递增，故当a b >时，33a b >，故D 正确．故选D ．3．复数12i 1i++的虚部为（ ）． A ．12 B ．1i 2C ．32D ．3i 2 【答案】A 【解析】∵复数12i (12i)(1i)3i 31i 1i (1i)(1i)222z -====-++++++， ∴复数z 的虚部为12． 故选A ．4．关于函数3()log ()f x x =-和()3x g x -=，下列说法中正确的是（ ）．A ．都是奇函数B ．都是偶函数C ．函数()f x 的值域为RD ．函数()g x 的值域为R 【答案】C【解析】∵3()log ()f x x =-的定义域为(,0)-∞，∴()f x 是非奇非偶函数，()f x 在定义域上为单调递减函数，值域为R ．∵()3x g x -=的定义域为(,)-∞∞+，且()3()x g x g x -=≠±，故()g x 是非奇非偶函数，又()g x 在定义域上单调递减，值域为(0,)∞+，结合选项，说法正确的只有C ．故选C ．5．已知数列{}n a ，则“11n n a a +>-”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】B【解析】若数列{}n a 为递增数列，则10n n a a ->+，所以“11n n a a ->+”是“数列{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．故选B ．6．已知向量(1,3)a =，(,23)b m m =-，平面上任意向量c 都可以唯一地表示为(,)c a b λμλμ=+∈R ，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．(,0)(0,)-∞+∞B ．(,3)-∞C ．(,3)(3,)-∞--+∞D ．[3,3)- 【答案】C【解析】根据平面向量基本定理可知，若平面上任意向量c 都可以唯一地表示为(,)c a b λμλμ=∈R +，则向量a ，b 不共线，由(1,3)a =，(,23)b m m =-得233m m -≠，解得3m ≠-，即实数m 的取值范围是(,3)(3,)-∞--+∞．故选C ．7．已知三棱柱的主视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱柱的左视图为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2，故其左视图为直角边长为2故选B ．8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，动点P 在侧面11B BCC 内，且点P 到棱AB 与棱1CC 距离相等，则点P 运动形成的图形是（ ）．A ．线段B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分【答案】D【解析】由题意知，直线AB ⊥平面11BB C C ，则AB PB ⊥，即||PB 就是点P 到直线AB 的距离，所以，在面11BB C C 中，点P 到直线1CC 的距离等于它到点B 的距离，由抛物线的定义可知，点P 运动形式的图形是抛物线的一部分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9．命题:p x ∀∈R ，20x ≥的否定是__________．【答案】x ∃∈R ，20x <【解析】全称命题的否定需要全称量词变为存在量词，同时否定结论，故命题:p x ∀∈R ，20x ≥的否定是x ∃∈R ，20x <．10．以抛物线24y x =的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为__________．【答案】22(1)1x y -=+【解析】∵抛物线24y x =的焦点为(1,0)，∴所求圆的圆心为(1,0)．又∵所求圆过坐标原点，∴所求圆的半径1r =，∴所求圆的方程为22(1)1x y -=+．11．已知变量x ，y 满足约束条件1218y y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤，则z x y =-的最小值为__________．【答案】2-【解析】作出不等式所表示的可行域，如图所示，由z x y =-得y x z =-，平移直线y x z =-， 由图可知当直线经过点(3,5)A 时，纵截距最大，从而z 最小，故min 352z =-=-．12．双曲线2214x y m -=，则m =__________，其渐近线方程为_________． 【答案】1；12y x =±【解析】双曲线221(0)4x y m m-=>的2a =，b ，c =，则=c e a ，解得1m =， 所以双曲线的方程为2214x y -=，故双曲线的渐近线方程为12y x =±．13．设2,(),x x a f x x x a <⎧=⎨⎩≥，对任意实数b ，关于x 的方程()f x b =总有实根，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[0,1]【解析】若对任意实数b ，关于x 的方程()0f x b -=总有实数根，则对任意实数b ，函数()f x 的图象与直线y b =总有交点，即函数()f x 的值域为R ．∵2,(),x x a f x x x a<⎧=⎨⎩≥，∴在同一坐标系中画出y x =与2y x =的图象，如图所示， 由图可知，若函数()f x 的值域为R ，则01a ≤≤，即实数a 的取值范围是[0,1]．14．如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点B 与y 轴上的定点P 重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当ABC △滚动到111A B C △时，顶点B 运动轨迹的长度为__________；在滚动过程中，OB OP ⋅的最大值为__________．【答案】8π3，【解析】根据题意知，点B 的轨迹为两个圆心角为2π3所对的圆弧和一个点，且圆弧的半径为2， ∴顶点B 运动轨迹的长度为2π8π2233⨯⨯=．OP =，设(,)B x y ，①设滚动前点B 坐标，∴3OB OP ⋅=；②第一次滚动后B 点纵坐标为2y ≤，∴3OB OP y ⋅=≤③第二次滚动后B 点坐标(3,0)，∴0OB OP ⋅=；④第三次滚动后B 点纵坐标2y ≤，∴3OB OP y ⋅=≤．∴OB OP ⋅的最大值为．三、解答题共6小题，共80分15．（本小题满分13分）已知函数π()cos 2sin 26f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期及单减区间．（2）求函数()f x 在区间[π,0]-上的零点．【答案】【解析】（1）∵π()cos 2sin 26f x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭++1sin 2sin 22x x x -+1sin 22x x = πsin 23x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+， ∴函数()f x 的最小正周期2π=π2T =．令ππ3π2π22π232k x k ≤≤+++，k ∈Z ， 得π7πππ1212k x k ≤≤++，k ∈Z ， ∴函数()f x 的单调减区间是π7ππ,π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦++，()k ∈Z ． （2）∵当[π,0]x ∈-时，π5ππ2,333x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦+， ∴令π2π3x =-+或0，得2π3x =-或π6-， ∴函数()f x 的区间[π,0]-上的零点为2π3-和π6-．16．（本小题满分13分） 如图，在ABC △中，π3B ∠=，8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=．（1）求sin BAD ∠的值．（2）求BD ，AC 的长．【答案】【解析】（1）∵在ABC △中，1cos 7ADC ∠=，∴sin ADC ∠， 则sin sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-=∠⋅-∠⋅1127-=． （2）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB =∠∠，∴8sin 3sin AB BAD BD ADB ⋅∠===∠． 在ABC △中，由余弦定理得2222212cos 85285492AC AB CB AB BC B =-⋅⋅=-⨯⨯⨯=++． ∴7AC =．综上所述3BD =，7AC =．17．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，121n n S a +=-．（1）求2a ，3a 的值．（2）求数列{}n a 的通项公式，并求数列{21}n a n +-的前n 项和n T ．【答案】【解析】（1）∵121n n S a =-+，∴121n n a S =++，∴21121213a S a ===++，3212212()19a S a a ===+++．（2）∵121n n S a =-+，∴当2n ≥时，121n n S a -=-，两式相减得12n n n a a a =-+，即12n n a a =+， ∴13(2)n na n a =≥+． 又由11a =，23a =，得213a a =， ∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，∴13(*)n n a n -=∈N ，∴0121313335321n n T n -=-++++++++ 0121(3333)(13521)n n -=-+++++++++ 13(121)132n n --=-++ 2312n n -=+．18．（本题满分14分）如图，等腰梯形BCDP 中，BC PD ∥，BA PD ⊥于点A ，3PD BC =，且1A B B C ==．沿AB 把PAB △折起到P AB '△的位置，使90P AD '∠=︒．（1）求证：CD ⊥平面P AC '．（2）求三棱柱A P BC '-的体积．（3）线段P A '上是否存在点M ，使得BM ∥平面P CD '．若存在，指出点M 的位置并证明；若不存在，请说明理由．【答案】【解析】（1）证明：∵90P AD '∠=︒，∴P A AD '⊥．∵在等腰梯形中，AB AP ⊥，∴在四棱锥中，AB AP '⊥．又AD AB A =，∴P A '⊥平面ABCD ．又∵CD ⊂平面ABCD ，∴P A CD '⊥．∵在等腰梯形BCDE 中，AB BC ⊥，3PD BC =，且1AB BC ==，∴AC CD =，2AD =，∴222AC CD AD =+，∴AC CD ⊥．∵P A AC A '=，∴CD ⊥平面P AC '．（2）∵1122ABC S BC AB =⋅=△，P A '⊥平面ABCD ， ∴1136ABC A P BC P ABC V V S P A ''--'==⋅⋅=△． （3）线段P A '上存在一点M ，使得BM ∥平面P CD '，M 为P A '的中点， 证明：取P A '的中点M ，P D '的中点N ，连结BM ，MN ，NC ． ∵M ，N 分别为P A '，P D '的中点，∴MN AD ∥且12MN AD =． ∵BC PD ∥且3PD BC =， ∴BC AD ∥且12BC AD =， ∴MN BC ∥且MN BC =，∴四边形MNCB 为平行四边形，∴BM CN ∥．又∵BM ⊄平面P CD '，CN ⊂平面P CD '，∴BM ∥平面P CD '．19．（本小题满分13分）已知ABC △的顶点A ，B 在椭圆22:34G x y =+上，C 在直线:2l y x =+上，且AB l ∥． （1）求椭圆G 的离心率．（2）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积．（3）当90ABC ∠=︒，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．【答案】【解析】（1）将椭圆G 化为标准方程为221443x y =+，∴2a =，b，c ， ∴椭圆G的离心率c e a -． （2）∵AB l ∥，且AB 边通过点(0,0)，∴AB 所直线的方程为y x =． 设A ，B 两点坐标分别为12(,)x y ，22(,)x y ．由2234x y y x⎧=⎨=⎩+，得1x =±．∴12|||AB x x -=又∵AB 边长的高h 等于原点到直线l的距离，∴h∴ABC △的面积1||22ABC S AB h =⋅=△． （3）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m⎧=⎨=⎩++，得224340x bmx m -=++． ∵A ，B 在椭圆上，∴212640m ∆=->+．设A ，B 两点坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则1232m x x =-+，212342m x x -=，∴12|||AB x x -． 又∵BC 的长等于点(0,)m 到直线l的距离，即||BC ， ∴22222||||||210(1)11AC AB BC m m m ==--=-++++，∴当1m =-时，AC 边最大，且满足0∆>，此时AB 所在直线的方程为1y x =-．20．（本小题满分14分） 已知函数(2)()1ln k x f x x x-=-+，其中k 为常数． （1）若0k =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线方程． （2）若5k =，求证：函数()y f x =有且仅有两个零点．（3）若k 为常数，且当2x >时，()0f x >恒成立，求k 的最大值．【答案】【解析】（1）当0k =时，()1ln f x x =+，1()f x x'=， ∴(1=1f ），()1f x '=， ∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为11y x -=-，即0x y -=．（2）证明：当5k =时，10()ln 4f x x x =-+，2211010()x f x x x x -'=-=， 当(0,10)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减．当(10,)x ∈∞+时，()0f x '>，()f x 单调递增．∴当10x =时，()f x 有极小值．∵(10)ln1030f =-<，(1)60f =>，∴()f x 在(1,10)之间有一个零点． ∵4410(e )440e f =->+， ∴()f x 在4(10,e )之间有一个零点，∴函数()f x 有且仅有两个零点．（3）由题意知，(2)1ln 0k x x x-->+对(2,)x ∈∞+恒成立． 由(2)()1ln k x f x x x -=-+，得22()x k f x x -'=． ①当22k ≤，即1k ≤时，()0f x '>对(2,)x ∈∞+恒成立， ∴()f x 在(2,)∞+上单调递增．又(2)1ln20f =>+，∴()0f x >对(2,)x ∈∞+恒成立．②当22k >，即1k >时，若(2,2)x k ∈，则()0f x '<，()f x 单调递减；若(2,)x k ∈∞+，()0f x >，()f x 单调递增． ∴当2x k =时，()f x 有最小值(2)2ln2f k k k =-+，∴()0f x >在(2,)x ∈∞+恒成立，等价于2ln20k k ->+．令()2ln2g k k k =-+，则1()0k g k k-'=<，从而()g k 在(1,)∞+为减函数． ∵(4)ln820g =->，(5)ln1030g =-<， ∴使2ln20k k ->+成立的最大正整数4k =．综上所述，k 的最大值是4．。
2023-2024学年北京西城区一六一中高三(上)期中数学试题及答案
2023北京一六一中高三（上）期中数 学班级______ 姓名______ 学号______考生须知1.本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟.2.试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效.3.在答题纸上，选择题用2B 铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答.4.考试结束后，将答题纸、试卷和草稿纸一并交回.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．. 1. 已知集合{}0,1A =，{}03B x x =∈<<N ，则A B ⋃=（ ） A. {}1 B. {}1,2 C. {}0,1,2D. {}0,1,2,32. 下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 2log y x =B. 2xy −=C. y =D. 3y x =3. 如果平面向量(2,0)a =，(1,1)b =，那么下列结论中正确的是（ ）． A. ||a b |=| B. 22a b ⋅=C. ()a b b −⊥D. a b4. “π4x <”是“tan 1x <”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知复数z ＝a +i （a ∈R ），则下面结论正确的是（ ） A. z a i =−+ B. |z |≥1C. z 一定不是纯虚数D. 在复平面上，z 对应的点可能在第三象限6. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2，过F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为A. 22132x y +=B. 2213x y +=C. 221128x y +=D. 221124x y +=7. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：Ah ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式：n C I t =⋅，其中n 为Peukert 常数.为测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流20A I =时，放电时间20h t =；当放电电流50A I =时，放电时间5h t = .若计算时取lg20.3≈，则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为（ ） A. 1.25B. 1.5C. 1.67D. 28. 在平面直角坐标系中，当θ，m 变化时，点()cos ,sin P θθ到直线340x my m −+−=的距离最大值为（ ） A. 3B. 4C. 5D. 69. 如果方程214x y y +=所对应的曲线与函数()y f x =的图象完全重合，则如下结论正确的个数（ ）①函数()f x 是偶函数；②()y f x =的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1； ③函数()f x 的值域为(],2−∞；④函数()()F x f x x =+有且只有一个零点. A. 1B. 2C. 3D. 410. 函数()f x x =，2()3g x x x =−+.若存在129,,...,[0,]2n x x x ∈，使得1()f x +2()...f x ++1()n f x −+()n g x =1()g x +2()...g x ++1()n g x −+()n f x ，则n 的最大值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．. 11. 抛物线24x y =的准线方程是_______ 12. 设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．13. 若24AB AC AB ⋅==，且1AP =，则AB =______，CP BA ⋅的最大值为______.14. 已知函数()3,,.x x a f x x x a ≤⎧=⎨>⎩，若函数()f x 在R 上不是增函数，则a 的一个取值为___________.15. 下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：结论：①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区： ②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区； ③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区； ④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40%. 其中所有正确结论的序号是______.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并写在．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答题纸相应位置．．．．．．．. 16. 已知函数()()()sin 0f x A x ωω=>的图象如图所示.（1）求()f x 的解析式； （2）若()()πcos 26g x f x x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，求()g x 的最小正周期及单调递增区间.17. 在ABC 中，π2B ∠≠，cos21B B =−. （1）求B ∠；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，求ABC 的面积.条件①：sin A C =，2b =；条件②：23b a =，sin 1b A =；条件③：AC =BC 边上的高为2注：如果选择的条件不符合要求，第二问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分.18. 2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.（1）从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；（2）从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率；（3）已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为1μ，其中男生的乒乓球平均分的估计值为2μ，试比较1μ与2μ的大小.（结论不需要证明）19. 已知A ，B ，C 是椭圆W ：2212x y +=上的三个点，O 是坐标原点.（1）当点B 是椭圆W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（2）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆交于A ，B 两点，点()0,M m ，若MA MB =，求实数m 的取值范围.20. 已知函数21()e xax x f x −+−=.（1）求曲线()y f x =在点(0,1)−处的切线方程； （2）当0a >时，求()f x 的单调区间； （3）求证：当a ≤1−时，()f x ≥e −.21. 设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =）同时满足下列两个条件：①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈； ②对任意{}1,2,,k N ∈，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =−+）．（Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =能否等于1k −或12k −；（结论不需要证明）．（Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．. 1. 【答案】C【分析】化简B ，再进行并集运算. 【详解】{}{}031,2B x x =∈<<=N ， 又{}0,1A =，则{}0,1,2A B =.故选：C. 2. 【答案】B【分析】根据函数解析式直接判断单调性.【详解】A 选项：函数2log y x =的定义域为()0,∞+，且在()0,∞+上单调递增，A 选项错误； B 选项：函数122xx y −⎛⎫== ⎪⎝⎭的定义域为R ，且在R 上单调递减，B 选项正确；C 选项：函数y =[)1,−+∞，且在[)1,−+∞上单调递增，C 选项错误；D 选项：函数3y x =的定义域为R ，且在R 上单调递增，D 选项错误； 故选：B. 3. 【答案】C【详解】由平面向量(2,0)a =，(1,1)b =知： 在A 中，||2a =，||2b =，∴||||a b ≠，故A 错误； 在B 中，2a b ⋅=，故B 错误； 在C 中，(1,1)a b −=−， ∴()110a b b −⋅=−=， ∴()a b b −⊥，故C 正确； 在D 中，∵2011≠， ∴a 与b 不平行，故D 错误． 综上所述． 故选C ． 4. 【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由π4x <推不出tan 1x <，如3ππ44x =−<，但是3ππtan tan 144⎛⎫−== ⎪⎝⎭， 即充分性不成立， 由tan 1x <也推不出π4x <，如3πtan114=−<，但是3ππ44>，即必要性也不成立， 所以“π4x <”是“tan 1x <”的既不充分也不必要条件. 故选：D 5. 【答案】B【分析】利用复数基本概念逐一核对四个选项得答案． 【详解】解：()z a i a R =+∈，∴z a i =−，故A 错误；||11z =，故B 正确；当0a =时，z 为纯虚数，故C 错误；虚部为1大于0，∴在复平面上，z 对应的点不可能在第三象限，故D 错误． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题． 6. 【答案】A【详解】若△AF 1B 的周长为由椭圆的定义可知4a =,a ∴=c e a ==,1c ∴=, 22b ∴=，所以方程为22132x y +=，故选A.考点：椭圆方程及性质 7. 【答案】B【分析】由已知可得出2020505n n C C ⎧⨯=⎨⨯=⎩，可得出542n⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得n 的近似值.【详解】由题意可得2020505n n C C⎧⨯=⎨⨯=⎩，所以2020505n n ⨯=⨯，所以542n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以52lg 42lg 22lg 220.3log 4 1.551012lg 2120.3lg lg 24n ⨯====≈=−−⨯. 故选：B.8. 【答案】D【分析】求出直线过定点坐标，以及点P 的轨迹方程，再求出定点到圆心的距离，即可得解.【详解】直线340x my m −+−=，即()()340y m x −++−=，令3040y x −+=⎧⎨−=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，所以直线340x my m −+−=恒过点()4,3P ， 又点()cos ,sin Pθθ为圆221x y +=上的点，圆心为()0,0O ，半径1r =，则5OP ==，所以点()cos ,sin Pθθ到直线340x my m −+−=的距离最大值为6OP r +=.故选：D 9. 【答案】C【分析】分段讨论探究函数的图象，结合椭圆与双曲线的方程作出函数的图象，结合图象判断即可.①由图象的对称性可知；②利用双曲线与椭圆的方程消元求最值；③结合图象可知值域；④函数的零点个数转化为两函数()y f x =与yx =−图象交点的个数，结合图象可得.【详解】当0y ≥时，2214x y +=，即方程对应曲线为椭圆2214x y +=的上半部分；当0y <时，2214x y −=，即方程对应曲线为双曲线2214x y −=的下半部分；故作出函数()f x 的图象，其中双曲线的渐近线为12y x =±.①函数()f x 图象关于y 轴对称，则()f x 为偶函数；且[]2,2()(,2)(2,)x f x x ∞∞∈−=⎪∈−−⋃+⎪⎩证明如下：函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称.[]2,2x ∀∈−时，[]2,2x −∈−，则()()f x f x −===；(,2)(2,)x ∀∈−∞−⋃+∞时， (,2)(2,)x −∈−∞−+∞，则()()f x f x −===.综上，x ∀∈R ，()()f x f x −=，故()f x 是偶函数.故①正确. ②设函数()y f x =图象上任意点00(,)P x y，OP =， 当点P 在双曲线上时，即0(,2)(2,)x ∈−∞−+∞时，204x >，22014x y =−，则22222000511444x x x y x +=+−=−>2>； 当点P 在椭圆上时，即[]02,2x ∈−时，204x ≤，22014x y =−，由22222000311144x x x y x +−+==+≥1≥ 当且仅当00x =时，OP 最小，即点(0,1)P 到原点的距离最小，最小值为1； 综上，函数()y f x =的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1，故②正确； ③由函数图象可知，函数()f x 的值域为(],1−∞，故③错误； ④由()0f x x +=得，()f x x =−，所以函数()()F x f x x =+的零点的个数， 即函数()y f x =与函数y x =−图象的交点个数.由12y x =−是双曲线的渐近线， 渐近线斜率为12−，而直线y x =−的斜率为1−， 由112−>−可知，直线y x =−与函数()f x 图象的双曲线部分没有交点， 仅与椭圆部分有一个交点. 故函数()y f x =与函数yx =−图象有且只有一个交点，即函数()()F x f x x =+有且只有一个零点，故④正确. 故结论正确的个数为3. 故选：C.10. 【答案】D【分析】构造函数()()()h x g x f x =−，研究()h x 的单调性．【详解】方程1()f x +2()...f x ++1()n f x −+()n g x =1()g x +2()...g x ++1()n g x −+()n f x 变形为：112211()()(()())(()())(()())n n n n g x f x g x f x g x f x g x f x −−−=−+−++−，设()()()h x g x f x =−，则121()()()()n n h x h x h x h x −=+++，22()()()23(1)2h x g x f x x x x =−=−+=−+在[0,1]上递减，在9[1,]2上递增，∴572()4h x ≤≤， ∴121()()()n h x h x h x −+++的值域是57[2(1),(1)]4n n −−， 若存在129,,...,[0,]2n x x x ∈，使得121()()()()n n h x h x h x h x −=+++，则5722(1)4n ≤−≤，6528n ≤≤，∴n 的最大值为8．故选：D ．【点睛】本题考查函数的值域，解题关键是构造新函数()()()h x g x f x =−，把问题转化为“存在129,,...,[0,]2n x x x ∈，使得121()()()()n n h x h x h x h x −=+++”，这样利用()h x 的值域就可以解决问题．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．. 11. 【答案】1y =−【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y 轴上以及24p =，再直接代入即可求出其准线方程. 【详解】因为抛物线的标准方程为24x y =，焦点在y 轴上， 所以：24p =，即2p =，所以12p=， 所以准线方程为：1y =−， 故答案是：1y =−.【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目. 12. 【答案】23【分析】根据题意()f x 取最大值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，根据余弦函数取最大值条件解得ω的的表式式，进而确定其最小值.【详解】因为()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以()f x 取最大值4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以22π()8()463k k Z k k Z ωωππ−=∈∴=+∈，， 因为0ω>，所以当0k =时，ω取最小值为23. 【点睛】函数cos()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 （1）max min =+y A B y A B =−，. （2）周期2π.T ω=（3）由π()x k k Z ωϕ+=∈求对称轴，最大值对应自变量满足2π()x k k ωϕ+=∈Z ，最小值对应自变量满足+2()x k k ωϕππ+=∈Z ， （4）由22()22k x k k πππωϕπ−+≤+≤+∈Z 求增区间；由322()22k x k k πππωϕπ+≤+≤+∈Z 求减区间.13. 【答案】 ①. 2 ②. 6【分析】由24AB AC AB ⋅==，即24AB =求解；，即AB =2，由()CP BA AP AC BA ⋅−⋅=，利用数量积定义求解.【详解】解：因为24AB AC AB ⋅==， 所以24AB =，即AB =2，()CP BA AP AC BA AC AB AP AB ⋅−⋅==⋅−⋅， 4cos 42cos AP AB θθ−⋅−⋅==，当cos 1θ=−时， CP BA ⋅的最大值为6， 故答案为：2，614. 【答案】-2(答案不唯一，满足1a <−或01a <<即可)【分析】作出y =x 和y =3x 的图象，数形结合即可得a 的范围，从而得到a 的可能取值． 【详解】y =x 和y =3x 的图象如图所示：∴当1a <−或01a <<时，y =3x 有部分函数值比y =x 的函数值小， 故当1a <−或01a <<时，函数()f x 在R 上不是增函数． 故答案为：-2． 15. 【答案】②③④【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断． 【详解】由题中数据知，其它类营业收入占比4.7%，为最低的，故①错； 生鲜区的净利润占比65.8%50%>，故②正确； 生鲜区的营业利润率为65.8%32.5%44%40%48.6%⨯=>，故④正确；熟食区的营业利润率为4.3%32.5%015.8%−⨯<；乳制品区的营业利润率为16.5%32.5%26.68%20.1%⨯=；其他区的营业利润率为1.8%32.5%12.45%4.7%⨯=； 日用品区为20.2%32.5%60.787%10.8%⨯=，最高，故③正确．故答案为：②③④．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并写在．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答题纸相应位置．．．．．．．. 16. 【答案】（1）()2sin 2f x x =（2）π2T =，单调递增区间为ππππ,62122k k ⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈ 【分析】（1）由图象求得A 及周期，再由周期公式求得ω，即可得到解析式； （2）利用三角恒等变换公式将()g x 化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 由图象可知2A =，π144T =，即πT =，又0ω>， 所以2πT ω=，解得2ω=，()2sin 2f x x ∴=；【小问2详解】因为()()πcos 26g x f x x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭， 所以π()2sin 2cos 26g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ2sin 2cos 2cos sin 2sin 66x x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭211π12cos 2sin 24cos 4sin 42262x x x x x x ⎛⎫=−=+−=+− ⎪⎝⎭， 所以()g x 的最小正周期2ππ42T ==， 令πππ2π42π262k x k −+≤+≤+，Z k ∈， 解得ππππ62122k k x −+≤≤+，Z k ∈， ()g x 的单调递增区间为ππππ,62122k k ⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈． 17. 【答案】（1）π6（2）答案见解析【分析】（1）根据题意，利用倍角公式求得cos 2B =，即可求解； （2）根据题意，分别选择①②③，结合正弦定理和余弦定理，求得,a c 的长，结合题意，即可求解.【小问1详解】解：由ABC 中，π2B ∠≠，且cos21B B =−，可得22cos B B =，所以cos B = 因为0πB <<，所以π6B =. 【小问2详解】解：若选条件①：sin A C =，2b =，因为sin A C =，由正弦定理得a =，又由余弦定理2222cos b a c ac B =+−，可得224a c +=，因为a =，代入解得2a c ==，所以111sin 2222ABCSac B ==⨯⨯=所以ABC 存在且唯一确定，此时ABC 若选择条件②：23b a =，sin 1b A = 由正弦定理sin sin a b A B=且π6B =，可得2,3a b ==，又由余弦定理2222cos b a c ac B =+−，可得250c −−=，解得c =所以111sin 2222ABCSac B ==⨯⨯⨯=所以ABC 存在且唯一确定，此时ABC .若选条件③：AC =，BC 边上的高为2因为π6B =，可得24sin c B==，由余弦定理2222cos b a c ac B =+−，可得2100a −+=，解得2a =， 此时ABC 存在但不唯一确定，不符合题意. 18. 【答案】（1）8105（2）0.32 （3）12μμ>【分析】（1）分别求出样本中男生和女生的人数，再由频率估计概率即可得解；（2）根据题意易得从该区九年级全体男生中随机抽取1人和从该区九年级全体女生中随机抽取1人选考跳绳的概率，再分2个男生选考跳绳和1个男生和1个女生选考跳绳结合独立事件的概率公式即可得解； （3）根据平均数公式分别求出12,μμ，即可得解. 【小问1详解】解：样本中男生的人数为110010%110⨯=人， 样本中女生的人数为10005%50⨯=人，设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件A ， 则该学生选考乒乓球的概率()11050811001000105P A +==+；【小问2详解】解：设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件B ， 从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件C ， 由题意()()0.4,0.5P B P C ==，则从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率为()()12222C 0.410.40.5C 0.410.50.32⨯⨯−⨯+⨯⨯−=；【小问3详解】 解：11008407.5207311604μ⨯+⨯+⨯==，2608407.51078511011μ⨯+⨯+⨯==，所以12μμ>.19. 【答案】（1）2（2）,44⎡−⎢⎣⎦【分析】（1）依题意，当四边形OABC 为菱形，AC 与OB 相互垂直和平分，设A 点坐标，然后求出菱形面积.（2）分类讨论，分直线与x 轴和不垂直时，设直线方程，联立椭圆方程，利用韦式定理及中点坐标公式求出中点坐标，列垂直平分线所在方程，根据基本不等式性质，即可求得实数m 的取值范围. 【小问1详解】椭圆W ：2212x y +=的右顶点B的坐标为)，因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直和平分，所以可设2A m ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，代入椭圆方程得2114m +=，即2m =±， 所以菱形OABC的面积为112222OB AC m ⋅==. 【小问2详解】当直线AB 垂直x 轴时，0m =，此时MA MB =，符合题意； 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =−，由()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩，得 ()()2222124210k xk x k +−+−=，由()()()2222481210k k k ∆=−−+−>得x ∈R .设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122412k x x k +=+，()21222112k x x k−=+， 所以()121222212ky y k x x k −+=+−=+，所以线段AB 中点E 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭，由题意知0k ≠，故直线ME 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=−− ⎪++⎝⎭，令0x =，212k y k =+，即212km k =+，当0k >时，得21011242k m k k k<==≤++，当且仅当2k =，等号成立， 同理，当0k <时，得21011242k m k kk>==≥−++，当且仅当2k =−，等号成立， 综上所述，实数m的取值范围为44⎡−⎢⎣⎦.20. 【答案】（1）21y x =− （2）答案见解析 （3）证明见解析【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程； （2）求出(1)(2)()e −−'=x ax x f x ，分102a <<、12a =、12a >，讨论()y f x =的单调性可得答案；（3）当1a ≤−时，令()0f x '=，得1x a =或2x =，()f x 取得极小值1f a ⎛⎫⎪⎝⎭1e a −=−， [)1ee 1a−−∈−，，由极小值定义及()f x 的单调性可知：当2x <时，()e f x ≥−；2x ≥时，设2()1(21)g x ax x x a =−+−≥≤−，，，由二次函数的性质可知()(2)0g x g >>恒成立，可得答案.【小问1详解】()()()2'2'22(1)e 1(e )212e )e x x x xax x ax x ax a x f x −+−⋅−−+−⋅−++=='（()()12e xax x −−=，因为(0)2f '=，(0)1f =−，所以曲线()y f x =在点01−（，）处的切线方程为21y x =−. 【小问2详解】 由（1）知：()()()12e xax x f x −−'=，（x R ∈），因为0a >，令()0f x '=，所以1x a=或2x =，当102a <<时，12a >，则()()x f x f x '，，的变化情况如下表：当2a =时，2a =，则 ()0f x '≥恒成立，()f x 在R 内恒增；当12a >时，102a <<，则 ()()x f x f x '，，的变化情况如下表：综上，当02a <<时，单调递增区间是(2)∞−，和a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，单调递减区间是12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当12a =时，单调递增区间是)∞∞−+（，，无单调递减区间； 当12a >时，单调递增区间是1a ∞⎛⎫− ⎪⎝⎭，和 (2)∞+，，单调递减是12a ⎛⎫⎪⎝⎭，. 【小问3详解】当1a ≤−时，令()0f x '=，得1x a=或2x =，易知1[10)a ∈−，， 则()()x f x f x '，，的变化情况如下表：所以当1x a =时，()f x 取得极小值1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11e e a a−=−=−，由于1a ≤−，则1[10)a ∈−，，1(01]a−∈，，(]1e 1e a −∈，，[)1e e 1a −−∈−，，所以由极小值定义及()f x 的单调性可知：当2x <时，()e f x ≥−， 接下来，研究()f x 在2x ≥的变化情况，因为e 0x >恒成立，设2()1(21)g x ax x x a =−+−≥≤−，，， 对称轴102x a=<，140a ∆=−>，抛物线开口向上，(2)140g a =−>， 所以由二次函数的性质可知：当2x ≥时，()(2)0g x g >>恒成立， 所以()0f x >在2x ≥时恒成立. 综上所述：当1a ≤−时，()e f x ≥−.21. 【答案】（Ⅰ）k a 可以等于1k −，但k a 不能等于12k−；（Ⅱ）100；（Ⅲ）N 存在最大值，为200． 【分析】（Ⅰ）根据题意可得出结论；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的结论得出k a 可以等于1k −，可得出区间k I 的长度为1，结合①得出100N ≥，再由[]10,1I =，[]21,2I =，，[]10099,100I =满足条件①、②可得出N 的最小值；（Ⅲ）利用反证法推导出111k k a a +−>+，进而得出2001100a +>，由此得出[]()122000,100I I I ⊆，进而得出200N ≤，再举例说明200N =成立，由此可得出正整数N 的最大值.【详解】（Ⅰ）k a 可以等于1k −，但k a 不能等于12k−； （Ⅱ）记b a −为区间[],a b 的长度，则区间[]0,100的长度为100，k I 的长度为1． 由①，得100N ≥． 又因为[]10,1I =，[]21,2I =，，[]10099,100I =显然满足条件①，②．所以N 的最小值为100；（Ⅲ）N 的最大值存在，且为200． 解答如下：（1）首先，证明200N ≤． 由②，得1I 、2I 、、N I 互不相同，且对于任意k ，[]0,100kI ≠∅．不妨设12n a a a <<<<．如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[]0,100x ∈，使得()1,2,,i x I i N ∉=．这与题意不符，故20a >. 如果111k k a a +−+≤，那么()11kk k I I I −+⊆，这与条件②中“存在[]0,100x ∈，使得i x I ∉（其中1i =、2、、1k −、1k +、、N ）”矛盾，故111k k a a +−>+．所以421a a >+，6412a a >+>，，200198199a a >+>，则2001100a +>．故[]()122000,100I I I ⊆．若存在201I ，这与条件②中“存在[]0,100x ∈，使得()1,2,,200i x I i ∉=”矛盾，所以200N ≤．（2）给出200N =存在的例子 ． 令()110012199k a k =−+−，其中1k =、2、、200，即1a 、2a 、、200a 为等差数列，公差100199d =． 由1d <，知1k k I I +≠∅，则易得122001201,22I I I ⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦， 所以1I 、2I 、、200I 满足条件①．又公差10011992d =>， 所以()1001199k k I −∈，()()10011,2,,1,1,,199i k I i k k N −∉=−+．（注：()1001199k − 为区间k I 的中点对应的数） 所以1I 、2I 、、200I 满足条件②．综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200．【点睛】本题考查数列与区间的综合应用，考查反证法的应用，考查推理论证能力，属于难题.。
2018西城高三一模文数试卷及答案
7．已知 O 是正方形 ABCD 的中心．若 DO AB AC ，其中 ， R ，则 （ B）
1 2
（A） 2
（C） 2
（D） 2
8．如图，在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， AA1 AB 2 ，
BC 1 ，点 P 在侧面 A1 ABB1 上．满足到直线 AA1 和 CD
M 1 F1 , M 1 F2 , M 1 F3 , M 2 F1 , M 2 F2 , M 2 F3 , M 3 F1 , M 3 F2 , M 3 F3 ．
[ 7 分] [ 8 分]
这 2 人均被录用的情况有 4 种，即： M 1 F1 , M 1 F2 , M 2 F1 , M 2 F2 ．
记“从应聘 E 岗位的 6 人中随机选择 1 名男性和 1 名女性，这 2 人均被录用”为 事件 K ， 则 P( K )
14．某班共有学生 40 名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人 会其中的两项，没有人三项均会．若该班 18 人不会打乒乓球，24 人不会打篮球，16 人 不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是____．
第 3 页 共 10 页
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分 13 分） 设等差数列 {an } 的公差不为 0， a2 1 ，且 a 2 ， a3 ， a 6 成等比数列． （Ⅰ）求 {an } 的通项公式； （Ⅱ）设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，求使 S n > 35 成立的 n 的最小值．
2 （C） { x R | x 3} 3 2 （B） { x R | 1 x } 3
高三试卷—北京2018西城区高三(上)期末数学(文)试题及答案
数学试题答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1．A
2．B
3．D
5．C
6．B
7．C
4．C 8．B
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
9． 0
10． x2 y2 1 3
12．1； 13
x y 1≥ 0.
x2 x, 2 ≤ x ≤ c,
14．已知函数
f
(x)
1 x
,
若 c 0 ，则 f (x) 的值域是____；若 f (x) 的值域是[ 1 , 2] ，则实数 c 的
c x ≤ 3.
4
取值范围是____． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
（A）{x | 1 x 3} （C）{x | 0 x 2}
（B）{x | 1 x 0} （D）{x | 2 x 3}
2．在复平面内，复数 2i 对应的点的坐标为 1i
（A） (1,1)
（B） ( 1,1)
（C） ( 1, 1)
（D） (1, 1)
3．下列函数中，在区间 (0,) 上单调递增的是
[ 6 分]
依
次
为
：
(ab, cde), (ac, bde), (ad , bce), (ae, bcd ), (bc, ade), (bd , ace), (be, acd ), (cd , abe),
(ce, abd),(de,abc) ．
[ 8 分]
所以“甲、乙两组各有一名 B 类学生”的概率为 6 3 ． 10 5
北京市西城区2018-2019学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)(解析版)
2018-2019学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x2≤5}，那么A∩B=（）A. 2，B. 0，C.D.2. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A. B. C. D.3. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（）A. B. C. D.4. 设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值为（）A. B. C. 1 D. 25. 执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 86. 已知数列{a n}是等比数列，则“a2＞a1”是“数列{a n}为递增数列”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 设，是不共线的两个平面向量，已知，．若P，Q，R三点共线，则实数k的值为（）A. 2B.C.D.8. 设双曲线：的左焦点为F，右顶点为A．若在双曲线C上，有且只有3个不同的点P使得成立，则λ=（）A. B. C. D. 0二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 复数z满足方程1-i•z=i，则z=______．10. 以抛物线y2=8x的焦点为圆心，且与直线y=x相切的圆的方程为______．11. 能说明“设函数f（x）的定义域为R，若f（0）=0，则f（x）是奇函数”为假命题的一个函数是______．12. 在△ABC中，a=3，，B=2A，则cos A=______．13. 设函数，，＞则f[f（0）]=______；若方程f（x）=b有且仅有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是______．14. 在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告（时间如下，转场时间忽略不计），并要求听报告者不能迟到和早退．间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若直线x=π为函数f（x+a）图象的一条对称轴，求实数a的值．16. 在各项均为正数的等比数列{a n}中，，且a4+a5=6a3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{log2a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．17. 为保障食品安全，某地食品药监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据．已知该质量指标值对应的产品等级如下：根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（如下面表，a0（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业开展次品生产原因调查活动．已知乙企业从样本里的次品中随机抽取了两件进行分析，求这两件次品中恰有一件指标值属于[40，45]的产品的概率；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．18. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面B1BCC1是正方形，M，N分别是A1B1，AC的中点，AB⊥平面BCM．（Ⅰ）求证：平面B1BCC1⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求证：A1N∥平面BCM；（Ⅲ）若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为10，求棱锥C1-BB1M的体积．19. 已知椭圆C：＞的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P．（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且∠PFQ=90°，求证：AQ∥BM．20. 已知函数f（x）=ln x-x+a，其中a∈R．（Ⅰ）如果曲线y=f（x）与x轴相切，求a的值；（Ⅱ）若a=ln2e，证明：f（x）≤x；（Ⅲ）如果函数在区间（1，e）上不是单调函数，求a的取值范围．1.B解：∵集合A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x2≤5}={x|-}，∴A∩B={-2，0，2}．故选：B．先求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.C解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x2+2x为二次函数，其对称轴为x=-1，不是偶函数，不符合题意；对于B，y=x3，是奇函数，不符合题意；对于C，y=ln|x|=，是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于D，y=cosx为偶函数，在区间（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意，故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3.C解：由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．可知其最长棱长为PD==2．故选：C．由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．即可得出．本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，属于基础题．4.A解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，-1），化目标函数z=x+3y为y=-+，由图可知，当直线y=-+过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为-1．故选：A．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5.B解：模拟程序的运行，可得：m=1满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=63，输出n的值为63，m=63满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127此时，不满足条件m∈（0，100），退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.B解：设等比数列{a n}的公比为q，则“a2＞a1”⇔a1（q-1）＞0，⇔，或．由数列{a n}为递增数列，可得，或．∴“a2＞a1”是“数列{a n}为递增数列”的必要不充分条件．故选：B．设等比数列{a n}的公比为q，则“a2＞a1”⇔a1（q-1）＞0⇔，或．由数列{a n}为递增数列，可得，或．即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、等比数列的通项公式与单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.D解：∵是不共线的两个平面向量；∴；即；∵P，Q，R三点共线；∴与共线；∴存在λ，使；∴；∴根据平面向量基本定理得，；解得．故选：D．由题意可得出，而P，Q，R三点共线，从而得出与共线，从而存在实数λ，使得，从而得出，这便得出，解出k即可．考查共线向量基本定理，以及平面向量基本定理．8.D解：双曲线的左焦点为F（-2，0），右顶点为A（1，0）．设P（m，n），可得：，推出n2=3m2-3，=（-2-m，-n），=（1-m，-n），，可得λ=（m+2）（m-1）+n2=4m2+m-5，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞），如图：当λ=0时，有且只有3个不同的点P使得成立，故选：D．设出P的坐标，求出双曲线的左焦点为F，右顶点为A．利用推出λ的表达式，通过二次函数的性质，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，函数的最值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．9.-1-i解：由1-i•z=i，得iz=1-i，则z=．故答案为：-1-i．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．10.（x-2）2+y2=2解：依题意可知抛物线y2=8x的焦点为（2，0），到直线直线y=x的距离即圆的半径为=，故圆的标准方程为：（x-2）2+y2=2．故答案为：（x-2）2+y2=2．依题意可求得抛物线焦点即圆心的坐标，进而根据点到直线的距离公式求得圆的半径，则圆的方程可得．本题主要考查了抛物线的简单性质，圆的方程，点到直线的距离等问题．属基础题．11.f（x）=x2解：可取f（x）=x2，可得f（x）的定义域为R，且f（0）=0，但f（-x）=（-x）2=x2=f（x），可得f（x）为偶函数．可说明“设函数f（x）的定义域为R，若f（0）=0，则f（x）是奇函数”为假命题．故答案为：f（x）=x2．可取f（x）=x2，可得定义域为R，计算f（-x）与f（x）比较可得f（x）为偶函数．本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查判断能力和运算能力、推理能力，属于基础题．12.解：∵a=3，，B=2A，∴由正弦定理可得：，∴cosA===．故答案为：．由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解．本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，属于基础题．13.（，）解：函数则f[f（0）]=f（e0）=f（1）=．x≤0时，f（x）≤1，x＞0，f（x）=-x2+x+，对称轴为：x=，开口向下，函数的最大值为：f（）=-=，x→0时，f（0）→，方程f（x）=b有且仅有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是：（，）．故答案为：；（，）．利用分段函数求解函数值得到第一问；利用分段函数求解函数的极值得到b的范围；本题考查函数与方程的应用，函数的零点的求法，考查计算能力以及数形结合的应用．14.D解：通过数据比对，甲、乙两人应该舍去的报告名称为D，当甲乙两人中某人听报告D，则此人不能听报告B，C，E，F，故听报告D最不合适，故答案为：D．当甲乙两人中某人听报告D，通过数据比对与分析，则此人不能听报告B，C，E，F，甲、乙两人应该舍去的报告名称为D，本题考查了对数据的分析能力及进行简单的合情推理，属简单题．15.解：（I）∵．=2cos x（sin x+cos x）=sin x cosx+==sin（2x+）∴T=π，（II）由（I）可知f（x+a）=sin（2x+2a+），∵直线x=π为函数f（x+a）图象的一条对称轴，∴f（π+a）为f（x+a）的最大或最新值，即f（π+α）=sin（）=sin（2a+）=±1，∴，k∈z∴a=，k∈z（I）利用和角正弦公式及二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合周期公式T=即可求解；（II）由（I）可求f（x+a），然后结合对称轴处函数取得最值可求a本题主要考查了三角函数的性质及三角公式中的和角公式，辅助角公式的综合应用，解题的关键是熟练应用基本公式．16.解：（Ⅰ）各项均为正数的等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，，且a4+a5=6a3，可得a1q=，a1q3+a1q4=6a1q2，解得q=2，a1=，则a n=a1q n-1=•2n-1=2n-4；（Ⅱ）设b n=log2a n=log22n-4=n-4，由1≤n≤4时，b n≤0，n≥5时，b n＞0，可得S n的最小值为S3=S4=-3-2-1=-6．（Ⅰ）各项均为正数的等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，由等比数列的通项公式，解方程即可得到所求首项和公比，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a n=log22n-4=n-4，求得数列{b n}的项的正负，即可得到所求最小值．本题考查等比数列的通项公式和等差数列的通项公式和求和问题，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17.解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：（a+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080）×5=1，解得a=0.008，∴甲企业的样本中次品的频率为（a+0.020）×5=0.14，故从甲企业生产的产品中任取一件，该产品是次品的概率为0.14．（Ⅱ）记“从乙企业样本里的次品中任取两件产品，恰有一件产品是指标值属于[40，45]的产品”为事件M，记质量指标值在[15，20]内的2件产品的样本分别为A1，A2，质量指标值在[40，45]内的确件产品样本分别为B1，B2，从乙企业样本中的次品中任取两件产品，所有可能结果有6种，分别为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（B1，B2），而事件M包含的结果有4种，分别为：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），∴这两件次品中恰有一件指标值属于[40，45]的产品的概率P=．（3）以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的产品质量进行比较，由图表可知甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，∴认为乙企业产品的食品生产质量更高．（Ⅰ）由频率分布直方图求出a=0.008，从而甲企业的样本中次品的频率为0.14，由此能求出从甲企业生产的产品中任取一件，该产品是次品的概率．（Ⅱ）记“从乙企业样本里的次品中任取两件产品，恰有一件产品是指标值属于[40，45]的产品”为事件M，记质量指标值在[15，20]内的2件产品的样本分别为A1，A2，质量指标值在[40，45]内的确件产品样本分别为B1，B2，从乙企业样本中的次品中任取两件产品，所有可能结果有6种，由此能求出这两件次品中恰有一件指标值属于[40，45]的产品的概率．（3）以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的产品质量进行比较，得到乙企业产品的食品生产质量更高．本题考查频率、频数、概率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．18.证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCM，BC⊂平面BCM，∴AB⊥BC，∵正方形B1BCC1，∴BB1⊥BC，∵AB∩BB1=B，∴BC⊥平面A1ABB1，∵BC⊂平面B1BCC1，∴平面B1BCC1⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）设BC中点为Q，连结NQ，MQ，∵M，N分别是A1B1，AC的中点，∴NQ∥AB，且NQ=AB，∵AB∥A1B1，且AB=A1B1，∴NQ∥A1M，且NQ=A1M，∴四边形A1MQN是平行四边形，∴A1N∥MQ，∵MQ⊂平面BCM，A1N⊄∴A1N∥平面BCM．解：（Ⅲ）连结A1B，根据棱柱和棱锥的体积公式，得到三棱锥B-A1B1C1的体积==，∵M为A1B1的中点，∴棱锥C1-BB1M的体积===．（Ⅰ）推导出AB⊥BC，BB1⊥BC，从而BC⊥平面A1ABB1，由此能证明平面B1BCC1⊥平面A1ABB1．（Ⅱ）设BC中点为Q，连结NQ，MQ，推导出四边形A1MQN是平行四边形，从而A1N∥MQ，由此能证明A1N∥平面BCM．（Ⅲ）连结A1B，根据棱柱和棱锥的体积公式，三棱锥B-A1B1C1的体积==，棱锥C1-BB1M的体积=，由此能求出结果．本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.解：（Ⅰ）由题意可得c2=a2-2，∵e==，∴a=2，c=，∴椭圆的方程为+=1，设P（0，m），由点P在椭圆C的内部，得-＜m＜，又∵A（-2，0），∴直线AM的斜率k AM==∈（-，），又M为椭圆C上异于A，B的一点，∴k AM∈（-，0），（0，），（Ⅱ）由题意F（，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，则+=1，直线AM的方程为y=（x+2），令x=0，得点P的坐标为（0，），由∠PFQ=90°，可得•=0，∴（-，）•（-，y1）=0，即2+•y1=0，解得y1=-，∴Q（0，-），∵k BM=，k AQ=-，∴k BM-k AQ=+=0，故k BM=k AQ，即AQ∥BM（Ⅰ）根据题意可得得c2=a2-2，由e==，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线AM 的斜率的取值范围，（Ⅱ）题意F（，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，则+=1，可得直线AM的方程y=（x+2），求出点Q的坐标，根据向量的数量积和斜率公式，即可求出k BM-k AQ=0，问题得以证明本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题20.解：（I）求导．得f′（x）=-1=∵曲线y=f（x）与x轴相切，∴此切线的斜率为0．由f′（x）=0，解得x=1，又由曲线y=（x）与x轴相切，得f（1）=-1+a=0解得a=1．证明（II）由题意，f（x）=ln x-x+ln2e，令函数F（x）=f（x）-x=ln x-2x+ln2e求导，得F′（x）=-2=由F′（x）=0，得x=，∴函数F（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减，故当x=时，F（x）max=F（）=ln-1+ln2e=0，∴任给x∈（0，+∞），F（x）=f（x）-x≤0，即f（x）≤x，（Ⅲ）由题意可得，g（x）=，∴g′（x）=，当g′（x）≥0时，在（1，e）上恒成立，函数g（x）单调递增，当g′（x）≤0时，在（1，e）上恒成立，函数g（x）单调递减，∴x-2ln x+1-2a≥0在（1，e）上恒成立，或x-2ln x+1-2a≤0在（1，e）上恒成立，∴2a≤x-2ln x+1在（1，e）上恒成立，或2a≥x-2ln x+1在（1，e）上恒成立，令h（x）=x-2ln x+1，∴h′（x）=1-=，由h′（x）=0，解得x=2，当x∈（1，2）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，当x∈（2，e）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，∵h（1）=2，h（e）=e-2+1=e-1，∴h（x）max=h（1）=2∴h（x）min=h（2）=3-2ln2，∴2a≥2或2a≤3-2ln2，∴a≥1或a＜-ln2，∵函数在区间（1，e）上不是单调函数，∴-ln2＜a＜1，故a的取值范围为（-ln2，1）．（Ⅰ）先求导，再根据导数的几何意义即可求出，（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）-x=lnx-2x+ln2e，根据导数和函数单调性的关系以及最值得关系，即可证明（Ⅲ）先求出函数g（x）在（1，e）上是单调函数a的范围即可，求导，分离参数构造函数，求出函数的最值即可．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于难题．。
2018北京西城区高三数学(文)(二模)
（ A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（ C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
7．设不等式组
x ≥ 1, x y ≥ 3, 表示的平面区域为 D ．若直线 ax y 0 上存在区域 D 上的点， 2x y ≤ 5
则实数 a 的取值范围是
（ A） [ 1 ,2] 2
（B） [ 1 ,3] 2
2018 北京西城区高三数
学（文）（二模）
第Ⅰ卷 （选择题 共 40 分）
2018.5
一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的 四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．若集合 A { x | 0 x 1} ， B { x | x 2 2x 0} ，则下列结论中正确的是
中点． CD DA AF FE 2 ， AB 4 ． （Ⅰ）求证： DF // 平面 BCE ；
（Ⅱ）求证：平面 BCF 平面 GCE ； （Ⅲ）求多面体 AFEBCD 的体积．
19．（本小题满分 13 分）
3/9
已知函数 f ( x) ln x ax ，曲线 y f ( x) 在 x 1 处的切线经过点 (2, 1) ． x
2/9
已知函数 f ( x)
cos2 x ．
sin x cos x
（Ⅰ）求 f (x) 的定义域；
（Ⅱ）求 f (x) 的取值范围．
17．（本小题满分 13 分）
在某地区，某项职业的从业者共约 8.5 万人，其中约 3.4 万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体
指标（检测值为不超过 6 的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了
1/9
（ C） [1,2]
2017-2018北京西城161高三上期中数学(解析版)
北京一六一中学2017届高三年级第一学期期中考试理科数学试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集，集合，，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，所以。
选：A。
2.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（）．A. 直线、直线B. 圆、圆C. 直线、圆D. 圆、直线【答案】D【解析】由，得，将代入上式得，故极坐标方程表示的图形为圆；由消去参数整理得，故参数方程表示的图形为直线。
选D。
3.设，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由条件得，所以。
选A。
4.若非零平面向量，满足，则（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，，所以，整理得，所以。
选D。
5.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A. ①和②B. ③和①C. ④和③D. ④和②【答案】D【解析】在空间直角坐标系中，根据所给的条件标出已知的四个点，结合三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②。
选D。
6.如图，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，在一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，小明从街道的E处出发到F处最短路程有条，再从F处到G处最短路程有条，故小明从老年公寓可以选择的最短路径条数为条。
选B。
7.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】∵抛物线方程为，∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为。
如图，设，，过A,B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可得，∴。
将代入得，∴点的坐标为。
【精编版】2017-2018北京西城161高三上期中数学试题及答案解析【推荐】
北京一六一中学2017届高三年级第一学期期中考试理科数学试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集，集合，，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，所以。
选：A。
2.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（）．A. 直线、直线B. 圆、圆C. 直线、圆D. 圆、直线【答案】D【解析】由，得，将代入上式得，故极坐标方程表示的图形为圆；由消去参数整理得，故参数方程表示的图形为直线。
选D。
3.设，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由条件得，所以。
选A。
4.若非零平面向量，满足，则（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，，所以，整理得，所以。
选D。
5.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A. ①和②B. ③和①C. ④和③D. ④和②【答案】D【解析】在空间直角坐标系中，根据所给的条件标出已知的四个点，结合三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②。
选D。
6.如图，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，在一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，小明从街道的E处出发到F处最短路程有条，再从F处到G处最短路程有条，故小明从老年公寓可以选择的最短路径条数为条。
选B。
7.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】∵抛物线方程为，∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为。
如图，设，，过A,B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可得，∴。
将代入得，∴点的坐标为。
2017-2018北京西城161高三上期中数学试题及答案解析-精品
北京一六一中学2017届高三年级第一学期期中考试理科数学试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集，集合，，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，所以。
选：A。
2.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（）．A. 直线、直线B. 圆、圆C. 直线、圆D. 圆、直线【答案】D【解析】由，得，将代入上式得，故极坐标方程表示的图形为圆；由消去参数整理得，故参数方程表示的图形为直线。
选D。
3.设，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由条件得，所以。
选A。
4.若非零平面向量，满足，则（）．A. B. C. D.【答案】D由得，，所以，整理得，所以。
选D。
5.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A. ①和②B. ③和①C. ④和③D. ④和②【答案】D【解析】在空间直角坐标系中，根据所给的条件标出已知的四个点，结合三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②。
选D。
6.如图，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，在一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）．A. B. C. D.【答案】B由题意得，小明从街道的E处出发到F处最短路程有条，再从F处到G处最短路程有条，故小明从老年公寓可以选择的最短路径条数为条。
选B。
7.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】∵抛物线方程为，∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为。
如图，设，，过A,B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可得，∴。
将代入得，∴点的坐标为。
2018年北京西城区高三上学期期末考试数学试题(文)
北京市西城区2018年第一学期期末试卷高三数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =（ ） （A ）1(0,)2（B ）1(,1)2 （C ）1(,1)(0,)2-∞- （D ）1(,1)(,1)2-∞-2．复数5i 2i=+（ ） （A ）12i +（B ）12i -+ （C ）12i -- （D ）12i -3．执行如图所示的程序框图，则输出S=（ ）（A ）2（B ）6（C ）15（D ）314．函数1()ln f x x x=-的零点个数为（ ） （A ）0（B ）1 （C ）2 （D ）35．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．53B ．3C ．54D ．2 6．考察下列函数：①()sin f x x x =-；②2()32f x x =--；③2()2x f x x =-；④()ln 2cos f x x x =- 其中有三个零点的函数是A ． ①②B ． ②③C ． ③④D ． ①④7．已知α∈(2π,π)，sin α=35,则tan(4πα+)等于 A. －17 B. 17C. 7D.－7 8．如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半径为1的半圆，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积是A ．3π BC ．D第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量(1,3)=a，(,21)m m =-b ．若向量a 与b 共线，则实数m =______．10．平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点．若在平行四边形ABCD 内部随机取一点M ，则点M 取自△ABE 内部的概率为______．11．双曲线2213645x y -=的渐近线方程为______；离心率为______．12．若函数2log ,0,()(),0x x f x g x x >⎧=⎨<⎩是奇函数，则(8)g -=______．13．已知函数π()sin()6f x x =+，其中π[,]3x a ∈-．当2a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______． 14．设函数2()65f x x x =-+，集合{(,)|()()0A a b f a f b =+≤，且()()0}f a f b -≥．在直角坐标系aOb 中，集合A 所表示的区域的面积为______．正视图 俯视图 侧视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos2cos 0B B +=．（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若b=5a c +=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组[4550)，，第2组[5055)，，第3组[5560)，，第4组[6065)，，第5组[6570]，，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．17．（本小题满分14分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，BC AC ⊥，21===CC BC AC ，M ，N 分别为AC ，11C B 的中点．（Ⅰ）求线段MN 的长；（Ⅱ）求证：MN // 平面11A ABB ；（Ⅲ）线段1CC 上是否存在点Q ，使⊥B A 1平面MNQ ？说明理由．18．（本小题满分13分） 已知函数2()x f x x b=+，其中b ∈R ． （Ⅰ）若1x =-是)(x f 的一个极值点，求b 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．19．（本小题满分14分）如图，A ，B 是椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的两个顶点．||AB =直线AB 的斜率为12-． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 平行于AB ，与,x y 轴分别交于点,M N ，与椭圆相交于,C D ．证明：△OCM 的面积等于△ODN 的面积．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ija (,1,2,3,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-．记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）对如下数表(4,4)A S ∈，求()l A 的值；（Ⅱ）证明：存在(,)A S n n ∈，使得()24l A n k =-，其中0,1,2,,k n =； （Ⅲ）给定n 为奇数，对于所有的(,)A S n n ∈，证明：()0l A ≠．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京一六一中学2018届高三年级期中考试文科数学试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集，集合，，如图阴影部分所表示的集合为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】阴影部分表示的集合为．∵，，∴．故选．2. 若、是任意实数，且，则下列不等式成立的是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】对于，当，时，满足，但，故错误；对于，当，时，满足，但，故错误；对于，当，时，满足，但，故错误；对于，因为在上单调递增，故当时，，故正确．故选．点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便，注意当用不等式性质时注意正负数、0的特殊情况等易错点，有时较为复杂的不等式可以用函数的单调性证明.3. 复数的虚部为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】∵复数，∴复数的虚部为．故选．4. 关于函数和，下列说法中正确的是（）．A. 都是奇函数B. 都是偶函数C. 函数的值域为D. 函数的值域为【答案】C【解析】试题分析：的定义域为，所以为非奇非偶函数，在定义域上为单调减函数，值域为；的定义域为，且，所以为非奇非偶函数，在定义域上为单调减函数，值域为；因此选C.考点：函数性质5. 已知数列，则“”是“数列为递增数列”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】若数列为递增数列，则，所以“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件．故选．6. 已知向量，，平面上任意向量都可以唯一地表示为，则实数的取值范围是（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】根据平面向量基本定理可知，若平面上任意向量都可以唯一地表示为，解得，即实数的取值范围是．故选．7. 已知三棱柱的主视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为的正三角形，则该三棱柱的左视图为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】根据正视图和俯视图，作出该三棱锥的几何直观图，如图所示，则侧视图为直角三角形，且底边边长为，高为，本题选择B选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．8. 如图，正方体中，动点在侧面内，且点到棱与棱距离相等，则点运动形成的图形是（）．A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分【答案】D【解析】由题意知，直线平面，则，即就是点到直线的距离，所以，在面中，点到直线的距离等于它到点的距离，由抛物线的定义可知，点运动形式的图形是抛物线的一部分．故选D.点睛：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9. 命题，的否定是__________．【答案】，【解析】试题分析：是全称命题，其否定为特称命题，故为.考点：全称命题的否定.10. 以抛物线的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为__________．【答案】【解析】试题分析：∵抛物线的焦点为，∴所求圆的圆心为，又∵所求圆过坐标原点，∴圆的半径，∴所求圆的方程为，即.考点：（1）抛物线的性质；（2）圆的标准方程.11. 已知变量，满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】-2【解析】作出不等式所表示的可行域，如图所示，由得，平移直线，由图可知当直线经过点时，纵截距最大，从而最小，故．故答案为：-2.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.12. 双曲线的离心率为，则__________，其渐近线方程为_________．【答案】(1). 1(2).【解析】双曲线的，，，则，解得，所以双曲线的方程为，故双曲线的渐近线方程为．13. 设，对任意实数，关于的方程总有实根，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】试题分析：由已知若存在实数，使得关于的方程总有实数根，则函数的值域为R，当时，如图2，不满足，当时，如图3，不满足，当时，如图1，满足．当然也可由得到．考点：函数与方程14. 如图，边长为的正三角形放置在平面直角坐标系中，在轴上，顶点与轴上的定点重合．将正三角形沿轴正方向滚动，即先以顶点为旋转中心顺时针旋转，当顶点落在轴上，再以顶点为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当滚动到时，顶点运动轨迹的长度为__________；在滚动过程中，的最大值为__________．【答案】(1). (2).【解析】根据题意知，点的轨迹为两个圆心角为所对的圆弧和一个点，且圆弧的半径为，∴顶点运动轨迹的长度为．，设，①设滚动前点坐标，∴；②第一次滚动后点纵坐标为，∴；③第二次滚动后点坐标，∴；④第三次滚动后点纵坐标，∴．∴的最大值为．三、解答题共6小题，共80分15. 已知函数．（）求函数的最小正周期及单减区间．（）求函数在区间上的零点．【答案】（1）最小正周期，减区间：，；（2）和.【解析】试题分析：（1）化简得，得，令，可得减区间；（2）时，，所以令或即可解得零点.试题解析：（）∵，∴函数的最小正周期．令，，得，，∴函数的单调减区间是，．（）∵当时，，∴令或，得或，∴函数的区间上的零点为和．16. 如图，在中，，，点在边上，且，．（）求的值．（）求，的长．【答案】（1）；（2），.【解析】试题分析：（1）由，再将条件代入求解即可；（2）在中，由正弦定理得，可得，由余弦定理得可得.试题解析：（）∵在中，，∴，则．（）在中，由正弦定理得，∴．在中，由余弦定理得．∴．综上所述，．17. 设数列的前项和为，满足，．（）求，的值．（）求数列的通项公式，并求数列的前项和．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由，求解即可；（2），当时，，两式相减得，进而得，检验，从而得，进而利用分组求和即可.试题解析：（）∵，∴，∴，．（）∵，∴当时，，两式相减得，即，∴．又由，，得，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴．18. 如图，等腰梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．（）求证：平面．（）求三棱柱的体积．（）线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）由，可得平面，进而得，在等腰梯形中，可证得，从而得证；（2）由即可得解；（3）取的中点，的中点，连结，，，可证得四边形为平行四边形，从而得证，进而得证.试题解析：（）证明：∵，∴．∵在等腰梯形中，，∴在四棱锥中，．又，∴平面．又∵平面，∴．∵在等腰梯形中，，，且，∴，，，∴，∴．∵，∴平面．（）∵，平面，∴．（）线段上存在一点，使得平面，为的中点，证明：取的中点，的中点，连结，，．∵，分别为，的中点，∴且．∵且，∴且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴．又∵平面，平面，∴平面．19. 已知的顶点，在椭圆上，在直线上，且．（）求椭圆的离心率．（）当边通过坐标原点时，求的长及的面积．（）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．【答案】（1）；（2），面积为2；（3）.【解析】试题分析：（1）由椭圆方程得，，，由即可得解；（2）所直线的方程为与椭圆联立得，，原点到直线的距离，从而得面积；（3）设所在直线的方程为，与椭圆联立得，设，两点坐标分别为，，，，利用韦达定理代入求最值即可.试题解析：（）将椭圆化为标准方程为，∴，，，∴椭圆的离心率．（）∵，且边通过点，∴所直线的方程为．设，两点坐标分别为，．由，得．∴．又∵边长的高等于原点到直线的距离，∴，∴的面积．（）设所在直线的方程为，由，得．∵，在椭圆上，∴．设，两点坐标分别为，，则，，∴．又∵的长等于点到直线的距离，即，∴，∴当时，边最大，且满足，此时所在直线的方程为．20. 已知函数，其中为常数．（）若，求曲线在点处切线方程．（）若，求证：函数有且仅有两个零点．（）若为常数，且当时，恒成立，求的最大值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）4.【解析】试题分析：（1）求出f ¢（1），即切线的斜率，可由点斜式得直线方程；（2）用导数研究函数的单调性，再由零点存在性定理说明零点的个数；（3）不等式恒成立问题一般可以先参数分离，再求函数的最值，这样可以避免讨论求最值，本题在求最值时需要二次求导和估值来确定函数的最值；试题解析：（1）当k＝0时，f（x）＝1＋lnx．因为f ¢（x）＝，从而f ¢（1）＝1．又f （1）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y－1＝x－1，即x－y＝0．（2）当k＝5时，f（x）＝lnx＋－4．因为f ¢（x）＝，从而当x∈（0，10），f ′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（10，＋∞）时，f ′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x＝10时，f（x）有极小值．因f（10）＝ln10－3＜0，f（1）＝6＞0，所以f（x）在（1，10）之间有一个零点．因为f（e4）＝4＋－4＞0，所以f（x）在（10，e4）之间有一个零点．从而f（x）有两个不同的零点．（3）方法一：由题意知，1+lnx－＞0对x∈（2，＋∞）恒成立，即k＜对x∈（2，＋∞）恒成立．令h（x）＝，则h¢（x）＝．设v（x）＝x－2lnx－4，则v¢（x）＝．当x∈（2，＋∞）时，v¢（x）＞0，所以v（x）在（2，＋∞）为增函数．因为v（8）＝8－2ln8－4＝4－2ln8＜0，v（9）＝5－2ln9＞0，所以存在x0∈（8，9），v（x0）＝0，即x0－2lnx0－4＝0．当x∈（2，x0）时，h¢（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x0，＋∞）时，h¢（x）＞0，h（x）单调递增．所以当x＝x0时，h（x）的最小值h（x0）＝．因为lnx0＝，所以h（x0）＝∈（4，4.5）．故所求的整数k的最大值为4．方法二：由题意知，1+lnx－＞0对x∈（2，＋∞）恒成立．f（x）＝1+lnx－，f ¢（x）＝．①当2k≤2，即k≤1时，f¢（x）＞0对x∈（2，＋∞）恒成立，所以f（x）在（2，＋∞）上单调递增．而f（2）＝1＋ln2＞0成立，所以满足要求．②当2k＞2，即k＞1时，当x∈（2，2k）时，f ′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（2k，＋∞），f ′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x＝2k时，f（x）有最小值f（2k）＝2＋ln2k－k．从而f（x）＞0在x∈（2，＋∞）恒成立，等价于2＋ln2k－k＞0．令g（k）＝2＋ln2k－k，则g¢（k）＝＜0，从而g（k）在（1，＋∞）为减函数．因为g（4）＝ln8－2＞0，g（5）＝ln10－3＜0 ，所以使2＋ln2k－k＜0成立的最大正整数k＝4．综合①②，知所求的整数k的最大值为4．考点：1.导数的几何意义；2.函数与方程；3.用导数研究函数的性质；。