微积分(经管类)(第三版)(蔡光兴,李德宜)PPT模板
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人大版微积分第三版课件71级数概念与正项级数.ppt
ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
(2)
Sn
1 1 2
1 1 1
23 34
n (n 1)
1
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
1 n
n
1
1
1 1 1 ( n ） n1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
n1
n1
则级数
n1
(
un
vn
)也收敛, 其和为 S 即 (un vn )
,
un
vn .
n1
n1
n1
比如:
(
n1
1 2n1
1 3n1
)
n1
1 2n1
n1
1 3n1
2
3 2
7 2
说明:
un , vn
n1
n1
(1) 敛+敛=敛 (性质2)
( un vn )
n1
(2) 敛+散 =发散 (用反证法可证)
调增加的: S1 S2 Sn
由 Sn有上界 Sn有极限 un 收敛 .
n1
反过来由 un 收敛 Sn 有极限 Sn 有界 .
n1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和数列 有界 .
定理2 (比较审敛法)
设 un , vn 为正项级数 , 且 un vn , ( n 1, 2, 3, ),
n1
n1
则有 (1) 若大 收敛 , 则小
也收敛 ;
(2) 若小
发散 , 则大
也发散 .
证 记 un 的部分和序列为sn ,
大学课程《微积分》PPT课件：微积分7章1节
1
正确答案选（C）。
例 3 判别级数
1
n1 (2n 1)(2n 1)
= 1+
1+
1 +…+
13 35 57
1
+…的敛散性，
(2n 1)(2n 1)
若收敛则求其和。
解 由于
un
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(1 2n 1
1) 2n 1
所以级数的部分和
Sn
=1 13
+1 35
+1 57
+…+
1 (2n 1)(2n 1)
例3（讲义例3）讨论等比级数(又称为几何级数)
aqn a aq aq2 aqn
n0
(a 0) 的收敛性.
注：几何级数是收敛级数中最著名的一个级数．阿贝尔曾经指出“除了几何级数 之外，数学中不存在任何一种它的和已被严格确定的无穷级数”．几何级数在判断 无穷级数的收敛性、求无穷级数的求和以及将一个函数展开为无穷级数等方面都有 广泛而重要的应用.
（4）级数收敛的必要条件：若级数
un
n1
收敛，则
lim
n
un
0
例 1 讨论几何级数（也叫等比级数）
aq n1 = a+ aq+ aq2 +…+aq n1 +… （a≠0,q≠0）
n 1
的敛散性，若收敛则求其和。
解 级数的部分和
Sn
a(1 qn ) ; q 1q
1
na; q 1
（1）当
q
1
1
11
解 由于 n1 3n 与 n1 7 n 都是几何级数，公比分别为 3， 7，
最新人大版微积分第三版课件习题课第8章教学讲义ppt
设 P 0 是 函 数 f(P )的 定 义 域 的 聚 点 ， 如 果 f(P )在 点 P 0 处 不 连 续 ， 则 称 P 0 是 函 数 f(P )的 间 断 点 . 注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能
在曲线上的所有点处均间断。
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”： P l iP m 0f(P)f(P 0) (P 0 定义)区域
高阶偏导数
函 数 z f(x ,y )的 二 阶 偏 导 数 为 x x z x 2z2fx(xx,y), y yz y22 zfyy(x,y), y x zx2 zyfx(yx,y), x y zy2 zxfy(xx,y).
混合偏导 ( 注意：混合偏导数相等的条件) 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
d z A x B y .
定理1（可微分必要条件）如果函数z f(x, y)在
点(x, y)可微分，则该函数在点(x, y)的偏
导数z 、z x y
必存在，且函数z
f(x,
y)
在点(x, y)的全微分为
dzxzdxyzdy.
定 理 ２ （ 可 微 分 的 充 分 条 件 ） 如 果 函 数 zf(x,y)
y y 0
f yx x 0 lx i0m f(x 0 ,y 0 y y )f(x 0 ,y 0)fy(x0,y0)
y y 0
f x lx i0m f(x x , y x )f(x ,y )fx(x,y) f y lx i0m f(x ,y y y )f(x ,y) fy(x,y)
复合函数求导法则
1、zu vFra bibliotekx型z f ( u , v )u , ( x )v ,( x )
d dx z u zd du x v zd dx v .
《微积分》(上下册) 教学课件 02.第2章 导数与微分 高等数学第一章第3-5节
1
记作
f
(
x),
y,
d2y dx2
或
d
2 f (x) dx2
.
二阶导数的导数称为三阶导数,记作
f ( x),
y,
d3y dx3 .
三阶导数的导数称为四阶导数, 记作
f (4)(x),
y(4) ,
d4y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n)(x),
10
一、微分的概念
实例 半径为 x的0 金属圆板受热后面积的改变量.
设半径由x0变到x0 x,
圆板的面积 A x02,
A (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2.
(1)
(2)
(1) x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
11
再例如
设函数 y x3在点 x0处的改变量为x时, 求函数的 改变量 y.
§2.3 高阶导数
问题 变速直线运动的加速度.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)；
因为加速度a是速度v对时间t的变化率，所以
a(t) v(t) s(t).
定义 如果f (x)的导函数f (x)在点x处可导,即
( f (x)) lim f (x x) f (x)
x0
x
存在,则称( f (x))为f (x)在点x处的二阶导数.
dt dx
3a sin2 t cost 3a cos2 t(sint
)
tan t，
dt
d2y dx2
d (dy) dx dx
d ( tan t ) dx
最新人大版微积分第三版课件第七章7-习题课课件PPT
人大版微积分第三版课件第 七章7-习题课
un(x)
求和
S(x) (在收敛域内进行)
n0
展开
un(x)
n0
当xx0 时为数项级数; 当 un(x)anxn 时为幂级数; 当 u n ( x ) a n cn x o b n s sn x in (an,bn为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.
基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开.
(2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 .
1
n1n1
收敛, 故
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(3) n 1(1)nlnnn1
因 unlnnn 1ln(11 n)单调递减, 且 nl im un 0
由Leibniz判别法知级数收敛 ;
但
ln n 1 lim n ln k 1
(a0).
n
解
nl im n un
nl im n lann(12)
1lim n lnn(2), an
n
n 2 时 ,n 2 e n ,从而有
1nln n (2)nn ,
由l于 im nn1, n
lim nln n (2)1,
n
limn
n
un
1. a
当a0即 011时 , 原级数收敛； a
(b n a n ) 收敛
(c n a n ) 收敛
n 1
n 1
c n [(cnan)an]
n 1
n1
(cn an) a n 收敛
n 1
n 1
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解答提示:
例3(P257 题2). 判别下列级数的敛散性:
(1)
un(x)
求和
S(x) (在收敛域内进行)
n0
展开
un(x)
n0
当xx0 时为数项级数; 当 un(x)anxn 时为幂级数; 当 u n ( x ) a n cn x o b n s sn x in (an,bn为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.
基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开.
(2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 .
1
n1n1
收敛, 故
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(3) n 1(1)nlnnn1
因 unlnnn 1ln(11 n)单调递减, 且 nl im un 0
由Leibniz判别法知级数收敛 ;
但
ln n 1 lim n ln k 1
(a0).
n
解
nl im n un
nl im n lann(12)
1lim n lnn(2), an
n
n 2 时 ,n 2 e n ,从而有
1nln n (2)nn ,
由l于 im nn1, n
lim nln n (2)1,
n
limn
n
un
1. a
当a0即 011时 , 原级数收敛； a
(b n a n ) 收敛
(c n a n ) 收敛
n 1
n 1
c n [(cnan)an]
n 1
n1
(cn an) a n 收敛
n 1
n 1
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解答提示:
例3(P257 题2). 判别下列级数的敛散性:
(1)
最新人大版微积分第三版课件9-1教学讲义ppt课件
例2 列 车 在 平 直 的 线 路 上 以20米 /秒 的 速 度 行 驶 ,
当 制 动 时 列 车 获 得 加 速 度 0.4米 /秒2,问 开 始 制 动
后 多 少 时 间 列 车 才 能 停 住 ？ 以 及 列 车 在 这 段 时 间 内 行 驶 了 多 少 路 程 ？
解 设制 t秒 动 钟 s米 后 ,s行 s(t)驶
长 的 时 间 隧 道，袅
人大版微积分第三版课件9-1
一、问题的提出
例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点
M(x, y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.
解 设所求曲y线 y为 (x)
dy 2 x dx
其x 中 1 时 ,y2
y 2xdx 即yx2C, 求C 得 1,
所求曲线方y程x2为 1.
转化
解已分离变量方程 g (y )d yf(x )d x
g (y)d yf(x )dx
例如 dy2x2y54 y54dy2x2dx, dx
解法 设函数g( y)和f (x)是连续的,
g(y)d yf(x)dx 分离变量法
设 函 数 G (y)和 F(x)是 依 次 为 g(y)和 f(x)的 原 函
数 , G (y) F (x ) C 为微分方程的通解.
典型例题
例1 求解微分方程 dy y 的通解. dx x
解
分离变量
dy dx , yx
两端积分
dy y
dx , x
l n y l n x C 1 c 1 为 任 意 常 数
xyec1或 xyec1
xycc为 任 意 常 数
解 分离变量 d y d x , yx
两端积分
dy y
最新人大版微积分第三版课件8-7教学讲义ppt课件
zf(x,y)
n
Vl i0m k 1f(k,k)k
f(k,k)
(k ,k ) k
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2. 平面薄片的质量
有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密
度为(x,y) C,计算该薄片的质量 M .
若 (x,y)(常)数 ,设D 的面积为 , 则
M
若 (x,y)非常数 , 仍可用
o
x
f(x,y)df(x,y)dxdy
D
D
问题：根据二重积 几分 何的 意义
1x2 y2dxdy
D:x2y21
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三、二重积分的性质
1 .D kf(x,y)d kD f(x ,y)d ( k 为常数)
2 .D [ f( x ,y ) g ( x ,y )d ]
人大版微积分第三版课件87
回忆定积分概念 :求曲边梯形面积步骤
1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b
用直线 x xi将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取i[xi1,xi]
任 意 的 .
(2 )当 f(x ,y )在 闭 区 域 上 连 续 时 ， 定 义 中 和 式
的 极 限 必 存 在 ， 即 二 重 积 分 必 存 在 .
二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．
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作以[xi1, xi]为底 , f (i )
y
为高的小矩形, 并以此小
大学课程《微积分》PPT课件：微积分3章6节
由
R P Q P f (P),
R
f
(P) Pf (P)
f (P)1
f (P)
f
P (P)
f (P)(1),
知：
(1) 若 | |1 , 需求变动的幅度小于价格变动的幅度. R 0,
R递增. 即价格上涨, 总收益增加; 价格下跌, 总收益减少.
(2) 若 | |1, 需求变动的幅度大于价格变动的幅度.R 0 , R递减. 即价格上涨, 总收益减少; 价格下跌, 总收益增加.
于是总利润为：L R C0 (Q)
a ( b t)Q ( c)Q2
对其求导得，L b t 2( c)Q，
令L
0得驻点：Q0
bt， 2( c)
又L 2( c) 0
可见，驻点为最大值点。因此，企业为使税后利润最大，所生产的商品量为
bt Q0 2( c)
。于是所得总税收为：
边际成本函数为： C( x) x
50
所以在产量为100个水平上的边际成本
C(100) 100 2（元/个） 50
上述计算结果说明：生产前100个产品时，均摊在每个产品上的成本为10元，
在此水平上生产第101个产品，所需要增添的成本大约为2元
例 2 设某企业的产品的成本函数与收益函数分别为：
C(x) 1000 400x 1 x2 （元） 2
例8（讲义例8）一玩具经售商以下列成本及收益函数销售某种产品: C(x) 2.4x 0.0002x2, 0 x 6000 R(x) 7.2x 0.001x2, 0 x 6000
试问何时利润随产量增加(即增加产量可使利润增加)?
例9 某企业的成本函数为
，其中 C 0.5x 5000
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3 6.3分部积 分法
6.4几种特
4 殊类型函数 的积分、实 例
本章重要
5 概念英文 词汇
6 数学家简 介
第6章不定积分
习题六
07 第 7 章 定 积 分 PART ONE
A
7.1定积 分的概念
D
7.4定积 分的换元
积分法
第7章定积分
B
7.2定积 分的性质
E
7.5定积 分的分部
积分法
C
7.3微积 分基本公
第9章微分方程
本章重要概念英文词汇 数学家简介 习题九
PART ONE
10 第 1 0 章 无 穷 级 数
第10章无穷级 数
1 10.1常数 项级数
10.2数项
2 级数的收 敛性判别 法
3 10.3幂级 数
10.4函数
4 展开成幂 级数
10.5函数
5 的幂级数 展开式的 应用
本章重要
6 概念英文 词汇
1.3经济中常 用的函数
0 6
数学家简介
第1章函数与 Mathematica入门
习题一
PART ONE
02 第 2 章 极 限 与 连 续
第2章极限 与连续
0 1
2.1极限
0 4
2.4函数的连 续性
0 2
2.2极限的运 算法则
0 5
本章重要概念 英文词汇
0 3
2.3无穷小比 较
0 6
数学家简介
04 8 . 4 定 积分 在经济
问题中的应用举例
06 数 学 家 简 介
第8章定积分的应 用
习题八
PART ONE
09 第 9 章 微 分 方 程
第9章微分方程
9.1微分方程的基本概 念
9.3可降阶的高阶微分 方程
9.5差分方程简介
9.2一阶微分方程
9.4二阶常系数线性微 分方程
9.6微分方程在经济分 析中的应用举例
导第
数 应 用
章 中 值
定
理
与
4
0 1
4.1中值定理
0 4
4.4函数的最 大值和最小值
0 2
4.2导数的应 用
0 5
4.5函数的凹 凸性与拐点
0 3
4.3泰勒公式
0 6
4.6函数图形 的描绘
第4章中值定理与 导数应用
4.7曲率 本章重要概念英文词汇 数学家简介 习题四
PART ONE
第10章无穷级数
数学家简介 习题十
PART ONE
11 第 11 章 多 元 函 数 微 积 分
第11章多元函 数微积分
11.1空间解 析几何简介
11.6多元
01
11.2多元
函数的极 值 与 最 值 06
函数
02
11.5多元
05
复合函数
03
11.3偏导
的求导法
04
数
则 11.4全微分
第11章多元函数 微积分
微积分（经管类）（第 三版）(蔡光兴,李德宜)
演讲人
202X-11-11
PART ONE
01
第1章函数与Mathematica入门
门第
章 函 数 与
入
1 Mathematica
0 1
1.1集合
0 2
1.2函数
0 4
1.4Mathema
tica入门
0 5
本章重要概念
英文词汇
0 3
式
F
7.6定积 分的近似
计算
第7章定积分
7.7广义积分与Γ函数 本章重要概念英文词 汇 数学家简介 习题七
PART ONE
08 第 8 章 定 积 分 的 应 用
第8章定积 分的应用
01 8 . 1 平 面图 形的面
积
03 8 . 3 平 面曲 线的弧
长
05 本 章 重 要 概念英文
词汇
02 8 .2 体 积
第2章极限与连续
习题二
03 PART ONE 第 3 章 导 数 与 微 分
第3章导 数与微分
01 3 .1 导数概念 03 3 .3 微分 05 数学家简介
02 3 .2 求 导法 则和基本
初等函数导数公式
04 本 章 重 要 概念英文词
汇06Βιβλιοθήκη 习题三PART ONE04 第 4 章 中 值 定 理 与 导 数 应 用
11.7最小二乘法 11.8二重积分 本章重要概念英文词汇 数学家简介 习题十一
PART ONE
12 参 考 答 案
参考答案
PART ONE
13 附录Ⅰ微积分学简史
附录Ⅰ微积分学简 史
PART ONE
14 附 录 Ⅱ 积 分 表
附录Ⅱ积分表
感谢聆听
05 第 5 章 导 数 在 经 济 学 中 的 应 用
第5章导数在经济 学中的应用
5.1导数在经济分析中的应用 5.2函数极值在经济管理中的应用举 例 本章重要概念英文词汇 数学家简介 习题五
PART ONE
06 第 6 章 不 定 积 分
第6章不定积 分
6.1不定积
1 分的概念 和性质
2 6.2换元积 分法