量子力学考研2021量子力学导论考研真题解析

量子力学考研2021量子力学导论考研真题解析一、考研真题解析

0粒子在势场（，）中运动，试用不确定关系估计基态能量。[中国科学院2006研]

【解题思路】

利用不确定关系求解哈密顿量的最小值问题。

【解析】

根据不确定原理有

即

因为

所以只需要求解出的最小值就可以估计基态的能量。

令

由

得出

所以基态能量为

【知识储备】

若[F，G]＝0，则算符F和G有共同的本征函数系；其逆定理也成立。

对易算符的性质：在F和G的共同本征函数系中测量F和G，都有确定值。

若[F，G]≠0，则有不确定关系

或

经常使用的关系式

21设粒子所处的外场均匀但与时间有关，即，与坐标r无关，试将体系的含时薛定谔方程分离变量，求方程解的一般形式，并取，以一维情况为例说明V（t）的影响是什么。[中国科学院2006研]

【解题思路】

理解记忆含时薛定谔方程和定态薛定谔方程，以及分离变量法在求解薛定谔方程时的应用。

【解析】

根据含时薛定谔方程

令

带入可得

即

上式左边是关于时间t的函数，右边是关于坐标r的函数，因此令它们等于常数s，得

和

所以

对于

令

所以

因此

当

时，

相对于一维自由平面波函数，

使得波函数是自由平面波随时间做

改变的形式。

【知识储备】 薛定谔方程：

波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出

当U （r →

，t ）与t 无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y （r →

）满足定态薛定谔方程

此方程即是能量算符的本征方程。其中，整个定态波函数的形式为

一般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。

【拓展发散】

当粒子所处的外场与时间和位置坐标都有关，即，可以利用题解相同的方式去探索波函数的具体形式，并且和定态以及只与时间有关的两种情形相比较，得出在这些不同情况下相应的势场函数的具体形式变化对波函数的影响。22设U为幺正算符，若存在两个厄米算符A和B，使U＝A＋iB，试证：（1）A2＋B2＝1，且；

（2）进一步再证明U可以表示成，H为厄米算符。

[中国科学院2006研] 【解题思路】

理解厄米算符和幺正算符的定义和物理含义，并注意辨析它们之间的区别，不要混淆。

【解析】

（1）因为U为幺正算符，所以和，由可得

由可得

因此

（2）因为，所以算符A和算符B有共同的本征函数，即，。

因为

所以

即

所以

其中，。

【知识储备】

①幺正算符

S＋＝S－1

②厄米算符

23粒子在一维无限深方势阱中运动，受到微扰的作用，求第n个能级的一级近似，并分析所得结果的适用条件。[中国科学院2006研] 【解题思路】

对于在一维无限深方势阱中运动的粒子，可以通过定态薛定谔方程求解本征值和本征波函数，而在受到微扰后，可以直接利用定态非简并微扰理论求解修正的能量和波函数。

【解析】在一维无限深方势阱中运动的粒子受到的势能函数为

所以利用定态薛定谔方程可得对应的本征波函数和本征值分别为

当粒子受到微扰时，利用定态非简并微扰理可得一级修正为

相应的适用条件

所以

【知识储备】

①一维无限深方势阱

若势能满足

在阱内（|x|＜a），体系所满足的定态薛定谔方程是在阱外（|x|＞a），定态薛定谔方程是

体系的能量本征值

本征函数

②定态非简并微扰理论

微扰作用下的哈密顿量

H＝H0＋H′

第n个能级的近似表示

波函数的近似表示

适用条件

【拓展发散】

在同样的物理模型和情形下，改变微扰的具体形式，可以用同样方式求解修正的能量和波函数，如果微扰是含时微扰，则可以用含时微扰理论求解跃迁几率。

24粒子以能量E入射一维方势垒，，设能量，求透射系数T。[中国科学院2006研]

【解题思路】

对于已知势场具体表达式的情况，明显利用薛定谔方程求解本征波函数和本征值，在势垒存在时，根据透射系数和反射系数的定义式求解相应的结果。

【解析】对于入射一维方势垒的粒子，由定态薛定谔方程可得

当x＜0时，

令

得

当时，

令

得

当x＞a时，

令

得

由波函数在x＝0处的连续性可得

1＋B＝C1＋C2由波函数在x＝0处的导数连续性可得

由波函数在x＝a处的连续性可得

由波函数在x＝a处的导数连续性可得

整理可得

透射系数为

【知识储备】

①定态薛定谔方程

②方形势垒

在量子力学中，与经典物理显著不同的是，能量E大于U0的粒子有可能越过势垒，但也有可能被反射回来；而能量E小于U0的粒子有可能被势垒反射回来，但也有可能贯穿势垒而运动到势垒右边x＞a的区域中去。

当E＞U0，透射系数D表示贯穿到x＞a区域的粒子在单位时间内流过垂直于x 方向的单位面积的数目，与入射粒子（在x＜0区域）单位时间内流过垂直于x 方向的单位面积的数目之比。反射系数R表示反射波概率流密度与入射波概率流密度之比。有R＋D＝1，D和R都小于1。这说明入射粒子一部分贯穿势垒到x＞a区域，另一部分被势垒反射回去。

【拓展发散】对于粒子入射方势垒的物理模型，分别假设E＞V和E＜V的情形，对比两种情况得出的结果的异同点，并且和经典物理相比较，分析量子力学和经典物理在粒子入射方势垒的物理模型中所表现的差异，再对一些参量作极限考