第10章习题分析与解答

习

题 解 答

10-1 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，是摆线与竖直方向成一微小角度θ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时.若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为（ ） (A) 2π （B ）π/2 (C)0 (D)θ

解 由已知条件可知其初始时刻的位移正向最大。利用旋转矢量图可知，初相相位是0.故选C

10-2 如图所示，用余弦函数描述一简谐振动。已知振幅为A ，周期为T ，初相3

π

ϕ-=，则振动曲线为（ ）

解 由已知条件可知初始时刻振动的位移是2

3cos A

A y =⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=π，速

度是()A t A v ωϕωω2

3

sin =

+-=，方向是向y 轴正方向，则振动曲线上0=t 时刻的斜率是正值。故选A

习题 10-2 图

10-3 已知某简谐振动的振动曲线和旋转矢量图如附图（a ）、（b ）所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒，则此简谐振动的振动方程为（ ）

（A ）cm t x ⎪⎭

⎫

⎝⎛+=ππ3232

cos 2 （B ）cm t x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππ323

2

cos 2

（C)cm t x ⎪⎭

⎫

⎝⎛-=ππ3234cos 2 （D ）cm t x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ3234

cos 2

解 由振动图像可知，初始时刻质点的位移是2

A

-

，且向y 轴负方向运动，附图（b ）是其对应的旋转矢量图，由图可知，其初相位是

π32，振动曲线上给出了质点从2A -到A 的时间是s 1，其对应的相位从π3

2

变化到π2，所以它的角速度 1-s rad 3

2T 2⋅==

ππω 简谐振动的振动方程为

⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ323

4

cos 2t x

故选D

10-4 弹簧振子做简谐振动，已知此振子势能的最大值为100J,当振子处于最大位移的一半时其动能为（ ）

（A ）25J （B ）50J （C)75J （D)100J

解 物体做简谐运动时，振子势能的表达式是22

1kx E P =，其动能和势能都随时间做周期性变化，物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值；位移最大时，势能达到最大值22

1

kA E P =，动能为零，但其总机械能却保持不变.当振子处于最大位移的一半时其势能为

2

28

1)2(21'kA A k E p ==

,所以此时的动能是 J J J kA kA kA E k 754

3

10043218121222=⨯=⨯=-=

故选C

10-5 一质点作简谐振动，速度最大值Vm=0.05m/s ，振幅A=2cm.若令速度具有正最大值的那一时刻为t=0，则振动表达式为 。

解 速度的最大值105.0-⋅

==s m A v m ω,A =0.02m,所以

)(5.202

.005.01-⋅===

s rad A v m ω 振动的一般表达式)cos(ϕω+=t A x ，现在只有初相位没确定，速度具有正最大值时位于原点处，由旋转矢量法可知2

π

ϕ-=，振动的表达

式为m t y )2

5.2cos(02.0π

-=.

10-6 已知一个谐振子的振动曲线如图(a)、对应的旋转矢量图（b ）所示,求:a 、b 、c 、d 、e 各点状态的相位分别为 。

解 结合旋转矢量图附图(b),振动曲线上的a,b,c,d,e 对应旋

转矢量图上的e d c b a '''''、、、、,所以其相位分别是3

43

22

30π

πππ、、、、

10-7 一简谐振动的旋转矢量如图所示，振幅矢量长2cm,则

该简谐振动的初相为 ，振动方程为 。

习题 10-6 图

解 振动方程的一般表达式是)cos(ϕω+=t A x ,ϕ是指t = 0时对应的相位,也是初相位,由图可知t=0时的角度是4

π,所以该简谐振动的初相为

4π.角速度是ππθω===t t

t ,代入振动方程可得到)4

cos(02.0π

π+=t x (m).

10-8 质点的振动曲线如图所示。试求： （1）振动表达式 （2）点P 对应的相位

（3）到达点P 对应位置所需时间。

解 （1）根据振动曲线对应的旋转振幅矢量可知，初相03

π

ϕ=-，

从t=0到t=1s 时间内相位差为5()236

π

ππ

ϕ∆=

--=，所以角频率为56

t ϕπ

ω∆=

=∆ 可得振动表达式为5

0.06cos()6

3

y t m π

π=-

(2)P 点相对应的相位为0。

ω

(3)到达P 点所需时间为0()'3'0.456

t s π

ϕπω

--∆∆==

= 10-9 沿x 轴作简谐振动的小球，振幅A=0.04m ，速度的最大值

10.06m v m s -=⋅。若取速度为正的最大值时t=0。试求：

（1）振动频率； （2）加速度的最大值； （3）振动的表达式。

解 （1） 速度的最大值10.06m v A m s ω-==⋅，A=0.04m

10.06 1.50.04

m v rad s A ω-=

==⋅， 324Hz ωνππ

=

=。 （2）加速度的最大值220.09m a A m s ω-==⋅。

（3）速度为正的最大值时t=0，由旋转矢量法可知：

2

π

ϕ=-

振动的表达式为 30.04cos()2

2

y t m π

=-

10-10 一物体质量为0.25 kg ，在弹性力作用下作谐振动，弹簧

劲度系数为 25 N ・m －1，如果起始振动时具有势能和动能，求