人教A版高中数学必修教案：两条直线的平行与垂直
高中数学新人教版A版精品教案《两条直线平行与垂直的判定》
SRd R P S P210021=§ 点到直线的距离教学目标：1、理解点到直线距离公式的推导，并能熟练掌握点到直线距离公式；2、会用点到直线距离公式求解两条平行直线间的距离，并能掌握两条平行直线间的距离公式。
教学重难点：重点：点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式难点：点到直线距离公式、两条平行直线间的距离公式的理解与应用教学过程：一、 复习 两点间的距离公式：特别地：原点O （0，0）与任一点P （,的距离： 二、点到直线距离公式1、问：已知点P 00,0，直线:ABC=0，如何求点P 0到直线的距离？点P 0到直线的距离，是指从点P 0 到直线的垂线段P 0Q 的长度，其中Q 是垂足．2、点到直线距离公式注：（1）此公式的作用是求点到直线的距离； （2）此公式是在A 、B ≠0的前提下推导的；（3）如果A=0或B=0，此公式恰好也成立；（4）用此公式时直线要先化成一般式。
3、例题讲解：例1 求P 0（-1,2）到下列直线的距离： （1）2-10=0; 2 3=2解：（1）根据点到直线的距离公式得：22)()(121221y y x x P P -+-=22y x OP +=0022d A B +)1(33432-=-x y ）（52510121021)1(222==+-⨯+-⨯=d（2）因直线平行于轴（3）4、课堂练习：课本P106练习第1题5、拓展例2 ⑴已知点A （-2,3）到直线=a1的距离为2,求a 的值； （2）已知点A （-2,3）到直线= -a 的距离为2，求a 的值。
例 3 已知点A1，3,B3，1,C-1，0,求⊿ABC 的面积． 解：AB 边所在直线的方程为：即：-4=0点C （-1,0）到-4=0的距离6、知识小结1点到直线距离公式注意： 化为一般式． 512)3(4223)1(40234:),1(:223432=-+-⨯--⨯==--∴-=-d y x l x y l ：根据点到直线的距公式 3532)1(=--=d 2323,02822248422222122113201,11222222--=-=∴=++∴+=++∴+=+∴=++=++--=∴=+-∴+=a a a a a a a a a a a a a d y ax ax y 或）解：（ 13,21221320,2-==∴=-∴=-=-+-=∴=-+∴+-=a a a a a a d a y x a x y 或）（ 131313--=--x y 5252225114012122=⨯⨯==+-+-=∆ABC S h 因此：2200B A C By Ax d +++=2特殊情况三、两条平行直线间的距离：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长两平行线间的距离处处相等1、例4 求平行线2-78=0与2-7-6=0的距离。
高中数学人教A版必修2教案：2.2 两条直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定【教学目标】1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.2.通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.【重点难点】教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直.教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）.【课时安排】1课时【教学过程】导入新课设问（1)平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种？(2)两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？(3)“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？根据倾斜角和斜率的关系,能否利用斜率来判定两条直线平行呢?推进新课新知探究提出问题①平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？②两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？③“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？④两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？⑤l1∥l2时，k1与k2满足什么关系？⑥l1⊥l2时，k1与k2满足什么关系？活动:①教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.②数形结合容易得出结论.③注意到倾斜角是90°的直线没有斜率,即tan90°不存在.④注意到倾斜角是90°的直线没有斜率.⑤必要性：如果l1∥l2，如图1所示，它们的倾斜角相等,即α1=α2，tanα1=tanα2,即k1=k2.图1充分性：如果k1=k2,即tanα1=tanα2,∵0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，∴α1=α2.于是l1∥l2.⑥学生讨论，采取类比方法得出两条直线垂直的充要条件.讨论结果：①平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.②两条直线的倾斜角相等，这两条直线平行，反过来成立.③“α=β”是“tanα=tanβ”的充要条件.④两条直线的斜率相等，这两条直线平行，反过来成立.⑤l1∥l2k1=k2.⑥l1⊥l2k1k2=-1.应用示例例1已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，１），Q（－1，2），判断直线BA与PＱ的位置关系，并证明你的结论.解:直线BA的斜率k BA==0.5,直线PQ的斜率k PQ==0.5,因为k BA=k PQ.所以直线BA∥PQ.变式训练若A(-2,3),B(3,-2),C(,m)三点共线，则m的值为( )A. B.- C.-2 D.2分析：k AB=k BC,,m=.答案：A例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（2，-1），C(4,2),D(2,3),试判断四边形AB CD的形状，并给出证明.解：AB边所在直线的斜率k AB=-,CD边所在直线的斜率k CD=-,BC边所在直线的斜率k BC=,DA边所在直线的斜率k DA=.因为k AB=k CD,k BC=k DA,所以AB∥CD,BC∥DA.因此四边形ABCD是平行四边形.变式训练直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率依次分别为α1，α2，k1，k2. （1）a=_____________时，α1=150°；（2）a=_____________时，l2⊥x轴；（3）a=_____________时，l1∥l2；（4）a=_____________时，l1、l2重合；（5）a=_____________时，l1⊥l2.答案：（1）（2）2 （3）3 （4）-1 （5）1.5拓展提升问题：已知P（－3，2），Q（3，4）及直线ax+y+3=0.若此直线分别与PQ的延长线、QP的延长线相交，试分别求出a的取值范围.（图2）图2解：直线l：ax+y+3=0是过定点A（0，-3）的直线系，斜率为参变数-a，易知PQ、AQ、AP、l 的斜率分别为：k PQ=，k AQ=，k AP=，k1=-a.若l与PQ延长线相交，由图,可知k PQ＜k1＜k AQ，解得-＜a＜-；若l与PQ相交，则k1＞k AQ或k1＜k AP，解得a＜-或a＞；若l与QP的延长线相交，则k PQ＞k1＞k AP，解得-＜a＜.课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.2.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.3.注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.4.认识事物之间的相互联系，用联系的观点看问题.作业习题3.1 A组4、5.。
河北省武邑中学数学(人教A)必修2教案 两条直线的平行与垂直
河北武邑中学课堂教学设计教 学 设 计若1l ∥2l (图3.1—7)，则1l 与2l 它们的倾斜角相等： 12αα=．12αα=，12tg tg αα∴=，即12k k =． 反过来，若两条直线的斜率相等:即12k k =，则12tg tg αα=．由于10180α︒︒≤<， 20180α︒︒≤< ，12αα∴=．又∵两条直线不重合，1l ∴∥2l ．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即1l ∥212l k k ⇔=.注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果12k k =, 那么一定有1l ∥2l ; 反之则不一定.用斜率证明三点共线时，就需要用到这个结论.例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA 与PQ 的位置关系, 并证明你的结论.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA ∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)解: 直线BA 的斜率13012(4)2k -==--,直线PQ 的斜率22111(3)2k -==---,因为 120.5k k ==, 所以 直线BA ∥PQ.河北武邑中学课堂教学设计教学设计教学内容教学环节与活动设计例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.设两条直线1l和2l的倾斜角分别是1α和2α（12,90αα︒≠）.若12l l⊥，这时12αα≠，否则两直线平行．设12αα>(图1-30)，甲图的特征是1l与2l的交点在x轴上方；乙图的特征是1l与2l的交点在x轴下方；丙图的特征是1l与2l的交点在x轴上，无论哪种情况下都有1290αα︒=+．因为1l、2l的斜率分别是1k、2k，即190α︒≠，所以2α︒≠．由1221(90)tg tgtgααα︒=+=-，得121kk=-或121k k=-．河北武邑中学课堂教学设计教教学内容教学环节与活动设计。
人教版高中数学必修二教案：3.1.2+两条直线平行与垂直的判定
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定一、教学目标1、知识与技能：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直。
2、过程与方法：通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力。
3、情感态度与价值观：通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点：重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用。
难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题。
关键：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况，在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题。
三、教学过程（一）两条直线平行的条件思考：设两条直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，当l 1 // l 2时，k 1与k 2满足什么关系？探究：21212121tan tan //k k l l =⇔=⇔=⇔αααα。
结论：两条不重合的直线2121//k k l l =⇔（斜率存在）。
应用举例：例1、已知A (2，3)，B (- 4，0)，P (- 3，1)，Q (– 1，2)，试判断直线BA 与PQ 的位置关系，并证明你的结论。
分析：作出图像如下，猜想BA // PQ ：由斜率公式可得：21==PQ BA k k ，所以直线BA // PQ 。
例2、已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A (0，0)，B (2，– 1)， C (4，2)，D (2，3)，试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明。
分析：在直角坐标系作出图形如下，猜想四边形ABCD 为平行四边形：21-==CD BA k k ，所以AB // CD ； 23==AD BC k k ，所以BC // AD ；所以四边形ABCD 为平行四边形。
追问：四边形ABCD 是否为矩形？如何判断直线AB 与BC 垂直？（向量的数量积） 由此，欲判断ABCD 为平行四边形，可以由DC AB =得到。
高中数学 3.1.2两条直线平行与垂直的判定教案 新人教A版必修2 教案
两条直线平行与垂直的判定【教学目标】（1）掌握直线与直线的位置关系。
（2）掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法。
【教学重点难点】教学重点难点：两条直线的平行与垂直的判定方法又是教学难点。
【教学过程】一、引入：问题1：平面内两条直线的位置关系问题2：两条直线的平行和直线的倾斜角和斜率之间的关系二、新课问题探究1：（1）、如何判定两条不重合直线的平行？（2）、当两条直线斜率不存在，位置关系如何？（3）、直线l 1和直线l 2的斜率k 1=k 2，两条直线可能重合的情况下：两条直线位置关系怎样？ 总结归纳直线与直线平行的判定方法例题1（课本87页的例题3）解答过程见课本变式：判断下列各小题中的直线1l 与2l 是否平行。
（1）1l 经过点A （-1，-2）,B(2,1),2l 经过点M （3，4），N （-1，-1）答案：不平行（2）1l 经过点A （0，1）,B(1,0),2l 经过点M （-1，3），N （2，0）答案：平行例题2（课本87页的例题4）解答过程见课本变式：判断下列各小题中的直线1l 与2l 是否垂直。
（1）1l 经过点A （-1，-2）,B(1,2),2l 经过点M （-2，-1），N （2，1）答案：不垂直（2）1l 经过点A （3，4）,B(3,100),2l 经过点M （-10，40），N （10，40）答案：垂直问题探究2（1）、如何利用直线的斜率判定两条直线的垂直？（2）、两条垂直的直线斜率有怎样的关系？总结直线与直线垂直的判定方法：例题3（课本87页的例题5）解答过程见课本变式：已知点A （-2，-5），B （6，6），点P 在x 轴上，且︒=∠90APB ，试求点P 的坐标。
分析：利用两直线的条件建立点p 的坐标满足的方程与关系式。
答案;P 的坐标为（0，-6）或（0，7）。
过程略例题4（课本87页的例题6）解答过程见课本变式：已知定点A （-1，3），B （4，2），以A 、B 为直径的端点，作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标。
人教版高中数学必修2教案课题：两条直线的平行与垂直
课题：两条直线的平行与垂直课型：新授课教学目标：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.教学重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．教学难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．教学过程：(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系) ∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．，可以推出: α1=90°+α2． L1⊥L2．结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.例题分析：例1已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,因为 k1=k2=0.5, 所以直线BA∥PQ.例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.例3．已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.例4.已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略) 课堂练习P89 练习 1. 2.归纳小结：(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.(3)应用直线平行的条件, 判定三点共线. 作业布置：P89-90 习题3.1：A组 5. 8；课后记:。
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 教案(人教A版必修2)
3.1.2两条直线平行与垂直的判定●三维目标1．知识与技能(1)让学生掌握直线与直线的位置关系．(2)让学生掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法．2．过程与方法(1)利用“两直线平行，倾斜角相等”这一性质，推出两直线平行的判定方法．(2)利用两直线垂直时倾斜角的关系，得到两直线垂直的判定方法．3．情感、态度与价值观(1)通过本节课的学习让学生感受几何与代数有着密切的联系，对解析几何有了感性的认识．(2)通过这节课的学习，培养学生用“联系”的观点看问题，提高学习数学的兴趣．(3)通过课堂上的启发教学，培养学生勇于探索、创新的精神．●重点难点重点：根据直线的斜率判定两条直线平行与垂直．难点：两条直线垂直判定条件的探究与证明．重难点突破：以初中学习的平面内两直线平行和垂直关系为切入点，利用数形结合的思想，导出直线倾斜角间的关系，再通过直线的倾斜角同斜率的关系，猜想得出两条直线平行和垂直判定的方式．为了更好的理解两直线垂直的条件，老师可利用几何画板直观演示，验证当两条直线的斜率之积为－1时，它们是相互垂直的即可．【课前自主导学】【问题导思】Array 1．如图，若直线l1∥l2，则其倾斜角α1与α2有什么关系？为什么？反之呢？【提示】α1＝α2，因为两直线平行，同位角相等．反之不成立，当α1＝α2时，直线l 1与l 2可能平行或重合． 2．若直线l 1∥l 2，则其斜率k 1＝k 2.这种说法对吗？【提示】 不对，只有在直线l 1与l 2都存在斜率时，由l 1∥l 2可以得出 k 1＝k 2，如图当直线l 1与l 2都与x 轴垂直时，虽然l 1∥l 2但斜率都不存在． 两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1，l 2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k 1，k 2.则对应关系如下：【问题导思】 1．如图，直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，若l 1⊥l 2， 则α1与α2之间存在什么关系？ 【提示】 α2＝α1＋90°.2．当直线l 1的倾斜角为0°时，若直线l 1⊥l 2，则l 2的斜率应满足什么条件？ 【提示】 直线l 2的斜率不存在，如图，当直线l 1的倾斜角为0°时，若l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为90°，其斜率不存在．两条直线垂直与斜率的关系【课堂互动探究】判断下列各组中的直线l 1与l 2是否平行：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (2,1)，l 2经过点M (3,4)，N (－1，－1)；(2)l 1的斜率为1，l 2经过点A (1,1)，B (2,2)；(3)l 1经过点A (0,1)，B (1,0)，l 2经过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点M (5，－2)，N (5,5)． 【思路探究】 依据两条直线平行的条件逐一判断便可． 【自主解答】 (1)k 1＝1－ －2 2－ －1 ＝1，k 2＝－1－4－1－3＝54，k 1≠k 2，l 1与l 2不平行．(2)k 1＝1，k 2＝2－12－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－ －1＝－1，k 1＝k 2， 而k MA ＝3－1－1－0＝－2≠－1，∴l 1∥l 2.(4)l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.判断两直线平行，要“三看”：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜率是否相等；若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，若不重合则两直线平行．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)，(x,6)，且l 1∥l 2，则x ＝________. 【解析】 ∵直线l 1的斜率不存在，且l 1∥l 2，∴l 2的斜率也不存在． ∴点(2,1)及(x,6)的横坐标相同，∴x ＝2. 【答案】 2判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)．【思路探究】 求出斜率，利用l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1或一条直线斜率为0，另一条斜率不存在来判断．【自主解答】 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－ －2 1－ －1 ＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－ －1 2－ －2 ＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴．直线l 2的斜率k 2＝40－4010－ －10＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．已知三角形三个顶点的坐标为A (4,2)，B (1，－2)，C (－2,4)，则BC 边上的高的斜率为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12【解析】 BC 边上的高所在的直线与BC 边所在的直线垂直而k BC ＝4＋2－2－1＝－2，所以BC 边上的高的斜率k ＝－1k BC＝12.【答案】 C已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A 、B 、C 、D 四点，试判定图形ABCD 的形状．【思路探究】 先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．【自主解答】 A 、B 、C 、D 四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得 kAB ＝5－32－ －4 ＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－ －4 ＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.∴k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，∴AB ∥CD .由k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行．又k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD . 故四边形ABCD 为直角梯形．1．利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤2．证明两直线平行时，仅k 1＝k 2是不够的，注意排除重合的情况． 3．判断多边形形状问题要进行到底，也就是要得到最具体的多边形．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，且有一点D 满足CD ⊥AB ，CB ∥AD ，则D 点的坐标为( )A ．(－1,0)B ．(0，－1)C ．(1,0)D ．(0,1)【解析】 设D (x ，y )，则k CD ＝y －0x －3＝yx －3，k AD ＝y ＋1x －1， 又k AB ＝2＋12－1＝3，k CB ＝2－02－3＝－2，CD ⊥AB ，CB ∥AD ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k CD ·k AB ＝y x －3·3＝－1 k CB ＝k AD ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3y ＝3－xy ＋1x －1＝－2，∴{ x ＋3y ＝3， 2x ＋y ＝1.∴{ x ＝0 y ＝1，即D (0,1)． 【答案】 D 【思想方法技巧】分类讨论思想在直线平行与垂直中的应用(12分)已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，a ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值．【思路点拨】 (1)x C ≠x D 斜率存在,l 1∥l 2→k 1＝k 2→a 的值 (2)l 1⊥l 2→分情况讨论→求a 的值 【规范解答】 设直线l 2的斜率为k 2，则k 2＝2－ a ＋2 1－ －2＝－a3.2分(1)若l 1∥l 2，设直线l 的斜率为k 1，则k 1＝－a3. 又k 1＝2－a a －4，则2－a a －4＝－a3，∴a ＝1或a ＝6. 4分经检验，当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2.(2)若l 1⊥l 2，①当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－12，不符合题意.8分 ②当k 2≠0时，l 2的斜率存在，此时k 1＝2－aa －4. ∴由k 2k 1＝－1，可得a ＝3或a ＝－4.所以，当a ＝3或a ＝－4时，l 1⊥l 2. 12分 【思维启迪】1．由l 1∥l 2比较k 1，k 2时,应首先考虑斜率是否存在，当k 1＝k 2时，还应排除两直线重合的情况． 2．由l 1⊥l 2比较k 1，k 2时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0的情况． 3．在l 1∥l 2及l 1⊥l 2相关问题的处理中，树立分类讨论的意识． 【课堂小结】1．两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的条件下得出的，即在此条件下有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则两直线也平行．2．两条直线垂直的条件也是在两条直线的斜率都存在的条件下得出的，即在此条件下有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；若一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率等于0，则两条直线也垂直．3．在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想． 【当堂达标检测】1．下列说法中正确的是( )A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等C ．垂直的两直线的斜率之积为－1D ．只有斜率相等的两条直线才一定平行【解析】 A 不正确，平行的两条直线可能斜率都不存在；B 正确；C 不正确，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，它们也垂直；D 不正确，斜率都不存在的两条直线也平行．【答案】 B2．已知直线l 1的斜率k 1＝－85，直线l 2的斜率k 2＝58，则l 1与l 2的位置关系为( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．无法确定 【解析】 ∵k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2. 【答案】 C3．直线l 1的斜率为2，直线l 2上有三点M (3,5)，N (x,7)，P (－1，y )，若l 1⊥l 2，则x ＝________，y ＝________.【解析】 ∵l 1⊥l 2，且l 1的斜率为2，则l 2的斜率为－12，∴7－5x －3＝y －5－1－3＝－12，∴x ＝－1，y ＝7. 【答案】 －1 74．(1)已知直线l 1经过点M (－3,0)，N (－15，－6)，l 2经过点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，32，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，试判断l 1与l 2是否平行．(2)l 1的倾斜角为45°，l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，－6)，问l 1与l 2是否垂直？ 【解】 (1)∵k MN ＝0－ －6 －3－ －15 ＝12，k RS ＝52－320－ －2 ＝12，∴l 1∥l 2.(2)∵k 1＝tan 45°＝1，k 2＝－6－ －13－ －2 ＝－1，∴k 1·k 2＝－1.∴l 1⊥l 2.【课后知能检测】 一、选择题1．下列说法正确的有( )①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】 当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确，故选A.【答案】 A2．(2014·昆明高一检测)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)【解析】 ∵k 1＝2，l 1∥l 2，∴k 2＝2，设P (0，y )则k 2＝y －10＋1＝y －1＝2，∴y ＝3，即：P (0,3)．【答案】 D3．若直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，且l 1⊥l 2，则( ) A ．α1－α2＝90° B ．α2－α1＝90° C ．|α1－α2|＝90° D ．α1＋α2＝180° 【解析】 如图所示．由图(1)可知α1＝α2＋90°，由图(2)可知α2＝α1＋90°，∴|α1－α2|＝90°. 【答案】 C4．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A.1a B ．aC ．－1aD ．－1a 或不存在【解析】 当a ≠0时，直线l 2的斜率k 2为－1a ；当a ＝0时，直线l 2的斜率不存在． 【答案】 D5．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形 【解析】 k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角． 【答案】 C 二、填空题6．(2014·南京高一检测)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)，则两直线l 1与l 2的位置关系是________．【解析】 由题意知，k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－23－3－2－1＝3，k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合．【答案】 平行或重合7．经过点M (m,3)和N (2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________． 【解析】 由题意知，直线MN 的斜率存在，∵MN ⊥l ，∴k MN ＝m －32－m ＝14，解得m ＝145.【答案】 1458．已知平行四边形ABCD 中，A (1,1)，B (－2,3)，C (0，－4)，则点D 的坐标为________．【解析】 设D (x ，y )，由题意可知，AB ∥CD 且AD ∥BC . ∴k AB ＝k CD 且k AD ＝k BC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－1－2－1＝y ＋4x ， －4－30＋2＝y －1x －1，解得{ x ＝3， y ＝－6，∴D 点的坐标为(3，－6)． 【答案】 (3，－6)三、解答题9．如图所示，在▱OABC 中，O 为坐标原点，点C (1，3)． (1)求OC 所在直线的斜率．(2)过C 作CD ⊥AB 于D ，求直线CD 的斜率．【解】 (1)∵点O (0,0)，C (1,3)，∴OC 所在直线的斜率k OC ＝3－01－0＝3. (2)在▱OABC 中，AB ∥OC ，∵CD ⊥AB ，∴CD ⊥OC ，∴k OC ·k CD ＝－1，k CD ＝－1k OC ＝－13.故直线CD 的斜率为－13.10．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次是O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t ∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR 的形状，并给出证明．【解】 OP 边所在直线的斜率k OP ＝t ， QR 边所在直线的斜率k QR ＝t ＋2 －21－2t － －2t＝t ，OR 边所在直线的斜率k OR ＝－1t .PQ 边所在直线的斜率k PQ ＝ 2＋t －t 1－2t －1＝－1t ，∵k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，∴OP ∥QR ，OR ∥PQ ，∴四边形OPQR 是平行四边形． 又k QR ·k OR ＝t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t ＝－1，∴QR ⊥OR .∴四边形OPQR 是矩形． 11．已知A (0,3)，B (－1,0)，C (3,0)，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形(A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列)．【解】 设所求点D 的坐标为(x ，y )，如图．由于直线AB 的斜率k AB ＝3，直线BC 的斜率k BC ＝0，则k AB ·k BC ＝0≠－1， 即AB 与BC 不垂直．故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边． (1)若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD .∵k BC ＝0，∴CD 的斜率不存在．从而有x ＝3.又∵直线AD 的斜率k AD ＝k BC ，∴y －3x ＝0，即y ＝3.此时AB 与CD 不平行．故所求点D 的坐标为(3,3)， (2)若AD 是直角梯形的直角边，则AD ⊥AB ，AD ⊥CD .∵k AD ＝y －3x ，直线CD 的斜率k CD ＝yx －3，又由于AD ⊥AB ，∴y －3x ·3＝－1.①又∵AB ∥CD ，∴yx －3＝3.② 由①②可得⎩⎨⎧x ＝185， y ＝95.此时AD 与BC 不平行．综上可知，使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，95.。
人教A版高中数学必修教案两条直线的平行与垂直
两条直线的平行与垂直(3.1.2)教学目标(一)知识教学理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.(二)能力训练通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．(三)学科渗透通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．教学过程(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直设直线L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)∴tgα1=tgα2．即k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．，可以推出: α1=90°+α2．L1⊥L2．结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,钝角等).例题例1已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,因为k1=k2=0.5, 所以直线BA∥PQ.例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)解同上.例3已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,因为k1·k2 = -1 所以AB⊥PQ.例4已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)课堂练习P94 练习 1. 2.课后小结(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.布置作业P94 习题3.1 5. 8.板书设计。
新教材人教A版选择性必修第一册 2.1.2两条直线平行和垂直的判定 教案
第二章 直线和圆的方程 2.1.2两条直线平行和垂直的判定教学设计一、教学目标1.能根据直线的斜率判定两条直线平行或垂直.2.理解两条直线平行或垂直的判断条件. 二、教学重难点 1、教学重点根据斜率判断两条直线平行或垂直. 2、教学难点根据斜率判断两条直线两条直线相互垂直. 三、教学过程 1、新课导入为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于x 轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题、下面，我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系. 2、探索新知我们知道，平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行.当两条直线1l 与直线2l 平行时，它们的斜率1k 与2k 满足什么关系？如图，若12l l ，则1l 与2l 的倾斜角1α与2α相等，由12αα=，可得12tan tan αα=，即12k k =.因此，若12l l ，则12k k =.反之，当12k k =时，12tan tan αα=，由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，12αα=，因此12l l .于是，对于斜率分别为1k ，2k 的两条直线1l ，2l 有1212l l k k ⇔= 显然，当1290αα==︒时，直线的斜率不存在，此时12l l .若直线1l ，2l 重合，此时仍然有12k k =.用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论. 显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形.当直线1l ，2l 垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？设两条直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则直线1l ，2l 的方向向量分别是1(1)k =a ，，2(1)k =b ，，于是12120110l l k k ⊥⇔⊥⇔=⇔⨯+=a b a b ，即121k k =-.也就是说，12121l l k k ⊥⇔=-.当直线1l 或2l 的倾斜角为90°时，若12l l ⊥，则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然. 由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直即12121l l k k ⊥⇔=-. 3、课堂练习1.下列说法中正确的有( )①若两条直线斜率相等，则两直线平行； ②若12l l ，则12l l k k =；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：A解析：若两条直线斜率相等，则两直线平行或重合，①错误；若12l l ，则12l l k k =或两直线的斜率都不存在，②错误；易知③正确；若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行或重合，④错误.故选A.2.已知直线1l 的倾斜角为30°，且直线12l l ⊥，则直线2l 的斜率为( )A. C.答案：C解析：由题意可得直线1l 由直线12l l ⊥，得直线2l 的斜率为3.已知直线1l ，2l 的斜率1k ，2k 是关于k 的方程2230k k b --=的两根，若12l l ⊥，则b =_______；若12l l ，则b =______.答案：2；98-解析：若12l l ⊥，则121k k ⋅=-，即12b-=-，2b ∴=；若12l l ，则12k k =，2(3)42()0b ∴∆=--⨯-=，98b ∴=-.4.已知两条直线的斜率分别为21b 和21b a--，若这两条直线互相平行，则实数a 的最大值为_____.解析：因为两条直线互相平行，所以2211b b a -=-，所以2422111244a b b b ⎛⎫=-+=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当212b =时取等号，故实数a 的最大值为14. 4、小结作业小结：本节课学习了根据直线的斜率判定两条直线平行或垂直. 作业：完成本节课课后习题. 四、板书设计2.1.2两条直线平行和垂直的判定一、两条直线平行的判定斜率分别为1k ，2k 的两条直线1l ，2l 有1212l l k k ⇔=二、两条直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直即12121l l k k ⊥⇔=-.。
最新人教版高中数学必修2第三章《两条直线平行与垂直的判定》教案1
《两条直线平行与垂直的判定》教案教学目标1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两条直线是否平行或垂直；2．通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生正确运用知识解决新问题的能力，以及数形结合能力；3．通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.教学重点难点1．重点：两条直线平行和垂直的条件.2．难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.教法与学法1．教法选择：尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.2．学法指导：通过对直观教具的观察，教会学生观察——猜想——证明的学习方法，让学生进一步了解反证法的实质及“转化”的数学思想方法，在教学中培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，并在教学中逐步提高学生论证问题的能力.教学过程一、设置情境，激发学生的探索兴趣探索新知归纳结论1.两条直线平行的判定设两条直线1l与2l的斜率分别为1k与2k.问题1、（提问）当1l//2l时，1k//2k满足怎样的关系？给学生约30秒的时间思考、整理，请学生表述推导过程，教师板演.归纳：1l//2l⇒1k=2k问题2、当1k=2k时，两条直线1l与2l有怎样的位置关系？学生通过思考，很快得出直线1l//2l，但要明确其中的原理势必受到三角函数基础知识的限制，教师可给予适当的讲解.归纳：1k=2k⇒1l//2l问题3、由上面我们能得到什么样的结论.结论：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即1l//2l⇔1k=2k问题4、（提问）若直线1l的斜率不存在，则直线2l的斜率为多少时？直线1l和2l：（1）平行；（2）垂直.给学生约30秒的时间思考，请一位学生口述答案，教师在黑板上画出相应结论的图像.归纳（一般情况）：问题5、（提问）若直线1l与2l的斜率相等，则1l与2l一定平行吗？用已有知识解决新问题的能力；培养学生自主探究问题的习惯；让学生体验探究两条直线斜率与直线的位置关系的过程，更好的理解两直线平行的条件识符合从具体到抽象，从特殊到一律，并且培养学生的数形结合的数学思想给学生约30秒的时间思考，请一位学生口述答案，教师出示结果.（此结论是利用斜率证明三点共线的）2. 两条直线垂直的判定问题1、当1l ⊥2l 时，它们的斜率k 1与k 2有何关系？ 教师引导学生，由特殊到一般进行归纳，如举例(1)直线1l ⊥2l 且1l 的倾斜角为300，2l 的倾斜角为1200，k 1与k 2的关系.(2)直线1l ⊥2l 且1l 的倾斜角为600，2l 的倾斜角为1500，k 1与k 2的关系121k k ⋅=-由学生自主探究，得出121k k ⋅=-.猜想：任意两条直线垂直时121k k ⋅=-.教师利用几何画板直观演示任意两条相互垂直时直线斜率之积为-1，验证猜想的可靠性.提出问题：我们能否证明上述结论呢？该结论的证明过程涉及到三角函数的相关知识，学生无法完成.教师通过分析、讲解，完成证明过程.归纳：1l ⊥2121l k k ⇒⋅=-问题2．反之，当121k k ⋅=-时，直线1l 与2l 有怎样的位置关系？学生思考后得出1l 与2l 是垂直的.由于结论的证明涉及三角函数的相关知识，完成证明很困难，老师利用几何画板直观演示，验证两条直线的斜率之积为-1，它们是相互垂直的即可.归纳：12121k k l l ⋅=-⇒⊥ 两条直线垂直的判定：如果两条直线有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即12121k k l l ⋅=-⇔⊥.用新知独立解决数学问题的能力题，为下一环节做好铺垫二、变式演练，提高能力三、归纳小结，课堂延展1.教材地位分析：直线与方程是平面解析几何初步的基础知识，主要内容是用坐标法研究平面上最基本、最简单的几何图形——直线.学习本章，既能为进一步学习解析几何的圆、圆锥曲线、线性规划、以及导数、微分等做好知识上的必要准备，又能为今后灵活运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.本节核心内容是两条直线平行与垂直的判定，它既是直线斜率概念的深化和简单应用，也是后续内容学习的重要基础.2．学生现实状况分析：在初中数学中，学生已学习过两条直线平行与垂直的判定，而且是在学生学习了直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系.对两条直线平行与垂直的几何判断方法并不陌生，并且具备了一些初步推理能力.但用两条直线的斜率判定两条直线平行与垂直，是用代数方法研究几何问题，学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯.学生还需具备三角函数的有关知识，但此前学生并没有这方面的知识储备.尤其是对诱导公式tan(90)tan αα︒+=-的认识是有一定困难的，因而要导出两条直线垂直的斜率条件，学生会感到困难.3.在教学中，学生在自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式下，师生之间、学生之间进行愉快而有效的多边互动.通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.。
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两条直线的平行与垂直(3.1.2)
教学目标
(一)知识教学
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
(二)能力训练
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．
(三)学科渗透
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．
重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．
难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．
注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．
教学过程
(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直
上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．
讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．
(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直
设直线L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?
首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)
∴tgα1=tgα2．
即k1=k2．
反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．
由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，
∴α1=α2．
又∵两条直线不重合，
∴L1∥L2．
结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它
们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在
．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.
下面我们研究两条直线垂直的情形．
如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．
设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有
α1=90°+α2．
因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．
，
可以推出: α1=90°+α2．L1⊥L2．
结论: 两条直线都有斜率
．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.
(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,钝角等).
例题
例1已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)
解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,
直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,
因为k1=k2=0.5, 所以直线BA∥PQ.
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)
解同上.
例3已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.
解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,
直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,
因为k1·k2 = -1 所以AB⊥PQ.
例4已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)
课堂练习
P94 练习 1. 2.
课后小结
(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.
(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.
布置作业
P94 习题3.1 5. 8.
板书设计。