图论+网络优化
图论与网络优化-刘彬农庆琴
图与网 2 络基本
概念
连通性？
图的连通度、边连通度、块的概念 络进行建模的实
2 与基本性质
际问题 (包括工
图的搜索与连通性判定算法
件排序问题)
最短路 (SP)？
2
最短路问题、Dijkstra 算法和 Floyd 用数学软件求解
算法
最短路问题
3
树
什么是树 (Tree)？
最小支撑树 (MCST)？
2 树的定义与基本性质、割边、割点 1.MCST 其他算 法；
2. 主要参考书： [1] 图论与网络流理论，高随祥，高等教育出版社，2009.01. [2] Introduction to Graph Theory (Second Edition), Douglas B. West, Prentice Hall,
2001.（中译本：图论导引，李建中、骆吉周译，机械工业出版社，2006）
图论与网络优化以图和网络为研究对象，通过对事物间的联系、相互影响进行网 络建模，对网络结构以及建立在网络结构上行为决策进行研究。本课程主要介绍图论 与网络优化的基本概念、重要理论和算法以及理论的应用，主要包括以下三部分内容：
1）图的概念与结构：树、连通度、Euler 环游与 Hamilton 圈、匹配、独立集与团、 平面图染色等；
-2-
四、教材与主要参考书
1. 教材： [1] Graph theory with applications, J.A. Bondy and U.S.R. Murty, The Macmillan Press
Ltd, New York, 1976.（中译本：图论及其应用，科学出版社，1984） [2] 运筹学（第 4 版），运筹学教材编写组，清华大学出版社，2012.09。
图论在通信网络优化中的应用
图论在通信网络优化中的应用概述通信网络是现代社会中不可或缺的一部分，而图论作为一门数学分支，通过研究图结构和图算法，可以在通信网络中发挥重要作用。
图论中的许多概念和算法具有很强的应用性，可以帮助优化通信网络的性能和效率。
本文将从几个方面探讨图论在通信网络优化中的应用。
一、最短路径算法最短路径算法是图论中最基本且最常用的一类算法。
在通信网络中，最短路径算法可以用来确定两个节点之间传输数据的最佳路径。
例如，在一个路由器网络中，通过使用最短路径算法，可以确定将数据从源节点传输到目标节点所经过的最短路径。
常用的最短路径算法包括迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法，它们可以根据节点之间的距离或权重找到最佳路径。
通过使用最短路径算法，通信网络可以更快地传输数据，提高网络的可靠性和效率。
二、最小生成树算法最小生成树算法是图论中另一个常用的优化算法。
在通信网络中，最小生成树算法可以用来构建具有最少成本的网络拓扑结构。
例如，在一个局域网中，通过使用最小生成树算法，可以确定连接各个节点的最优链路，从而减少网络的延迟和传输成本。
常用的最小生成树算法有普林斯顿算法和克鲁斯卡尔算法，它们可以根据节点之间的关系找到最小生成树。
通过构建最优的网络拓扑结构，通信网络可以更高效地传输数据，并提高网络的可靠性。
三、最大流算法最大流算法是图论中用于优化网络流量的重要算法。
在通信网络中，最大流算法可以帮助确定网络中数据的最大传输量。
例如，在一个传感器网络中，通过使用最大流算法，可以确定从源节点到目标节点传输数据的最大流量，从而提高数据传输的效率。
常用的最大流算法有福特-福尔克森算法和迷雾和舍伍德算法，它们通过在网络中找到可行流和增广路径来确定最大流量。
通过优化网络流量，通信网络可以更快地传输数据，并提高网络的吞吐量和效率。
四、图染色算法图染色算法是图论中用于解决资源分配问题的一类算法。
在通信网络中，图染色算法可以帮助确定节点之间的最佳资源分配方案。
图与网络优化决策的图论方法
图与网络优化决策的图论方法
图论方法在网络优化决策中起着非常重要的作用。
具体来说，图论方法可以用来表示和分析网络中的各种关系和结构，从而帮助优化决策。
以下列举了一些常见的图论方法在网络优化决策中的应用：
1. 最短路径算法：最短路径算法可以找到网络中两个节点之间的最短路径，从而帮助决策者选择最佳的路径来达到特定的目标。
2. 最小生成树算法：最小生成树算法可以找到一个网络中连接所有节点的最小成本的子图，从而帮助决策者选择最佳的连接方式来降低总体成本。
3. 最大流最小割算法：最大流最小割算法可以找到网络中的最大流量和最小割集，从而帮助决策者优化网络中的流量分配和资源利用。
4. 贪心算法：贪心算法是一种启发式算法，可以通过每次选择最优的局部决策来逐步优化整体决策。
在网络优化决策中，贪心算法可以用来选择最优的节点或边的顺序以达到最佳目标。
5. 随机图算法：随机图算法可以通过随机生成图形来模拟和分析网络中的不确定性和风险因素。
这可以帮助决策者对各种可能情况做出更合理的决策。
总之，图论方法在网络优化决策中可以提供对网络结构和关系的深入理解，帮助决策者做出最佳的选择和决策。
不同的图论方法可以根据具体问题的需求和约束选择和组合使用。
图论与网络最优化算法
第二章 5 生成树算法定义2·13 （1）图G 的每条边e 赋与一个实数)(e ω，称为e 的权。
图G 称为加权图。
（2）设1G 是G 的子图，则1G 的权定义为： ∑∈=)(11)()(G E e e G ωω定理2·10 Kruskal 算法选得的边的导出子图是最小生成树。
证：K r u s k a l 算法所得子图0T 显然是生成树，下证它的最优性。
设{}[]1210,,,-=υe e e G T 不是最小生成树，1T 是G 的任给定的一个生成树，)(T f 是{}121,,,-υe e e 中不在1T 又{}1210,,,)(-=υe e e T E ，故121,,,-υe e e 中必有不在)(T E 中的边。
设k T f =)(，即121,,,-k e e e 在T 与0T 上，而k e 不在T 上，于是k e T +中有一个圈C ，C 上定存在ke '，使k e '在T 上而不是在0T 上。
令k k e e T T '-+=')（，显然也是生成树，又)()()()(kk e e T T '-+='ωωωω，由算法知，k e 是使{}[]k e e e G ,,,21 无圈的权最小的边，又{}[]kk e e e e G ',,,,1-21 是T 之子图，也无圈，则有)()(k k e e ωω≥'，于是)()(T T ωω≤'，即T '也是最小生成树，但)()(T f k T f =>'与)(T f 之最大性矛盾。
证毕定理2·11 im Pr 算法产生的图)(0T G 是最小生成树。
证明与定理2·10类似，略。
第三章2 割边、割集、割点定理3·4 设G 是连通图，)(G E e ∈则e 是G 的割边的充要条件是e 不含在圈中。
证明 必要性 设e 是G 的割边，若e 在G 的一圈C 上，则e G -仍连通，这不可能。
图论在交通网络优化中的应用
图论在交通网络优化中的应用交通网络的优化一直是一个重要的研究领域，通过合理的路线规划和流量管理，可以提高交通效率，减少拥堵和能源消耗。
图论作为数学的一个分支，广泛应用于交通网络优化中，帮助我们解决这些问题。
本文将探讨图论在交通网络优化中的应用，并介绍一些经典的图论算法。
一、交通网络模型与图论在研究交通网络优化之前，我们需要将交通网络抽象成数学模型。
交通网络通常可以用图的形式来表示，其中路口是节点，道路是边。
图论提供了一些基本的概念和方法来描述和分析交通网络。
1. 图的基本概念- 节点（vertex）：在交通网络中，节点表示路口或交叉口。
每个节点可以有多个与之相连的边，表示与其他路口的连接。
- 边（edge）：边表示路径，连接两个节点。
在交通网络中，边可以是双向的，也可以是单向的。
- 权重（weight）：边上的权重表示从一个节点到另一个节点的代价或距离。
在交通网络中，权重可以表示道路的长度、通行能力或其他影响路线选择的因素。
2. 图的类型- 无向图（undirected graph）：在无向图中，边没有方向，可以从一个节点到另一个节点，也可以反过来。
- 有向图（directed graph）：在有向图中，边有方向，只能从一个节点指向另一个节点。
- 带权图（weighted graph）：在带权图中，边上有权重值，可以表示路径的距离、时间或其他影响因素。
二、最短路径算法最短路径算法是图论中最基本且常用的问题之一，在交通网络优化中具有重要的应用。
最短路径算法旨在找到两个节点之间的最短路径，这对于寻找出行路线、减少交通拥堵、优化路径规划等都是至关重要的。
1. 迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）迪杰斯特拉算法是一种解决单源最短路径问题的贪心算法。
通过逐步选择离源节点最近的节点，并更新到达其他节点的最短距离，最终找到源节点到其他所有节点的最短路径。
这个算法可以用于交通网络中，帮助人们找到最佳的出行路线。
图论在网络优化中的应用
图论在网络优化中的应用一、概述图论是数学中的一个研究领域，主要研究的对象是图。
图是由顶点和边组成的，常用来描述事物之间的关系。
在网络优化中，图论可以帮助我们分析网络结构、优化网络流量以及解决其他相关问题。
二、最短路径算法在网络中，我们经常需要找到两个节点之间最短的路径。
这时，最短路径算法可以派上用场。
最短路径算法包括迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法等，它们都是基于图论的算法。
通过这些算法，我们可以高效地找到网络中节点之间的最短路径，从而优化网络通信效率。
三、最大流问题在网络中，我们需要考虑流量的问题。
最大流问题是指在网络中的一个节点到另一个节点之间的最大流量。
图论中的最大流算法可以帮助我们解决这个问题。
通过寻找网络中的最大流，我们可以优化网络资源的利用，提高网络的吞吐量。
四、最小生成树最小生成树是一个连通图中生成树的总权值最小的生成树。
在网络优化中，最小生成树可以用于构建最优的网络拓扑结构。
通过图论中相关的算法，我们可以找到网络中的最小生成树，并且实现对网络的优化。
五、网络分析除了上述提到的算法之外，图论在网络优化中还有许多其他的应用。
例如，通过网络分析，我们可以了解网络结构的特点，找到网络中的关键节点，优化网络连接方式等。
这些都可以帮助我们改进网络的性能和效率。
六、总结综上所述，图论在网络优化中具有重要的应用价值。
通过图论算法，我们可以解决网络中的各种问题，优化网络的性能，提高网络的效率。
图论的应用不仅局限于网络领域，还可以在其他领域发挥重要作用。
希望未来可以进一步深入研究图论的应用，为网络优化和其他相关领域的发展做出更大的贡献。
图论和网络优化
v4
2
4 5
v7
3
v6
2
v5
最小树，权为13
17
v3
v1 v2 v3
v1 v2
v5
v3
v3
v3
v5
v6v1 v4
v5 v6
v4
v1
v1
v2
v2
v3
v1 v2
v5 v6
(2)破圈法：
① 在图中寻找一种圈。
若不存在圈，则已经 得到最短树或网络不 存在最短树；
② 去掉该圈中权数最 大旳边； ③ 反复反复 ① ② 两
权数，记为：
w Tk w e e Ek
若 T T ，使
w T min Tk T
w Tk
则称 T * 为图G旳一棵最小支撑树。
14
b4
2 a
2
4
3
f5
c 5
2d 6
e
最小 树
例如，城市间交 通线旳建造等，能够 归结为这一类问题。
再如前面例3，在已知旳几种城市之间联结电话 线网，要求总长度最短和总建设费用至少，此类问 题旳处理都能够归结为最小树问题。
24
如下图所示旳单行线交通网，每个弧旁边旳
数字表达这条单行线旳长度。目前有一种人要从v1 出发，经过这个交通网到达v6，要谋求总旅程最短
旳线路。
v2
6
v4
3
v1
14
5
1 v3
3
2
v6
6
v5
25
v2
6
v4
3
3
v1
14
5
2 6
v6
1
v3
从v1到v6旳路线是诸多旳。例如:
图论中的网络流算法优化
图论中的网络流算法优化在图论中，网络流算法是解决流网络问题的重要方法之一。
网络流算法可以用来解决一系列实际应用问题，例如最大流问题、最小割问题等等。
然而，对于大规模的网络流问题，传统的算法可能会面临效率低下的问题。
因此，优化网络流算法成为了一个热门的研究领域。
本文将介绍图论中的网络流算法优化方法，包括分层图算法、动态网络流算法和并行化算法。
1. 分层图算法分层图算法是一种基于网络分层结构的优化方法。
传统的网络流算法在每一次迭代中都需要对整个网络进行搜索，耗费大量的时间。
而分层图算法通过将网络按层次划分，将问题的规模缩小到了可控的范围。
这样一来，每一次迭代中只需要在每层之间进行搜索，大大提高了算法的效率。
2. 动态网络流算法动态网络流算法是一种针对动态网络的优化方法。
传统的网络流算法通常是在静态网络上进行操作，即网络固定不变。
然而，在实际应用中，网络常常会发生变化，例如节点的增加、删除等等。
传统算法无法处理这种动态变化，而动态网络流算法则可以自适应地调整网络结构，快速地求解网络流问题。
动态网络流算法通过维护流图的剪枝树和重映射操作，可以在动态网络上高效地进行计算。
3. 并行化算法并行化算法是一种利用计算机多核心并行计算的优化方法。
传统的网络流算法在解决大规模问题时，可能需要消耗大量的计算资源和时间。
而并行化算法可以将问题分解成多个子问题，并行地进行求解，极大地提高了计算速度。
并行化算法在网络流算法中得到了广泛的应用，例如使用并行的Ford-Fulkerson算法和Push-Relabel算法等等。
总结：图论中的网络流算法优化是解决流网络问题的重要方法。
分层图算法通过划分网络分层结构，减小了问题规模；动态网络流算法可以应对网络动态变化，快速求解网络流问题；并行化算法利用多核心并行计算，提高了算法效率。
这些优化方法在实际应用中发挥了重要作用，为解决大规模网络流问题提供了有效的解决方案。
图论算法在计算机网络优化中的应用分析
图论算法在计算机网络优化中的应用分析随着计算机技术的发展和互联网的普及，计算机网络已经成为人们日常生活和工作中不可或缺的一部分。
计算机网络的优化对于提高网络性能、降低延迟以及提升用户体验至关重要。
在计算机网络的优化过程中，图论算法发挥着重要的作用。
本文将对图论算法在计算机网络优化中的应用进行分析。
图论是一门研究图和网络的分支学科，图论算法主要研究的是图的建模、处理和优化。
在计算机网络中，网络拓扑结构可以被看作是一个图形，图论算法可以应用于网络拓扑的优化。
首先，图论算法在网络路由优化中发挥着重要的作用。
网络路由是指将数据包从源节点发送到目标节点的路径选择问题。
通过使用图论中的最短路径算法，比如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，可以寻找网络中最短路径的拓扑结构，从而减少网络传输的时间和消耗。
此外，还可以使用最小生成树算法，如Prim算法和Kruskal算法，通过选择连接最小成本的边来优化网络路由。
其次，在网络流量优化中，图论算法也发挥着重要的作用。
网络流量优化是指在网络中合理分配带宽和资源，使得网络能够更高效地传输数据。
最大流最小割算法是一类常用的图论算法，可以用于解决网络流量优化问题。
通过建立起网络拓扑的图形模型，并通过计算最大流和最小割，可以找到最优的网络流量分配方案。
这种方法在有限带宽的情况下，可以使得网络资源被充分利用，并避免网络拥塞的发生。
此外，在网络拓扑规划中，图论算法也有着广泛的应用。
网络拓扑规划是指在网络中选择合适的节点和连接方式，以最大程度地提高网络的性能和可靠性。
通过使用图论中的最小生成树算法，比如Kruskal算法和Prim算法，可以选择最佳的网络节点和连接路径，使得网络的带宽和可靠性得到优化。
另外，图论算法在网络攻击检测和防御中也有重要的应用。
在网络中，恶意攻击者可能会利用网络的漏洞进行攻击，导致网络服务的中断和数据的泄漏。
在网络安全的优化中，图论算法可以通过建立起网络拓扑结构的图形模型，来检测和防御网络攻击。
运筹学-第7章-图与网络优化
20/139
连通图、子图、支撑子图、基础图
• 连通图 图G中，若任何两个点之间，至少有一条链，称为连通图。否 则称为不连通图。
• 奇点 次为奇数的点, 如 v5
18/139
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
• 链： 由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边 序列, 如:
（v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ,e3 ,v3 ,…,vn-1 ,en , vn ）; 其中v0 ，vn分别为链的起点和终点， v1 ,v2 ,…,vn-1称 为中间点 ； • 圈： 起点与终点重合的链； • 简单链（圈）：链（圈）中所含的边均不相同； • 初等链（圈）：链（圈）中所含的点均不相同,也 称通路；
v2
a8
v5
a10
a4 a6
a9
a7
a5
v4
v7 a11 v6
•路 • 初等路 • 回路
(v1, a2 , v3 , a4 , v4 , a7 , v6 )是从v1到v6的路。也是一条初等路。 在上图中,(v3 , a3 , v2 , a5 , v4 , a6 , v5 , a8 , v3 )是一个回路。
vV1
vV2
vV
2m为偶数，且偶点的次之和 d(v)也为偶数，所以 d(v) 必为偶
数，即奇数点的个数必为偶数vV。2
vV1
27/139
第二节 树
本节主要内容： • 树的概念 • 构造生成树的方法 • 最小生成树问题
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1、求解（lingo 编程）
111,1
111
1
1
min
()1,1,2,,1,1,2,,s.t.01n n n n
j j nj i j k i k j
j k i j n
kj j n kj
k kj L l X X C X X X k n X j n X -+=======++⋅⋅⎧==⎪⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=⎪⎪⎩∑∑∑∑∑∑ 或其它约束条件
N=10;
Lj=71,56,27,30,28,26,15,9,30,27;
C= 0,15,44,47,64,83,86,75,93,98 15,0,29,32,49,68,71,60,78,83 44,29,0,20,37,53,42,31,49,54 47,32,20,0,17,36,42,39,60,57 64,49,37,17,0,19,37,37,58,55 83,68,53,36,19,0,18,35,56,47 86,71,42,42,37,18,0,24,38,29 75,60,31,39,37,35,24,0,21,26 93,78,49,60,58,56,38,21,0,29 98,83,54,57,55,47,29,26,29,0; 2、求A 到E 的最短路径。
3、求A到其他节点的最短路径。
4、今有a, b, c, d, e, f, g 7人，其中
a会讲英语；
b会讲英语和汉语；
c会讲英语、意大利语和俄语；
d会讲日语和汉语；
e会讲意大利语和西班牙语；
f会讲法语、日语和俄语；
g会讲法语和西班牙语；
这7个人应该如何安排圆桌座位，才能使每个人都能与他身边的人交谈？
（必须用图论知识作,答案：a,b,d,f,g,e,c,然后c到a。
）
5、某城市要建立一所医院，该市的7个区如下图所示，问：应该设在哪个区，才能使它至最远区的路径最短。
6、如图所示，某城市要建立一所医院，该市的7个区如下图所示，问：应该设在哪个区，才能使它至最远区的路径最短。
7、现有21个点，其横坐标为：x=17.6， 13.8， 3.8， 3.8， 7.3， 11.1， 14.2，14.2， 17.0 ，19.4， 5.8， 11.1， 11.1， 14.1， 14.1， 17.0， 17.0， 19.6，19.6， 12.0， 17.8;纵坐标为：y=15.4， 12.7， 10.0， 8.0， 9.0， 9.0， 10.0，8.0， 9.0， 9.0， 4.9， 6.2， 4.6， 6.2， 4.6， 6.2， 4.6 ，6.2， 4.6，2.8 ，2.8; 要建立一所医院，问：应该设在哪个点，才能使它至最远区的路径最短
时间
9、某项物流业务所含工作、时间、前项工作如下所示，请画出网络图，并求最短工期，且求作业F的最早和最迟作业开始时间
10、表中给出一个汽车库及引道的施工计划：
问：1）该工程从施工开始到结束的最短工期
2）如果引道混凝土施工拖延10天，对整个工程进度有无影响
3）若装天花板的施工时间从12天缩短到8天，对整个工程进度有何影响
4）为保证工期不拖延，装门这项工作最晚从那天开始开工
11某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
12、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间工序代号作业时间紧前工序
A B C D E F G H I J K 5
6
10
12
15
6
8
9
20
25
8
----
A
A
B
B
E
A
D、C
E
F、G、H
I、J
13、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
7 6 6 3 8 4 4 6 3
14、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线
与路长；（3）求关键工序 （4）求作业F 的最早和最迟作业开始时间
15、某工程项目作业明细表如下 ，（1）绘制计划网络图 ；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序 （4）求作业F 的最早和最迟作业开始时间
16、某工程项目作业明细表如下 ，（1）绘制计划网络图 ；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序 （
4）求作业F 的最早和最迟作业开始时间
17、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
18、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
19、
某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
20、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
21、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
22、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
23、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
24、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求时间的关键路线与路长；（3）求关键工序（极限不用，后两列不用）（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
25、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求时间关键路线与路长；（3）求关键工序（（极限不用，后两列不用））（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
26、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
27\某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
28、
某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
29、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
30、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（只选择a,m,b中一个）（4）求作业F的最早和最迟作
业开始时间
31、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线
与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
32、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
33、
某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
34、
某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
35、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
36、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
37、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
38、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
39、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
40、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
41、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
42、某工程项目作业明细表如下，（1）绘制计划网络图；（2）求关键路线与路长；（3）求关键工序（4）求作业F的最早和最迟作业开始时间
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求最优运送路线和运送费用
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