例析函数最值题的几种解法
例析最值的求解
例 ２： 已知 ｙ＝ 一 ＋ ２ ５在［一１３ 上 的最小值 是 ２ ，］ ， 求｜ ｊ ｝ 值． 分析 ： 本例的二次函数 的对称轴 随着 的取值不 同而 不同 ， 以要针对对称轴落在给定 区间左 、 所 内或右来分类讨
论．
当号 ｍ 一 时函 在一 ，上 调 减 一 ＜≤÷ ， ［÷ｍ 单 递 ， 数 ］
ｆ（ ＝ ’ ） ０的 点不一 定 为极值 点 ， 例如 ，（ ｆ ）＝ ，‘ ’ ｆ ‘ （ ）＝ ， ３ 显 （ ）＝ ， ｆ Ｏ ０ 而 （ ＝ 在整个 （一＊，＊ ） ）
．
．
＝
一
２或 ｜＝ ３ ｊ √ ｝
３ 轴定 区间动 的最值
区域 内为递增函数 ， ＝０不是极 值点． 也就是说 ， 极值点 的
由题意得 ：（ ） ＝口 ｆ２ ２＋４ ＋２ Ⅱ ６＋８＝ １ ； ，’（ ） ６ ２
＝ １ ＋４ ＋６＝ Ｏ ２ 口
＋ ＋口 在 ＝ ２ ２处
解 ： ＋１ ＋ ， ｙ＝（ ） ４ 其对称 轴为 ＝ 一１ （ ）当 ｏ＞一１ ， １ 时 对称轴在 给定区间左侧 ， 函数在 区 间 内为单调递增函数 ， 以 ＝ｎ有最小值为 ６ 所 ，
值
ｎ＝ 一１ 为所 求．
４ 用导数示极值 的方法确定 函数或 区间所包 含的字母 的
或极值 ， 有时还需 用导数． 用导数厂（） ＝ ０ 的方法求极 值
时要判 明导数为 ０的点是否为极 值点 ， 否则解题错误． 本文
例４ （）＝ ＋ ＋ ２ 在［ ÷ ，］ 一 ｍ 上的最小值为
・ ．
．
在［ ÷ ， ］ 一 ｍ 上递增
＝ 一
（ ） 一ｌ ≤３时 ， ２当 ≤七 对称 轴落在 给定 区间 内， 时 此 ＝． ， ｝ ｉ 函数有最小值 ５一． ， ５一后 ＝２ 解 得 ＝ （ 时 ｝ ｉ即 ， 一 √ 舍 去） ３
有关函数最值问题的十二种解法
本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题 的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)f x y 的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)f x y 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。
例1、已知x 、y R ∈且223260x y x +-=，求222x y +的值域。
解：由223260x y x +-=得222360y x x =-+≥，即02x ≤≤。
2222392262()22x y x x x +=-+=--+∴当32x =时，222xy +取得最大值92；当0x =时，222x y +取得最小值0。
即222x y +的值域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值。
例2、求函数22()1xf x x x =++的最值。
解：由22()1xf x x x =++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=，因为x R ∈，所以0∆≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3f x -≤≤。
因此()f x 的最大值是23，最小值是－2。
三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。
例3、求2()234x x f x +=-在区间[]1,0-内的最值。
解：配方得 2224()2343(2)33x x x f x +=-=--+[]1,0x ∈- ，所以 1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1。
四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为()sin cos f x a x b x =+(a、b均为常数），则可用辅助角公式sin cos arctan )ba xb x x a+=+来求函数()f x 的最值。
求函数最值问题常用的10种方法
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
例析求函数解析式的方法与技巧
解法探究２０２３年８月上半月㊀㊀㊀例析求函数解析式的方法与技巧◉山东省乐陵第一中学㊀张㊀伟㊀㊀求函数解析式 是«普通高中教科书 数学 必修一»(人教版)的重要内容,是进一步学习 基本初等函数 和 函数的应用 的基础．在高考中,通常不会直接考查函数的解析式,但解析式往往是解函数题的基础,所以学习和掌握求函数解析式的方法与技巧非常重要．在具体解题中,可以尝试运用以下六种方法．１配凑法配凑法是一种结构化的方法,即根据已知函数的类型及解析式的特征,配凑出复合变量的形式,从而求出解析式．具体方法是:由已知条件f [g (x )]＝F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),即可得到f (x )的表达式．使用配凑法时,要注意定义域的变化．配凑法的关键在于如何 配 和 凑 ,让题目的条件转化为容易求解的形式,方法灵活多样,不同的题目,配凑的方法不同．例１㊀已知f (x ＋１)＝x ２－３x ＋２,求函数f (x )的解析式．解:因为f (x ＋１)＝x ２－３x ＋２＝(x ＋１)２－５(x ＋１)＋６,所以f (x )＝x ２－５x ＋６．方法与技巧:配凑法的技巧大多是配凑公式,例如本题中就是化用了公式(a －b )２＝a ２－２a b ＋b２,只需把原复合函数解析式配凑成关于x ＋１的多项式即可．例２㊀已知f (x ＋１x )＝x ２＋１x２,求f (x )的解析式．解:因为f (x ＋１x )＝x ２＋１x２＝(x ＋１x )２－２(x ʂ０),且x ＋１xȡ２所以f (x )＝x ２－２(x ȡ２,或x ɤ－２)．方法与技巧:本题的方法是把原复合函数解析式的右边配凑成关于x ＋１x的多项式,同时注意函数的定义域．２换元法换元法即变量替换,其实质就是转化．通过转化达到 化繁为简㊁化难为易㊁化陌生为熟悉 的目的．对于形如y ＝f [g (x )]的函数解析式,令t ＝g (x ),从中求出x ＝φ(t ),然后代入表达式求出f (t ),最后将t 换成x ,得到f (x )的解析式．换元时要注意新元的取值范围．例３㊀已知a f (４x －３)＋b f (３－４x )＝２x ,a ２ʂb ２,求函数f (x )的解析式．解:令４x －３＝t ,则２x ＝t ＋３２,所以㊀㊀㊀㊀a f (t )＋b f (－t )＝t ＋３２．①将①中的t 换成－t ,得㊀㊀㊀㊀a f (－t )＋b f (t )＝－t ＋３２．②①ˑa －②ˑb ,得(a ２－b ２)f (t )＝a ＋b ２ t ＋３２(a －b )．由a ２ʂb ２,得a ２－b ２ʂ０．所以f (t )＝１２(a －b )t －３２(a ＋b )．故f (x )＝１２(a －b )x －３２(a ＋b )．方法与技巧:因为本题的左边有多项式４x －３,所以首先将４x －３换为t ,然后再将t 换成－t ,求出f (t )后再将t 换成x ,最后得到f (x )的解析式．例４㊀已知f (x )是对除x ＝０及x ＝１以外的一切实数都有意义的函数,且f (x )＋f (x －１x)＝１＋x ,求函数f (x )的解析式．解:f (x )＋f (x －１x )＝１＋x ．③③式中令x ＝t －１t (t ʂ０,t ʂ１),则x －１x ＝１１－t,所以f(t －１t )＋f (１１－t )＝２t －１t．④８６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年８月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀③式中令x ＝１１－t (t ʂ０,t ʂ１),则t ＝x －１x,所以f(１１－t )＋f (t )＝２－t１－t．⑤由③式,可得f (t )＋f (t －１t)＝１＋t ．⑥由④⑤⑥,消去f(t －１t )＋f(１１－t),得f (t )＝１２t ＋１＋２－t １－t －２t －１t éëêêùûúú＝１２t －１t (t －１)éëêêùûúú．所以f (x )＝１２x －１x (x －１)éëêêùûúú．方法与技巧:本题通过对③式的两次换元,巧妙地消去f(t －１t )＋f (１１－t ),求出f (t )后再将t 换回x ,最后得到f (x )的解析式．紧扣表达式的特征设元㊁变形㊁消元是换元法常用的技巧．３待定系数法如果已知所求函数的类型(如一次函数㊁二次函数),可先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数．具体方法是:先设出含有待定系数的解析式,再利用恒等式的性质,或将已知条件代入,建立方程(组),通过解方程(组)求出相应的待定系数．例５㊀已知f (x )是二次函数,且f (０)＝０,f (x ＋１)＝f (x )＋x ＋１,求函数f (x )的解析式．解:设f (x )＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０)．由f (０)＝０可知c ＝０,所以f (x )＝a x ２＋b x ．又f (x ＋１)＝f (x )＋x ＋１,所以a (x ＋１)２＋b (x ＋１)＝a x ２＋b x ＋x ＋１．即a x ２＋(２a ＋b )x ＋a ＋b ＝a x ２＋(b ＋１)x ＋１．所以２a ＋b ＝b ＋１,a ＋b ＝１,{解得a ＝b ＝１２．故f (x )＝１２x ２＋１２x ．方法与技巧:由已知条件可知f (x )是二次函数,所以设f (x )＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０)．由于推知c ＝０,于是得出a x ２＋(２a ＋b )x ＋a ＋b ＝a x ２＋(b ＋１)x ＋１,进而根据对应系数相等的关系,求出a ,b 的值即可．例６㊀若二次函数f (x )的顶点坐标为(１,４),其与x 轴的交点为(－１,０),试求函数f (x )的解析式．解法１:设函数f (x )＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０),则有－b ２a ＝１,４a c －b ２４a ＝４,a －b ＋c ＝０,ìîíïïïïïï㊀解得a ＝－１,b ＝２,c ＝３．ìîíïïï所以f (x )＝－x ２＋２x ＋３．解法２:设f (x )＝a (x ＋m )２＋k ,因为当m ＝－１时,k ＝４,所以f (x )＝a (x －１)２＋４．由f (－１)＝０,得a (－１－１)２＋４＝０,则a ＝－１．故f (x )＝－x ２＋２x ＋３．方法与技巧:本题的两种解法都运用了待定系数法．解法１运用二次函数的一般式f (x )＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０),通过解方程组求出a ,b ,c 的值代入获解;解法２运用二次函数的顶点式f (x )＝a (x ＋m )２＋k 来求解．它们有异曲同工之妙．４解方程组法已知关于f (x )与f (１x )或f (x )与f (－x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组,求出f (x )．例７㊀已知f (x )满足２f(x －１x )＋f (x ＋１x)＝１＋x (x ʂ０),求f (x )．解:㊀㊀２f(x －１x )＋f (x ＋１x)＝１＋x ．⑦⑦式中用－x 代替x ,得２f(x ＋１x )＋f (x －１x)＝１－x ．⑧联立⑦⑧,解得f (x ＋１x )＝１３－x ．⑨令x ＋１x ＝t ,则x ＝１t －１,将其代入⑨式,得f (t )＝１３－１t －１＝t －４３(t －１)．所以f (x )＝x －４３(x －１)．方法与技巧:本题根据题设条件用－x 代替x ,构造一个对称方程组,通过解方程组即可得到f (x )的解析式．例８㊀已知函数f (x )满足f (－x )＋２f (x )＝２x,求f (x )的解析式．解:将f (－x )＋２f (x )＝２x中的－x 用x 代换,得f (x )＋２f (－x )＝２－x．联立两式,解得３f (x )＝２x ＋１－２－x．９６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年８月上半月㊀㊀㊀所以f (x )＝２x ＋１－２－x３．方法与技巧:常以f (x )与f (－x ),f (x )与f(１x ),f (x )与f (x ＋a )等构成方程组,消元的目的是为了解方程组．５赋值法赋值法的解题思路是对变量取适当的特殊值,使问题具体化㊁简单化,进而依据结构特点找出一般规律,求出函数解析式．例９㊀已知f (０)＝１,f (a －b )＝f (a )－b (２a －b ＋１),求函数f (x )的解析式．解:令a ＝０,得f (－b )＝f (０)－b (１－b )＝b ２－b ＋１．令－b ＝x ,得f (x )＝x ２＋x ＋１．方法与技巧:从本题可以看出赋值法的解题规律．①当所给函数方程含有两个变量时,可以考虑对这两个变量交替用特殊值代入,或使这两个变量相等代入,再运用已知条件,即可求出函数解析式;②根据题目的具体特征来确定取什么特殊值;③取特殊值代入的目的,是为了使问题具体化㊁简单化,进而找出规律,求出函数解析式．例１０㊀已知f (x ＋y )＋f (x －y )＝２f (x )c o s y ,且f (０)＝a ,f(π２)＝b ,求函数f (x )的解析式．解:令x ＝０,y ＝t ,得f (t )＋f (－t )＝２a c o s t ．⑩令x ＝π２＋t ,y ＝π２,得f (π＋t )＋f (t )＝０． 令x ＝π２,y ＝π２＋t ,得f (π＋t )＋f (－t )＝－２b s i n t ．⑩＋ － ,得f (t )＝a c o s t ＋b s i n t ．所以f (x )＝a c o s x ＋b s i n x ．方法与技巧:本题所给的条件中出现了f (x ),f (x ＋y ),f (x －y )三种函数表达式,情况比较复杂,又已知f (０),f (π２)及考虑到还有c o s y ,所以在运用赋值法的过程中,充分挖掘和利用了题设中的隐含条件,做到了化隐为显㊁化繁为简．本题在运用赋值法的同时,还用到了构造方程㊁换元㊁配凑等多种手段．６代入法代入法求函数解析式的特点是,知道已知函数图象或者方程曲线的一个点A ,通过题目中的关系,用所求的函数图象或者方程曲线上点B 的坐标表示出点A 的坐标,再将点A 的坐标代入已知的函数或者方程中,即可求出所需的函数解析式或曲线方程．例１１㊀已知定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )图象关于直线x ＝２对称,并且在[０,２]上的解析式为y ＝２x －１,求函数f (x )在[２,４]上的解析式．解:设M (x ,y )x ɪ[２,４]在函数f (x )的图象上,点M ᶄ(x ᶄ,yᶄ)与M 关于直线x ＝２对称,则x ᶄ＝４－x ,yᶄ＝y ．{又y ᶄ＝２x ᶄ－１．所以y ＝２(４－x )－１,即y ＝７－２x ．故函数f (x )在[２,４]上的解析式为y ＝７－２x ．方法与技巧:从本题的求解过程可以看出,求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,采用代入法比较简捷．图１例１２㊀如图１,某地有一座形如抛物线的石拱桥,已知其跨度为３７．４m ,拱高为７．２m ,求此石拱桥所在抛物线的解析式．图２解:如图２,以抛物线的对称轴为y 轴,以宽A B 的中点为原点,建立平面直角坐标系x O y ,令抛物线的解析式为y ＝a x ２＋７．２．将点B (１８．７,０)代入,得０＝(１８．７)２a ＋７．２．解得a ＝－７．２１８．７２＝－７２０３４９６９．所以,此石拱桥所在抛物线的解析式为y ＝－７２０３４９６９x ２＋３６５．方法与技巧:本题属于抛物线的实际应用题,体现了数形结合的思想,解题技巧在于把抛物线放在合适的平面直角坐标系中,设出相应的解析式,这样能够使解题过程变得简洁．通过对上述典例的解析,我们可以看到,娴熟地运用 六法 可以应对绝大多数求函数解析式类的题型, 六法 各自既有其独特性,相互之间又有联系,有时一种题型可以用几种方法来求解,达到一题多解的效果．Z０７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
例析求最值问题的几种方法
得 ２＜ Ｙ≤ 。
综 上 所 述 ， … 小 存 在 ， 一 １０
。
三 、利 用 换 元 法 求 最 值 １列 了 求 函 数 ｙ 一 、ｒ十 、／Ｉ二 — 一自勺＾专久 ｆ“
解 ：设 ｆ一 厂『 （ｆ≥ （））．则 一
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侧 ，还 足 住 零 点 的 柯 侧 ，点 － 刨 这 两 个 零
点 一 ６ 的 距 离 之 车１１部 不 是 最 小 ， 彳丁 “≤
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、 利 用 一 元 一１ 次 方 程 的 判 别 式 求 最 值
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高中数学函数求最值常用方法总结
高中数学中的函数最值求解问题是学习中的难点，在解决函数最值问题的时候要经过全方位的考虑，结合函数的定义域，将各种可能出现的结果进行分析，最终求得准确的计算结果。
在数学学习的过程中活跃的数学思维非常重要，它不仅可以改善学习方法，而且可以帮助学生掌握更多的解题技巧，进而提高解题速度和学习效率。
本文总结了一些求函数最值的常用方法如下：一、利用一次函数的单调性【例题1】 已知 x , y , z 是非负实数，且 x + 3y + 2z = 3 , 3x + 3y + z = 4 ,求函数 w = 2x - 3y + z 的最值 .解：得 y = 5/3 （1 - x）, z = 2x - 1∴ w = 9x - 6又 x , y , z 非负，依一次函数 w = 9z - 6 的单调性可知当 x = 1/2 时，Wmin = -3/2 ,当 x= 1 时，Wmax = 3 .注：再求多元函数的条件最值时，通常是根据已知条件消元，转化为一元函数来解决问题.对于一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 的最值，关键是指出自变量的取值范围，即函数的定义域，当一次函数的定义域是闭区间时，其最值在闭区间的端点处取得 .二、利用二次函数的性质【例题2】 设 α , β 是方程 4x^2 - 4kx + k + 2 = 0 的两个实数根，当 k 为何值时 α^2 + β^2 有最小值？解：∵ α , β 为方程的两个实数根，∴ α + β = k , αβ = 1/4 ( k + 2 ) ,令 y = α^2 + β^2 , 则有又由原方程由实数根可知，∴ k ≤ -1 或 k ≥ 2 .而二次函数的顶点 （1/4，-17/16）不在此范围内，根据二次函数的性质知，y 是以 k = 1/4 为对称轴，开口向上的，定义域为 （-∞，-1]∪[2，+∞）的抛物线，比较 k = -1 及 k = 2 时 y 的值知，当 k = -1 时，有 ymin = 1/2 .注：利用二次函数的性质求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得 . 首先要求出函数的定义域，然后在看顶点是否在函数的定义域内，最后再根据函数的单调性来判定 . 【例题3】 如图所示，抛物线 y = 4 - x^2 与直线 y = 3x 交于 A , B 两点，点 P 在抛物线上由 A 运动到 B，求 △APB 的面积最大时点 P 的坐标 .分析：由于 A , B 为定点，所以 AB 长为定值，欲使 △APB 的面积最大，须使 P 到 AB的距离最大 .解：设 P 点坐标为 （x0 , y0）,∵ A , B 在直线 y = 3x 上，∴联立抛物线与直线方程，可得xA = -4 , xB = 1 ,∴ -4 ≤ x0 ≤ 1 ,则有∴当 x = -3/2 时，d 取最大值，△APB 面积最大，此时 P 点坐标为 （-3/2 , 7/4）.注：在解决实际问题时要注意确定自变量取值范围的方法，本题是由直线与抛物线的交点来确定的，这样才能确定定义域内的最值 .三、利用二次方程的判别式欲求函数 y = f(x) ( x ∈ R ) 的极值，如果可以把函数式整理成关于 x 的二次方程， 注意到 x 在其定义域内取值，即方程有实根，所以可以通过二次方程的判别式 △ ≥ 0 来探求 y 的极大值与极小值 .【例题4】 已知 0 ≤ x ≤ 1 , 求的最值 .解： 原式可化为∵ x ∈ R ,∴解得 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，即函数 y 的值域为 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，∴ y极大 = 1/4，y极小 = 9/16 .当 y = 1/4 时，代入原函数解析式得 x = 1 ∈ [ 0 , 1 ] ;当 y = 9/16 时，代入原函数解析式得 x = -1 [ 0 , 1 ] .又 x = 0 时 ， y = 2/3 ,∴ 当 x = 0 时，y 取极大值 2/3 .注：① 由判别式确定的是函数的值域，由值域得到的是函数的极值而不是最值；② 对有些函数来说，极值与最值相同，而有的函数就不一定，如本题中的极大值比极小值还小，这是因为极值是就某局部而言；③ 若要求函数在给定的定义域内的最值，一定要注意极值是否在此定义域内取得， 即要注意验根 .四、利用重要不等式【例题5】 设 x , y , z ∈ R+ , 且 2x + 4y + 9z = 16 .求 6√x + 4√y + 3√z 的最大值 .解：令 u = 6√x + 4√y + 3√z ,∴ u ≤ 4√23 ,( 其中当 9/x = 1/y = 1/9z 时，即当 x = 144/23 , y = 16/23 , z = 16/207 时取等号) 故注：这里是应用柯西不等式，在应用公式时，如何构造出已知条件等式 2x + 4y + 9z = 16，颇具技巧性和解题意义 .五、利用三角函数的有界性对于三角函数的极值，通常是利用三角函数的有界性来求解问题的，如正、余弦函数的最大（小）值很明显：y = asinx + bcosx （a , b ≠ 0）引入辅助角 θ，则其最值也一目了然 . 而对于其它的类型或用同角关系式、或用万能公式、或用正余弦定理作转化，变为二次函数问题来求解 .【例题6】 求的最值 .解法一： （利用降幂公式）解法二： （用判别式法）注： 本例还可以用万能公式等方法来求解 .六、利用参数换元对于有些函数而言，直接求极值比较复杂或不方便，这时可根据题目的特点作变量代换，然后运用前面的几种方法来解决问题.在换元时，一定要注意新的变量的取值范围 . 【例题7】 求函数 y = x + √( 1 - x ) 的极值 .解：原函数变为∵ t = 1/2 ∈ [ 0 , +∞ ) ,∴ 当 t = 1/2 ，即 x = 3/4 时，ymax = 5/4 .注： 这种换元虽然十分简单，但具有代表性 .七、利用复数的性质【例题8】 已知复数 z 满足 | z | = 2 , 求 | 1 + √3 i + z | 的极值 . 解法一：设 z = 2（cosθ + isinθ） （∵ | z | = 2）故 | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .解法二：依据 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | ,有 | 1 + √3 i | - | z | ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ | 1 + √3 i | + | z | ，即 2 - 2 ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ 2 + 2 ，∴ | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .注：求复数模的最值通常可用代数法，三角法（解法一），复数模的性质及其公式 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | , 此外还有数形结合方法等，但以上两种方法最为简捷.八、利用数形结合有些代数和三角问题，若能借助其几何背景，予以几何直观，这时求其最值常能收到直观、明快，化难为易得功效.【例题9】 求的最值 .解： 将函数式变形为其几何意义是在直角坐标系中，动点 P（cosx , sinx）和定点 A（-2 ，-1）连线的斜率，动点 P 的轨迹为单位圆，如下图所示：知 kAB 最小，kAC 最大，显然 kAB = 0 ,又 tgθ = |OB|/|AB| = 1/2 ,tg∠A = tg2θ = 2tgθ/（1 - tg^2 θ）= 4/3 ,即 kAC = 4/3 ,故 ymin = 0 , ymax = 4/3 .注：形如 [f(x) - a] / [g(x) - b] 的函数式，通常都可视作点 （g(x) ，f(x) ） 与点 （b , a）的连线的斜率 .运用数形结合的思想解题，关键是要进行合理的联想和类比，将代数式通过转化、变形、给予几何解释，通常这种转化与变形的过程常是一种挖掘和发现的过程，如本例需要挖掘 .。
例析三角函数最值问题的五类型
式 、 角和 差 三 角 函数 公 式 的综 合 考 查 ． 定 三 角 函数 的 最 值 涉及 到 的 知 识 较 广 ， 两 确 除应 用 三 角函 数 本 身 知 识 外 ， 要 应 用到 二 次 函数 、 等 式 ． 及 一 些 几 何 知 识 等 ， 而这 类 问 题 在 解 题 方 法 上 具 有 很 还 不 以 因
强 的 综 合性 和 灵 活 性 ． 训 练 学 生 思维 能 力 和 解 题 能 力 的 很好 内容 ， 是 高 考 的 热 点 问题 ． 是 也
关 键 词 ： 角 函 数 ； 值 ； 型 三 最 类
中 图分 类 号 ： ３ ． ， Ｇ６ ３ ６ ｉ
三角 函数 的最 值 问题 ． 其求 法颇 多 ， 将其
一ｓｎ２ ｉ ｘ
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这类 问 题 通 过 引 入 辅 助 角 化 为 Ｙ一
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正 弦函数 的有界 性 求得最 值． ｌ ｆ ｉ ｔ
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初中数学中求函数极值的常用解法举例
初中数学中求函数极值的常用解法举例罗江县函数极值是指函数的最大值或最小值，此类问题在初中数学中比较常见。
它涉及的知识面广，综合性强，有着极为丰富的内涵，解法也颇具有技巧性。
解答这类问题需要根据具体的特点，采取不同的方法。
现举例介绍这类问题的常用解法，供大家参考。
一、配方法：配方法是初中数学中解题常用的方法，它是将已知代数式（等式）通过配方，变形成若干个完全平方式的形式，结合完全平方的非负性质，解决问题。
例1 ：若 x , y 为实数，求 A=5 x 2 + 5 y 2 − 8 xy + 2 x +2y +5 的最小值。
分析与解：A=（4x 2 − 8 xy + 4 y 2）+（x 2 + 2 x + 1）+（ y 2+ 2 y + 1 ）+ 3 = ( 2x − 2 y ) 2 + ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 +3显然，当 x = −1，y = − 1 时，A 有最小值3。
二、消元法：消元法是把代数式（等式）中的几个元素转化为以某一元素为主元的函数，再结合已知条件，经过运算，使问题简化，便于求解。
例2 ：若 2x + y + z = 40，3x+ y －z = 30 ，且x 、y 、 z 均为非负数，求 A = 5x + 3 y + 2z 的极值。
分析与解：由 2x + y + z = 40及3x + y − z = 30，得 x=2z －10，y=60－5z,又由 x ≥0，y ≥0得2z －10 ≥ 0， 60－5z ≥ 0,解得 5≤z ≤12，把 x=2z －10，y=60－5z 代入 A=5x+3y+2z得A=−3z+130，显然 A 是关于 z 的一次函数，且 A 随 z 增大而减小，所以 当 z=5 时，A 的最大值为115，当 z=12时，A 的最小值为94。
三、数形结合法: 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
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例析函数最值题的几种解法函数的最值求解是函数中的重要内容之一，它在解决实际问题中有着广泛的应用.其涉及的知识面广，解题技巧性强，方法也因题而异.本文就常用的几种方法例析如下：一、观察法：对于简单的函数，可由已知解析式将其适当变形后，直接求出它的最值.例1 求函数3422+-=x x y （x ∈[30,]）的最值 解：∵1)1(22+-=x y ，∴当3x =时，max y 1x 9==, 时，min y =1.例2 求函数y =21log (－x sin ＋x 12sin +)的最值解：由解析式及正弦函数的有界性得：当x sin =1时，max y =21log （2－1）；当x sin =－1时，min y =21log （2＋1）.二、判别式法：有些函数经过适当变形后，可整理为关于x 的二次型：)()()(y c x y b x y a 2++=0.由于x 为实数，所以，此类函数可以用判别式求最值.但要注意把变形过程中函数值域扩大（或缩小）的部分去掉（或找回）.例3 求函数y =22122+-+-x x x x 的最值解：∵分母1)1(2+-x ≠0,∴定义域为R .原式化为)12()12()1(2-+---y x y x y =0.当y ≠1时，此二次方程有实根.∴△=)12)(1(4)12(2----y y y =)32)(12(+--y y ≥0，即21≤y ≤23；当y =1时，x =1，即x =1时，y =1∈[21,23].∴max y = 23，min y =21. 例4 求函数y =4x 4132+×－2x 的最值解：由y ＋2x=4x 4132+×平方整理得：2x 8－3yx 16+－0y 162=.由于x为实数，∴△=2)16(y -－)163(842y -⨯≥0，故y ≥42或y ≤－42.当函数在x ＞0时，y =4x 4132+×－2x ＞4x 23×－2x =213-x ＞0；在x ≤0时，显然有y ＞0，∴y ≤－42不属于所给函数的值域，这是由于在变形过程中采用了两边平方后而引起值域扩大的部分，应舍去.∴min y =42.三、单调性法： 如果函数在定义域范围内的各单调区间上是有界的（可能只有上界无下界或只有下界无上界），可先求出各区间上的值域，再由它们的并集确定原函数的值域，从而求得函数的最值.例5 求函数)(x f =︱2x －1︱－︱x －1︱的最值解：去掉绝对值符号得：)(x f =－x (0≤x ≤21)或)(x f =x 3－2(21＜x ≤1)或)(x f =x (1＜x ≤2),由此可知：在0≤x ≤21时，)(x f 为减函数且－21≤y ≤0；在21＜x ≤1时，)(x f 为增函数且－21＜y ≤1；在1＜x ≤2 时，)(x f 为增函数且1＜y ≤2.∴ymax= 2，min y = －21.例6 求函数)(x f =︱x －3︱＋︱x －4︱＋︱x －5︱的最值解：由已知不等式得：)(x f =－12x 3+(x ＜3＝ 或)(x f =－x ＋6(3≤x ＜4)或)(x f =x －2(4≤x ＜5)或)(x f =3x －12(x ≥5)，由此可知：在x ＜3时，)(x f 为减函数且y ＞3；在3≤x ＜4 时，)(x f 为减函数且2＜y ≤3；在4≤x ＜5 时，)(x f 为增函数且2≤y ＜3；在x ≥5时，)(x f 为减函数且y ≥3；综上可得：min y =f (4)=2.四、均值不等式法：若x 、y ∈R +，x ＋y =s ，x y =p .当p 是定值，则当且仅当x =y 时，s 有最小值；当s 是定值，则当且仅当x =y 时，p 有最大值.例7 求函数)(x f =1122+++x x x 的最值 解：定义域为x ≠－1，∵)(x f =11)1(2+++x x －1=()1111112212-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++x x x ≥23321111)1(2+⨯+⨯+x x x －1=23×32－1，∴当11)1(22+=+x x ，即=x 321－1≠－1时，有min y =3223－1. 注：若无x 使等号成立，则此法无效，应改用其它方法.例8 求函数y =4x 5x 22++的最值解：定义域为R ，虽然y =4x 14x 22+++≥2，但4x 14x 22+=+无解，∴等号不成立，这说明y ＞2.可将原函数式配方得y =（424x +－424x 1+）＋2，视2x 为未知元，对于2x 、424x +递增，424x 1+递减，－424x 1+递增.∴424x +－424x 1+递增，由于424x +－424x 1+＞0，∴（424x +－424x 1+）也递增.而2x ≥0，∴2x ≥0时有最小值且无最大值.故当 x =0时，min y = 25. 五、三角代换法：对于某些函数的最值，可利用三角代换巧妙地求解.在作代换时，可根据不同的函数解析式作相应的代换.如：2x ＋2y =2a （a ＞0），可令θθcos ,sin ==y x ；2x ＋2y ≤2a （a ＞0），可令,cos ,sin θλθλ==y x （a 0≤≤λ）； 2x －2y =1，可令θθtg y x ==,sec 等.例9 求函数y =x x -+1的最值解：设θ2x sin =，则θcos 1=-x ，∴)sin(cos sin 42y πθθθ+±=+=∈[－22,]∵x ≥0，∴取x 最小值0时，1y =.故1y =min ，2y =max .例10 设 x 、y 都是正数，且x 6y 2x 322=+，求22y x +的最值 解：将方程变形为2)1(-x ＋23y 21=.设（y x ,）是此椭圆上的点，令⎩⎨⎧=+=θθsin 1cos 23y x ，则292312y x 2222=+++=+θθθs i n co s co s －2)2(cos 21-θ.∴当=θc o s －1时， 0y x 22=+m in )(；当1=θc o s 时，4y x 22=+m ax )(.即函数的最小值为0,最大值为4.六、数形结合法：将一些抽象的解析式赋予几何意义，然后通过图形的属性及数量关系进行“数”与“形”的信息转换，也是解决最值问题的一种常用方法.例11 已知实数x 、y 满足等式22y x +－x 6－012y 6=+，求x y的最值解：如图，∵点（y x ,）在圆6)3()3(22=-+-y x 上，∴xy 表示该点与原点连线的斜率.OB （B A ,为切点），则xy的最值分别是直线OA 、xy 设=k ，即kx y =，∴2133k k +-=6.整理为 ：2-k = 0,解得223k ±=,∴min )(xy =223-,max)(xy =223+.例12 求函数12122222+-+++++=x y x x y x z 的最小值 解：∵2222)1()1(y x y x z +-+++=等价于“求动点),(y x P 到,)0,1(-A ),(01B 距离之和的最小值”，即PBPA +的最小值.∵PBPA +≥AB ，当且仅当P 在线段AB 上时，等号成立.故PB PA +的最小值为2AB =.即原函数的最小值为2.七、巧设坐标法：对于无理函数最值的求解，可利用直角坐标系中的某些特殊点的位置加以解决.例13 求函数8418622+-+++=x x x x y 的最小值 解：将函数变为2222)20()2()30()3(-+-+-++=x x y ，在直角坐标系中，设)2,2(),3,3(B A -，问题可化为在X 轴上找一点P ，使PB PA +的值最小.∵A 、B 在X 轴同侧，取点A 关于X 轴的对称点)3,3(--A ，连B A ，交X 轴于),(0x P ，则直线B A 的方程为323x 323y ++=++，即x y =.令0y =得0x =，∴P 点坐标为),(00，25818y =+=m in.例14 求函数10x 2x y 2++=－222+-x x 的最大值解：22)30()1(-++=x y －22)10()1(-+-x ，在直角坐标系XOY 中，)3,1(-A 、),(11B ，问题化为在X 轴上求一点P ，使PA－PB 的值最大.∵A 、B 在X 轴同侧，直线AB 与X轴的交点即为P 点.∴直线AB 的方程为111131---=--x y ，即y x =+.0y =得2x =，点坐标为),(02.∴22max )30()12(-++=y －22)10()12(22=-+-.八、利用复数的模：将无理数看成复数的模，然后利用复数模的概念及复数模的不等式，也是解决某些无理函数最值的有效方法.但要注意的是必须满足所有复数和的模为常数.例15 求函数261013422+-++-=x x x x y 的最小值 解：∵22221)5(3)2(+-++-=x x y ，设i x z i x z +-=+-=)5(,3)2(21，则有： 21z z y +=≥543)5(3)2(21=+=+-++-=+i i x i x z z （常数）.∴当1Z 、2Z 共线且同向时，等号成立.即xx -=-5123，得417x =，∴当417x =时5y =min.例16求函数22222222)1()1()1()1(y x y x y x y x z -++-+-++-++=最小值解：设yi x z 1+=，yi x z +-=)1(2，i y x z )1()1(3-+-=，i y x z )1(4-+=，则有： z =4321z z z z +++≥22i 22z z z z 4321=+=+++（常数）.当1Z 与2Z 3Z 、4Z 共线且同向时，等号成立.即⎪⎩⎪⎨⎧==----yx x y xy y x 1111，得21y x ==，∴当21y x ==时22z =min .。