一元二次方程的解法例析

元二次方程的解法例析

【要点综述】：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。

在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，

且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为:

一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。

因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是, 再对它进行整理，

如能整理为曲'+处的形式，那么这个方程就是一元二次方程。

下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：

【举例解析】

"9 2，解关于|开|的方程（&-9）;?-4总卞+ 1二九-2必2-2

b -1|= 2的住I 的值将使原方程成为哪一类方程。

当盘三3时，原方程为-6『-血+1 = ^-朋-2 3

X —

17

当《 = -1时，原方程为卜10蛊7+4^ + 1= 5工+2畫'一2，即12/ +北一3 =

0 , -1+Ji45 -1-7145

简= ---- -- 心= --- -------

解得 24 ，2 24 例1:已知 分析：注意满足 解: b 一 1》2得：或& = -1，

，解得

说明：由本题可见，只有 护项系数不为0,且为最高次项时，方程才是一元 二次方程， 才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应 该说明最高次项系数不为0。

通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明， 即形如也* +加+ 的方程叫作关于X 的一元二次方程。

^■^1=2,就必须在整理后对只|项的字母系数分情况进行

:用开平方法解下面的一元二次方程。

（2）（弘-2） 妒

张2_24卄 16 = 121 ； （4） （% + 可（3工-2） = 4

分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开 平方法解形如 d ）—（心3的方程，

其解为2±厶。通过观察不难发现第（1）、（ 2）两小题中的方程显然用 直接开平方法好做；

第（3）题因方程左边可变为完全平方式〔张一4尸，右边的121>0,所以此 方程也可用直接开平方法解；

第（4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利 用直接开平方法进行解答了。

若本题不给出条件

讨论。

解：（1）（张+iy=9

•••金+1 = ±?（注意不要丢解）

由3x + l = 3得2

Fa,

2 可=—•••原方程的解为：

弓

2=兀+4或3jr- 2 = 1（兀+4）由3工- 2= x+4得人=3 ,

(3) 张2-2处416 = 121

•••（弘一好=⑵

.•. 3jf-4=±Il

X] — 5

•••原方程的解为：可二刁

⑷⑶r+2)®-2) = 4

.•.9只-4=斗，即9X = S 由女一 2=-（工+4）得

•••原方程的解为：可=3, A.=--

k 2

帀=—X Q =——

•原方程的解为：' 3 , 2 5

说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，

像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解, 应注意方程两边同时开方时，

只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。

例3 :用配方法解下列一元二次方程。

（1）-2 二0；（ 2）HH-4X-2=0

分析：用配方法解方程汨+加，应先将常数亡移到方程右边, 再将二次项系数化为1，不^十—兀=――"

变为戊血的形式。第（1）题可变为芒-鮎=1，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，

即：护-鮎+F = uF，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，即：（尤-仁2

接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。

解: （1）2只-4龙-2 = 0

二次项系数化为1,移常数项得：x'-2x = l 配方得：X-2工十尸，即0-1）2 = 2

直接开平方得："1 = ±Q

•••原方程的解为：鬲i+J^，耳

(2) 站-4x-2 = 0

宀笃二— 二次项系数化为1,移常数项得： 3

•••原方程的解为: 说明：配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟 练掌握。 配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1,并把常数项移到一边;

再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平方式利用直 接开平方法即可完成解题任务。

例4 :用公式法解下列方程。

(1) 3^+4二"；(2)

方程两边都加上一次项系数一半的平方得:

直接开平方得:

丄土西

3 3

-卜土- 4恥

X —________

分析：用公式法就是指利用求根公式，使用时应先把一元

二次方程化成一般形式，

然后计算判别式宀仏的值，当戸-4处》0时，把各项系数4 乩匕的值代入求根公式即可得到方程的根。

但要注意当宀仏＜0时，方程无解。第（1）小题应先移项化为一般式, 再计算出判别式的值，

判断解的情况之后，方可确定是否可直接代入求根公式；第（2）小题为了避免分数运算的繁琐，

可变形为&八，求出判别式的值后，再确定是否可代入求根公式

求解。

化为一般式：站-7x+4=0

求出判别式的值：心二护-4^ = 1 >0

7±1

X = --

代入求根公式：6