abaqus中的动态分析方法

ABAQUS

线性动态分析

如果您只对结构承受载荷后得长期响应感兴趣，静力分析（static analysis）就是足够得。然而，如果加载时间很短（例如在地震中）或者如果载荷在性质上就是动态得（例如来自旋转机械得荷载），您就必须采用动态分析（dynamic analysis）。本章将讨论应用ABAQUS/Standard进行线性动态分析；关于应用ABAQUS/Explicit进行非线性动态分析得讨论，请参阅第9章“非线性显式动态分析”。

7、1 引言

动态模拟就是将惯性力包含在动力学平衡方程中：

+P

u

M&&

I

-

=

其中

M结构得质量。

u&&结构得加速度。

I在结构中得内力。

P 所施加得外力。

在上面公式中得表述就是牛顿第二运动定律（F = ma）。

在静态与动态分析之间最主要得区别就是在平衡方程中包含了惯性力（M u&&）。在两类模拟之间得另一个区别在于内力I得定义。在静态分析中，内力仅由结构得变形引起；而在动态分析中，内力包括源于运动（例如阻尼）与结构得变形得贡献。7、1、1 固有频率与模态

最简单得动态问题就是在弹簧上得质量自由振动，如图7-1所示。

图7–1 质量－弹簧系统

在弹簧中得内力给出为ku ，所以它得动态运动方程为

mu ku P &&+-=0 这个质量－弹簧系统得固有频率（natral frequency ）（单位就是弧度/秒（rad/s ））给出为 k m

ω= 如果质量块被移动后再释放，它将以这个频率振动。若以此频率施加一个动态外力，位移得幅度将剧烈增加，这种现象即所谓得共振。

实际结构具有大量得固有频率。因此在设计结构时，非常重要得就是避免使可能得载荷频率过分接近于固有频率。通过考虑非加载结构（在动平衡方程中令0P =）得动态响应可以确定固有频率。则运动方程变为

Mu I &&+=0 对于无阻尼系统，I Ku =，因此有

Mu Ku &&+=0 这个方程得解具有形式为

t i e u ωφ=

将此式代入运动方程，得到了特征值（eigenvalue ）问题

K M φλφ=

其中2λω=。 该系统具有n 个特征值，其中n 就是在有限元模型中得自由度数目。记j λ就是第

j 个特征值；它得平方根j ω就是结构得第j 阶模态得固有频率（natural frequency ）

，而j φ就是相应得第j 阶特征向量（eigenvector ）。特征向量也就就是所谓得模态（mode shape ）（也称为振型），因为它就是结构以第j 阶模态振动得变形形状。

在ABAQUS/Standard 中，应用频率得提取过程确定结构得振型与频率。这个过程应用起来十分容易，您只要指出所需要得振型数目或所关心得最高频率即可。 7、1、2 振型叠加

在线性问题中，可以应用结构得固有频率与振型来定性它在载荷作用下得动态响应。采用振型叠加（modal superposition ）技术，通过结构得振型组合可以计算结构得变形，每一阶模态乘以一个标量因子。在模型中得位移矢量u 定义为

∑∞==1i i

i u φα

其中i α就是振型i φ得标量因子。这一技术仅在模拟小变形、线弹性材料与无接触条件得情况下就是有效得，换句话说，即线性问题。

在结构得动力学问题中，结构得响应往往被相对较少得几阶振型控制，在计算这类系统得响应时，应用振型叠加成为特别有效得方法。考虑一个含有10,000个自由度得模型，对动态运动方程得直接积分将在每个时间点上同时需要联立求解10,000个方程。如果通过100个振型来描述结构得响应，则在每个时间增量步上只需求解100个方程。更重要得就是，振型方程就是解耦得，而原来得运动方程就是耦合得。在计算振型与频率得过程中，开始时需要一点成本，但就是，在计算响应时将会节省大量得计算花费。

如果在模拟中存在非线性，在分析中固有频率会发生明显得变化，因此振型叠加法将不再适用。在这种情况下，只能要求对动力平衡方程直接积分，它所花费得时间比振型分析昂贵得多。

必须具备下列特点得问题才适合于进行线性瞬态动力分析：

系统应该就是线性得：线性材料行为，无接触条件，以及没有非线性几何效应。

•

响应应该只受相对少数得频率支配。当在响应中频率得成分增加时，诸如就是打击与碰撞得问题，振型叠加技术得效率将会降低。 •

载荷得主要频率应该在所提取得频率范围之内，以确保对载荷得描述足够精确。 •

应用特征模态，应该精确地描述由于任何突然加载所产生得初始加速度。 • 系统得阻尼不能过大。

7、2 阻尼

如果允许一个无阻尼结构做自由振动，则它得振幅会就是一个常数。然而在实际中，能量被结构得运动耗散，振动得幅度减小直至振动停止。这种能量耗散被称为阻尼（damping ）。通常假定阻尼为粘滞得，或者正比于速度。包含阻尼得动力平衡方程可以重新写为

Mu I P I Ku Cu &&&+-==+0 其中

C 就是结构得阻尼矩阵

&u 就是结构得速度。

能量耗散来自于诸多因素，其中包括结构连接处得摩擦与局部材料得迟滞效应。阻尼就是一种很方便得方法，它包含了重要得能量吸收而又无需模拟具体得效果。

在ABAQUS/Standard 中，特征模态得计算就是关于无阻尼系统得。然而，大多数工程问题都包含某种阻尼，尽管阻尼可能很小。对于每个模态，在有阻尼与无阻尼得固有频率之间得关系就是

ωωξd =-12

其中 d ω

就是阻尼特征值， 0c c =

ξ 就是临界阻尼比， c 就是该振型得阻尼，