高一下学期数学期末测试题(教师版)
天津市滨海新区2023-2024学年高一下学期期末检测数学试卷(含答案)
天津市滨海新区2023-2024学年高一下学期期末检测数学学科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内．1．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（ ）A ．B ．0C ．1D ．22．下列说法正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．四边形确定一个平面C ．三角形确定一个平面D ．一条直线和一个点确定一个平面3．某校高一数学备课组老师的年龄（单位：岁）分别为：35，36，37，38，40，41，51，51，52，54，56，59，则该组数据的极差为（ ）A ．53B ．52C ．51D ．244．在中，若，则（ ）A ．B ．C ．10D ．5．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，用表示结果，记事件为“所得点数之和小于4”，则事件的概率为（ ）A．B ．C ．D ．6．已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为4，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）A ．B ．C ．D ．7．从装有2个红球、1个黑球的袋中任取2个球，若事件为“所取的2个球中恰有1个黑球”，则与事件对立的事件是（ ）A ．所取的2个球中至多有一个是黑球B ．所取的2个球中恰有1个黑球1个红球C ．所取的2个球都是红球D ．所取的2个球中至少有一个红球8．某校组织“交通安全”知识测试，随机调查1000名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）()21i z m m =++-i m =2-ABC △π4,5,6AB BC B ===AB BC ⋅= --(),x y A A 11219536512π3π22π35π6A A [)[)[]50,60,60,70,,90,100A ．图中B ．估计样本数据的第80百分位数为93分C ．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这1000名学生成绩的平均数为80.5分D ．测试成绩低于80分的人数为450人9．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10．已知平面向量，则下列说法不正确的是（ ）A ．与共线的单位向量的坐标为或B ．在方向上的投影向量为C ．与垂直的单位向量的坐标为或D ．若向量与向量垂直，则11．已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形12．《九章算术·商功》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”．所谓“堑堵”就是两底面为直角三角形的直棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，是的中点，过三点的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，给出下列四个结论：①过三点的平面截该“堑堵”的截面是三角形②该三棱台的表面积为0.001x =,αβ,m n ,m m αβ∥∥αβ∥,m n αα⊥∥m n ⊥,m αβα⊥∥m β⊥,m n n α⊥⊥m α∥()()2,1,4,3a b =-=-b 43,55⎫⎛- ⎪⎝⎭43,55⎫⎛- ⎪⎝⎭b a 115a- a ⎛ ⎝a b λ+ a b + 37λ=ABC △,,A B C ,,a b c cos cos b aA B c--=ABC △12,4,AB BC AA M ===11A C ,,B C M ,,B C M 172+③二面角④三棱锥的外接球的表面积为其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．13．若复数（是虚数单位），则___________．14．一支羽毛球队有男运动员64人，女运动员56人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为30的样本，如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取的人数为___________．15．已知一组样本数据：3，4，4，4，6，6，7，8，8，则该组样本数据的众数为___________，中位数为___________．16．已知一组数据的平均数是3.6，方差是2，则新数据的平均数是___________，方差是___________．17．如图，用斜二测画法画水平放置的的直观图得，其中的面积为，则其直观图中边上的高的长度为___________．18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，底面，为的中点，为底面的中心．（ⅰ）三棱锥的体积为___________；（ⅱ）直线与所成的角为___________．19．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居1M BC C --M ABC -81π413i1iz +=+i z =12,,,n x x x 122,2,,2n x x x +++ AOB △()45A O B x O y ''''''∠=︒△AOB △2O B '='O B ''A C ''P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PA E =PA O ABCD A EBD -OE CD中，其中白圈为阳数，黑点为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为___________．20．在中，，并且满足．（ⅰ）角___________；（ⅱ）若点在线段上（点不与端点重合），延长到，使得，（为常数），则线段的长度为___________．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．21．（本小题满分12分）已知向量满足．（Ⅰ）求向量的数量积；（Ⅱ）求向星夹角的余弦值；（Ⅲ）求的值．22．（本小题满分12分）甲、乙两名同学进行某项体能测试，甲同学通过的概率为，乙同学通过的概率为，并且在测试过程中甲、乙两同学互不影响，求下列事件的概率；（Ⅰ）甲、乙两同学都能通过；（Ⅱ）甲、乙两同学恰有一人通过；（Ⅲ）甲、乙两同学中至少有一人通过．23．（本小题满分13分）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点．ABC △5,3AB AC ==25CB AB ⋅=A =DBC D ,B C AD P 12AP =43PA mPB m PC ⎫⎛=+- ⎪⎝⎭mCD ,a b ()()2,1,1,3a b ==-,a b a b ⋅,a bθ2a b +2334111ABC A B C -E AC（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值．24．（本小题满分13分）已知的三个内角的对边分别为，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的面积是，求；（Ⅲ）若为边上一点，且满足，，试求的最大值．滨海新区2023-2024学年度第二学期期末检测卷高一年级数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．123456789101112ACDAABCDBCDA 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．1314．16 15．4，616．5.6，2 17．2 18 19．20．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．说明：解答给出了一种解法供参考，其他解法可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．1AB ∥1BC E 1BC E ⊥11ACC A M 1A A 114AM AA =BM 1BC E ABC △,,A B C ,,a b c 222b ac bc =-+A ABC △2c b =a D AC cos cos AB BD BA BD AB A BD CDB λ⎫⎛⎪ +=+⎪ ∠⎝⎭a =BD CD +π3725π221．解：（Ⅰ）（Ⅱ）又（Ⅲ）22．解：设“甲通过”，“乙通过”，则“甲没通过”，“乙没通过”．由于两人测试的结果互不影响，所以与相互独立，与，与，与都相互独立．由已知可得，．（Ⅰ）“两人都通过”，由事件的独立性定义，得所以两人都通过的概率为（Ⅱ）“恰好有一人通过”，且与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得所以甲、乙两人中恰好有一人通过的概率为（Ⅲ）事件“至少有一人通过”，且与两两互斥所以所以两人中至少有一人通过的概率为23解：（Ⅰ）连接交于点，连接．()21131a b ⋅=⨯+⨯-=-a === cos ab a b θ⋅==== ()()()22,121,34,5a b +=+-=-2a b ∴+==A =B =A =B =A B A B AB A B ()()()()2311,,,3434A P A PB B P P ====AB =()()()231342P AB P A P B ==⨯=12AB AB = AB AB ()()()()()()()A A P AB B P AB P B P A P P B A B P =+=+ 211311534346412=⨯+⨯=+=512AB AB AB = ,AB AB AB ()()()()()()151121212P AB AB AB P AB P AB P AB P AB P AB AB =++=+=+= 11121B C 1BC G EG在中，为的中点，为的中点．是的中位线，平面平面平面（Ⅱ）在正三棱柱中，平面平面，在等边中，为的中点，又是平面内的两条相交直线．平面，又平面，平面平面（Ⅲ）连接，和都是直角三角形，且，，，由（Ⅱ）得，平面平面，平面平面，又平面，1AB C △G 1B C E AC EG ∴1AB C △1EG AB ∴∥EG ∈ 11,BC E AB ⊄1BC E1AB ∴∥1BC E111ABC A B C -1CC ⊥ ,ABC EB ⊂ABC 1CC EB∴⊥ABC △E AC AC EB ∴⊥AC EB∴⊥1CC AC 、11ACC A EB ∴⊥11ACC A EB ⊥1BC E ∴1BC E ⊥11ACC A EM AEM △1CC E △12CC AECE AM==11,AEM CC E CC E AEM ∴∠=∠△∽△111ππ,22CC E CEC CEC AEM ∠+∠=∴∠+∠= 1ME C E ∴⊥1BC E ⊥11ACC A 1BC E 111ACC A C E =ME ∈11ACC A平面为直线与平面所成的角．在中，所以直线与平面24．解：（Ⅰ）由余弦定理得，（Ⅱ）由面积公式得，又（Ⅲ）取的中点，则，又为等边三角形ME ∴⊥1BC EEBM ∴△BM 1BC E Rt BME △BE ME ==tan ME EBM BE ∴==△BM 1BCE222cos 2b c a A bc +-=2221cos 222b c a bc A bc bc +-===()π0,,3AA π∈∴=ABC △1sin 2ABC S bc A =△11πsin sin 4223ABC S bc A bc bc ====∴=△222,2,8c b b c =∴== 2226a b c bc a =+-=∴=AD E 2BA BD BE +=()2cos cos AB AC BD AC BA BD AC BE AC AB A BD CDB λ⎫⎛⋅⋅⎪ ∴+⋅=⋅=+⎪ ∠⎝⎭()AC AC λ=-=,BE AC BA BD∴⊥=π,3A ABD =∴ △在中，由余弦定理得，又由基本不等式得，当且仅当时，等号成立的最大值为4．2π3BDC ∴∠=BCD △2222cos a BD CD BD CD BDC =+-⋅⋅∠2222()12a BD CD BD CD BD CD BD CD =++⋅=+-⋅=222()3()12244BD CD BD CD BD CD BD CD +++⎫⎛⋅≤=≤ ⎪⎝⎭BD CD =4BD CD ∴+≤BD CD ∴+。
2020北京高一数学下学期期末汇编：立体几何(填空题)(教师版)
2020北京高一数学下学期期末汇编：立体几何（填空题）一．填空题（共18小题）1．（2020春•海淀区校级期末）已知a，b是不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a⊥α，a∥β，则α⊥β；②a∥α且α∥β，则a∥β；③若a⊥α，b∥α，则a⊥b．所有正确命题的序号为．2．（2020春•顺义区期末）如图，若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则异面直线AC与A1B所成的角的大小是；直线A1B和底面ABCD所成的角的大小是．3．（2020春•海淀区校级期末）某正方体的体对角线长为，则这个正方体的表面积为．4．（2020春•朝阳区期末）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）．则该几何体共有个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是cm2．5．（2020春•延庆区期末）如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为2，记四面体ABCD的表面积为F （x），则函数F（x）的定义域为；最大值为．6．（2020春•海淀区校级期末）已知正四棱锥的高为4，侧面积为4，则该棱锥的侧棱长为．7．（2020春•密云区期末）将底面直径为8，高为2的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为．8．（2020春•房山区期末）已知一个长方体的长、宽、高分别为2，2，1，则它的体对角线的长为．9．（2020春•海淀区校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝，AA1＝AB＝AC＝1，CC1的中点为H，点N在棱A1B1上，HN∥平面A1BC，则的值为．10．（2020春•通州区期末）棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是．11．（2020春•丰台区期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，DD1＝1，则异面直线AA1与BC1所成角的大小为．12．（2020春•海淀区校级期末）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为60，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．13．（2020春•东城区期末）已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个论断：①l∥m，②α∥β，③m⊥α，④l⊥β．以其中的两个论断作为命题的条件，l⊥α作为命题的结论，写出一个真命题：．14．（2020春•延庆区期末）一个圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则圆锥底面半径为．15．（2020春•密云区期末）已知a，b是平面α外的两条不同直线，给出下列三个论断：①a⊥b；②a⊥α；③b∥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．16．（2020春•通州区期末）若空间中两直线a与b没有公共点，则a与b的位置关系是．17．（2020春•西城区期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是；球的表面积是．18．（2020春•大兴区期末）三棱锥的三条侧棱两两垂直，长分别为1，2，3，则这个三棱锥的体积为．2020北京高一数学下学期期末汇编：立体几何（填空题）参考答案一．填空题（共18小题）1．【分析】对于①，由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于②，a∥β或a⊂β；对于③，由线面垂直的性质得a⊥b．【解答】解：由a，b是不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，知：对于①，若a⊥α，a∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故①正确；对于②，若a∥α且α∥β，则a∥β或a⊂β，故②错误；对于③，若a⊥α，b∥α，则由线面垂直的性质得a⊥b，故③正确．故答案为：①③．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．2．【分析】连接A1C1，证明四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，得到异面直线AC与A1B所成的角即为∠BA1C1，再说明△BA1C1为等边三角形，可得异面直线AC与A1B所成的角的大小是60°；由正方体的结构特征可得∠A1BA为直线A1B和底面ABCD所成的角，再由等腰直角三角形得答案．【解答】解：如图，连接A1C1，∵AA1∥CC1，AA1＝CC1，∴四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，∴异面直线AC与A1B所成的角即为∠BA1C1，连接BC1，则△BA1C1为等边三角形，∴异面直线AC与A1B所成的角的大小是60°；∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，∴∠A1BA为直线A1B和底面ABCD所成的角，大小为45°．故答案为：60°；45°．【点评】本题考查异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．3．【分析】设正方体的棱长为a，由体对角线长求出a2，即可求得正方体的表面积．【解答】解：设正方体的棱长为a，由体对角线长为，得3a2＝6，解得a2＝2，所以正方体的表面积为S＝6a2＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了正方体的结构特征与表面积的计算问题，是基础题．4．【分析】由题意知截去的八个四面体，再加上6个正方形，该几何体共有14个面；由此计算该几何体的表面积．【解答】解：由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是S表面积＝8××25×25×sin60°+6×25×25＝（7500+2500）（cm2）．故答案为：14，7500+2500．【点评】本题考查了空间几何体的结构特征与计算问题，是基础题．5．【分析】设AD＝x，其余各棱为2；求出四面体ABCD的表面积F（x），利用三角函数求出F（x）的最大值和它的定义域．【解答】解：如图所示，四面体ABCD中，设AD＝x，其余各棱为2；则△ABC、△BCD是正三角形，所以四面体ABCD的表面积为F（x）＝2S△ABC+2S△ACD＝2××2×2×sin60°+2××2×2×sin∠ACD＝2+4sin∠ACD；当sin∠ACD＝1时，函数F（x）取得最大值为4+2；又x2＝22+22﹣2×2×2×cos∠ACD＝8（1﹣cos∠ACD），其中∠ACD∈（0，π），所以cos∠ACD∈（﹣，1），所以x2∈（0，12），解得x∈（0，2），所以F（x）的定义域为（0，2）．故答案为：（0，2）4+2．【点评】本题考查了空间四面体的表面积计算问题，是基础题．6．【分析】由题意画出图形，设正四棱锥的底面边长为a，由侧面积列式求得a值，进一步求得侧棱长．【解答】解：如图，设正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为a，底面中心为O，取BC的中点M，连接OM，PM，则OM＝，斜高PM＝＝．∴该棱锥的侧面积S＝，解得a2＝4．又OB＝，∴该棱锥的侧棱长为．故答案为：．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查正四棱锥侧面积的求法，是基础题．7．【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱的高为h，底面半径为r，用r表示h，从而求出圆柱侧面积的最大值．【解答】解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h，底面半径为r，则＝，解得h＝2﹣r；所以S圆柱侧＝2πrh＝2πr（2﹣r）＝4π（r﹣r2）；当r＝2时，S圆柱侧取得最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了旋转体的侧面积最值问题，也考查了推理与计算能力，是基础题．8．【分析】一个长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的体对角线的长为．【解答】解：一个长方体的长、宽、高分别为2，2，1，∴它的体对角线的长为：＝3．故答案为：3．【点评】本题考查长方体的体对角线长的求法，考查长方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力、空间思维能力，属于基础题．9．【分析】取A1C1的中点M，A1B1的中点N，连接HM，MN，证明平面MNH∥平面A1BC，得NH∥平面A1BC，由此可得的值．【解答】解：如图，取A1C1的中点M，A1B1的中点N，连接HM，MN，由H，M，N分别为CC1，A1C1，A1B1的中点，得MH∥A1C，MN∥B1C1∥BC．∵A1C⊂平面A1BC，MH⊄平面A1BC，∴MH∥平面A1BC；∵BC⊂平面A1BC，MN⊄平面A1BC，∴MN∥平面A1BC，又MH∩MN＝M，∴平面MNH∥平面A1BC，则NH∥平面A1BC．由N为A1B1的中点，可知的值为．故答案为：．【点评】本题考查直线与平面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10．【分析】取BC中点E，连结AE、ED，可得∠AED是二面角的平面角，再由余弦定理求解．【解答】解：如图，三棱锥A﹣BCD的棱长都相等，取BC中点E，连结AE、ED，∵三棱锥A﹣BCD各棱长均相等，∴AE⊥BC，ED⊥BC，∴∠AED是二面角A﹣BC﹣D的平面角，设棱长AB＝2，则AE＝ED＝，∴cos∠AED＝．即棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是．故答案为：．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，熟练掌握正四面体的性质、二面角的定义、余弦定理的应用是解答此题的关键，是中档题．11．【分析】由于AA1∥BB1，所以∠B1BC1即为所求，在Rt△B1BC1中，根据三角函数的知识求出tan∠B1BC1即可得解．【解答】解：因为AA1∥BB1，所以∠B1BC1为异面直线AA1与BC1所成角，在Rt△B1BC1中，tan∠B1BC1＝，即∠B1BC1为45°，所以异面直线AA1与BC1所成角的大小为45°．故答案为：45°．【点评】本题考查异面直线夹角的求法，采用平移的思想，将异面直线平移至一个平面内便于找出其平面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．12．【分析】设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，由题意可得abc＝60，再由棱锥体积公式求得三棱锥E﹣BCD的体积．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，由题意可得，abc＝60，∵E为CC1的中点，∴．故答案为：5．【点评】本题考查棱柱与棱锥体积的求法，是基础的计算题．13．【分析】若l∥m，m⊥α，则l⊥α，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论．【解答】解：l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，可得若l∥m，m⊥α，则l⊥α，理由：在α内取两条相交直线a，b，由m⊥α可得m⊥a．m⊥b，又l∥m，可得l⊥a．l⊥b，而a，b为α内的两条相交直线，可得l⊥α．【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．14．【分析】根据直角三角形的性质即可计算底面半径．【解答】解：设圆锥顶点为S，底面圆心为O，A为底面圆周上一点，则SO⊥OA，由题意可知：SA＝10，∠OSA＝30°，∴圆锥的底面半径为OA＝10sin30°＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，属于基础题．15．【分析】②③⇒①，可由线面平行的性质定理和线面垂直的性质，可得证明．【解答】解：若a⊥α，b∥α，则a⊥b．理由：过b画一个平面β，使得β∩α＝c，∵b∥α，b⊂β，β∩α＝c，∴b∥c，又a⊥α，c⊂α，可得a⊥c，又b∥c，可得a⊥b．故答案为：若a⊥α，b∥α，则a⊥b．【点评】本题考查空间线线和线面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于基础题．16．【分析】可考虑无公共点的两直线a，b是否在同一个平面内，可得a，b的位置关系．【解答】解：空间中两直线a与b没有公共点，若a，b在同一个平面内，则a，b为平行直线；若a，b不同在任何一个平面内，则a，b为异面直线．故答案为：平行或异面．【点评】本题考查空间两直线的位置关系，考查分类讨论思想，属于基础题．17．【分析】首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r，则：（2r）2＝22+22+22＝12，解得r＝，故球的直径为2．球的表面积为S＝．故答案为：2．【点评】本题考查的知识要点：正方体和外接球的关系的应用，球的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18．【分析】由已知画出图形，再由等体积法求三棱锥的体积．【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，不妨设PA＝1，PB＝2，PC＝3．则，由PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，得PC⊥平面PAB．∴V P﹣ABC＝V C﹣PAB＝．故答案为：1．【点评】本题考查棱锥体积的求法，训练了利用等体积法求多面体的体积，是基础题．。
河南省信阳市固始县高级中学2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题
河南省信阳市固始县高级中学2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题一、单选题1．复数312i 1iz +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知α，β是平面，m ，n 是直线，下列命题中不正确的是（ ） A ．若//m α，n αβ=I ，则//m n B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥ C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥3．已知向量()2,m λ=r ，()2,4n λ=--r ，若m r与n r 共线且反向，则实数λ的值为（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．2-或44．甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为Z 甲，Z 乙，方差分别为2s 甲，2s 乙，则（ ）A ．Z Z =甲乙，22s s >乙甲B ．Z Z =甲乙，22s s <甲乙C ．Z Z >甲乙，22s s >乙甲 D ．Z Z <甲乙，22s s >乙甲5．已知函数π())(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移(0)θθ>个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为（ ）A ．π8B ．π4C ．3π8 D ．π26．已知α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3cos cos cos αβαβ+=，则()tan αβ+的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．38．已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足3BE EC =u u u r u u u r ，12AE BD ⋅=-u u u r u u u r ，则AF BE ⋅u u u r u u u r的最大值为（ ）A ．0B ．23C ．43D ．3二、多选题9．一个平面截正方体所得的截面图形可以是（ ） A ．等边三角形B ．正方形C ．梯形D ．正五边形10．若1b c >>，01a <<，则下列结论正确的是（ ）A ．a a b c <B ．log log b c a a >C ．a a cb bc <D ．log log c b b a c a >11．在锐角ABC V 中，设a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 对边，1a =，cos cos 1b A B -=，则下列选项正确的有（ ）A ．2B A =B ．b 的取值范围是)C ．当32b =时ABC VD ．若当,A B 变化时，2sin 2sin B A λ-存在最大值，则正数λ的取值范围为⎛ ⎝⎭三、填空题12．若函数tan y x ω=在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为严格增函数，则实数ω的取值范围是.13．已知函数()f x 是偶函数，对任意x ∈R ，均有()()2f x f x =+，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则函数()()()5log 1g x f x x =-+的零点有个.14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长均为2．以11A D 为半径的球面与侧面11B BCC 的交线长为．四、解答题15．已知()()4,3,23213a b a b a b ==-⋅+=r r rr r r ．(1)求a r 与b r的夹角；(2)若a r 在b r 方向上的投影向量为c r，求()c a b ⋅+r r r 的值．16．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC V 的面积为S ，已知2c =，且224a b +=+． (1)求C ；(2)a -的取值范围．17．为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[]40,100内，并制成如图所示的频率分布直方图．(1)估计这100名学生的平均成绩；(2)若在区间[)70,80内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间[]80,100内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，据此估计在[]70,100内的所有学生测试成绩的平均数和方差．18．已知函数()()212cos 1sin 2cos 42f x x x x =-+，求：（1）()f x 的最小正周期及最大值；（2）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()f α=，求α的值；（3）若()210f x m -+=，在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个不等的实数根，求m 的取值范围.19．在直角梯形ABCD 中，,22AD BC BC AD AB ===∥90ABC ∠=︒（如图1），把△ABD 沿BD 翻折，使得A ∉平面BCD ，连接AC ，M ，N 分别是BD 和BC 中点（如图2）．(1)证明：平面BCD ⊥平面AMN ；(2)记二面角A —BC —D 的平面角为θ，当平面BCD ⊥平面ABD 时，求tan θ的值； (3)若P 、Q 分别为线段AB 与DN 上一点，使得()R AP NQPB QDλλ==∈（如图3），令PQ 与BD 和AN 所成的角分别为1θ和2θ，求12sin sin θθ+的取值范围．。
浙江省嘉兴市2023-2024学年高一下学期6月期末检测数学试题(含答案)
嘉兴市2023~2024学年第二学期期末检测高一数学试题卷考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上．2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，，，则（）A．B ．CD4．如图，下列几何关系表达正确的是（）A ．，，m ，n 共面B ．，，m ，n 共面C ．，，m ，n 异面D ．，，m ，n 异面5．一个笔袋中装有4支不同的水笔，其中2支黑色，1支蓝色，1支红色，若从中任取2支，恰好取到1支黑色和1支红色水笔的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．6，在平行四边形中，已知，（如图1），将沿BD 折起到的位置（如图2），使得平面平面，则直线SB 与直线CD 所成角为（）2i -+(1,2)a =- (1,2)b =a b ⊥ //a b 5a b ⋅= (0,4)a b +=ABC △2a =c =60A =︒sin C =3412m α∈A α⊂m α⊂A α∈m α∈n A α= m α⊂n A α= 16141312ABCD AD BD =90ADB ∠=︒ADB △SDB △SDB ⊥BCDA ．30°B ．60°C ．90°D ．120°7．已知数据，，，，，的平均数为10，方差为1，数据，，，的平均数为5，方差为3，将两组数据合在一起组成一个容量为10的新样本，则新样本的方差为（ ）A ．4.2B ．4.8C ．7.8D ．9.28．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知，，E 为BC 中点，在线段AB 上，且，和CF 相交于点，则的余弦值为（ ）ABCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．气象台预报嘉兴市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度（单位℃）分别为：24，28，23，25，26，26，29，则以下说法正确的是（）A ．该组数据的极差为6B ．该组数据的众数为26C ．该组数据的中位数为25．5D ．该组数据的第70百分位数为2610．如图，点A ，B 在上，则下列所给条件可以求出数量积的是（ ）A ．，B ．，C ．D ．11．如图，已知正八面体（围成八面体的八个三角形均为等边三角形）的棱长为2，其中四边形为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为，则以下结论正确的是（）1x 2x 3x 4x 5x 6x 1y 2y 3y 4y ABC △sin 2sin A B =60C =︒F2AF FB =AE P EPF ∠C AC AB ⋅||AB = ||2AC =30CAB ∠=︒||2AC =30CAB ∠=︒||2AC = ||AB =S ABCD T --ABCD OA ．点到平面的距离等于1B ．点到直线CT 的距离等于1C ．球在正八面体外部的体积小于D ．球三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．若复数满足（为虚数单位），则__________．13．已知，，且与相互独立，__________．14．如图，壕股塔位于嘉兴南湖西侧的南湖渔村中，某项目化学习小组为了测量其高度，选取与塔底O 在同一水平面的三个测量点A ，B ，C ，分别测得塔顶P 点的仰角为30°，45°，30°，延长AB 交OC 于点D ，经测量D 为OC 上靠近O 点的三等分点，B为AD 的中点，米，则塔高__________米．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（本题满分13分）已知向量，满足，，．（1）求向量与的夹角；（2）求．16．（本题满分15分）在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且．（1）求；（2）若的面积为，且，求a ，c ．17．（本题满分15分）嘉兴市期末测试中数学多选题评分标准如下：若某试题有两个正确选项，选对一个得3分，选对两个得6分，有错选得0分；若该试题有三个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分，三个都选对得6分，有错选得0分，小明同学正在做一道数学多选题（多选题每题至少选一项且不能全选，O CDT O O 4π3⎛ ⎝O z (1i)2z +=i ||z =()0.8P A =()0.92P A B = A B ()P B =120AC =PO =a b ||3a = ||b =92a b ⋅= a b|23|a b -ABC △cos sin b A B c a +=+B ABC △b =假设每个选项被选到的概率是等可能的），请帮助小明求解以下问题：（1）若该多选题有两个正确选项，在完全盲猜（可以选一个选项、可以选两个选项、也可以选三个选项）的情况下，求小明得6分的概率；（2）若该多选题有三个正确选项，小明已经判定A 正确（正确答案中有A 选项，且A 必选）的情况下，求小明得分大于等于4分的概率．18．（本题满分17分）如图，在三棱锥中，已知，，底面，E 为SB 中点，为线段BC 上一个动点．（1）证明：平面平面；（2）若为线段BC 中点，求二面角的余弦值；（3）设为线段AE 上的一个动点，若平面，求线段MF 长度的最小值．19．（本题满分17分）在中，已知，，，为线段BC 上一个动点．（1）若AD 为的角平分线，求线段AD 的长；（2）将折起到的位置，记二面角的大小为．i ）若，且AD 为的角平分线，求三棱锥外接球的面积；ii ）若，求三棱锥外接球的面积最小值．嘉兴市2023~2024学年第二学期期末检测高一数学参考答案（2024．6）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B 2．D3．A4．D5．C6．B7．C8．B第8题详解解：由，解得，由，解得，所以，如图，设，，，，，解得．S ABC -2AB BC SA ===AB BC ⊥SA ⊥ABC F AEF ⊥SBC F B AE F --M //MF SAC ABC △4AB =5BC =6AC =D BAC ∠CAD △SAD △S AD B --α90α=︒BAC ∠S ADB -120α=︒S ADB -sin 2sin A B =2a b =60C =︒222cos 2a b c C ab+-=c =6b=FE AE =6)CF =-cos ||||AE CF FPE AE CF ⋅∠==二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．ABD 10．ABD11．BCD第11题详解A ．容易判断，错误B ．容易判断，正确C ．球在正八面体外部的体积小于球体积与正八面体内切球体积之差，正确D ．球在正八面体外部的面积等于正八面体外8个球冠的表面积．每一个球冠的表面积大于这个球冠中内，所以8，正确三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．1213．0．614．60第14题详解解：设，设，由，得，同理可得，，由为OC 上靠近点的三等分点，解得，由解得，由，解得．O O 4π3⎛⎝O PO a =AB BD x ==30PAO ∠=︒OA =OB a =OC =D O OD =cos OAD ∠==x =222222221833312033cos 62h h h h h COA h h +-+-∠==60h =四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1），所以，解：（2），．16．解：（1）由，，，，解得，所以，．解：（2）由，，解得，由：，解得：，所以，或，．17．解：（1）设总选项个数为，记事件“小明得6分”，选项个数为，假设正确选项为AB ，则，列举法：单选项有A ，B ，C ，D 共计4个，双选项有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共计6个，三选项有，，，共计4个，个（其它方法也可以，得分相同），．cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉=== ,30a b ︒〈〉=|23|3a b -=== cos sin b A B c a +=+sin cos sin sin sin B A A B C A +=+sin cos sin sin()sin B A A B B A A +=++cos 1B B -=π2sin 16B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π3B =π3B =ABC S ==△8ac =2222cos 12b a c ac B =+-=2220a c +=2a =4c =4a =2c =N A =A N 1A N =ABC ACD ABD BCD 46414N =++=1()14A N P A N ==解：（2）设总选项个数为，记事件“小明得分大于等于4分”选项个数为假设为答案小明已经判定正确（正确答案中有选项，且小明项必选）的情况下，列举法：单选项有共计1个，且仅得2分，双选项有AB ，AC ，AD 共计3个，其中2个得4分，三选项有，，共计3个，其中1得6分，，，．18．证明：（1）因为，所以，因为底面，平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以，因为，E 为SB 中点，所以，又，所以平面，因为平面，所以平面平面．解：（2）因为平面，所以，，平面平面，由二面角定义，可知为所求角，设，可求出，，，所以．解：（3）过点作AB 的垂线，垂足为，过点作，因为，，且，平面，所以，因为平面，平面，所以平面，同理平面，，所以平面平面，N B =BN ABC A A A A ABC ACD ABD 1337N =++=213B N =+=3()7B N P B N ==1π2B =AB BC ⊥SA ⊥ABC BC ⊂ABC SA BC ⊥AB SA A = BC ⊥SAB AE ⊂SAB BC AE ⊥SA AB =AE SB ⊥BC SB B = AE ⊥SBC AE ⊂AEF AEF ⊥SBC AE ⊥SBC AE BE ⊥AE EF ⊥AEF SAB AE =FEB ∠2SA=BE =1BF=EF=cos EB EEB EF ∠===M N N //NF AC SA AB ⊥MN AB ⊥SA MN ⊂SAB //SA MN SA ⊂SAC MN ⊂/SAC //MN SAC //NF SAC NF MN N = //MNF SAC平面，所以平面．设，，则，，，解得，所以当时，线段MF19．解：（1）在中，已知，，，由，因为直线AD 为角平分线，所以，解得，，在中，，所以．（2）在中，由（1）知，解得，为AD 中点，设外接圆为，半径为，，由，解得，在中，，解得，为AD 中点，设外接圆为，半径为，，MF⊂MNF //MF SAC BN λ=2SA =BF λ=NF =2AN MN λ==-222222(2)2344(12)MF MN NF λλλλλ=+=-+=-+≤≤1λ=ABC △4AB =5BC =6AC =2221cos 28AB BC AC B AB BC +-==⋅BAC ∠235BD AB DC AC BD DC ⎧==⎪⎨⎪+=⎩2BD =3CD =ABD △2222cos 18AD AB BD AB BD B =+-⋅=AD =ABD △1cos 8B =sin B =T ABD △1O 1r 1O T m =12sin AD r B ===sin B =1m O T ====ABC △sin sin AC ABB C=sin C =T ADS △2O 2r 2O T n =由，解得，，因为OT 为四边形中外接圆的直径，同时也为外接圆直径，所以，，设二面角外接球半径为，解得，由，解得，外接球表面积为．（3）由为线段BC 上一个动点，设，，由（1）（2）方法解得：，在中，由（1）知，解得，为AD 中点，设外接圆为，半径为，，由，解得，，22sinAD r C ==2r=2n O T ===12OO TO 12O TO △222122cos O O m n mn α=+-22212222cos sin sin O O m n mn OT ααα+-==R 22222222cos 4sin 4AD m n mn AD R OT αα+-=+=+90α=︒222222222cos 145sin 4414m n mn AD AD R m n αα+-=+=++=22904ππ7S R ==D BD x =[0,5]x ∈2216AD x x =-+ABD △1cos 8B =sin B =T ABD △1O 1r 1O T m =12sin ADr B =1r =1m O T ===在中，由，解得，为AD 中点，设外接圆为，半径为，，由，解得，，设二面角外接球半径为，可知，，外接球表面积为，当时，解得．ABC △sin sin AC ABB C=sin C =T ADS △2O2r 2O T n =22sin ADr C=2r =2n O T ===R 120α=︒()2222222cos 7916sin 4108m n mn AD R x x αα+-=+=-+()22794ππ1627S R x x ==-+12x =2min 5534ππ12S R ==。
高一(下学期)期末考试数学试卷
高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（ ） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（ ） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0． （1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误． 故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误； 对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确． 故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件． 故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人， 设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ， 连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=， 所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8， 则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确， 所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可． 【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥， 同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错； 因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ， 则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错． 故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒． 故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥． 又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥． （2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ． 又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=， 估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人， （3）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=， 即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=， 所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712． 【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节， 故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=， 乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=， 所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥， 又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ， 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。
高一数学下期末考试考点教师版
学科教师辅导讲义讲义编号
（2）若)(x f 在]4
,6[π
π-
上最大值与最小值之和为3，求a 的值； （3）在（2）条件下)(x f 先经过平移变换，再经过伸缩变换后得到x y sin =，请写出完整的变换过程。
18．（本小题满分10分）已知定义在区间]32,[ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线6π-=x 对称，当]
3
2
,6[ππ-∈x 时，函数
)2
2
,0,0()sin()(π
ϕπ
ωϕω<
<-
>>+=A x A x f ，
其图象如图所示。
（1）求函数)(x f y =在]3
2
,[ππ-的表达式；
（2）求方程2
2
)(=x f 的解.
19、（本小题满分10分）假设A 型进口车关税税率在2002年是100％，在2007年是25％，2002年A 型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）．
（1）已知与A 型车性能相近的B 型国产车，2002年每辆价格为46万元，若A 型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2007年B 型车的价格不高于A 型车价格的90％，B 型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？。
苏教版高一下学期数学期末试卷(含答案解析)
启东市高一下学期数学期末试卷一、填空题（每题5分，共70分）1．若直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为．2．一元二次不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集为．3．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是．4．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为．5．已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为．6．在等比数列{a n}中，已知公比q=，S5=﹣，则a1= ．7．在△ABC中，已知a=6，b=5，c=4，则△ABC的面积为．8．已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为．9．已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为．11．已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B ﹣AM﹣C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为．12．已知正实数m，n满足+=1，则3m+2n的最小值为．13．已知直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的斜率为．14．正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，则实数k的取值范围为．二、解答题15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．16．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．三、解答题17．已知数列{a n}满足a n+1=λa n+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．18．已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．19．如图是市儿童乐园里一块平行四边形草地ABCD，乐园管理处准备过线段AB上一点E设计一条直线EF（点F在边BC或CD上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为2：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．经测量得AB=18m，BC=10m，∠ABC=120°．设EB=x，EF=y（单位：m）．（1）当点F与C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）请确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．20．已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2且a n＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=，记S n=，如果S n＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．参考答案一、填空题（每题5分，共70分）1．若直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为．【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．可得tanθ=﹣1，解得θ．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．∴tanθ=﹣1，解得θ=．故答案为：．2．一元二次不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集为[﹣2，] ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（2x﹣3）（x+2）≤0，求出解集即可．【解答】解：不等式﹣2x2﹣x+6≥0化为2x2+x﹣6≤0，即（2x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤，所以不等式的解集为[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]．3．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是4．【考点】HP：正弦定理．【分析】设30°角所对的边长是x，由正弦定理可得，解方程求得x的值．【解答】解：设30°角所对的边长是x，由正弦定理可得，解得 x=，故答案为．4．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为①③．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据直线与平面的位置关系的定义判定即可．【解答】解：直线l在平面α外包含两种情况：平行，相交．对于①，l∥α，能确定直线l在平面α外，对于②，l与α至少有一个公共点，直线可能与平面相交，故不能确定直线l在平面α外，对于③，l与α至多有一个公共点，直线可能与平面相交或平行，故能确定直线l在平面α外，故答案为：①③5．已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为3x+2y﹣12=0 ．【考点】IB：直线的点斜式方程．【分析】写出直线的截距式方程，根据要求条件参数的值，得到本题结论．【解答】解：设l在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a＞0，b＞0），则直线l的方程为+=1∵P（2，3）在直线l上，∴+=1．又由l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为12，可得ab=24，∴a=4，b=6，∴直线l的方程为+=1，即3x+2y﹣12=0，故答案为：3x+2y﹣12=0．6．在等比数列{a n}中，已知公比q=，S5=﹣，则a1= ﹣4 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的前n项和公式直接求解．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，公比q=，S5=﹣，∴==﹣，a1=﹣4．故答案为：﹣4．7．在△ABC中，已知a=6，b=5，c=4，则△ABC的面积为．【考点】HR：余弦定理；%H：三角形的面积公式．【分析】由余弦定理算出cosA，结合同角三角函数的平方关系得sinA，最后由正弦定理的面积公式，可得△ABC的面积．【解答】解：∵△ABC中，a=6，b=5，c=4，∴由余弦定理，得cosA==，∵A∈（0，π），∴sinA==，由正弦定理的面积公式，得：△ABC的面积为S=bcsinA=×5×4×=，故答案为：．8．已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，进一步求出高，代入棱锥体积公式得答案．【解答】解：如图，∵P﹣ABCD为正四棱锥，且底面边长为2，过P作PG⊥BC于G，作PO⊥底面ABCD，垂足为O，连接OG．由侧面积为12，即4×，即PG=3．在Rt△POG中，PO=∴正四棱锥的体积为V=故答案为：9．已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为（1，）．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分．则z=，表示直线的斜率，再将点P移动，观察倾斜角的变化即可得到k的最大、最小值，从而得到的取值范围．【解答】解：设直线3x﹣2y+4=0与直线2x﹣y﹣2=0交于点A，可得A（8，14），不等式组表示的平面区域如图：则的几何意义是可行域内的P（x，y）与坐标原点连线的斜率，由可行域可得k的最大值为：k OA=，k的最小值k=1．因此，的取值范围为（1，）故答案为：（1，）．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为．【考点】IT：点到直线的距离公式．【分析】由于直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0经过定点P（1，﹣2），即可求出原点O到直线l 的距离的最大值．【解答】解：直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0化为（1﹣x）+k（2x+y）=0，联立，解得，经过定点P（1，﹣2），由于直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0经过定点P（1，﹣2），∴原点O到直线l的距离的最大值为．故答案为：．11．已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B ﹣AM﹣C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到平面ABC的距离．【解答】解：∵正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B﹣AM﹣C的大小为90°，∴MA、MB、MC三条直线两两垂直，AM=，BM=CM=1，以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则M（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，0，），=（﹣1，0，0），=（﹣1，0，），=（﹣1，1，0），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，，1），∴点M到平面ABC的距离为：d===．故答案为：．12．已知正实数m，n满足+=1，则3m+2n的最小值为3+．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，分析可得3m+2n=（m+n）+（m﹣n），又由+=1，则有3m+2n=[（m+n）+（m﹣n）]×[+]=3++，利用基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，3m+2n=（m+n）+（m﹣n），又由m，n满足+=1，则有3m+2n=[（m+n）+（m﹣n）]×[+]=3++≥3+2=3+，当且仅当=时，等号成立，即3m+2n的最小值为3+，故答案为：3+．13．已知直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的斜率为或﹣3 ．【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设P（a，b）是直线l上任意一点，则点P到直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0的距离相等．，整理得a﹣3b﹣1=0或3a+b﹣3=0，即可求解．【解答】解：设P（a，b）是直线l上任意一点，则点P到直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0的距离相等．整理得a﹣3b﹣1=0或3a+b﹣3=0，∴直线l的斜率为或﹣3．故答案为：或﹣314．正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，则实数k的取值范围为．【考点】8H：数列递推式．【分析】a n=2﹣1，可得S n=，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，利用已知可得：a n﹣a n﹣=2．利用等差数列的求和公式可得S n，再利用基本不等式的性质即可得出．1【解答】解：∵a n=2﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2．n=1时，a1=S1=，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴S n=n+=n2．∴不等式S P+S q＞kS p+q化为：k＜，∵＞，对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，∴．则实数k的取值范围为．故答案为：．二、解答题15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简可得sinAsinB=sinBcosA，结合sinB≠0，可求tanA，由范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵ asinB=bcosA．由正弦定理，得： sinAsinB=sinBcosA，∵0＜B＜π，sinB≠0．∴sinA=cosA，即tanA=．∵0＜A＜π，∴A=．（2）∵由a=1，A=，∴由余弦定理，1=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，得：bc≤2，当且仅当b=c等号成立，∴△ABC的面积S=bcsinA≤（2+）×=，即△ABC面积的最大值为．16．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出AD⊥C1D，从而CC1⊥平面ABC，进而AD⊥CC1，由此能证明AD⊥平面BCC1B1．即平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）由AD⊥BC，得D是BC中点，连结ED，得四边形AA1DE是平行四边形，由此能证明A1E ∥平面ADC1．【解答】证明：（1）∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D，∴CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1，又C1D∩CC1=C1，∴AD⊥平面BCC1B1．AD⊂面ADC1，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）∵AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥BC，∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AC，∴D是BC中点，连结ED，∵点E是C1B1的中点，∴AA1∥DE且AA1=DE，∴四边形AA1DE是平行四边形，∴A1E∥AD，又A1E⊄面ADC1，AD⊂平面ADC1．∴A1E∥平面ADC1．三、解答题17．已知数列{a n}满足a n+1=λa n+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）当λ=1时，，由此利用累加法能求出数列{a n}的通项公式．（2）当λ=2时， =，再由，能证明数列{}是首项为1，公差为的等差数列，从而a n=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，由此利用错位相减法能出数列{a n}的前n项和．【解答】解：（1）当λ=1时，a n+1=a n+2n（n∈N*），且a1=2．∴，∴a n=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a n﹣a n﹣1=2+2+22+…+2n﹣1=2+=2n．证明：（2）当λ=2时，a n+1=2a n+2n（n∈N*），且a1=2．∴，即=，∵，∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，∴=，∴a n=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，∴数列{a n}的前n项和：S n=2•20+3•2+4•22+…+（n+1）•2n﹣1，①2S n=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，②②﹣①，得：S n=（n+1）•2n﹣2﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n+1）•2n﹣2﹣=（n+1）•2n﹣2﹣2n+2=n•2n．18．已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．【考点】IM：两条直线的交点坐标．【分析】（1）分别求出直线l1与l3的交点A、l1与l2的交点B和l2与l3的交点C，且判断三点的坐标各不相同即可；（2）根据题意画出图形，由AB⊥BC知点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；由此求出△ABC的面积最大值．【解答】解：（1）证明：直线l1：ax﹣y+a=0恒过定点A（﹣1，0），直线l3：（a+1）x﹣y+a+1=0恒过定点A（﹣1，0），∴直线l1与l3交于点A；又直线l2：x+ay﹣a（a+1）=0不过定点A，且l1与l2垂直，必相交，设交点为B，则B（，）；l2与l3相交，交点为C（0，a+1）；∵a＞0，∴三点A、B、C的坐标不相同，即这三条直线共有三个不同的交点；（2）根据题意，画出图形如图所示；AB⊥BC，∴点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；则△ABC的面积最大值为S=•|AC|•|AC|=×（1+（a+1）2）=a2+a+．19．如图是市儿童乐园里一块平行四边形草地ABCD，乐园管理处准备过线段AB上一点E设计一条直线EF（点F在边BC或CD上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为2：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．经测量得AB=18m，BC=10m，∠ABC=120°．设EB=x，EF=y（单位：m）．（1）当点F与C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）请确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）根据面积公式列方程求出BE；（2）对F的位置进行讨论，利用余弦定理求出y关于x的解析式；（3）分两种情况求出y的最小值，从而得出y的最小值，得出E，F的位置．【解答】解：（1）∵S△BCE=，S ABCD=2×，∴==，∴BE=AB=12．即E为AB靠近A的三点分点．（2）S ABCD=18×10×sin120°=90，当0≤x＜12时，F在CD上，∴S EBCF=（x+CF）BCsin60°=90，解得CF=12﹣x，∴y==2，当12≤x≤18时，F在BC上，∴S△BEF==，解得BF=，∴y==，综上，y=．（3）当0≤x＜12时，y=2=2≥5，当12≤x≤18时，y=＞＞5，∴当x=，CF=时，直线EF最短，最短距离为5．20．已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2且a n＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=，记S n=，如果S n＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由题设条件知a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，由此可知a2=2．（2）由题意知，a n+13=（a1+a2++a n+a n+1）2﹣（a1+a2++a n）2，由于a n＞0，所以a n+12=2（a1+a2++a n）+a n+1．同样有a n2=2（a1+a2++a n﹣1）+a n（n≥2），由此得a n+12﹣a n2=a n+1+a n．所以a n+1﹣a n=1．所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，由通项公式即可得到所求．（3）求得b n===2[﹣]，运用数列的求和方法：裂项相消求和，可得S n，结合不等式的性质，恒成立思想可得m≥，进而得到所求最小值．【解答】解：（1）当n=1时，有a13=a12，由于a n＞0，所以a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，将a1=1代入上式，可得a22﹣a2﹣2=0，由于a n＞0，所以a2=2．（2）由于a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2，①则有a13+a23+…+a n3+a n+13=（a1+a2+…+a n+a n+1）2．②②﹣①，得a n+13=（a1+a2+…+a n+a n+1）2﹣（a1+a2+…+a n）2，由于a n＞0，所以a n+12=2（a1+a2+…+a n）+a n+1．③同样有a n2=2（a1+a2+…+a n﹣1）+a n（n≥2），④③﹣④，得a n+12﹣a n2=a n+1+a n．所以a n+1﹣a n=1．由于a2﹣a1=1，即当n≥1时都有a n+1﹣a n=1，所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．故a n=n．（3）b n===2[﹣]，则S n=2[﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣]=2[+﹣﹣]＜2×=，S n＜对任意的n∈N*恒成立，可得≥，即有m≥，可得正整数m的最小值为4．2017年7月28日。
山东省泰安市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题(含答案)
泰安市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题2024.07注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ）A. 1B. ﹣1C. D. ﹣2. 若，为非零向量，则“”是“”（ ）A 充要条件B. 充分不必要条件C 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A. 若，，则B. 若，，，则C. 若，，，，则D. 若，，，则4. 已知在中，，，，则（ ）A.B.C.D.或5. 如图是某公司2023年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是台，完成率为，则下列叙述正确的是（ ）的..z ()11z i i +=-i z iia ba b a b +=+ //a b m n αβ//m α//n α//m n //αβm α⊥//n βm n ⊥m α⊂n ⊂α//m β//n β//αβαβ⊥//m α//n βm n ⊥ABC V 1AB =AC =π3C =B =π4π63π4π43π440090%（1）2023年9月销售量是450台；（2）2023年月销售任务的平均值不超过600台；（3）2023年第四季度总销售为800台；（4）2023年月销售量最大的是6月份．A. （1）（2）B. （1）（3）C. （1）（3）（4）D. （1）（2）（4）6. 某班共有40名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同学了解其艺术特长，设事件 “选中的同学精通乐器”， “选中的同学擅长舞蹈”，若，则（ ）A.B.C.D.7. 如图，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为，向山顶前进100m 到达B 处，在B 处测得C 对于山坡的斜度为，若，山坡与地平面的夹角为θ，则（ ）A.B.C.D.8. 祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差．如图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC 和BOD 均是以半圆，平面AOC 和平面BOD 均垂直于平面ABCD ，用任意平行于账篷底面ABCD 的平面截帐篷，所得截的A =B =()25P A B = ()P AB =14151811015 30 60m CD =cos θ=1-3456面四边形均为正方形．模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ）A B. 若，则C. D. 若，则或10.已知在直角中，斜边，为所在平面内一点，，则下列结论正确的是（ ）A. 的取值范围是B. 点P 在斜边AB 的中线上C. 点P 的轨迹长度是2D. 的取值范围是11. 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，已知，，将沿BD 翻折到位置，则下列结论正确的是（ ）A. 翻折过程中存在某个位置，使B. 当二面角为时，点C 到平面C. 直线与CD 所成角的取值范围为.1z 2z 2211z z =12z z =21z z =1212z z z z =⋅i 1z -=0z =2iz =ABC V 2AB =P ABC V ()221sin cos 2BP BA BC R θθθ=+∈ AB AC ⋅u u u r u u u r()0,4()PC PA PB ⋅+ 1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦AD BC P 122AD AB BC ===ABD △A BD 'V A C CD'⊥A BD C '--120 A BD 'A B 'ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 当三棱锥的体积最大时，以为直径的球被平面所截的截面面积为π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知单位向量，的夹角为，________．13. 某班学生分成了A ，B 两个数学兴趣小组，A 组20人，B 组30人，经过一周的学习后进行了一次测试，在该测试中，A 组成绩的平均数为90分，方差为30，B 组成绩的平均数为80分，方差为40，则在这次测试中，全班学生成绩的方差为________．14. 如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边，，，交于点，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 青少年时期是身心健康和各项身体素质发展的关键时期，青少年的体质健康水平不仅关系个人健康成长和幸福生活，而且关系整个民族健康素质，关系我国人才培养的质量.某高中为了解本校高一年级学生体育锻炼情况，随机抽取100名同学，统计他们每天锻炼的时间作为样本得到如图所示的频率分布直方图．已知样本中体育锻炼时间在的学生有20人．（1）求频率分布直方图中a 和b 的值；（2）估计样本数据的第70百分位数和平均数16. 如图，在直三棱柱中，D ，E 分别为，的中点．，，A BCD '-A C 'A BD 'a b 2π3a mb -=m =8AC =π3BAC ∠=π4DAC ∠=BD AC E AE =[)60,70111ABC A B C -1AA 1BC 2AB AC ==BC =12AA =（1）求证：平面ABC ；（2）求直线CD 与平面所成角的正切值．17. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，．（1）求B ；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．18. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，已知事件 “与地面接触的面上的数字为偶数”，事件 “与地面接触的面上的数字不小于5”．（1）判断事件与是否相互独立，并证明；（2）连续抛掷3次这个正八面体，求事件至少发生次的概率；（3）请构造一个含有2个样本点的事件C ，满足①②，，三个事件两两独立③并给出证明．19. 如图，在矩形ABCD 中，，，E 是线段AB 上的一点，将沿DE 翻折，使A 点到达P 的位置，且点P 不在平面BCDE内．//DE 1BCC ABCV b=()()()()sin sin sin a B C B C b c -+=-+ABCV 222a c +{}1,2,3,4,5,6,7,8Ω=A =B =A B AB 2()0P ABC ≠A B C ()()()()P ABC P A P B P C ≠4AB =2AD =ADE V（1）若平面平面BCDE ，证明：平面平面；（2）设E 为AB 的中点，取DE 的中点O ，连接AO 并延长，交BC 延长线于点S ，设．①用表示二面角的正切；②当二面角最大时，求四棱锥的体积．PCD ⊥PDC ⊥PBC POS α∠=αP BC D --P BC D ---P BCDE泰安市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】或【13题答案】【答案】60【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）， （2）第70百分位数是82，平均数是74【16题答案】【答案】（1）略 （2）【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）事件，相互独立，证明略 （2）（3）事件可以为，，，中的任意一个，证明略【19题答案】【答案】（1）证明略 （2）①；②23-4-0.025a =0.02b =12π6B =()48,60A B 532C {}1,6{}1,8{}3,6{}38,tan )PGH απ∠=<<83。
高中数学高一下学期期末考试试卷(含答案)
高一期末测试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x <1}，B ={x|3x <1}，则( )A. B. A ∪B =R C. D. A ∩B =⌀2. 在下列区间中，函数f(x)=e x +4x −3的零点所在的区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,12) D. (12,1) 3. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为30°，且|a ⃗ |=√3，|b ⃗ |=2，则|a ⃗ −b ⃗ |等于( )A. 1B. √13C. 13D. √7−2√34. 设x ∈R ，向量a ⃗ =(3,x)，b ⃗ =(−1,1)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a⃗ |=( ) A. 6 B. 4 C. 3√2 D. 3 5. 若sinα=−513，α为第四象限角，则tanα的值等于( )A. 125B. −125C. 512D. −5126. 在△ABC 中，a =2√3，c =2√2，A =60°，则C =( ) A. 30° B. 45° C. 45°或135° D. 60°7. 已知数列{a n }中，a 1=1，且a n+1=2a n +1，则a 4=( )A. 7B. 9C. 15D. 17 8. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3+a 9=16，则S 11=( )A. 88B. 48C. 96D. 176 9. 如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C的俯角分别为60o ，30°，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于( )A. 30√3B. 30(√3−1)C. 40√3D. 40(√3−1)10. 若函数y =x 2+(2a −1)x +1在区间(−∞,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A. [−32,+∞)B. (−∞,−32]C. [32,+∞)D. (−∞,32]11. 已知f(x)是定义在上的偶函数，且在区间(−∞,0)上单调递增，若实数a 满足f(2|a−1|)>f(−√2)，则a 的取值范围是( )A. (−∞,12) B. (−∞,12)∪(32,+∞) C. (12,32)D. (32,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）12. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为2π3，|a ⃗ |=√2，则a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为______．13. 如图，在△OAB 中，C 是AB 上一点，且AC =2CB ，设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ .(用a ⃗ ,b ⃗ 表示)14. 已知锐角α，β满足sinα=√55,sin(α−β)=−√1010，则β等于______．15. 数列{a n }前n 项和为S n =n 2+3n ，则{a n }的通项等于______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）16. 某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． (Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？17. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ 满足：|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=4，且(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =−20．(1)求证：(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ； (2)求向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，且acosC +ccosA =2bcosA.(1)求角A 的值；(2)若b +c =√10,a =2,求△ABC 的面积S ．19.已知，，f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；]上的最大值和最小值．(2)求函数f(x)在区间[0,π220.已知数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，满足b1=a2=2，a5+a9=14，b4=a15+1．(1)求数列{a n}，{b n}通项公式；(2)令c n=a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和T n．21.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−2(n∈N∗).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{S n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查交集和并集的求法，考查指数不等式的解法，属于基础题．先求出集合B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}={x|x<0}，∴A∩B={x|x<0}，所以A正确，D错误，A∪B={x|x<1}，所以B和C都错误，故选A．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数零点存在性定理，属于基础题．)<0，进而根据函数零点存在性定理可知函数f(x)=e x+由函数解析式可知f(0)·f(124x−3的零点所在的区间．【解答】解：∵函数f(x)=e x+4x−3在上连续，且易知f(x)在上是增函数，∴f(x)至多只有一个零点，∵f(0)=e0−3=−2<0，)=√e+2−3=√e−1=e12−e0>0，f(12∴f(0)·f(1)<0，2).∴由函数零点存在性定理可知函数f(x)=e x+4x−3的零点所在的区间为(0,12故选C．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．由向量数量积的定义可得a⃗·b⃗ 的值，再由向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值．【解答】解：向量a⃗与b⃗ 的夹角为30°，且|a⃗|=√3，|b⃗ |=2，=3，可得a⃗·b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |⋅cos30°=√3×2×√32则|a⃗−b⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2=√a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗=√3+4−2×3=1．故选：A．【解析】解：∵x∈R，向量a⃗=(3,x)，b⃗ =(−1,1)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =−3+x=0，解得x=3，∴a⃗=(3,3)，∴|a⃗|=√9+9=3√2．故选：C．由a⃗⊥b⃗ ，求出x=3，从而a⃗=(3,3)，由此能求出|a⃗|.本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量垂直的性质的合理运用．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．属于基础题．利用同角三角函数的基本关系式求出cosα，然后求解即可．【解答】解：∵sinα=−513，α为第四象限角，∴cosα=√1−sin2α=1213，即tanα=sinαcosα=−512．故选D．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．由已知即正弦定理可得sinC=csinAa =√22，利用大边对大角可得0<C<60°，即可解得C的值．【解答】解：∵a=2√3，c=2√2，A=60°，∴由正弦定理可得：sinC=csinAa =2√2×√322√3=√22，∵c<a，可得：0<C<60°，∴C=45°．故选B．7.【答案】C【解析】解：∵a1=1，且a n+1=2a n+1，变形为a n+1+1=2(a n+1)，∴数列{a n+1}是等比数列，首项与公比都为2．∴a n+1=2n，即a n=2n−1，则a4=24−1=15．故选：C．a1=1，且a n+1=2a n+1，变形为a n+1+1=2(a n+1)，利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】解：∵等差数列{a n}中，a3+a9=16，∴S11=a1+···+a11=11a6=11(a3+a9)=88，2故选：A．由题意、等差数列的性质、等差数列的前n项和公式，化简并求出S11的值．本题考查等差数列的性质，等差数列的前n项和公式的灵活应用，考查整体思想，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意可知∠C=30°，∠BAC=30°，∠DAB=30°，AD=60m，=40√3．∴BC=AB=60cos30∘故选：C．由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案．本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义，属于中档题．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数单调性的性质，其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键，属于基础题．由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数y=x2+(2a−1)x+1图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关键，即可得到答案．【解答】解：∵函数y=x2+(2a−1)x+1的图象是开口向上，以直线x=−2a−1为对称轴，2又∵函数在区间(−∞,2]上是减函数，∴2≤−2a−1，2．解得a≤−32故选B．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了指数函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题．根据偶函数的对称性可知f(x)在(0,+∞)递减，故只需令2|a−1|<√2即可．【解答】解：∵f(x)是定义在上的偶函数，且在区间(−∞,0)上单调递增，∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，∵2|a−1|>0，f(−√2)=f(√2)，∴2|a−1|<√2=212，∴|a−1|<1，2解得12<a <32． 故选C ．12.【答案】−√22【解析】解：根据条件，a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为：|a ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=√2cos 2π3=−√22．故答案为：−√22．由条件，可得出a⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为|a ⃗ |cos 2π3，从而求出投影的值．考查向量夹角的概念，向量投影的概念及计算公式． 13.【答案】13a ⃗ +23b ⃗【解析】解：OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ +23b ⃗ ． 故答案为：13a⃗ +23b ⃗ 利用向量的线性运算即可．本题考查了向量的线性运算，属于基础题．14.【答案】π4【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式，属于基础题．由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα、cos(α−β)的值，可得tanα，tan(α−β)的值，再利用两角和差的正切公式求得tanβ=tan[(α−(α−β)]的值． 【解答】解：∵锐角α，β满足sinα=√55,sin(α−β)=−√1010，∴cosα=√1−sin 2α=2√55，cos(α−β)=√1−sin 2(α−β)=3√1010， ∴tanα=sinαcosα=12，tan(α−β)=sin(α−β)cos(α−β)=−13，∴tanβ=tan[(α−(α−β)]=tanα−tan(α−β)1+tanα⋅tan(α−β)=12+131−12⋅13=1,故β=π4， 故答案为：π4．15.【答案】a n =2n +2【解析】【分析】本题考查数列的递推公式，数列的通项公式，考查学生的计算能力，属于基础题． 根据公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2进行计算，解题时要注意公式中对n =1的检验．【解答】解：当n =1时，a 1=S 1=1+3=4，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(n 2+3n)−[(n −1)2+3(n −1)]=2n +2， 当n =1时，2×1+2=4=a 1，适合上式， ∴a n =2n +2．故答案为a n =2n +2．16.【答案】解：(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为3600−300050=12，所以这时租出了88辆车．(Ⅱ)设每辆车的月租金定为x 元， 则租赁公司的月收益为f(x)=(100−x−300050)(x −150)−x−300050×50，整理得f(x)=−x 250+162x −21000=−150(x −4050)2+307050．所以，当x =4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)=307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．【解析】(Ⅰ)严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可；(Ⅱ)从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则．作为应用题要注意下好结论．本题以实际背景为出发点，既考查了信息的直接应用，又考查了目标函数法求最值．特别是二次函数的知识得到了充分的考查．在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题，非常值得研究．17.【答案】证明：(1)∵|b ⃗ |=4,(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =−20，∴a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=a ⃗ ⋅b ⃗ −16=−20， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−4，∵|a ⃗ |=2，∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ =0， ∴(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ． (2)设向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a ⃗ ,b⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=−12，θ=1200.即向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°．【解析】(1)先计算a ⃗ ⋅b ⃗ ，再计算(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =0即可得出结论；(2)代入夹角公式计算即可．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．18.【答案】解：(1)在△ABC 中，∵acosC +ccosA =2bcosA ， ∴sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosA ， ∴sin(A +C)=sinB =2sinBcosA ， ∵sinB ≠0，∴cosA=12，由A∈(0,π)，可得：A=π3；(2)∵cosA=12=b2+c2−a22bc，b+c=√10 , a=2，∴b2+c2=bc+4，可得：(b+c)2=3bc+4=10，可得：bc=2，∴S=12bcsinA=√32．【解析】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，平方和公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得sinB=2sinBcosA，结合sinB≠0，可求cos A，进而可求A的值．(2)由已知及余弦定理，平方和公式可求bc的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．19.【答案】解：，，由，∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，由，得：π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z；(2)由x∈[0,π2]可得：2x+π6∈[π6,7π6],当2x+π6=7π6时，函数f(x)取得最小值为2sin7π6+1=0,当2x+π6=π2时，函数f(x)取得最大值为2sinπ2+1=3,故得函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值为3，最小值为0．【解析】本题考查三角函数化简及三角函数的图象与性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．(1)由f(x)=a⃗⋅b⃗ ，根据向量的数量积的运用可得f(x)的解析式，化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；(2)在[0,π2]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出f(x)的最大值和最小值．20.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， ∵a 2=2，a 5+a 9=14，∴a 1+d =2，2a 1+12d =14，解得a 1=d =1． ∴a n =1+(n −1)=n ．∴b 1=a 2=2，b 4=a 15+1=16=2×q 3， ∴q =2． ∴b n =2n ．(2)c n =a n ⋅b n =n ⋅2n ．∴数列{c n }的前n 项和T n =2+2×22+3×23+⋯+n ⋅2n ①， 2T n =22+2×23+⋯+(n −1)⋅2n +n ⋅2n+1②，∴①−②⇒−T n =2+22+⋯+2n −n ⋅2n+1=2(1−2n )1−22(2n −1)2−1−n ⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2．∴T n =(n −1)⋅2n+1+2．【解析】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．(2)利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．21.【答案】解：(Ⅰ)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2①． 则S n+1=2a n+1−2②， ②−①得a n+1=2a n ， 即a n+1a n=2，当n =1时，a 1=S 1=2a 1−2， 解得a 1=2，所以数列的通项公式为a n =2⋅2n−1=2n ， (Ⅱ)由于a n =2n ，则S n =21+22+⋯+2n ， =2(2n −1)2−1，=2n+1−2．T n =2(21+22+⋯+2n )−2−2−⋯−2， =2n+2−4−2n ．【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n 项和公式求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n 项和的公式的应用以及分组求和．。
江苏省南通市通州区高一下学期期末数学试题教师版
x -2 )2019—2020 学年末学业质量监测试卷高一数学一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a , b 是单位向量，且a ⊥ b ，则a ⋅ (b - a ) ＝A. -1B. 0C.1D.2．在∆ABC 中，若sin A : sin B : sin C = 3 : 5 : 7 ，则C = A. 30︒B. 60︒C. 0︒D. 0︒3．使式子log (-x 2 + x + 6) 有意义的 x 的取值范围是 A. (- 2,3)B. (2,3)C. [- 2,3]D. (2,3]4．已知角α的终边为 y = 3x (x ≥ 0) ，则cos(α+ π=A. 1B.23 C. - 1D. -322225．设集合 A = {(x , y ) | y = 1- | x |}, B = {(x , y ) | y = 1- x 2} ，则 A B 中的元素个数为 A. 0B.1C. 2D. 36．我国古代典籍《周易》中用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从上到下排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“一一”，如图就是一个重卦，已知某重卦从上到下排列的前 3个爻均为阴爻，若后3个爻随机产生，则该重卦恰含2 个阳爻的概率为A. 1B. 3 3 8C. 1D. 2 2 37．已知球O 的表面积为16π，球心O 到球内一点 P 的距离为1，则过点 P 的截面的面积的最小值 为 A. 3πB. 4πC. 6πD. 8π8．设直线l 过点 P (1 , 2 )，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l 的条数为 A.1B. 2C. 3D. 42a 2b 【1-8 答案】 1. A ；2. C ；3. B ；4. D ；5. D ；6. B ；7. A ；8. C二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
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1 高一下学期数学期末测试题(教师版) 一、选择题 1、已知角α的终边与单位圆交于点－32，－12，则sin α的值为( )．
A．－32 B．－12 C.32 D．12 解析 由正弦函数的定义，知sin α＝y＝－12. 答案 B
2、向量BA→＝(4，－3)，向量BC→＝(2，－4)，则△ABC的形状为( )． A．等腰非直角三角形 B.等边三角形 C．直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形
解析 ∵AC→＝BC→－BA→＝(－2，－1)，∴AC→·BC→＝－2×2＋(－1)×(－4)＝0，∴AC→⊥BC→. 又|AC→|≠|BC→|，∴△ABC是直角非等腰三角形．答案 C
3、若cosθ＝－35，且180°A．2 B.－2 C．±2 D.±12 解析 ∵cos θ＝－35，且180°4、在△ABC中，已知a＝1，b＝3，A＝30°，B为锐角，那么角A，B，C的大小关系为 ( )． A．A>B>C B．B>A>C C．C>B>A D．C>A>B
解析 由正弦定理得asin 30°＝bsin B，∴sin B＝32，又∵B为锐角，∴B＝60°，∴C＝90°，即C>B>A.答案 C
5、若{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，Sn是{an}的前n项和，则使Sn取最大值的n是( ) A．21 B．20 C．19 D．18 解析 ∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d，∴99－105＝3d，∴d＝－2.又∵a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.
∴Sn＝na1＋nn－12d＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.∴当n＝20时，Sn有最大值．答案 B
6、△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，b＝3，则c∶sinC等于( )． A．3∶1 B.3∶1 C.2∶1 D．2∶1
解析 cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝2cos2B－3cos B＋1＝0，∴cos B＝12或cos B＝1(舍)．∴B＝π3.
∴csin C＝bsin B＝2.答案 D
7、若△ABC中，sin B·sin C＝cos2A2，则△ABC的形状为( )． A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 解析 由sin B·sin C＝cos2A2可得2sin B·sin C＝2cos2A2＝1＋cos A，即2sin B·sin C＝1－cos(B＋C)＝1－cos Bcos C＋sin Bsin C，∴sin B·sin C＋cos Bcos C＝1，即cos(B－C)＝1，又－π
8、有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )． A．1 km B．2sin 10° km C．2cos 10° km D．cos 20° km 解析 如图所示，∠ABC＝20°，AB＝1 km，∠ADC＝10°， ∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理 ADsin 160°＝ABsin 10°，∴AD＝AB·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°(km)．答案 C
9、如图所示是y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一段，它的一个解析式为( )． A．y＝23sin2x＋π3 B．y＝23sinx2＋π4
C．y＝23sinx－π3 D．y＝23sin
2x＋
2
3π 2
解析 由图象可知，A＝23，T＝5π12－－7π12＝π，∴ω＝2πT＝2，∴y＝23sin(2x＋φ)，将点－π12，23代入，得23＝23
sin－π6＋φ，φ－π6＝π2，∴φ＝2π3，∴y＝23sin2x＋2π3，故选D.答案 D
10、若O为平面内任一点且(OB→＋OC→－2OA→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC是( ) A．直角三角形或等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形但不一定是直角三角形 D．直角三角形但不一定是等腰三角形
解析 由(OB→＋OC→－2OA→)(AB→－AC→)＝0得(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝0，∴AB2→－AC2→＝0，即|AB→|＝|AC→|， ∴AB＝AC. 答案 C
11、当函数y＝sinπ3＋xcosπ3－x取得最大值时，tan x的值为( )． A．1 B.±1 C.3 D.－1 解析 y＝32cos x＋12sin x12cos x＋32sin x＝34(sin2x＋cos2x)＋14sin xcos x＋34sin x cos x＝34＋12sin 2x.
当sin 2x＝1时，ymax＝3＋24，此时2x＝2kπ＋π2，x＝kπ＋π4(k∈Z)，∴tan x＝1.
12、已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个根，则b10等于( ) A．24 B．32 C．48 D．64
解析：依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除得an＋2an＝2，所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列，而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32，又因为an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.答案：D
二、填空题 13、若1＋tanα1－tanα＝2012，则1cos2α＋tan2α＝________.
解析 1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝sinα＋cosα2cos2α－sin2α＝sinα＋cosαcosα－sinα＝tanα＋11－tanα＝2012
14、已知函数f(x)＝3sinπxk的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2＋y2＝k2上，则f(x)的最小正周期为________． 解析 T＝2ππk＝2|k|.由题意知|k|2，3在圆上，∴|k|24＋3＝k2，∴|k|＝2，∴T＝4.答案 4
15、在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋1n(n＋1)，则通项公式an＝ . 解：原递推式可化为an＋1＝an＋1n－1n＋1，则a2＝a1＋11－12，a3＝a2＋12－13，a4＝a3＋13－14，…，an＝an－1＋1n－1－1n.逐项相加得：an＝a1＋1－1n.故an＝4－1n.
16、给出下列四个结论： ①若a≠0，且a·b＝a·c，则b＝c；②若|a·b|＝|a|·|b|，则a∥b；③在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝7，则BC→·CA→＝20； ④设A(4，a)，B(6,8)，C(a，b)，若OABC是平行四边形(O为原点)，则∠AOC＝π4， 其中正确的序号是________(请将你认为正确的结论的序号都填上)． 解析 由于两个非零的向量有可能互相垂直，故①错；由|a·b|＝|a||b|可知cos〈a·b〉＝±1，∴a∥b，故②正确；
cosC＝a2＋b2－c22ab＝52＋82－722×5×8＝12，∴BC→·CA→＝－CB→·CA→＝－5×8×12＝－20，故③错；由OABC是平行四边形可得
a＝2，b＝6，则cos∠AOC＝OA→·OC→|OA→||OC→|＝20202＝22，∴∠AOC＝π4，故④正确．答案 ②④ 3
三、解答题 17、已知tan α＝3，求下列各式的值：
(1)3cos(－π－α)－sin(π＋α)3cosπ2＋α＋sin3π2－α；(2)2sin2α－3sin αcos α－1.
解：(1)原式＝－3cos α＋sin α－3sin α－cos α＝－3＋tan α－3tan α－1＝3－3－33－1＝6－5313. (2)原式＝2sin2α－3sin αcos α－sin2α－cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α－3tan α－tan2α－1tan2α＋1＝18－9－9－19＋1＝－110.
18、AB→＝(6,1)，BC→＝(x，y)，CD→＝(－2，－3)，BC→∥DA→. (1)求x与y的关系式；(2)若有AC→⊥BD→，求四边形ABCD的面积． 解：(1)∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴DA→＝－AD→＝(－x－4,2－y)． 又BC→∥DA→，BC→＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0. (2)∵AC→＝AB→＋BC→＝(6,1)＋(x，y)＝(x＋6，y＋1)，BD→＝BC→＋CD→＝(x，y)＋(－2，－3)＝(x－2，y－3)， 且AC→⊥BD→，∴AC→·BD→＝0， 即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.又由(1)的结论x＋2y＝0， ∴(6－2y)(－2y－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，化简得y2－2y－3＝0，∴y＝3或y＝－1.
当y＝3时，x＝－6.于是有BC→＝(－6,3)，AC→＝(0,4)，BD→＝(－8,0)．∴|AC→|＝4，|BD→|＝8. ∴S四边形ABCD＝12|AC→|·|BD→|＝16.
同理y＝－1时，x＝2.于是有BC→＝(2，－1)，AC→＝(8,0)，BD→＝(0，－4)．∴|AC→|＝8，|BD→|＝4. ∴S四边形ABCD＝12|AC→|·|BD→|＝16.即 x＝－6，y＝3，或 x＝2，y＝－1，S四边形ABCD＝16.
19、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)． (1)求证：A＝2B；(2)若a＝3b，判断△ABC的形状． 解：(1)因为a2＝b(b＋c)，即a2＝b2＋bc，所以在△ABC中，由余弦定理可得，
cos B＝a2＋c2－b22ac＝c2＋bc2ac＝b＋c2a＝a22ab＝a2b＝sin A2sin B，所以sin A＝sin 2B，故A＝2B.
(2)因为a＝3b，所以ab＝3，由a2＝b(b＋c)可得c＝2b，cos B＝a2＋c2－b22ac＝3b2＋4b2－b243b2＝32， 所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°.所以△ABC为直角三角形．
20、已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2n＝anSn－12. (1)求Sn的表达式；(2)设bn＝Sn2n＋1，求{bn}的前n项和Tn. 解：(1)∵S2n＝anSn－12，an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴S2n＝(Sn－Sn－1)Sn－12，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn① 由题意Sn－1·Sn≠0，故①式两边同除以Sn－1·Sn，得1Sn－1Sn－1＝2.∴数列{1Sn}是首项为1S1＝1a1＝1，公差为2的等差数列，∴1Sn＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝12n－1. (2)∵bn＝Sn2n＋1＝1(2n－1)(2n＋1)＝1212n－1－12n＋1，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn