2018年天津一中高二上学期期中数学试卷与解析答案(理科)
2017-2018学年天津市静海一中、杨村一中、宝坻一中等七校联考高二上学期期中数学试卷与解析
2017-2018学年天津市静海一中、杨村一中、宝坻一中等七校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）直线l：mx﹣y+1﹣m=0与圆C：x2+（y﹣1）2=5的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定2．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π3．（5分）已知平面α，β，直线l，m，且有l⊥α，m⊂β，则下列四个命题正确的个数为（）①若α∥β，则l⊥m；②若l∥m，则l∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l⊥m，则l⊥β．A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）已知点（4a，2b）（a＞0，b＞0）在圆C：x2+y2=4和圆M：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的公共弦上，则的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．85．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC⊥BC，且CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）设点P是函数的图象上的任意一点，点Q（2a，a﹣3）（a∈R），则|PQ|的最大值为（）A．+2 B．+2 C．D．8．（5分）已知圆x2+y2+x﹣6y+3=0上的两点P，Q关于直线kx﹣y+4=0对称，且OP⊥OQ（O为坐标原点），则直线PQ的方程为（）A．y=﹣x+B．y=﹣x+或y=﹣x+C．y=﹣x+D．y=﹣x+或y=﹣x+二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卡上）9．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则顶点B1的坐标是．10．（5分）经过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为．11．（5分）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积是．12．（5分）一只虫子从点（0，0）出发，先爬行到直线l：x﹣y+1=0上的P点，再从P点出发爬行到点A （1，1），则虫子爬行的最短路程是．13．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为m3．14．（5分）若圆C1：x2+y2+2ax+a2﹣4=0（a∈R）与圆C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2=0（b ∈R）恰有三条公切线，则a+b的最大值为．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0和直线l：3x+4y+14=0．（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及半径；（Ⅱ）求圆C上的点到直线l距离的最大值．16．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥平面ABCD，E是AB的中点，F是PC的中点．（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：BF∥平面PDE．17．（13分）已知点P（2，﹣1），求：（Ⅰ）过P点与原点距离为2的直线l的方程；（Ⅱ）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？18．（13分）如图，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BF⊥BC，BF＜CE，BF=2，AB=1，AD=（Ⅰ）求证：BC⊥AF（Ⅱ）求证：AF∥平面DCE（Ⅲ）若二面角E﹣BC﹣A的大小为120°，求直线DF与平面ABCD所成的角．19．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角D﹣BA1﹣A的余弦值；（Ⅲ）求点B1到平面A1BD的距离．20．（14分）已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．（Ⅰ）当Q的坐标为（1，0）时，求切线QA，QB的方程；（Ⅱ）求四边形QAMB面积的最小值；（Ⅲ）若|AB|=，求直线MQ的方程．2017-2018学年天津市静海一中、杨村一中、宝坻一中等七校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）直线l：mx﹣y+1﹣m=0与圆C：x2+（y﹣1）2=5的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【解答】解：直线l：mx﹣y+1﹣m=0，即y﹣1=m（x﹣1）即直线过（1，1）点，∵把（1，1）点代入圆的方程有1+0，∴点（1，1）在圆的内部，∴过（1，1）点的直线一定和圆相交，故选：A．2．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故选：C．3．（5分）已知平面α，β，直线l，m，且有l⊥α，m⊂β，则下列四个命题正确的个数为（）①若α∥β，则l⊥m；②若l∥m，则l∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l⊥m，则l⊥β．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：若α∥β，则l⊥β，又由m⊂β，故l⊥m，故①正确；若l∥m，m⊂β，则l∥β或l⊂β，故②错误；若α⊥β，则l与m相交、平行或异面，故③错误；若l⊥m，则l与β相交、平行或l⊂β，故④错误．故四个命题中正确的命题有1个，故选：A．4．（5分）已知点（4a，2b）（a＞0，b＞0）在圆C：x2+y2=4和圆M：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的公共弦上，则的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：根据题意，圆C的方程为x2+y2=4，圆M的方程为（x﹣2）2+（y ﹣2）2=4，则其公共弦的方程为x+y=2，又由点（4a，2b）在两圆的公共弦上，则有4a+2b=2，即2a+b=1，=（）（2a+b）=4++≥4+2=8，即的最小值为8；5．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变，平行于y的线段变为原来的，∵O′C′=1，O′A′=，∴OC=O′C′=1，OA=2O′A′=2；由此得出原来的图形是A．故选：A．6．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC⊥BC，且CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨取CB=1，则CA=CC1=2CB=2．∴A（2，0，0），B（0，0，1），C1（0，2，0），B1（0，2，1）．∴=（﹣2，2，1），=（0，2，﹣1）．∴===．7．（5分）设点P是函数的图象上的任意一点，点Q（2a，a﹣3）（a∈R），则|PQ|的最大值为（）A．+2 B．+2 C．D．【解答】解：由函数，得（x﹣1）2+y2=4，（y≤0），对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下部分，∵点Q（2a，a﹣3），∴x=2a，y=a﹣3，消去a得x﹣2y﹣6=0，即Q（2a，a﹣3）在直线x﹣2y﹣6=0上，过圆心C作直线的垂线，垂足为A，则|PQ|max=|CA|+2=+2=+2．故选：B．8．（5分）已知圆x2+y2+x﹣6y+3=0上的两点P，Q关于直线kx﹣y+4=0对称，且OP⊥OQ（O为坐标原点），则直线PQ的方程为（）A．y=﹣x+B．y=﹣x+或y=﹣x+C．y=﹣x+D．y=﹣x+或y=﹣x+【解答】解：曲线x2+y2+x﹣6y+3=0可变为：（x+）2+（y﹣3）2=（）2得到圆心（﹣，3），半径为．因为圆上有两点P、Q关于直线kx﹣y+4=0对称，得到圆心在直线kx﹣y+4=0上，把（﹣，3）代入到kx﹣y+4=0中求出k=2，且PQ与直线垂直，所以直线PQ的斜率==﹣，设PQ方程为y=﹣x+b，联立得，代入整理得x2+（4﹣b）x+b2﹣6b+3=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵OP⊥OQ．∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2﹣（x1+x2）+b2=0，∴b2﹣6b+3﹣（b2﹣4b）+b2=0，∴b=或b=，所以直线PQ的方程为：y=﹣x+或y=﹣x+，经验证符合题意．故选：D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卡上）9．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则顶点B1的坐标是（，1，2）．【解答】解：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2，∴B（，1，0），∴顶点B1的坐标是（，1，2）．故答案为：（，1，2）．10．（5分）经过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为1．【解答】解：经过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线斜率为1∴=1解得：m=1故答案为：111．（5分）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积是．【解答】解：如图，由题意知DE=BE=a，BD=a由勾股定理可证得∠BED=90°故三角形BDE面积是a2又正方形的对角线互相垂直，且翻折后，AC与DE，BE仍然垂直，故AE，CE分别是以面BDE为底的两个三角形的高故三棱锥D﹣ABC的体积为×a×a2=故答案为：．12．（5分）一只虫子从点（0，0）出发，先爬行到直线l：x﹣y+1=0上的P点，再从P点出发爬行到点A （1，1），则虫子爬行的最短路程是2．【解答】解：如图所示：设A（1，1）关于直线y=x+1的对称点是B（a，b），连接OB，和直线y=x+1交于C点，则OC+CA最短，由，解得B（0，2），故直线OB和y=x+1的交点是（0，1），故OC+CA=1+1=2，故答案为：2．13．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为6+πm3．【解答】解：由已知可得已知的几何体是一个圆锥和长方体的组合体其中上部的圆锥的底面直径为2，高为3，下部的长方体长、宽高分别为：2，3，1=•π•3=π则V圆锥V长方体=1×2×3=6则V=6+π故答案为：6+π14．（5分）若圆C1：x2+y2+2ax+a2﹣4=0（a∈R）与圆C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2=0（b ∈R）恰有三条公切线，则a+b的最大值为6．【解答】解：∵圆C 1：x2+y2+2ax+a2﹣4=0（a∈R）与圆C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2=0（b∈R）恰有三条公切线，∴由题意可得，两圆相外切，两圆的标准方程分别为（x+a）2+y2=4，x2+（y﹣b）2=1，圆心分别为（﹣a，0），（0，b），半径分别为2和1，故=3，∴a2+b2=9，故满足条件的点（a，b）在以原点为圆心，以3为半径的圆上．令a+b=t，利用线性规划求出t的最大值．如图：可行域为圆a2+b2=9，t=a+b为目标函数，点A（﹣3，﹣3）和点B（3，3）为最优解，故B（3，3）使a+b=t 取得最大值为6，故答案为：6．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0和直线l：3x+4y+14=0．（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及半径；（Ⅱ）求圆C上的点到直线l距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0，转化为：（x+1）2+（y﹣1）2=4，则：圆心坐标为（﹣1，1），半径r=2．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，圆心（﹣1，1）到直线3x+4y+14=0的距离d=．最大距离为：d+r=3+2=5．16．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥平面ABCD，E是AB的中点，F是PC的中点．（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：BF∥平面PDE．【解答】解：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，∴△ABD为正三角形E是AB的中点，DE⊥AB，PA⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，∴DE⊥AP，∵AP∩AB=A，∴DE⊥平面PAB，∵DE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAB；（Ⅱ）取PD的中点G，连结FG，GE，∵F，G是中点，∴FG∥CD且FG=CD，∴FG与BE平行且相等，∴BF∥GE，∵GE⊂平面PDE，BF⊄平面PDE，∴BF∥平面PDE．17．（13分）已知点P（2，﹣1），求：（Ⅰ）过P点与原点距离为2的直线l的方程；（Ⅱ）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？【解答】解：（Ⅰ）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，1），可见，过P（2，1）垂直于x轴的直线满足条件．此时l的斜率不存在，其方程为x=2．若斜率存在，设l的方程为y+1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣1=0．由已知，得，解之得．此时l的方程为3x﹣4y﹣10=0．综上，可得直线l的方程为x=2或3x﹣4y﹣10=0．（Ⅱ）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得k l•k OP=﹣1，所以．由直线方程的点斜式得y+1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣5=0，即直线2x﹣y﹣5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为．18．（13分）如图，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BF⊥BC，BF＜CE，BF=2，AB=1，AD=（Ⅰ）求证：BC⊥AF（Ⅱ）求证：AF∥平面DCE（Ⅲ）若二面角E﹣BC﹣A的大小为120°，求直线DF与平面ABCD所成的角．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC，又∵BF⊥BC，AB，BF⊂平面ABF，AB∩BF=B，∴BC⊥平面ABF．∵AF⊂平面ABF，∴BC⊥AF．（2）∵BF∥CE，BF⊄平面CDE，CE⊂平面CDE，∴BF∥平面CDE．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE，又AB，BF⊂平面ABF，AB∩BF=B，∴平面ABF∥平面CDE，∵AF⊂平面ABF，∴AF∥平面DCE．（3）过F作FN与AB的延长线垂直，N是垂足，连结DN．∵BC⊥AB，BC⊥BF，∴∠ABF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角，∴∠ABF=120°，∠FBN=60°．∴BN=BF=1，FN=，∵AB=1，AD=，∠BAD=90°，∴DN==3．∵BC⊥平面ABF，BC⊂平面ABCD，∴平面ABF⊥平面ABCD，又平面ABF∩平面ABCD=AB，FN⊥AB，∴FN⊥平面ABCD，∴∠FDN是直线DF与平面ABCD所成的角，∴tan∠FDN==，∴∠FDN=30°．∴直线DF与平面ABCD所成的角为30°．19．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角D﹣BA1﹣A的余弦值；（Ⅲ）求点B1到平面A1BD的距离．【解答】（I）证明：∵AA1⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴AA1⊥BD，∵△ABC是等边三角形，∴BD⊥AC，又AA1∩AC=A，∴BD⊥平面AA1C1C，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示：则A（1，0，0），E（﹣1，1，0），A1（1，2，0），D（0，0，0），B（0，0，），∴=（﹣2，1，0），=（1，2，0），=（0，0，），∴=0，=0，∴AE⊥DA1，AE⊥DB，又DA1∩DB=D，∴AE⊥平面A1BD．（II）=（0，2，0），=（﹣1，0，），设平面AA1B的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=1得=（，0，1），又为平面A1BD的法向量，∴二面角D﹣BA 1﹣A的余弦值为|cos＜＞|=||==．（III）==（﹣1，0，），cos＜，＞===，∴直线A1B1与平面A1BD所成角的正弦值为，∴点B1到平面A1BD的距离为A1B1×=．20．（14分）已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．（Ⅰ）当Q的坐标为（1，0）时，求切线QA，QB的方程；（Ⅱ）求四边形QAMB面积的最小值；（Ⅲ）若|AB|=，求直线MQ的方程．【解答】解：（I）当过Q的直线无斜率时，直线方程为x=1，显然与圆相切，符合题意；当过Q的直线有斜率时，设切线方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∴圆心（0，2）到切线的距离d==1，解得k=﹣．综上，切线QA，QB的方程分别为x=1，3x+4y﹣3=0．=2S△MAQ=2×=．（II）S四边形QAMB∴当MQ⊥x轴时，MQ取得最小值2，∴四边形QAMB面积的最小值为．（III）圆心M到弦AB的距离为=，设MQ=x，则QA2=x2﹣1，又AB⊥MQ，∴（x﹣）2+（）2=x2﹣1，解得x=3．∴Q（，0）或Q（﹣，0）．∴直线MQ的方程为y=﹣x+2或y=+2．。
2017-2018学年天津市和平区高二上学期期中数学试卷与解析
2017-2018学年天津市和平区高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为（）A．B．C．1 D．2．（3分）在x轴、y轴上的截距分别是2，﹣3的直线方程为（）A．+=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．+=﹣13．（3分）若a，b是异面直线，a∥α，则b与α的位置关系是（）A．b∥α或b⊂αB．b与α相交或b∥αC．b与α相交或b⊂αD．b与α相交或b⊂α或b∥α4．（3分）若一个长方体的长、宽、高分别为、、1，则它的外接球的表面积为（）A．πB．5πC．6πD．24π5．（3分）过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x+1）2+（y+1）2=4 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=46．（3分）如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（）A．πB．2πC．4πD．8π7．（3分）过点P（﹣2，4）作圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0的切线l，直线m：ax ﹣3y=0与直线l平行，则直线l与m之间的距离为（）A．B．C．4 D．28．（3分）已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下面四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AC⊥βB．AC⊥m C．AB∥βD．AB∥m二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分）.9．（4分）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，4）共线，则a的值等于．10．（4分）一个圆锥的母线长为20cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为cm．11．（4分）圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=9上到直线3x+4y﹣11=0的距离等于1的点的个数是．12．（4分）若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是．13．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下四个结论：①D1C∥平面A1ABB1②A 1D1与平面BCD1相交③AD⊥平面D1DB④平面BCD1⊥平面A1ABB1．上面结论中，所有正确结论的序号为．14．（4分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE 的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=．三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（8分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P．（1）若直线l垂直于直线x﹣2y﹣1=0，求直线l的方程；（2）若直线l与经过两点A（8，﹣6），B（2，2）的直线AB平行，求直线l的方程．16．（8分）已知曲线方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此曲线是圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．17．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1=B1C1，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1、AB的中点．求证：（Ⅰ）C1M⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）A1B⊥AM；（Ⅲ）平面AMC1∥平面NB1C．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求二面角P﹣CD﹣B的大小；（Ⅲ）若AD=2，CD=2，求直线PE与平面PCD所成角的正弦值．19．（12分）已知O为坐标原点，设动点M（s，t）．（Ⅰ）当s=0，t=4时，若过点M的直线l与圆C：x2+y2﹣8x=0相切，求直线l的方程；（Ⅱ）当s=2，t＞0时，求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）当s=2，t＞0时，设A（1，0），过点A作OM的垂线，与以OM为直径的圆交于点N，垂足为H，试问：线段ON的长是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请说明理由．2017-2018学年天津市和平区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为（）A．B．C．1 D．【解答】解：因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，直线l的倾斜角为30°，所以直线l的斜率k=tan30°=．故选：A．2．（3分）在x轴、y轴上的截距分别是2，﹣3的直线方程为（）A．+=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．+=﹣1【解答】解：在x轴，y轴上的截距分别是2，﹣3的直线的方程是：﹣=1，故选：B．3．（3分）若a，b是异面直线，a∥α，则b与α的位置关系是（）A．b∥α或b⊂αB．b与α相交或b∥αC．b与α相交或b⊂αD．b与α相交或b⊂α或b∥α【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1与CC1是异面直线，A1D1∥平面ABCD，CC1∩平面ABCD=C；A1D1与BC是异面直线，A1D1∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD；E、F分别是AA1和BB1的中点，A1D1与EF是异面直线，A1D1∥平面ABCD，EF∥平面ABCD．∴a，b是异面直线，a∥α，则b与α的位置关系是b与α相交或b⊂α或b∥α．故选：D．4．（3分）若一个长方体的长、宽、高分别为、、1，则它的外接球的表面积为（）A．πB．5πC．6πD．24π【解答】解：∵一个长方体的长、宽、高分别为、、1，∴它的外接球的半径R==，∴它的外接球的表面积为S=4πR2=4=6π．故选：C．5．（3分）过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x+1）2+（y+1）2=4 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4【解答】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B 选项；圆心在直线x+y﹣2=0上验证D选项，不成立．故选：D．6．（3分）如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（）A．πB．2πC．4πD．8π【解答】解：设圆柱的高为：h，轴截面为正方形的圆柱的底面直径为：h，因为圆柱的侧面积是4π，所以h2π=4π，∴h=2，所以圆柱的底面半径为：1，圆柱的体积：π×12×2=2π．故选：B．7．（3分）过点P（﹣2，4）作圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0的切线l，直线m：ax ﹣3y=0与直线l平行，则直线l与m之间的距离为（）A．B．C．4 D．2【解答】解：①当直线的斜率不存在时，直线与圆不相切．②当直线l的斜率存在时，设过点P（﹣2，4）的切线l为：y﹣4=k（x+2），圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0转化为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=25，利用圆心到直线的距离等于半径，，整理得：9k2﹣24k+16=0，解得：k=，则直线l的方程为：y﹣4=（x+2），整理得：4x﹣3y+20=0．直线m：ax﹣3y=0与直线l平行，则：a=4．直线l与m之间的距离为：d=，故选：C．8．（3分）已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下面四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AC⊥βB．AC⊥m C．AB∥βD．AB∥m【解答】解：由平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，知：在A中，当C∈l时，AC⊥β，当C∉l时，AC不垂直于β，故A错误；在B中，∵直线m∥α，m∥β，平面α⊥平面β，α∩β=l，∴m∥l，∵AC⊥l，∴AC⊥m，故B正确；在C中，由线面平行的判定定理得AB∥β，故C正确；在D中，∵直线AB∥l，m∥l，∴直线AB∥l，故D正确．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分）.9．（4分）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，4）共线，则a的值等于4．【解答】解：=（a﹣2，﹣2），=（﹣2，2），依题意，向量与共线，故有2（a﹣2）﹣4=0，得a=4故答案为410．（4分）一个圆锥的母线长为20cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为10cm．【解答】解：由题设条件可知，在直角三角形中，圆锥的高：h=20cos30°=20×=10cm．故答案为：1011．（4分）圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=9上到直线3x+4y﹣11=0的距离等于1的点的个数是3．【解答】解：（x﹣3）2+（y﹣3）2=9是一个以（3，3）为圆心，3为半径的圆．圆心到3x+4y﹣11=0的距离为d=||=2，所以作与直线3x+4y﹣11=0距离为1的直线，会发现这样的直线有两条（一条在直线的上方，一条在直线的下方），上面的那条直线与圆有两个交点，下面的与圆有一个交点，所以圆上共有三个点与直线距离为1．故答案为：3．12．（4分）若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．【解答】解：O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．证明如下：如图所示，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β，∵A∈β，B∈β，A∈l，B∈l，∴l⊂β，∵l∩α=O，∴O∈α，O∈β，∴O=α∩β．∵C，D∈α，∴α∩β=CD，∴O∈直线CD．∴O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．故答案为在同一条直线上．13．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下四个结论：①D1C∥平面A1ABB1②A1D1与平面BCD1相交③AD⊥平面D1DB④平面BCD1⊥平面A1ABB1．上面结论中，所有正确结论的序号为①④．【解答】解：对于①，由于平面A1ABB1∥平面CDC1D1，而D1C⊂平面CDC1D1，故D1C与平面A1ABB1没有公共点，所以D1C∥平面A1ABB1正确；对于②，由于A1D1∥BC，所以A1D1⊂平面BCD1，错误；对于③，只有AD⊥D1D，AD与平面BCD1内其他直线不垂直，错误；对于④，容易证明BC⊥平面A1ABB1，而BC⊂平面BCD1，故平面BCD1⊥平面A1ABB1．正确．故答案为：①④．14．（4分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE 的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=1：4．【解答】解：如图，∵D，E为PB，PC的中点，∴，则，=V A﹣PBC=V2，∵V P﹣ABCV D﹣ABE=V A﹣BDE=V1，且三棱锥A﹣PBC与三棱锥A﹣BDE高相等，∴V1：V2=S△BDE：S△PBC=1：4．故答案为：1：4．三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（8分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P．（1）若直线l垂直于直线x﹣2y﹣1=0，求直线l的方程；（2）若直线l与经过两点A（8，﹣6），B（2，2）的直线AB平行，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由，解得，由于点P的坐标是（﹣2，2）．则所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m=0．把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m=0，即m=2．所求直线l的方程为2x+y+2=0．（2）直线AB的斜率k AB==﹣，∵直线l与经过两点A（8，﹣6），B（2，2）的直线AB平行，∴k AB=k l=﹣，∴直线l的方程为y﹣2=﹣（x+2），即4x+3y+2=0．16．（8分）已知曲线方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此曲线是圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．【解答】解：（1）曲线方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．整理得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，则5﹣m＞0，解得：m＜5．（2）直线x+2y﹣4=0与圆：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0的交点为M（x1，y1）N（x2，y2）．则：，整理得：5y2﹣16y+8+m=0，则：，，且OM⊥ON（O为坐标原点），则：x1x2+y1y2=0，x1=4﹣2y1，x2=4﹣2y2，则（4﹣2y1）（4﹣2y2）+y1y2=0．解得：m=，故m的值为．17．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1=B1C1，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1、AB的中点．求证：（Ⅰ）C1M⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）A1B⊥AM；（Ⅲ）平面AMC1∥平面NB1C．【解答】证明：（I）∵AA1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1M，又A1C1=B1C1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，又AA1∩A1B1=M，∴C1M⊥平面A1ABB1．（II）由（1）知C1M⊥平面A1ABB1，又A1B⊂平面A1ABB1，∴C1M⊥A1B，又AC1⊥A1B，C1M∩AC1=C1，∴A1B⊥平面AMC1，又AM⊂平面AMC1，∴A1B⊥AM．（III）连接MN，则MN BB1CC1，∴四边形CC1MN是平行四边形，∴C1M∥CN，∴C1M∥平面B1CN，又B1M AN，∴四边形B1MAN是平行四边形，∴AM∥B1N，又AM∥平面B1CN，又AM∩C1M=M，∴平面AMC1∥平面NB1C．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求二面角P﹣CD﹣B的大小；（Ⅲ）若AD=2，CD=2，求直线PE与平面PCD所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结EG、FG，∵F是PD的中点，∴FG∥DC，且FG=DC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，且AB=DC，∴FG∥AB，且FG=AB，又∵E是AB的中点，∴AE=AB，∴FG∥AE，且FG=AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG，∵AF⊄平面PEC，GE⊂平面PEC，∴AF∥平面PEC．解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD⊥CD，∵PA∩AD=A，PA、AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，CD⊥PD，∴∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，∵PA=AD，∴△PAD为等腰直角三角形，∴∠PDA=45°，∴二面角P﹣CD﹣B的大小为45°．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，△PAD为等腰直角三角形，∵F是斜边PD的中点，∴AF⊥PD，由（Ⅰ）知，AF∥EG，∴EG⊥PD，又由（Ⅱ）知CD⊥平面PAD，AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF，∴CD⊥EG，又∵PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD，∴EG⊥平面PCD，∴PG是直线PE在平面PCD上的射影，∴∠EPG为直线PE与平面PCD所成的角，在Rt△PAE中，PA=2，AE=，∴PE===，在等腰直角△PAD中，PD==2，∵F是PD中点，∴AF=PD=，∴EG=，∴sin∠EPG===．∴直线PE与平面PCD所成角的正弦值为．19．（12分）已知O为坐标原点，设动点M（s，t）．（Ⅰ）当s=0，t=4时，若过点M的直线l与圆C：x2+y2﹣8x=0相切，求直线l的方程；（Ⅱ）当s=2，t＞0时，求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）当s=2，t＞0时，设A（1，0），过点A作OM的垂线，与以OM为直径的圆交于点N，垂足为H，试问：线段ON的长是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，s=0，t=4，即M（0，4），圆C：x2+y2﹣8x=0的标准方程为：（x﹣4）2+y2=16，其圆心坐标为（4，0），半径r=4，直线l过点M，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为k=kx+4，即kx﹣y+4=0，直线与圆相切，则有圆心到直线的距离d==4，解可得k=﹣；即直线的方程为x+y﹣12=0，综上可得直线的方程为x=0或x+y﹣12=0，（Ⅱ）根据题意，M（2，t），（t＞0）以OM为直径的圆的圆心为（1，），半径r=，则圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=+1，若以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2，则圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离d===，则有=，解可得t=4，则圆的圆心为（1，2），半径r=，故要求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；（Ⅲ）线段ON的长为定值，理由如下：根据题意，M（2，t）（t＞0），由于△OHN∽△OMN，则=，即ON2=OH•OM，又由直线MH的方程为：y=﹣（x﹣1），即2x﹣ty+2=0，由点到直线的距离可得：OH=，由两点间距离公式可得OM=，则ON2=×=2，即ON=，即线段ON的长为定值．。
天津市第一中学2018-2019学年高二数学上册期中考试题
天津一中2018-2019－1高二年级 数学学科（理科）期中质量调查试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第Ⅰ卷 为 第1页，第Ⅱ卷 2至 3页．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷一．选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列说法正确的是 （ ） （A ）经过空间内的三个点有且只有一个平面（B ）如果直线l 上有一个点不在平面α内，那么直线上所有点都不在平面α内 （C ）四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形（D ）用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台2．若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）（A ）l 与1l ，2l 都不相交（B ）l 与1l ，2l 都相交（C ）l 至多与1l ，2l 中的一条相交 （D ）l 至少与1l ，2l 中的一条相交 3．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则由下列条件可以得到a b ⊥的是 （ ）（A ）a α⊥，b β∥，αβ⊥ （B ）a α⊥，b β⊥，αβ∥ （C ）a α⊂，b β⊥，αβ∥（D ）a α⊂，b β∥，αβ⊥4．底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥．某正三棱锥的底面是一个边长为2的正三角形，若该正三棱锥的表面积是，则它的体积是 （ ）（A ）23（B（C（D 225. 如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( )．（A ）CC 1与B 1E 是异面直线 （B ）AC ⊥平面A 1B 1BA（C ）AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1 （D ）A 1C 1∥平面AB 1EABCABEC(第5题)6．如图1～3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形， 侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（A ） （B ）（C ）（D ）7．一个正方体的内切球1O 、外接球2O 、与各棱都相切的球3O 的半径之比为（ ）（A ）1:3:2（B ）1:1:1（C ）（D ）1:2:38. 三棱锥S —ABC 中，SA ⊥底面ABC ，SA =4，AB =3，D 为AB 的中点∠ABC =90°，则点D 到面SBC 的距离等于（ ） A ．512B59 C ．56 D ．539．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过 点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ．给出下列命题：①当102CQ <<时，S 为四边形； ②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与C 1D 1的交点R 满足113C R =；④当314CQ <<时，S 为六边形； ⑤当1CQ =时，S 其中正确的是（ ）（A ）①②③ （B ）①②③⑤ （C ）②③④⑤（D ）①③④⑤10.长方体1111ABCD A B C D -中，已知二面角1A BD A --的大小为π6，若空间有一条直线l 与直线1CC 所成角为π4，则直线l 与平面1A BD 所成角的取值范围是（ ） （A ）π5π[,]1212 （B ）ππ[,]122 （C ）5ππ[,]122 （D ）5π[0,]12天津一中2018-2019-1高二年级 数学学科（理科）期中质量调查试卷答题纸第Ⅱ卷二．填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．已知(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，若ka b +和3a b -相互垂直，则k =________．12．圆柱的底面半径和高都与球的半径相同，则球的表面积 与圆柱的侧面积之比为________．13．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何 体的体积为________3m ．14．正方形ABCD 的边长为a ，沿对角线AC 将△ADC 折起， 若60DAB ∠=°，则二面角D AC B --的大小为________．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形， 侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点．则EB 与 底面ABCD 所成的角的正切值为________．16．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，11B C 的中点，则三棱锥1P A MN -的体积是________．三．解答题：本大题共4小题共46分。
天津市七校(静海一中,杨村中学,宝坻一中,大港一中等)2018-2019学年高二上学期期中联考数学试题含答案
2018〜2019学年度第一学期期中七校联考高二数学本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分第I 卷（选择题，共 40分）、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 •已知数列2,3, .14, .19,2-、6川I,则12是它的（A ）第28项（B ）第29项（C ）第30项（D ）第31项2.已知命题p : x y ，命题q: ln x . In y ，则命题p 是命题q 成立的2 2已知椭圆x y 1的两个焦点是 R, F 2，过点F 2的直线交椭圆于 代B 两点，在.AF 1B9 4中，若有两边之和是 8，则第三边的长度为S n 二（A ）充分必要条件 （C ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件3.4. (A ) 3(B ) 4(C ) 5(D ) 6已知 空是单调递增的等比数列，满足a 3 a 5 =16,a 2=17，则数列的前n 项和5.(A )(C ) 2n 12 2n 」-12(D) (B )才 -2122心 -1的两个焦点为 F 1,F 2，点 P 在椭圆上, PF 1F 2是直角三角形，则PF 1F 2的面积为(B )(C )(D )生-5或456. 已知x 1, y 1，且InxIny =1，则xy 的最小值为(A ) 100(B ) 10 (C ) 1 (D)—102 27•已知双曲线 笃-爲=1（ a ■ 0, b ■ 0）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上， OAFa b是腰长为2的等腰三角形（O 为原点），.OFA=120，则双曲线的方程为(A )2x 2y =1 2 2x y (B )=112 441222(C ) x2-y =1(D ) x 2- -y13322o &设椭圆 八+ y2 一 2 =1 (ab 0）的左、右焦点分别为吒（70）,Qa b23圆的外部，点M 是椭圆上的动点，满足MF ! + MN £— RF 2恒成立，则椭圆离心率e 的2取值范围是（A ）（0,-2）（ B ）（辽，）（C ） （-1 强）（D ） （-,1）2 2 2 6 6第n 卷（非选择题，共 110分）二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9•设等差数列｛务｝的前n 项和为S n （n ^ N *）,若» =33，则= _________________________ • 10.已知数列 满足 2a n ^=a n +1（ n 匕 N ）,且耳=3，^ y ____________________________________ •211 •设直线y =kx 与双曲线x 2-丄 1相交于A, B 两点，分别过 代B 向x 轴作垂线，若垂3足恰为双曲线的两个焦点，则实数k = ________ •- 2 212•已知x, y R ，且x 2^1，则x 4y - 2xy 的最小值为 _________________________ •'an+1, n= 2k,*213.已知数列£丿满足an+ = <a（" N *）,印=1, a .=—，则n = __________」，n =2k-1.3.n14•已知椭圆G 与双曲线C 2有公共焦点F 1, F 2, M 为G 与C 2的一个交点，MF 「MF ?,椭圆G 的离心率为e ，双曲线C 2的离心率为e 2，若q =2q ，则q = ___________ •三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•15. (本小题满分13分) 解关于x 的不等式ax22x 0 (a _ 0).16. (本小题满分13分)已知数列订/满足a n1 = —(n- N *)，且ai =1.a n +2(I)求证：数列｛— 1｝是等比数列，并求 订J 的通项公式; a n(n)求数列的前n 项和.a n17. (本小题满分13分)设各项均为正数的数列：a,满足4& = a n 1 2 (n N *).(I)求a n 的通项公式；1 *(n)设b n, n ・N ,求b n 的前n 项和£ .a n an -fr18. (本小题满分13分)J 3=1( a b 0)的长轴长为4，点A(1,——)在椭圆上.2(I)求椭圆的方程.(n)设斜率为1的直线I 与椭圆交于 M , N 两点，线段 MN 的垂直平分线与3P ，且点P 的横坐标取值范围是(-一,0),求MN 的取值范围.519. (本小题满分14分)2 2 已知椭圆X --笃 abX 轴交于点已知椭圆笃再=1( a b . 0)的右焦点为F(1,0)，离心率为-•a b 2(I)求椭圆的方程;(n)设直线I : y = kx • m与椭圆有且只有一个交点P，且与直线x = 4交于点Q，设M (t,0) (t • R)，且满足MP MQ = 0恒成立，求t的值.20.(本小题满分14分)已知数列 & ? 的前n项和为S n (n N ) , 5 = 3a n，且印=1, 为等比数列，3D 二a? -4, b4 二1 .(I) 求；£鳥和g的通项公式；(n )设=丄直,n • N* ,数列乙？的前n项和为人,若对一n • N*均满足a n*T n m，求整数m的最大值.2018。
天津市天津一中高二数学上学期期中考试试题 理
ABCS E F天津一中第一学期期中 高二数学试卷(理科)一、选择题（每题3分，共30分）1．如图是一个几何体的三视图，侧视图与正视图均为矩形，俯视图为 正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为（ ） A ．6B ．12 3C ．24D ．32．已知正方体的外接球的体积为323π，则该正方体的表面积为（ ）A ．433B ．163C ．643D ．323．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ） A ．至多只能有一个是直角三角形 B ．至多只能有两个是直角三角形 C ．可能都是直角三角形 D ．必然都是非直角三角形 4．对于平面α和直线l ，α内至少有一条直线与直线l （ ） A ．平行 B ． 垂直 C ．异面 D ．相交5．已知m n ，是两条不同直线,αβγ，，是三个不同平面，正确命题的个数是（ ） ①若αγ⊥，βγ⊥，则α//β ②若m α⊥，n α⊥，则m //n③若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥ ④若m //α，n //α，则m //n ⑤若m //α，m //β，则α//βA ．1B ．2C ．3D ．4 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点， 那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ） A ． 90° B ．45° C ．60° D ．30°7．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是（ ） A ．BD ∥平面CB 1D 1B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°8．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形9．已知平行六面体1111OABC O A B C -，OA a =，OC c =，1OO b =，D 是四边形OABC 的中心，则（ ）A ．1O D a b c =-++B ．11122O D b a c =--- C ．11122O D a b c =--D ．11122O D a b c =-+10．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠A ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在（ ） A ．直线AB 上 B ．直线AC 上 C ．直线BC 上FD ．△ABC 内部二、填空题（每题4分，共24分）11．Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕AC 边旋转一周所成的几何体的体积为__________．12．在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝8，B ＝30°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，P ′是AB 边上动点，则PP ′的最小值为 ．13．如右图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ． 14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为 ．15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于 ．16．正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为1，M 为1CC 的中点，则点1B 到截面1A BM 的距离为 ．三、解答题(共4题，46分)17．如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF//平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD18．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点. （1）求证：PB ⊥DM ；（2）求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值．19．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD （1）求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； （2）证明平面AMD ⊥平面CDE ； （3）求二面角A-CD-E 的余弦值．ABCD EA 1B 1C 1D 120．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（1）证明：1A C ⊥平面BED ；（2）求二面角1A DE B --的余弦值大小．参考答案： 一、选择题： 1．C 2．D 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C 9．D 10．A二、填空题： 11．485π 12．13．1314．51516．2三、解答题： 17．证明：（1）因为E 、F 分别是AP 、AD 的中点，,EF PD ∴又,,P D PCD E PCD ∈∉面面 ∴直线EF ‖平面PCD（2）AB=AD,BAD=60,∠ F 是AD 的中点，,BF AD ∴⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ABCD AD,⋂面面＝,BF PAD ∴⊥面 所以，平面BEF ⊥平面PAD 。
天津河东2017-2018学年高二上学期期中考试数学理试题 含解析 精品
河东区2017-2018学年度第一学期期中质量检测高二数学试卷（理）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．直线0x y -=的倾斜角为（ ）．A ．1-B ．1C ．π4D ．3π4【答案】C【解析】0x y y x -=⇒=，tan 1k α==， [0,π)α∈，∴π4α=．故选C ．2．d 为点(1,0)P 到直线210x y -+=的距离，则d =（ ）．A B C D 【答案】B【解析】由点到直线距离公式可知，d =，根据题意，01x =，00y =，1A =，2B =-，1C =．d ． 故选B ．3．已知圆22:(1)(2)4C x y ++-=，则其圆心和半径分别为（ ）．A ．(1,2)，4B ．(1,2)-，2C ．(1,2)-，2D ．(1,2)-，4【答案】C【解析】由圆的标准方程222()()x a y b r -+-=， 圆心(,)a b ⇒圆心(1,2)-， 半径22r r ⇒=，∴圆心(1,2)-，八景为2．故选C ．4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为BC 、1BB 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）．C 1D 1B 1A 1F E CDA ．直线1AAB ．直线11A BC ．直线11AD D ．直线11B C【答案】D【解析】根据异面直线的概念可看出1AA ，11A B ，11A D 都和直线EF 为异面直线，11B C 和EF 在同一平面内，且这两直线不平行，∴直线11B C 和直线EF 相交．故选D ．5．若直线1:230l ax y a +++=与2:(1)40l x a y +++=平行，则实数a 的值为（ ）．A ．1B ．2-C ．1或2-D ．1-或2【答案】B【解析】根据两条直线平行的性质，211a a =+且2314a a +≠+， ∴220a a +-=且2438a a ++≠，(2)(1)0a a +-=且(5)(1)0a a +-≠，∴2a =-，1a =（舍）．故选B ．6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（ ）．A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π【答案】A【解析】三视图复原该几何体是一个球去掉自身的18后的几何体，∴37428ππ833R ⨯=，2R =，∴表面积22734π2π217π84=⨯⨯+⨯⨯=．故选A ．7．列结论正确的是（ ）．A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体D ．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥 【答案】D【解析】A 选项，八面体由两个结构相同的四棱锥叠放在一起构成，各面都是三角形，但八面体不是棱锥；B 选项，若ABC △不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得几何体都不是圆锥，如图，钝角三角形旋转轴为邻边故选D ． 8．（A 类题）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）．A ．N QBAB ．MNQBAC ．M NQBAD ．MNQBA【答案】A【解析】选项B ，由AB MQ ∥，根据线面平行判定定理AB ⇒∥平面MNQ ，选项C ，由AB MQ ∥，根据线面平行判定定理AB ⇒∥平面MNQ ， 选项D ，由AB NQ ∥，根据线面平行判定定理AB ⇒∥平面MNQ ， 所以只有选项A 满足AB 不平行MNQ ．故选A ． 8．（B 类题）在下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 分别为所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNQ 的图形的序号是（ ）．M NC BA PD①MNBA P②MNBAP ③MNB A P④A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【解析】①由面ADBC ∥面MNP ，可知AB ∥面MNP , ②直线AB 不平行平面MNP ，与其相交，③易知面PMN 与面AB 相交，所以AB 与平面MNP 相交， ④由AB NP ∥可知AB ∥面MNP ，综上，能得出AB ∥面MNP 的序号为①④．故选B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分9．若空间中两点分别为(1,0,1)A ，(2,1,1)B -，则||AB 的值为__________． 【答案】6【解析】(1,1,2)AB =-，2||1AB =10．如图，一个几何体的三视图的轮廓均为边长为a 的取值范围为__________．【答案】356a【解析】该几何体为棱长为a 的正方体截去一个三棱锥得到， 323115326V a a a a ⎛⎫=-⨯⨯= ⎪⎝⎭．11．已知点(11)P ，在圆22()()4x a y b -++=的内部，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】(1,1)-【解析】因为(11)P ，在圆22()()4x a y b -++=内部， ∴22(1)(1)4a a -++<，2224a +<， 222a <， 21a <，∴11a -<<，(1,1)a ∈-．12．已知直线:120()l kx y k k -++=∈R ，则该直线过定点__________． 【答案】(2,1)-【解析】直线:120l kx y k -++=，(2)(1)0k x y ++-+=，∴当20x +=，10y -+=时过定点， ∴2x =-，1y =，∴过定点(2,1)-．13．四个平面最多可将空间分割成__________个部分 【答案】15【解析】1个平面将空间分成2部分， 2个平面将空间分成4部分，3个平面最多将空间分成8部分，4个平面最多将空间分成15部分． 14．（A 类题）已知α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，给出条件：①αβφ=；②a α⊥，a β⊥；③a α∥，b α∥，b β⊂，上述条件中能推出平面α∥平面β的是__________（填写序号）【答案】①② 【解析】①若αβφ=，则平面α与平面β无公共点，可得αβ∥，①正确；②若a α⊥，a β⊥，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得αβ∥，故②正确； ③若b α∥，b β⊂，则α与β可能平行也可能相交，且与a α∥无关，故③错误． 故答案①②． 14．（B 类题）设a ，b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出以下四个命题：①若a b ∥，a α⊥，则b α⊥；②若a b ⊥，a α⊥则b α∥；③若a α⊥，a β⊥，则αβ∥；④若a β⊥，αβ⊥，则a α∥，其中所有正确的命题的序号是__________． 【答案】①③【解析】①若a b ∥，a b αα⇒⊥⊥，①正确；（两平行线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面）②若a b ⊥，a α⊥，则b α∥，b α⊂，②错误； ③若a α⊥，a β⊥，则αβ∥，③正确；（垂直于同一直线的两平面平行）故答案：①③．三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分6分）已知直线2(2)320x t y t +++-=，分别根据下列条件，求t 的值． （1）过点(1,1)．（2）直线在y 轴上的截距为3-． 【答案】（1）3t =．（2）95t =．【解析】（1）过点(1,1)代入22320t t +-+-=， 解得3t =．（2）直线在y 轴上的截距为3-， 所以过点(0,3)-代入3(2)320t t --+-=，解得95t =．16．（本小题满分6分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，16AB =，10BC =，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==，过E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． （1）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）． （2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．A 1B 1D 1C 1FE C BAD【答案】（1）如图所示．（2）97（或79）．【解析】（1）GM HD ABC EFC 1D 1B 1A 1（2）作EM AB ⊥于点M ， 则14AM A E ==，112EB =，18EM AA ==，1110EF A D ==，∵四边形EFGH 为正方形， ∴10EH EF ==， 在Rt EMH △中，6MH ，∴4610AH AM MH =+=+=，16106HB AB AH =-=-=．∴111(410)8105602AA EH DD FG V -=⨯+⨯⨯=，111(612)8107202BB EH CC FG V -=⨯+⨯⨯=，∴111156077209AA EH DD FG BB EH CC FGV V --==， ∴97V V =较大较小或79V V =较小较大．【注意有文字】 17．（本小题满分8分）已知以点(1,2)-为圆心的圆与直线:270m x y ++=相切，过点(2,0)-的动直线l 与圆相交于M 两点，Q 是MN 的中点 （1）求圆A 的方程．（2）当||MN =l 方程． 【答案】（1）22(1)(2)20x y ++-=． （2）2x =-或3460x y -+=． 【解析】（1）设圆A 的半径为r ， ∵圆A 与直线1:270l x y ++=相切，∴r =220r =， ∴圆A 的方程为22(1)(2)20x y ++-=． （2）①当直线l 与x 轴垂直时易知2x =-符合． ②当直线l 与x 轴不垂直时， 设直线l 的方程为(2)y k x =+， 即20kx y k -+=， 连接AQ ，则AQ MN ⊥，||AQAM =12MQ MN =∴||1AQ ，1AQ =，1=，∴34k =，直线:3460l x y -+=，综上直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=． 18．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD，侧棱PA PD ==，底面ABCD为直角梯形，其中BC AD ∥，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，O 为AD 中点． （1）求证：PO ⊥平面ABCD ．（2）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值．CBAPO D【答案】（1）证明如下． （2【解析】（1）证明：PAD △中，PA PD =，O 为AD 中点，∴PO AD ⊥，又∵侧面PAD ⊥底面ABCD ， 侧面PAD 底面ABCD AD =，PO ⊂面PAD ，∴PO ⊥面ABCD ． （2）DO PABC如图，连接BO ， 在直角梯形ABCD 中，BC AD ∥，22AD AB BC ==，由（1）可知PO OB ⊥，PBO ∠为锐角， ∴PBO ∠为异面直线PB 与CD 所成的角， ∵222AD AB BC ===， ∴在Rt OAB △中，OB ，在Rt POA △中，1PO =，在Rt POB △中，PB∴cos OB PBO PB ∠==．19．（本小题满分10分）已知ABC △中，点(3,1)A -，AB 边上的中线所在直线的方程为610590x y +-=，B ∠的平分线所在直线的方程为4100x y -+=，求BC 边所在直线的方程． 【答案】29650x y +-= 【解析】设点(,)B a b ，B ∠平分线所在直线上一点为D ， ∵B 在BD 上，∴代入4100x y -+=，4100a b -+=，∴104a b +=， ∴点10,4a B a +⎛⎫⎪⎝⎭， ∴AB 中点36,28a a ++⎛⎫⎪⎝⎭， 又∵AB 中点在中线610590x y +-=上，代入53(3)(6)5904a a +++-=，解得10a =，∴B 点坐标(10,5)． ∴5(1)61037AB k --==-． ∵BD 平分B ∠， ∴ABD CBD ∠=∠，∴11BD BC AB BDAB BD BD BCk k k k k k k k --=+⋅+⋅，61174411744BCBCk k --=+⨯+， ∴29BC k =-．∴BC 方程为25(10)9y x -=--，整理得29650x y +-=．20．（A类题）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD-的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB．（2）当PD，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．ECBAP D【答案】（1）证明如下．（2）π4（或45︒）【解析】（1）证明：∵ABCD是正方形，∴AC BD⊥，又∵PD⊥底面ABCD，∴PD AC⊥，∵BD PD D=，∴AC⊥面PBD，又∵AC⊂面ACE，∴面ACE⊥面PBD．（2）DPA B CEO设AC BD O=，连接OE，由（1）可知AC⊥平面PBD，∴AEO∠为AE与平面PDB所成的角，又∵O，E分别为BD，BP中点，∴OE PD∥，12OE PD=，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，∴OE AO⊥，在Rt AOE△中，12OE PD OA ===， ∴45AEO ∠=︒，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒．20．（B 类题）（本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为棱1DD 上一点． （1）求证：平面PAC ⊥平面11BDD B ． （2）若P 是棱1DD 的中点，求CP 与平面11BDD B 所成的角大小．C 1D 1A 1B 1CB A P D【答案】（1）证明如下．（2）π6（或30︒）． 【解析】（1）证明：长方体1111ABCD A B C D -中， 1AB AD ==，∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，又∵1DD ⊥面ABCD ，∴1DD AC ⊥，又∵BD ，1DD ⊂面11BDD B ，1BD D D D =，∴AC ⊥面11BDD B ，∵AC ⊂面PAC ，∴面PAC ⊥面11BDD B ．（2）O D P A B C B 1A 1D 1C 1 由（1）可知AC ⊥面1BDD B ， ∴CP 在面1BDD B 内的投影为OP ， ∴CPO ∠为CP 与平面1BDD B 所成的角，又∵CP，12CO AC == 在Rt COP △中，12CO CP =， ∴30CPO ∠=︒， ∴CP 与面1BDD B 所成的角为30︒．。
天津一中2017-2018高二数学上学期期中试题理科带答案
天津一中2017-2018高二数学上学期期中试题（理科带答案）天津一中2017-2018-1高二年级数学学科（理科）模块质量调查试卷本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。
第I卷1页，第II卷至2页。
考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。
一、选择题：1．已知两条不同的直线m、n，两个不同的平面、，则下列命题中的真命题是A．若m，n，，则mn.B．若m，n∥，，则mn.C．若m∥，n∥，∥，则m∥n.D．若m∥，n，，则m∥n.2．已知直线xa2y60与直线(a2)x3ay2a0平行，则a的值为A．0或3或1B．0或3C．3或1xy30D．0或13．已知x,y满足约束条件3xy50，则zx2y的最大值是x30A．0B．2C．5D．64．若过定点M(1,0)且斜率为k的直线与圆x24xy250在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是A．0k5B．5k0C．0k13D．0k55．在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB2,AA11，则点A到平面A1BC的距离为33A．B．42C．33D．346．若直线yxb与曲线y34xx2有公共点，则b的取值范围是A．122,122B．= 673;12,3C．1,122D．122,3xy4,7．设不等式组yx0,表示的平面区域为D.若圆C:x12y 1483;12r2x10不经过区域D上的点,则r的取值范围是r0A．22,25B．22,32C．32,25D．0,2225,8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A．32B．23C．2D．229．若直线ax2by20(a,b0)始终平分圆x2y24x2y8 0的周长，则11的最小值为2ab15A．B．22322C．2D．3210．已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，ACD135，则异面直线AB与CD 所成角的余弦值为1231A．4B．4C．4D．2二、填空题：11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（单位：cm3）．12．已知点A(1,1)和圆C：(x5)2(y7)24，从点A发出的一束光线经过x轴反射到圆周C的最短路程是．13．已知圆C：(x1)2y225与直线l：mxym20，当m时，圆C被直线l截得的弦长最短．14．已知直线axy20与圆心为C的圆x12yɦ 85;a24相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a．15．正方形AP1P2P3的边长为4，点B,C分别是边P1P2,P2P3的中点，沿AB,BC,CA折成一个三棱锥PABC（使P1,P2,P3重合于P），则三棱锥PABC的外接球表面积为．16．若关于x的不等式k．三、解答题：9x2k(x2)2的解集为区间a,b,且ba2，则17．已知点A(3,0),B(3,0)，动点P满足PA2PB（Ⅰ）若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程（Ⅱ）若点Q在直线l1:xy30上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求QM的最小值18．如图，在三棱台DEFABC中，（平面DEF与平面ABC平行，且DEF∽ABC)，AB2DE,G,H分别为AC,BC的中点. （Ⅰ）求证：BD//平面FGH；（Ⅱ）若CF平面ABC，ABBC,CFDEACFD所成的角（锐角）的大小.，BAC45,求平面FGH与平面19．已知圆C的圆心在直线l1:xy10上，与直线l2:4x3y140相切，且截直线l3:3x4y100所得弦长为6 （Ⅰ）求圆C的方程（Ⅱ）过点M(0,1)是否存在直线L，使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?若存在，写出直线L的方程；若不存在，说明理由新疆特级教师王新敞wxckt@126.20．如图，ACB和ADC都为等腰直角三角形，M，O为AB，AC的中点，且平面ADC平面ACB，AB4，AC2 2，AD2.（Ⅰ）求证：BC平面ACD；（Ⅱ）求点B到平面CDM的距离d（Ⅲ）若E为BD上一点，满足OEBD，求直线ME 与平面CDM所成角的正弦值.DECOBAM一、选择题：参考答案1．A2．D3．C4．A5．B6．D7．D8．B9．C10．B二、填空题：11．1212．813．114．41515．2416．2三、解答题：17．（Ⅰ）P（x，y）(x+3)2+y2=4[(x-3)2+y2]x2+y2-10x+9=0 （Ⅱ）圆心（5，0）r12100364|QM||QC|216QCl1时|QC|mindce18422|QM18．|min4（Ⅰ）DF//1AC□DGCFO为DC中点DB//OHBD//平面FGH2（Ⅱ）DG//FC∴DG⊥面ABCEG⊥AC∴如图建系令CF=DE=1∴AB=BC=27GB=2∴B（2，0，0）C（0，2，0）D（0，0，1）2H（，222，0）F（0，2，1）22xy022yz0∴面GFH法向量n(1,1,2)又面ACFD法向量取m1(1,0,0)∴cosm,n2∴平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小60°。
天津市高二上学期期中数学试卷(理科)
天津市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）命题“∃x0∈R，≤0”的否定是（）A . ∃x0∈R，＞0B . ∃x0∉R，≤0C . ∀x∈R，2x＞0D . ∀x∈R，2x≤02. （2分） (2015高二上·邯郸期末) 设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， P是椭圆上一点，|PF1|=λ|PF2|（≤λ≤2），∠F1PF2= ，则椭圆离心率的取值范围为（）A . （0， ]B . [ ， ]C . [ ， ]D . [ ，1）3. （2分）圆O的方程为，圆M方程为，P为圆M上任一点，过P作圆O的切线PA，若PA与圆M的另一个交点为Q，当弦PQ的长度最大时，切线PA的斜率是（）A . 7或1B . -7或1C . -7或－1D . 7或－14. （2分） (2018高二上·锦州期末) 若直线交抛物线于，两点，且线段中点到轴的距离为3，则（）A . 12B . 10C . 8D . 65. （2分）(2020·海南模拟) 祖暅原理“幂势既同，则积不容异”中的“幂”指面积，“势”即是高，意思是：若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积恒等，则这两几何体的体积相等.设夹在两个平行平面之间的几何体的体积分别为，它们被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为，则“ 恒成立”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）已知圆M过定点（2，0）且圆心M在抛物线y2=4x上运动，若y轴截圆M所得的弦长为AB，则弦长|AB|等于（）A . 4B . 3C . 2D . 与点M位置有关的值7. （2分）(2017·合肥模拟) 已知椭圆M： +y2=1，圆C：x2+y2=6﹣a2在第一象限有公共点P，设圆C 在点P处的切线斜率为k1 ，椭圆M在点P处的切线斜率为k2 ，则的取值范围为（）A . （1，6）B . （1，5）C . （3，6）D . （3，5）8. （2分）已知点（4，2）是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则l的方程是（）A . x-2y=0B . x+2y-4=0C . 2x+3y+4=0D . x+2y-8=09. （2分）(2018·广东模拟) 已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若，是抛物线的准线与轴的交点，则（）A . 45°B . 30°C . 15°D . 60°10. （2分） (2017高三上·成都开学考) 已知双曲线的离心率为，且抛物线y2=mx的焦点为F，点P（2，y0）（y0＞0）在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A .B . 2C .D . 111. （2分）抛物线y2=4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，与准线l交于点B，且AK⊥l于K，如果|AF|=|BF|，那么△AKF的面积是（）A . 4B . 3C . 4D . 812. （2分）若方程C：（a是常数）则下列结论正确的是（）A . ，方程C表示椭圆B . ，方程C表示双曲线C . ，方程C表示椭圆D . ，方程C表示抛物线二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·运城模拟) 已知直线l过抛物线x= 的焦点，且被圆x +y2﹣4x+2y=0截得的弦长最长时，直线l的方程为________．14. （1分）已知两圆C1：（x+1）2+y2=1与C2：（x﹣1）2+y2=25，动圆M与这两个圆都内切，则动圆的圆心M的轨迹方程为________15. （1分）直线经过抛物线的焦点，且抛物线交于两点，若，则直线的斜率为________．16. （1分）已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是________三、解答题 (共5题；共40分)17. （10分） (2018高二上·綦江期末) 已知直线：与直线关于轴对称.（1）若直线与圆相切于点 ,求的值和点的坐标；（2）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于 , 两点，求的值 .18. （5分） (2018高二下·北京期末) 给定实数 t，已知命题 p：函数有零点；命题 q：∀ x∈[1，＋∞)≤4 －1.(Ⅰ)当 t＝1 时，判断命题 q 的真假；(Ⅱ)若p∨q 为假命题，求 t 的取值范围．19. （10分）已知圆C的圆心坐标为（3，2），且过定点O（0，0）．（1）求圆C的方程；（2） P为圆C上的任意一点，定点Q（8，0），求线段PQ中点M的轨迹方程．20. （10分）如图线段AB过x轴正半轴上一定点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线．（1）求抛物线方程；（2）若• =﹣1，求m的值．21. （5分）已知抛物线C：y2=4x（1）抛物线C上有一动点P，当P到C的准线与到点Q（7，8）的距离之和最小时，求点P的坐标；（2）是否存在直线l：y=kx+b与C交于A、B两个不同的点，使OA与OB（O为坐标原点）所在直线的倾斜角互补，如果存在，试确定k与b的关系，如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共40分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、。
天津市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学
天津市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文）试题一、选择题：1. 已知两条不同的直，两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则【答案】A【解析】对于，由，可得∥或，又由，则，故正确；对于，由，可得∥或，又由∥，则与可能平行也可能相交，也可能异面，故不正确；对于，若∥，∥，∥，则与可能平行也可能相交，也可能异面，故不正确；对于，由，可得∥或，又由∥，则与可能平行也可能相交，也可能异面，故不正确.故选A2. 已知直线与直线平行，则的值为（）A. 0或3或B. 0或3C. 3或D. 0或【答案】D∴，即∴，，或经验证当时，两直线重合.故选D3. 已知满足约束条件，则的最大值是（）A. 0B. 2C. 5D. 6【答案】C【解析】画出二元一次不等式所表示的可行域，目标函数为截距型，直线的截距越大越大，根据图形求出最优解为，代入目标函数，则的最大值是5.4. 若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】把圆的方程化为标准方程为∴圆心坐标为，半径令，则设，又∴∵直线过第一象限，且过∴又∵直线与圆在第一象限内有交点∴∴的取值范围是故选A5. 在正三棱柱中，若，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设点到平面的距离为∵∴∴∴故选B6. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：直线表示斜率为的直线，而曲线表示以为圆心以为半径的下半圆，如图由图可知，当直线与曲线相切时取到最小值，则有，解得；当直线经过点时取到最大值，此时。
所以，故选D．考点：直线与曲线有公共点是参数的取值范围，数形结合思想的应用．【易错点睛】该题考查的是有关直线与曲线有公共点时参数的取值范围的问题，属于较难题目，在做题的过程中，要注意看清化简后的曲线与圆有关，但是并不是整个圆，而是下半个圆，如果不注意这点，很容易错选，再结合着图形，找出相应的边界值，从而确定出最后的结果，一个边界值是相切的时候，一个不是．7. 设不等式组表示的平面区域为，若圆：不经过区域上的点，则的取值范围是（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】试题分析:求得各交点，的取值范围是，故选A ．考点:线性规划．8. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】试题分析：几何体是四棱锥，如图.最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长棱的长度，故选B.【考点】三视图【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题. 9. 若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵直线始终平分圆的周长∴直线过圆心∴，即∵∴当且仅当，即，时，取等号故选C点睛：本题考查了直线与圆的位置关系，直线平分圆的周长则直线过圆心，再就是基本不等式的应用，“1”的妙用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正、二定、三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10. 已知二面角为，，，为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B考点：空间角的求解问题．【方法点晴】本题主要考查了空间角的求解问题，其中解答中涉及到异面所成角的求解、二面角的应用、以及空间直线与平面的位置关系的应用等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，本题解答的关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．二、填空题11. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是_____（单位：）．【答案】【解析】由三视图可得原图形如图：该几何体是一个三棱锥与半圆锥的组合体，三棱锥的底面是等腰直角三角形，半圆锥的底面半径为1，高均为3，则该几何体的体积.故答案为12. 已知点和圆：，从点发出的一束光线经过轴反射到圆周的最短路程________．【答案】8【解析】由题意，圆的圆心坐标为，圆的半径为2，点关于轴对称的点的坐标为，由反射定律得点关于轴对称的点在反射光线的延长线上，当反射光线过圆心时，路程最短∵∴从点发出的一束光线经过轴反射到圆周的最短路程是故答案为813. 已知圆：与直线：，当 时，圆被直线截得的弦长最短.【答案】1【解析】∵直线：，即∴直线经过定点∴当和直线垂直时，圆被直线截得的弦长最短，此时，，即∴故答案为114. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_____________________．【答案】【解析】试题分析：由于为等边三角形，故弦长，根据直线与圆相交，所得弦长公式为，可建立方程，，，即，解得.考点：直线与圆的位置关系，解三角形．【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式，考查等边三角形几何性质.由于为等边三角形，故弦长，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式.在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径.15. 正方形的边长为4，点分别是边，的中点，沿折成一个三棱锥（使重合于），则三棱锥的外接球表面积为______．【答案】【解析】根据题意，得折叠后的三棱锥中，侧面、侧面、侧面都是直角三角形，∴两两互相垂直∵，∴ 三棱锥的外接球的直径为：∴外接球的半径为∴三棱锥的外接球表面积为故答案为点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法：求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求得；若球面上四点构成的三条线段分别两两互相垂直，且，，，一般把有关元素“补形”成一个球内接长方体，利用求解.16. 若关于的不等式的解集为区间，且，则____.【答案】【解析】试题分析：如图所示，不等式的解集为，且，所以必有，又，解得，则直线，过点，代入解得．考点：直线与圆的位置关系及其应用．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中涉及到不等式的解法转化为直线与半圆的位置关系、直线的点斜式方程的应用等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题能力，以及数形结合、转化思想的应用，本题的解答中把不等式问题转化为直线与圆的位置关系是解答的关键，试题有一定的难度，属于难题．三、解答题17. 本市某玩具生产公司根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每天生产A, B,C 三种玩具共100个，每天生产时间不超过10小时，且C种玩具至少生产20个，已知生产这些玩具每个所需工时（分钟）和所获利润如下表：（Ⅰ）用每天生产A种玩具个数x与B种玩具个数y表示每天的利润（元）（Ⅱ）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【答案】(1) (2)每天生产A种玩具20件，B种玩具60件，C种玩具20件，利润最大为520元.【解析】试题分析：（1）依据题设条件借助数表中的数据及数据之间的关系，建立二元一次目标函数关系；（2）借助题设条件建立二元一次不等式组，运用线性规划的知识数形结合，联立方程组分析求出最优解即可，再代入目标函数即可获解：试题解析：（Ⅰ）．（Ⅱ）即最优解为即∴（元）．18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求点到平面的距离.【答案】(1)详见解析（2）【解析】试题分析：（1）先利用线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明；（2）利用三角形的中位线得到线线平行和线段，得到平行四边形，再由平行四边形的性质得到线线平行，再由线面平行的判定定理进行证明；（3）利用三棱锥的体积公式进行求解．试题解析：（Ⅰ）证明：在三棱柱中，底面，所以.又因为，，所以平面，又平面，所以平面平面（Ⅱ）证明：取的中点，连接，.因为，，分别是，，的中点，所以，且，.因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以平面.（Ⅲ）因为，，，所以.所以三棱锥的体积.考点：1.空间中垂直关系的转化；2.空间中平行关系的转化；3.三棱锥的体积．19. 如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，，，，E，F 分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若二面角为.（i）证明：平面平面；（ii）求直线与平面所成角的正切值．【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）要证明平面，可以先证明平面，利用线面平行的判定定理，即可证明平面；（2）①要证明平面平面，可用面面垂直的判定定理，即只需证明平面即可；②由①平面，所以为直线与平面所成的角，由及已知，得为直角，即可计算的长度，在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值．试题解析：（1）证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM．因为F为PC中点，故MF∥BC且MF＝BC．由已知有BC∥AD，BC＝AD．又由于E为AD中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM．又AM⊂平面PAB，而EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB．（2）①证明：如图，连接PE，BE．因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，故PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEB为二面角P－AD－B的平面角．在△PAD中，由PA＝PD＝，AD＝2，可解得PE＝2．在△ABD中，由BA＝BD＝，AD＝2，可解得BE＝1．在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，由余弦定理，可解得PB＝，从而∠PBE＝90°，即BE⊥PB．又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC．又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD．②连接BF．由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．由PB＝及已知，得∠ABP为直角．而MB＝PB＝，可得AM＝，故EF＝．又BE＝1，故在Rt△EBF中，sin∠EFB＝＝．所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．考点：直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据平面，可以确定为直线与平面所成的角，可放置在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值．20. 已知圆的圆心在直线：上，与直线：相切，且截直线：所得弦长为6（Ⅰ）求圆的方程（Ⅱ）过点是否存在直线，使以被圆截得弦为直径的圆经过原点?若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）不存在直线.【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的圆心在直线：上，故可设圆心坐标为，再根据圆与直线相切，截直线：所得弦长为6，列出等式方程求解即可；（2）由题意过的直线斜率一定存在，设直线的方程为，以为直径的圆过原点，则，设，，则，联立直线与圆的方程，消去，得到关于的一元二次方程，由，利用韦达定理即可求出.试题解析：（Ⅰ）设圆心∵圆与直线相切∴∵圆截直线：所得弦长为6∴圆到直线的距离为∴∴∴圆心，∴圆的方程（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，不符合题意②设：设∵被圆截得弦为直径的圆经过原点∴，即∴联立直线与圆的方程化简可得，即∴，∵，，∴，即∴∵∴无解∴不存在直线.点睛：直线与圆的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解.联立直线与圆的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法，涉及垂直的关系时往往利用根与系数的关系，设而不求法简化运算.。
解析天津市实验中学高二上学期期中考试数学理试卷含解析
2017-2018学年度第一学期高二年级期中测试 数学（理科）一、选择题：（每小题4分，共32分）1．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1BC 与11B D 所成角为（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，11BC AD ∥，连接1AB ，11B D ，则1111AD AB B D ==，∴11AD B △为等边三角形，故1160AD B ∠=︒，即1AD 与11B D 所成角为60︒，即1BC 与1B D 所成角为60︒．故选C ．2．下列说法正确的是（ ）．（1）任意三点确定一个平面；（2）圆上的三点确定一个平面；（3）任意四点确定一个平面；（4）两条平行线确定一个平面A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（2）（4）D ．（3）（4）【答案】C【解析】（1）．错误，三点不共线才能确定一个平面．（2）．正确，圆上三点不共线，可以确定一个平面．（3）．错误，四个点也不能在同一条直线上，才能确定一个平面．（4）．正确．故选C ．3．在ABC △中(4,0)A -,(4,0)B ，ABC △的周长是18，则定点C 的轨迹方程是（ ）． A ．221259x y += B ．221(0)259y x y +=≠C ．221(0)169x y y +=≠ D ．221(0)259x y y +=≠【答案】D【解析】∵(4,0)A -，(4,0)B ，∴||8AB =，又∵ABC △的周长为18，∴||||10BC AC +=，∴顶点C 的轨迹是一个以A 、B 为焦点的椭圆．则5a =，4c =，2229b a c =-=，∴顶点C 的轨迹方程为221(0)259x y y +=≠．故选D ．4．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A ．若m α⊂，n β⊂，m n ∥，则αβ∥B ．若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥C ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥D ．若m α⊥，m β⊥，则αβ∥【答案】D【解析】A ．一组线线平行，不能推出面面平行，故A 错；B ．若m n ∥，则不能推出αβ∥，故B 错；C ．α与β可能平行，可能相交，故C 错；D ．垂直于同一直线的两平面相互平行，正确．5．如图所示，直线:220l x y -+=过椭圆的左焦点1F 和一个顶点B ，该椭圆的离心率为（ ）．A．15B．25CD【答案】D【解析】直线l的斜率为12，则12bc=，12=，解得ca6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）．正视图侧视图俯视图A．38cm B．312cm C．332cm3D．340cm3【答案】C【解析】见空间几何体下半部分1V为边长为2的正方体，其上半部分2V是一个底面为边长为2的正方形，高为2的四棱锥，故其体积为两部分体积之和1212222223V V V =+=⨯⨯+⨯⨯⨯， 332cm 3=． 故选C ．7．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（ ）．D AB CP Q MN（1）AC BD ⊥ （2）AC ∥截面PQMN（3）AC BD = （4）异面直线PM 与BD 所成的角为45︒A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】∵MN PQ ∥，∴PQ ∥面ACD ，又∵平面ACD I 平面ABC AC =，∴PQ AC ∥，∴AC ∥截面PQMN ．②正确；同理可得MQ BD ∥，故AC BD ⊥．①正确，又MQ BD ∥，45PMQ ∠=︒，∴异面直线PM 与BD 所成的角为45︒，故④正确．根据已知条件无法得到AC 、BD 长度之间的关系，故③错误．故选C ．8．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =．若二面角1C AB C --的大小为60︒，则点C 到平面1ABC 的距离为（ ）．AB CC 1B 1A 1AB ．34C ．1D ．32【答案】B【解析】点C 到平面1C AB 的距离为h ，∵ABC S =△，1cos60ABC ABC S S ==︒△△， ∵1C ABC C ABC V V --=， 即111133ABC ABC S C C S h ⋅⋅=⋅⋅△△， ∴34h =． 故选B ．二、填空题：（每小题4分，共16分）9．已知一个长方体的同一个顶点出发的三条棱长分别为1，则这个长方体外接球的表面积为__________．【答案】9π【解析】长方体外接球的直径3d =， ∴半径322d r ==， ∴长方体外接球的表面积为2234π4π9π2S r ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭．10．方程22121x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__________． 【答案】10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】方程22121x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆， ∴20(1)0(1)2m m m m >⎧⎪-->⎨⎪-->⎩， 解得10,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．11．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论正确的有__________． （1）AC BD ⊥； （2）ADC △是正三角形；（3）三棱锥C ABD -的体积为312； （4）AB 与平面BCD 成角60︒．【答案】（1）（2）（3） 【解析】∵BD OC ⊥，BD OA ⊥，∴BD ⊥面AOC ，∴BD AC ⊥．①正确．1cos cos45cos452ADC ∠=︒⋅︒=， 60ADC ∠=︒，AD DC =，ADC △为正三角形．②正确．231132C BDA V a -=⋅⋅=．③正确． AB 与平面BCD 所成角45ABD ∠=︒．④错误．DAB CO12．设1F ，2F 分别是椭圆22:1(01)y E x b b 2+=<<的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若11||3||AF BF =，2AF x ⊥轴，则椭圆E 的方程为__________． 【答案】22312x y += 【解析】设点A 在x 轴的上方，1(,0)F c -，2(,0)F c ，0(,)A c y ，由11||3||AF F B =，可得113AF F B =u u u r u u u r ， 易得05,33y B c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 又点A 、B 在椭圆E 上， 故22022202125199y c b y c b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 化简得213c =， ∴22223b ac =-=， 故椭圆E 的方程为22312y x +=．三、解答题：（本题共4小题，共52分）13．求经过两点11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆的标准方程，并求出它的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．【答案】标准方程：2211145x y +=．长轴长：1．．．焦点：⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭． 顶点坐标：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，⎛ ⎝⎭，0,⎛ ⎝⎭． 【解析】设所求椭圆方程为221Ax By +=，(0,0)A B >>， 依题意，得2221115334112A B A B B ⎧⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪=⎧⎪⎝⎭⎝⎭⇒⎨⎨=⎩⎪⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩， 故所求椭圆的标准方程为2211145x y +=．长轴长21a =，短轴长2b ，离心率：c e a ==焦点为⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭， 顶点坐标1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，⎛ ⎝⎭，0,⎛ ⎝⎭．14．如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，E ，F 分别是A D ''和CC '的中点．（1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值． （2）在棱BB '上是否存在一点P ，使得二面角P AC B --的大小为30︒？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1（2． 【解析】（1）取B C ''中点G ，连结EG ，PO G FECB AD D'C'B'A' 又∵E 为A D ''中点，∴EG A B AB ''∥∥，连结GF ，则FEG ∠即为异面直线EF 与AB 所成角， ∵F 为CC '中点，正方体边长为2，∵2EGA B ''==，EF =∴cos EG FEG EF ∠=，故异面直线EF 与AB （2）存在，在棱BB '上取一点P ，由题意可知，BP ⊥面ABC ，连结AC ，BD 交于点O ，易知BO AC ⊥，BO 连结PO ，则POB ∠为二面角P AC B --的平面角， 当30POB ∠=︒时，即tan PB POB BO ∠==解得BP ，∴当BP 时，二面角P AC B --的大小为30︒．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==D ABC P（1）求证：PD ⊥平面PAB ．（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． （3）在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析．（2．（3）存在，14AM AP =． 【解析】（1）∵面PAD ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，且AB AD ⊥， ∴AB ⊥面PAD ，∴AB PD ⊥，又∵PD PA ⊥，PA PB A =I ，∴PD ⊥面PAB ．（2）如图所示建立空间直角坐标系，zx设直线PB与平面PCD所成角为θ，∴(1,0,1)P，(0,1,0)B，(1,2,0)C，(2,0,0)D，则有(1,1,1)PB=--u u u r，(0,2,1)PC=-u u u r，(1,0,1)PD=-u u u r，设平面PCD的法向量为(,,)n x y z=r．由n PCn PD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r，得20(2,1,2)y znx z-=⎧⇒=⎨-=⎩r，∴sin||||PB nPB nθ⋅===⋅u u u r ru u u r r．又∵直线PB与平面PCD所成角为锐角，．（3）假设存在这样的M点，设点M的坐标为(,0,)a a．则(,1,)BM a a=-u u u u r，要使直线BM∥面PCD，即需要求BM n⊥u u u u r r．∴2120a a-+=，解得14a=，此时14AMAP=．16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(,0)c ，(0,)b 的直线的距离为12c ． （1）求椭圆E 的离心率．（2）如图，AB 是圆225:(2)(1)2M x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．【答案】（1．（2）221123x y +=． 【解析】（1）过点(,0)c ，(0,)b 的直线方程为0bx cy bc +-=， 则原点O 到该直线的距离bc d a==， 由12dc =得2a b ==，解得离心率c a = （2）由（1）知椭圆E 的方程为22244x y b +=， 由题意，圆心(2,1)M -是线段AB的中点，且||AB =AB 与x 轴不垂直，设其AB 方程为(2)1y k x =++，代入椭圆方程得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1228(21)14k k x x k ++=-+，221224(21)414k b x x k +-⋅=+，由124x x +=-得28(21)414k k k -+=-+， 解得12k =，从而21282x x b =-，于是12||||AB x x =-= 解得23b =，过椭圆E 的方程为221123x y +=．。
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2017-2018学年天津一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：1．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n B．若m丄α，n∥β，α∥β，则m丄n C．若m丄α，n丄β，α丄β，则m∥n D．若m∥α，n∥β，α丄β，则m 丄n2．（4分）已知直线x+a2y+6=0与直线（a﹣2）x+3ay+2a=0平行，则a的值为（）A．a=0或a=3或a=﹣1 B．a=0或a=3C．a=3或a=﹣1 D．a=0或a=﹣13．（4分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．64．（4分）若过定点M（﹣1，0）且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2﹣5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是（）A．0B．C．0D．0＜k＜55．（4分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，若则点A到平面A1BC的距离为（）A．B．C．D．6．（4分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3] 7．（4分）设不等式组，表示的平面区域为D，若圆C：（x+1）2+（y+1）2=r2（r＞0）经过区域D上的点，则r的取值范围是（）A．[2，2]B．（2，3]C．（3，2]D．（0，2）∪（2，+∞）8．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3 B．2 C．2 D．29．（4分）若直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则+的最小值为（）A．B．C．3 D．10．（4分）已知二面角α﹣l﹣β 为60°，AB⊂α，AB⊥l，A 为垂足，CD⊂β，C ∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、填空题：11．（3分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是12．（3分）已知点A（﹣1，1）和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2=4，从点A发出的一束光线经过x轴反射到圆周C的最短路程是．13．（3分）已知圆C：（x﹣1）2+y 2=25 与直线l：mx+y+m+2=0，当m=时，圆C 被直线l 截得的弦长最短．14．（3分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．15．（3分）正方形AP1P2P3的边长为4，点B，C 分别是边P1P2，P2P3的中点，沿AB，BC，CA 折成一个三棱锥P﹣ABC （使P1，P2，P3重合于P ），则三棱锥P﹣ABC 的外接球表面积为．16．（3分）若不等式≤k（x+2）﹣的解集为区间[a，b]，且b﹣a=2，则k=．三、解答题：17．（10分）已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|．（1）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．18．（10分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．19．（10分）已知圆C 的圆心在直线l1：x﹣y﹣1=0 上，与直线l2：4x+3y+14=0 相切，且截直线l3：3x+4y+10=0 所得弦长为6（Ⅰ）求圆C的方程（Ⅱ）过点M（0，1）是否存在直线L，使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由．20．（12分）如图，△ACB 和△ADC 都为等腰直角三角形，M，O 为AB，AC 的中点，且平面ADC⊥平面ACB，AB=4，AC=2，AD=2．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求点 B 到平面CDM 的距离d（Ⅲ）若 E 为BD 上一点，满足OE⊥BD，求直线ME 与平面CDM 所成角的正弦值．2017-2018学年天津一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n B．若m丄α，n∥β，α∥β，则m丄n C．若m丄α，n丄β，α丄β，则m∥n D．若m∥α，n∥β，α丄β，则m 丄n【解答】解：A．当满足线面平行时，直线的位置无法确定，所以当m∥α，n ∥β，α∥β时，直线m，n可能平行，也可能相交或异面，所以A错误．B．因为α∥β，所以当m丄α时，有m丄β，又n∥β，所以必有m丄n，所以B正确．C．因为α⊥β时，平面α，β的位置关系不确定，所以当m丄α，n丄β，α丄β时，m，n不一定平行，所以C错误．D．因为α⊥β时，平面α，β的位置关系不确定，所以当m∥α，n∥β，α丄β，则m丄n不一定成立，所以D错误．故选B．2．（4分）已知直线x+a2y+6=0与直线（a﹣2）x+3ay+2a=0平行，则a的值为（）A．a=0或a=3或a=﹣1 B．a=0或a=3C．a=3或a=﹣1 D．a=0或a=﹣1【解答】解：∵直线x+a2y+6=0与直线（a﹣2）x+3ay+2a=0平行，∴1×3a﹣a2（a﹣2）=0，即a（a2﹣2a﹣3）=0，解得a=0，或a=﹣1或a=3，经验证当a=3时，两直线重合，故选D3．（4分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．6【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为z max=﹣3+2×4=5．故选：C．4．（4分）若过定点M（﹣1，0）且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2﹣5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是（）A．0B．C．0D．0＜k＜5【解答】解：圆x2+4x+y2﹣5=0化为（x+2）2+y2=9，圆与y正半轴交于（0，），因为过定点M（﹣1，0）且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2﹣5=0在第一象限内的部分有交点，如图，所以k MA＜k＜k MB，∴0＜k＜，∴0＜k＜．故选A．5．（4分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，若则点A到平面A1BC的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：设点A到平面A1BC的距离为h，∵=，∴，∴，解得h=，故选：B．6．（4分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3）时，解得b=3，故，故选D．7．（4分）设不等式组，表示的平面区域为D，若圆C：（x+1）2+（y+1）2=r2（r＞0）经过区域D上的点，则r的取值范围是（）A．[2，2]B．（2，3]C．（3，2]D．（0，2）∪（2，+∞）【解答】解：由约束条件作出平面区域如图，由C：（x+1）2+（y+1）2=r2，得圆心C（﹣1，﹣1），联立，得A（1，1），联立，得B（2，2），联立，得D（1，3）．由图可知，半径r的最小值为|OA|=，半径r的最大值为|OD|=．故选：A．8．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3 B．2 C．2 D．2【解答】解：由三视图可得直观图，再四棱锥P﹣ABCD中，最长的棱为PA，即PA===2，故选：B．9．（4分）若直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则+的最小值为（）A．B．C．3 D．【解答】解：∵直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，∴直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）经过圆心（2，1），∴2a+2b﹣2=0，即a+b=1，∵a＞0，b＞0，∴+=（a+b）（+）=++1=≥==．∴+的最小值为．故选：B．10．（4分）已知二面角α﹣l﹣β 为60°，AB⊂α，AB⊥l，A 为垂足，CD⊂β，C ∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，在平面α内过点C作CF∥AB，过点F作FE⊥β，垂足为点E，连接CE，则CE⊥l，所以∠ECF=60°．过点E作DE⊥CE，交CD于点D1，连接FD1．设FC=2a，则CE=a，EF=a．因为∠ACD=135°，所以∠DCE=45°，所以，在Rt△DCE中，D1E=CE=a，CD1=a，∴FD1=2a，∴cos∠DCF==．∴异面直线AB与CD 所成角的余弦值为．二、填空题：11．（3分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是【解答】解：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），其底面积：S=×2×1+=，高h=3，故棱锥的体积V==，故答案为：12．（3分）已知点A（﹣1，1）和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2=4，从点A发出的一束光线经过x轴反射到圆周C的最短路程是8．【解答】解：由题意，圆C的圆心坐标为C（5，7），圆的半径为2，点A关于x 轴对称的点的坐标为B（﹣1，﹣1）由反射定律得点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，路程最短∵|BC|=∴从点A发出的一束光线经过x轴反射到圆周C的最短路程是10﹣2=8故答案为：813．（3分）已知圆C：（x﹣1）2+y 2=25 与直线l：mx+y+m+2=0，当m=1时，圆C 被直线l 截得的弦长最短．【解答】解：根据题意，直线l：mx+y+m+2=0，变形可得y+2=﹣m（x+1），则直线经过定点（﹣1，﹣2），设该点为M，分析可得：当CM和直线l垂直时，圆C被直线l截得的弦长最短，此时有（﹣m）×K CM=﹣1，即（﹣m）×=﹣1，解可得m=1，故答案为：114．（3分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=4±．【解答】解：圆心C（1，a），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d=，平方得a2﹣8a+1=0，解得a=4±，故答案为：4±15．（3分）正方形AP1P2P3的边长为4，点B，C 分别是边P1P2，P2P3的中点，沿AB，BC，CA 折成一个三棱锥P﹣ABC （使P1，P2，P3重合于P ），则三棱锥P﹣ABC 的外接球表面积为24π．【解答】解：根据题意，得折叠后的三棱锥P﹣ABC中，侧面PAB、侧面PBC、侧面PCA都是直角三角形，∴PA、PB、PC两两互相垂直，∵PA=4，PB=PC=2∴三棱锥P﹣ABC的外接球的直径为：2R==．∴外接球的半径为R=，可得三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为S=4πR2=24π．故答案为：24π．16．（3分）若不等式≤k（x+2）﹣的解集为区间[a，b]，且b﹣a=2，则k=．【解答】解：设y1=，y2=k（x+2）﹣，则在同一直角坐标系中作出其图象草图如所示y1图象为一圆心在原点，半径为3的圆的上半部分，y2图象为过定点A（﹣2，﹣）的直线．据此，原不等式解集可理解为：半圆上圆弧位于直线下方时圆弧上点的横坐标x 所对应的集合．观察图形，结合题意知b=3，又b﹣a=2，所以a=1，即直线与半圆交点N的横坐标为1，代入y1==2，所以N（1，2）由直线过定点A知直线斜率k==．故答案为：．三、解答题：17．（10分）已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|．（1）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．【解答】解：（1）根据题意，设点P的坐标为（x，y），又由动点P满足|PA|=2|PB|，则=2，化简可得（x﹣5）2+y2=16，此即为所求．（2）曲线C是以点（5，0）为圆心，4为半径的圆，如图，则直线l是此圆的切线，连接CQ，则|QM|==．当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|==4，=4．∴|QM|最小18．（10分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF∥AC，EF∥BC，DE∥AB；△DEF∽△ABC，又AB=2DE，∴BC=2EF=2BH，∴四边形EFHB为平行四边形；∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH；∴BE∥平面FGH；同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB；又DE∥AB；∴DE∥GH；∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；∴平面BDE∥平面FGH，BD⊂平面BDE；∴BD∥平面FGH；（Ⅱ）连接HE，则HE∥CF；∵CF⊥平面ABC；∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC；∴HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（﹣1，0，0）；连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点；∴BG⊥AC；又CF⊥平面ABC，BG⊂平面ABC；∴BG⊥CF，AC∩CF=C；∴BG⊥平面ACFD；∴向量为平面ACFD的法向量；设平面FGH的法向量为，则：，取z=1，则：；设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos|=；∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°．19．（10分）已知圆C 的圆心在直线l1：x﹣y﹣1=0 上，与直线l2：4x+3y+14=0 相切，且截直线l3：3x+4y+10=0 所得弦长为6（Ⅰ）求圆C的方程（Ⅱ）过点M（0，1）是否存在直线L，使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设圆心C（a，b），半径为r．∵圆C的圆心在直线l1：x﹣y﹣1=0上，∴a﹣b﹣1=0，∵圆C与直线l2：4x+3y+14=0相切∴r=，∵圆C截得直线l3：3x+4y+10=0所得弦长为6∴=．所以﹣=9．即=9．因为a﹣b=1，所以=9，∴a+b=3．由，解得：，故所求圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=25．（Ⅱ）由已知直线L的斜率存在，设直线L：y=kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（k2+1）x2﹣4x﹣21=0，△=16+84（k2+1）＞0，则x1+x2=，x1x2=﹣，则y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，由x1x2+y1y2=0，则（k2+1）×（﹣）+k×+1=0，整理得：5k2﹣k+20=0，由△＜0，无解，故不存在以AB为直径的圆经过原点．20．（12分）如图，△ACB 和△ADC 都为等腰直角三角形，M，O 为AB，AC 的中点，且平面ADC⊥平面ACB，AB=4，AC=2，AD=2．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求点 B 到平面CDM 的距离d（Ⅲ）若 E 为BD 上一点，满足OE⊥BD，求直线ME 与平面CDM 所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵△ACB 和△ADC 都为等腰直角三角形，M，O 为AB，AC 的中点，∴DO⊥AC，∵平面ADC⊥平面ACB，∴DO⊥面ACB，∴DO⊥CB，又BC⊥AC，DO∩AC=O，∴BC⊥面ACD．解：（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OM为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=4，AC=2，AD=2，∴C（﹣，0，0），D（0，0，），M（0，，0），B（﹣，2，0），=（），=（），=（0，﹣2，0），设平面CDM的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，﹣1），∴点B到平面CDM 的距离d==．（Ⅲ）设=λ，==（﹣），∵⊥，=（），∴﹣2λ﹣8λ+2﹣2λ=0，解得λ=，∴=（﹣），∴直线ME 与平面CDM 所成角的正弦值：sinθ==．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。