高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 8.5 椭圆课件 文
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.5椭圆课件理新人教版
(2)(2019·宁德模拟)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，
P(2， 3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的
方程为( A )
A.x82＋y62＝1
B.1x62 ＋y62＝1
C.x42＋y22＝1
D.x82＋y42＝1
【解析】 (1)设圆 M 的半径为 r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r) ＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以 M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的椭 圆，且 2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为6x42 ＋4y82 ＝1.
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的 轨迹是否为椭圆；二是当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2 组成 的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和 余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等.
(1)椭圆2x52 ＋y2＝1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则点 P 到另一
1．椭圆方程中的 a，b，c
(1)a，b，c 关系：a2＝b2＋c2.
(2)e 与ba：因为 e＝ac＝
a2－b2＝ a
1－ba2，所以离心率 e 越大，
则ba越小，椭圆就越扁；离心率 e 越小，则ba越大，椭圆就越圆．
2．焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2 叫 作焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2 的面积为 S， 则在椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)中：
第八章
平面解析几何
第五节 椭圆
知识梳理·自主学 习
课堂探究·深度剖析
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5节椭圆课件
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
图形
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
范围 性 对称性 质
顶点
离心率 a，b，c 的关系
－a≤x≤a
－b≤x≤b
－b≤y≤b
－a≤y≤a
对称轴：__坐_标__轴___；对称中心：_原_点___
A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b)
3．已知椭圆2x52 ＋my22＝1(m>0)的左焦点为 F1(－4,0)，则 m＝(
)
A．2B．3Fra bibliotekC．4
D．9
B [由左焦点为 F1(－4,0)知 c＝4.又 a＝5，∴25－m2＝16，解得 m＝3 或－
3.又 m>0，故 m＝3.]
4．直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短
轴长的14，则该椭圆的离心率为( )
1
1
A.3
B.2
2
3
C.3
D.4
B [如图，|OB|为椭圆中心到 l 的距离，则|OA|·|OF|
＝|AF|·|OB|，即 bc＝a·b2，所以 e＝ac＝12.]
5．椭圆x42＋y32＝1 的左焦点为 F，直线 x＝m 与椭圆相交于点 A，B，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是__________. 【导学号：51062285】
∴x0＝－53c且 y0＝－b32， 代入椭圆 x2＋by22＝1，得 25c2＋b2＝9，① 又 c2＝1－b2，② 联立①②，得 b2＝23. 故椭圆 E 的方程为 x2＋32y2＝1.]
[规律方法] 1.(1)利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数 2a>|F1F2|这一 条件．
高考数学一轮复习第八章解析几何8.5.2椭圆的综合问题课件理
【解析】 由题意 b＝1，c＝1。 ∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2。 y2 ∴椭圆方程为 2 ＋x2＝1。 若直线 l 斜率不存在时，|CD|＝2 2，不合题意。 若直线 l 斜率存在时，设 l 方程 y＝kx＋1，
y＝kx＋1， 2 2 2 2 ( k 2) x 联立 得 ＋ ＋2kx－1＝0。 y ＋2x ＝2，
反思归纳 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题， 其常规思路是 先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系 建立方程(组)， 解决相关问题， 涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决， 往往会更简单。 2．设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2] ＝
第八章 解析几何
第五节 椭圆
第二课时 椭圆的综合问题
微考点 大课堂 微考场 新提升
微考点
大课堂
考点例析 对点微练
考点 直线与椭圆的相交弦长问题 一
【典例 1】 椭圆两顶点 A(－1,0)，B(1,0)，过焦点 F(0,1)的直线 l 与 3 椭圆交于 C，D 两点。当|CD|＝2 2时，求 l 的方程。
Δ＝8(k2＋1)>0 恒成立。 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)。 2k 1 2 ∴x1＋x2＝－k ＋2，x1x2＝－k ＋2。
2
∴|CD|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2 2 2k2＋1 ＝ k2＋2 。 2 2k2＋1 3 2 即 k2＋2 ＝ 2 ， 解得 k2＝2。∴k＝± 2。 ∴直线 l 方程为 2x－y＋1＝0 或 2x＋y－1＝0。 【答案】 2x－y＋1＝0 或 2x＋y－1＝0
(2)不妨设 l 交椭圆于 A，B，弦中点为 M(x，y)， x 由①式 kl＝kAB＝－2y。 y－2 x y－2 又∵kl＝kMN＝x－1，∴－2y＝x－1。 2－4 7 2＋4 7 4－ 7 4＋ 7 整理，得 x ＋2y －x－4y＝0 9 <x< 9 ，x2 【典例 2】 已知椭圆 2 ＋y2＝1。 (1)求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程； (2)过 N(1,2)的直线 l 与椭圆相交， 求被 l 截得的弦的中点的轨迹方程； 1 1 (3)求过点 P 2，2 且被 P 点平分的弦所在直线的方程。
高考数学 一轮复习课件：第8章 解析几何8.5
解析：(1)∵|PF1|＋|PF2|＝14， 又|PF1|∶|PF2|＝4∶3， ∴|PF1|＝8，|PF2|＝6。 ∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2。 ∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12×8×6＝24。 (2)设圆 M 的半径为 r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16， ∴M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8， 故所求的轨迹方程为6x42 ＋4y82 ＝1。
解析：(1)错误。由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹 才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段 F1F2，常数小于|F1F2| 时，不存在图形。
(2)正确。由椭圆的定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a，又|F1F2|＝2c，所以 |PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c。
5．设 F1，F2 分别为椭圆x32＋y2＝1 的左，右焦点，点 A，B 在椭 圆上，若F→1A＝5F→2B，则点 A 的坐标是________。
解析：根据题意设 A 点坐标为(m，n)，B 点坐标为(c，d)。F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－ 2，0)、( 2，0)，可得F→1A
悟·技法 椭圆几何性质的应用技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析。 (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式。例如－a≤x≤a， －b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等 关系。
(3)紧扣定义是解题的一个基本出发点，涉及弦中点的问题常常用 “点差法”解决，往往会更简单。
上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2 的面积为( C ) A．30 B．25
C．24 D．40 (2)已知两圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在 圆 C1 内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方 程为( D ) A.6x42 －4y82 ＝1 B.4x82 ＋6y42 ＝1 C.4x82 －6y42 ＝1 D.6x42 ＋4y82 ＝1
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第5节 椭 圆
则|PA|=r+1,|PB|=8-r,
可得|PA|+|PB|=9,又9>2=|AB|,
则动圆的圆心P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为9的椭圆.故选A.
角度二
椭圆的焦点三角形
[例2] (多选题)(2024·山东青岛模拟)已知椭圆 C: + =1 的左、
右焦点分别是F1,F2, M( ,y0) 为椭圆C上一点,则下列结论正确的是
轴三等分,则此椭圆的方程是(
A.+=1
B.+ =1 源自 √C.+=1
D. +=1
)
解析:根据题意可设椭圆方程为 + =1,易知 2a=18,且 2c= ×2a,
解得a=9,c=3,
所以a2=81,b2=a2-c2=72,
所以 a=2 ,则离心率 e== .故选 C.
)
5.若方程
为
(0, )
+
=1 表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围
-
.
解析:由题可知,1-m>m>0,解得 0<m< ,所以实数m的取值范围为
(0,).
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
椭圆的定义及应用
角度一
根据定义判断曲线的形状
[例1] 一动圆P与圆A:(x+1)2+y2=1外切,而与圆B:(x-1)2+y2=64内切,
那么动圆的圆心P的轨迹是(
√
A.椭圆
B.双曲线
高考数学一轮总复习第八章平面解析几何 5椭圆第1课时椭圆的标准方程与简单几何性质课件
顶点
轴长
离心率
0,1
扁平
常用结论
1.椭圆定义、标准方程相关常用结论
（1）在用椭圆定义时，若 1 2 = 2，则动点的轨迹不是椭圆，而是连接两定
点的线段（包括端点）；若 1 2 > 2，则轨迹不存在.
2
（2）椭圆 2
2
+ 2
= cos ,
②4 2 = 12 + 22 − 21 2 cos .
③当1 = 2 时，即点的位置为短轴端点时， 最大.
④ =
1
sin
2 1 2
=
2
tan
2
= 0 .当 0 = 时，即点的位置为短轴端点时，
取最大值.
（3）设，，是椭圆上不同的三点，其中点，关于原点对称，直线，
已知椭圆 2
2
+ 2
= 1 > > 0 的左、右焦点分别为1 ，2 ，点是椭圆短轴的
1
2
一个顶点，且cos ∠1 2 = ，则椭圆的离心率 =(
√
1
A.
2
B.
2
2
)
1
C.
4
D.
2
4
解：由题意,得 1 = 2 = ， 1 2 = 2.
在△ 1 2 中，由余弦定理，得cos∠1 2 =
= 1 > > 0 的参数方程是ቊ = sin 0 ≤ < 2π .
2.椭圆几何性质相关常用结论
（1）椭圆中的最值：为椭圆上任一点，为短轴一个端点，则 ∈ [, ]；
1 ∈ [ − , + ]； 1 ⋅ 2 ∈ [ 2 , 2 ]；∠1 2 ≤ ∠1 2 ;过焦点的弦中通径
高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_5椭圆课件理新人教A版
B．x52＋y2＝1或x42＋y52＝1 D．以上答案都不对
[解析]
(1)因为O，M分别为F1F2和PF1的中点，所以OM∥PF2，且|OM|＝
1 2
|PF2|，
同理，ON∥PF1，且|ON|＝
1 2
|PF1|，所以四边形OMPN为平行四边形．由题意知，
|OM|＋|ON|＝ 3，故|PF1|＋|PF2|＝2 3，即2a＝2 3，a＝ 3，由a2＝b2＋c2知c2＝ a2－b2＝2，c＝ 2 ，所以|F1F2|＝2c＝2 2 ，故△PF1F2的周长为2a＋2c＝2 3 ＋
y2 b2
＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆
E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为
．
解析：设点B的坐标为(x0，y0)． ∵x2＋by22＝1，∴F1(－ 1－b2，0)，F2( 1－b2，0)．
∵AF2⊥x轴，设点A在x轴上方，∴A( 1－b2，b2)． →→
∵e＝ac＝
36，a2＝b2＋c2，∴ba＝
3 3.
由|AB|＝233，易知ba2＝ 33，
∴b＝1，a＝ 3，∴椭圆方程为x32＋y2＝1.
(2)将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(1＋3k2)x2＋12kx＋ 9＝0，又直线与椭圆有两个 交点，所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0，解得k2>1. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则x1＋x2＝－1＋123kk2，x1x2＝1＋93k2.
跟踪训练 (1)已知圆：C1(x－4)2＋y2＝169，圆C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1
内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
2019版高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.5 椭圆学案 文
8．5 椭圆[知识梳理]1．椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．注：当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形3．直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交； (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切； (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离． 4．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b2a，最长为2a .5．必记结论(1)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，P 点在短轴端点处；当x ＝±a 时，|OP |有最大值a ，P 点在长轴端点处．(2)已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . [诊断自测] 1．概念思辨(1)平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )表示的曲线是椭圆．( )(3)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相同．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(选修A1－1P 35例3)已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 225＝1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．20C ．241D ．441答案 D解析 因为a >5，所以椭圆的焦点在x 轴上，所以a 2－25＝42，解得a ＝41.由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ＝441.故选D.(2)(选修A1－1P 42A 组T 6)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 3．小题热身(1)(2014·大纲卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A解析 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.(2)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．答案3－1解析 由已知得直线y ＝3(x ＋c )过M ，F 1两点，所以直线MF 1的斜率为3，所以∠MF 1F 2＝60°，则∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，则MF 1＝c ，MF 2＝3c ，由点M 在椭圆Γ上知：c ＋3c ＝2a ，故e ＝ca＝3－1.题型1 椭圆的定义及应用典例1 已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点F 1的距离为3，则P 到另一个焦点F 2的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7应用椭圆的定义．答案 D解析 根据椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，得|PF 2|＝7，故选D.[条件探究] 若将典例中的条件改为“F 1，F 2分别为左、右焦点，M 是PF 1的中点，且|OM |＝3”，求点P 到椭圆左焦点的距离？解 由M 为PF 1中点，O 为F 1F 2中点，易得|PF 2|＝6，再利用椭圆定义易知|PF 1|＝4.典例2 (2018·漳浦县校级月考)椭圆x 24＋y 2＝1上的一点P 与两焦点F 1，F 2所构成的三角形称为焦点三角形．(1)求PF 1→·PF 2→的最大值与最小值； (2)设∠F 1PF 2＝θ，求证：S △F 1PF 2＝tan θ2.(1)利用向量数量积得到目标函数，利用二次函数求最值；(2)利用余弦定理、面积公式证明．解 (1)设P (x ，y )，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2，∵x 2∈[0,4]，∴34x 2－2∈[－2,1]．∴PF 1→·PF 2→的最大值为1，最小值为－2.(2)证明：由椭圆的定义可知||PF 1|＋|PF 2||＝2a ， |F 1F 2|＝2c ，设∠F 1PF 2＝θ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理可得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)，可得4c 2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)⇒|PF 1|·|PF 2|＝2b21＋cos θ，即有△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝b 2·sin θ1＋cos θ＝b 2tan θ2＝tan θ2.方法技巧椭圆定义的应用技巧1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率等．2．通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．见典例2.冲关针对训练1．已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋43y 2＝1解析 如图，由题意知|PA |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|PA |＋|PF |＝2且|PA |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.2．已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B ＝________.答案 54解析 由题意知，A ，C 为椭圆的两焦点，由正弦定理，得sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝2a2c＝a c ＝54. 题型2 椭圆的标准方程及应用典例1 (2018·湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为坐标原点，F 1、F 2为它的两个焦点，离心率为22，过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．在未明确焦点的具体位置时，应分情况讨论．答案x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1 解析 由椭圆的定义及△ABF 2的周长知4a ＝16，则a ＝4，又ca ＝22，所以c ＝22a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8.当焦点在x 轴上时，椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆C 的方程为y 216＋x 28＝1.综上可知，椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1.典例2 (2017·江西模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且焦距为23，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，|OP |＝24a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，求椭圆的方程．用待定系数法，根据已知列出方程组．解 设P (x ，y )，则|OP |2＝x 2＋y 2＝a 28，由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2， 又∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2＝4c 2， |PF 1|2＋|PF 2|2＋8c 2＝4a 2，∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2，整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2，即a 28＋5c 2＝2a 2，整理得c 2a 2＝38， 又∵2c ＝23，∴c ＝3， ∴a 2＝8，b 2＝5.所求椭圆的方程为x 28＋y 25＝1.方法技巧求椭圆标准方程的步骤1．判断椭圆焦点位置． 2．设出椭圆方程．3．根据已知条件，建立方程(组)求待定系数，注意a 2＝b 2＋c 2的应用． 4．根据焦点写出椭圆方程．见典例1,2.提醒：当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )．可简记为“先定型，再定量”．冲关针对训练已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.P 为椭圆上的一点，PF 1与y 轴相交于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，且M 为PF 1的中点，S △PF 1F 2＝32.求椭圆的方程． 解 设P (x 0，y 0)∵M 为PF 1的中点，O 为F 1F 2的中点． ∴x 0＝c ，y 0＝12.PF 2∥y 轴，△PF 1F 2是∠PF 2F 1＝90°的直角三角形，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧c 2a 2＋14b2＝1，12·2c ·12＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.题型3 椭圆的几何性质典例1 (2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34用方程思想．A ，M ，E 三点共线，B ，N ，M 三点共线．答案 A解析 由题意知过点A 的直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，当x ＝－c 时，y ＝k (a －c )，当x ＝0时，y ＝ka ，所以M (－c ，k (a －c ))，E (0，ka )．如图，设OE 的中点为N ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ka 2，由于B ，M ，N 三点共线，所以k BN ＝k BM ，即ka2－a ＝k (a －c )－c －a ，所以12＝a －c a ＋c ，即a ＝3c ，所以e ＝13.故选A.典例2 F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．由∠F 1PF 2＝90°，求出x 20＝a 2(c 2－b 2)c 2后，利用x 20∈[0，a 2]求解．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析 设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)，若∠F 1PF 2＝90°，则PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－c 2＝0. ∴x 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2＝c 2，∴x 20＝a 2(c 2－b 2)c 2.∵0≤x 20≤a 2，∴0≤c 2－b 2c2≤1.∴b 2≤c 2，∴a 2≤2c 2，∴22≤e <1. [条件探究] 将典例2中条件“∠F 1PF 2＝90°”改为“∠F 1PF 2为钝角”，求离心率的取值范围．解椭圆上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角⇔以原点O 为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b <c ，如图，由b <c ，得a 2－c 2<c 2，即a 2<2c 2，解得e ＝c a >22，又0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1. 方法技巧求解椭圆离心率(或其范围)常用的方法1．若给定椭圆的方程，则根据椭圆方程确定a 2，b 2，进而求出a ，c 的值，从而利用公式e ＝ca直接求解．2．若椭圆的方程未知，则根据条件及几何图形建立关于a ，b ，c 的齐次等式(或不等式)，化为关于a ，c 的齐次方程(或不等式)，进而化为关于e 的方程(或不等式)进行求解．见典例1,2.冲关针对训练(2015·重庆高考)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解 (1)由椭圆的定义，有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 得2c ＝|F 1F 2| ＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)连接QF 1，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|.|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝ (2－2)2＋(2－1)2＝ 9－62＝6－ 3.题型4 直线与椭圆的综合问题角度1 利用直线与椭圆的位置关系研究椭圆的标准方程及性质典例 (2014·全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .本题(2)用代入法列出方程，用方程组法求解．解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ， 2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，得原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.角度 2 利用直线与椭圆的位置关系研究直线及弦的问题典例 (2014·全国卷Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．直线与椭圆构成方程组，用设而不求的方法求弦长，再求△OPQ 的面积．解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 方法技巧直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法1．合理消元，消元时可以选择消去y ，也可以消去x .见角度1典例． 2．利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来． 3．构造基本不等式或利用函数知识求最值．见角度2典例． 4．涉及弦中点的问题常用“点差法”解决．冲关针对训练(2015·陕西高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得 10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.1.(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133B.53C.23D.59答案 B解析 ∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴e ＝c a ＝53.故选B.2．(2017·河北衡水中学二调)设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．15答案 D解析 由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，所以34＋2|PF 1||PF 2|＝64，所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.3．(2018·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线PQ 过原点O 且与直线MN 平行，直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________.答案 2 2解析 解法一：由题意知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN ：x ＝my ＋1，则直线PQ ：x ＝my .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2＋2my－1＝0⇒y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.∴|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝22·m 2＋1m 2＋2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2＝0⇒y 3＋y 4＝0，y 3y 4＝－2m 2＋2.∴|PQ |＝1＋m 2|y 3－y 4|＝2 2m 2＋1m 2＋2.故|PQ |2|MN |＝2 2. 解法二：取特殊位置，当直线MN 垂直于x 轴时，易得|MN |＝2b2a＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝2 2. 4．(2015·安徽高考)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b>0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5b 4＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35， 故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·江西五市八校模拟)已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)答案 B解析 因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，则m ＝4，所以圆锥曲线x 2＋y 2m＝1即为椭圆x 2＋y 24＝1，易知其焦点坐标为(0，±3)，故选B.2．(2017·湖北荆门一模)已知θ是△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝34，则方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示( )A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆 答案 D解析 因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝916，所以sin θcos θ＝－732＜0，结合θ∈(0，π)，知sin θ>0，cos θ<0，又sin θ＋cos θ＝34＞0，所以sin θ＞－cos θ＞0，故1－cos θ＞1sin θ＞0，因为x 2sin θ－y 2cos θ＝1可化为y 2－1cos θ＋x 21sin θ＝1，所以方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．故选D.3．(2018·湖北八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59答案 B解析 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23 D.13答案 A解析 由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝⎛⎭⎪⎫132＝63.故选A. 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率为( )A.32B.22C.12D.14答案 C解析 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，所以c 2＝a 2－b 2＝m 2＋n 2.因为c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，所以c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，所以m 2＝c 4a 2，n 2＝c 4a 2＋c 22，所以2c 4a 2＋c 22＝c 2，化为c 2a 2＝14，所以e ＝c a ＝12.故选C.6．(2017·荔湾区期末)某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m 千米，远地点距地面n 千米，地球半径为r 千米，则该飞船运行轨道的短轴长为( )A ．2(m ＋r )(n ＋r )千米 B.(m ＋r )(n ＋r )千米 C ．2mn 千米 D ．mn 千米答案 A解析 ∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆， 设长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ， 则近地点A 距地心为a －c ，远地点B 距地心为a ＋c . ∴a －c ＝m ＋r ，a ＋c ＝n ＋r ， ∴a ＝m ＋n2＋r ，c ＝n －m2.又∵b 2＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －m 22＝mn ＋(m ＋n )r ＋r 2＝(m ＋r )(n ＋r )． ∴b ＝(m ＋r )(n ＋r )，∴短轴长为2b ＝2(m ＋r )(n ＋r )千米，故选A.7．(2017·九江期末)如图，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则该椭圆的离心率为( )A.32B.12C.3－1D.22答案 C 解析 连接AF 1，∵F 1F 2是圆O 的直径，∴∠F 1AF 2＝90°， 即F 1A ⊥AF 2，又∵△F 2AB 是等边三角形，F 1F 2⊥AB ， ∴∠AF 2F 1＝12∠AF 2B ＝30°，因此，在Rt △F 1AF 2中，|F 1F 2|＝2c ， |F 1A |＝12|F 1F 2|＝c ，|F 2A |＝32|F 1F 2|＝3c .根据椭圆的定义，得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝(1＋3)c ，解得a ＝1＋32c ，∴椭圆的离心率为e ＝c a＝3－1.故选C.8．(2018·郑州质检)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655 C.855D.455答案 C解析 设椭圆的右焦点为E ，由椭圆的定义知△FMN 的周长为L ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋(25－|ME |)＋(25－|NE |)．因为|ME |＋|NE |≥|MN |，所以|MN |－|ME |－|NE |≤0，当直线MN 过点E 时取等号，所以L ＝45＋|MN |－|ME |－|NE |≤45，即直线x ＝a 过椭圆的右焦点E 时，△FMN 的周长最大，此时S △FMN ＝12×|MN |×|EF |＝12×2×45×2＝855，故选C.9．如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若直线AC 与BD 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为( )A.12 B.22C.32D.34答案 C解析 设外层椭圆方程为x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(a >b >0，m >1)，则切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，切线BD 的方程为y ＝k 2x ＋mb ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －ma )，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 21)x 2－2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0.因为Δ＝(2ma 3k 21)2－4(b 2＋a 2k 21)(m 2a 4k 21－a 2b 2)＝0，整理，得k 21＝b 2a 2·1m 2－1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2x ＋mb ，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 22)x 2＋2a 2mbk 2x ＋a 2m 2b 2－a 2b 2＝0，因为Δ2＝(2a 2mbk 2)2－4×(b 2＋a 2k 22)(a 2m 2b 2－a 2b 2)＝0，整理，得k 22＝b 2a2·(m 2－1)．所以k 21·k 22＝b 4a 4.因为k 1k 2＝－14，所以b 2a 2＝14，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以e ＝32，故选C.10．(2018·永康市模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝b 2，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，满足∠APB ＝60°，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A．0<e≤32B.12≤e<1C.32<e<1 D.32≤e<1答案 D解析由椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)焦点在x轴上，连接OA，OB，OP，依题意，O，P，A，B四点共圆，∵∠APB＝60°，∠APO＝∠BPO＝30°，在直角三角形OAP中，∠AOP＝60°，∴cos∠AOP＝b|OP|＝12，∴|OP|＝b12＝2b，∴b<|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，由a2＝b2＋c2，即4(a2－c2)≤a2，∴3a2≤4c2，即c2a2≥34，∴e≥32，又0<e<1，∴32≤e<1，∴椭圆C的离心率的取值范围是32≤e<1.故选D.二、填空题11．(2017·湖南东部六校联考)设P，Q分别是圆x2＋(y－1)2＝3和椭圆x24＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________．答案733解析依据圆的性质可知，P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，设Q(x，y)，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d＝x2＋(y－1)2＝－3y 2－2y ＋5＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＋163，∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－13时，d 取最大值433，所以P ，Q 两点间的最大距离为d max ＋3＝733.12．(2018·广州二测)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为________．答案 5x 29＋5y 24＝1解析 设F (1,0)关于直线y ＝12x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧0＋y 2＝12×1＋x2，y －0x －1×12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝45，由于椭圆的两个焦点为(－1,0)，(1,0)，所以2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝655，a ＝355，又c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝95－1＝45，所以椭圆C 的方程为x 295＋y 245＝1，即5x 29＋5y24＝1. 13．(2018·江西五市联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫55，1 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 52＋y 21＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－a 52＋y 22，x 21a 2＋y21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 5(x 1－x 2)＝x 21－x 22＋y 21－y 22，y 21＝b 2－b 2a 2x 21，y 22＝b 2－b 2a2x 22，所以2a 5(x 1－x 2)＝a 2－b 2a 2(x 21－x 22)，所以2a 35(a 2－b 2)＝x 1＋x 2.又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2，所以－2a <x 1＋x 2<2a ，则2a 35(a 2－b 2)<2a ，即b 2a 2<45，所以e 2>15.又0<e <1，所以55<e <1.14．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案63解析 由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)， ∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF →＝0， 所以⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2，所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.B 级三、解答题15．(2018·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心C .(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程． 解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6， 圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b2＝1，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2 (2,0)， |F 2C |＝ (2－2)2＋(0＋2)2＝2<r ＝ 6.F 2在圆C 内，故过F 2没有圆C 的切线，所以直线l 过焦点F 1.设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 点C (2，－2)到直线l 的距离为d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k 2， 由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k 2＝ 6. 化简，得5k 2＋42k －2＝0，解得k ＝25或k ＝－ 2. 故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.16．(2018·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△PAB 面积的最大值．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，∴4a 2＋1b2＝1.∴a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1，整理得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14× (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 5(4－m 2). 点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. ∴S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5(4－m 2)＝m 2(4－m 2)≤m 2＋4－m 22＝2.而且仅当m 2＝2，即m ＝±2时取得最大值． ∴△PAB 面积的最大值为2.17．(2018·兰州模拟)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2,0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，∴a 2－b 2＝4. ∵点B (2，2)在椭圆C 上，∴4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4， ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)依题意点A 的坐标为(－22，0)，设P (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则Q (－x 0，－y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y24＝1，得x 0＝221＋2k2，y 0＝22k 1＋2k2，∴直线AP 的方程为y ＝k1＋1＋2k 2(x ＋22)， 直线AQ 的方程为y ＝k1－1＋2k2(x ＋22)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22k 1＋1＋2k 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22k 1－1＋2k 2，∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k1＋1＋2k 2－22k 1－1＋2k 2＝22(1＋2k 2)|k |.设MN 的中点为E ，则点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－2k ，则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2k 2＝2(1＋2k 2)k 2，即x 2＋y 2＋22k y ＝4， 令y ＝0得x ＝2或x ＝－2，即以MN 为直径的圆经过两定点P 1(－2,0)，P 2(2,0)．18．(2018·湖南十校联考)如图，设点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为－23.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M ，N 是轨迹C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求证：△MON 的面积为定值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得，k AP ·k BP ＝y x ＋3·y x －3＝－23(x ≠±3)，化简得，点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1(x ≠±3)． (2)证明：由题意知，M ，N 是椭圆C 上不同于A ，B 的两点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ，则直线AP ，BP 的斜率必存在且不为0.因为AP ∥OM ，BP ∥ON ，所以k OM ·k ON ＝k AP ·k BP ＝－23.设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，得(3＋2m 2)y 2＋4mty ＋2t 2－6＝0，①设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程①的两根，所以y 1＋y 2＝－4mt 3＋2m 2，y 2y 2＝2t 2－63＋2m2.又k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝2t 2－63t 2－6m 2，所以2t 2－63t 2－6m 2＝－23，即2t 2＝2m 2＋3.又S △MON ＝12|t ||y 1－y 2|＝12·|t |－24t 2＋48m 2＋723＋2m 2， 所以S △MON ＝26t 24t 2＝62， 即△MON 的面积为定值62.。
(新课标)高考数学一轮复习-第八章 解析几何 第5讲 椭圆课件
性轴 质
焦距 离心率 a、b、c 的关系
长轴 A1A2 的长为____2_a_______； 短轴 B1B2 的长为____2_b_______ |F1F2|＝_____2_c______ e＝_____ac____∈(0,1)
__c2_＝__a_2_－__b_2 __
●双基自测
1 ． 下 列 结 论 正 确 的 打 “√” ， 错 误 的 打
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)
图形
性 范围
质
－a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
标准方程
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)
对称性 对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0)
中点在 C 上，则|AN|＋|BN|＝____________. 导学号 25401990 [解析] (1)由条件知|PM|＝|PF|. ∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R＞|OF|. ∴P 点的轨迹是以 O，F 为焦点的椭圆．
(2)由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，P→F1⊥P→F2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2， ∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2. ∴|PF1|·|PF2|＝2b2， ∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12×2b2＝b2＝9. ∴b＝3.
2019-2020版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.5椭圆课件文20
①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③
c1 a1
<
c2 a2
；④
c1a2>a1c2.
其中正确式子的序号是(
)
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析 观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正确；a1 －c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1＝a2－c2>0， c1>c2>0，知a1－ c1 c1<a2－ c2 c2，即ac11<ac22，从而c1a2>a1c2，ca11>ac22， 即④式正确，③式不正确．故选D.
பைடு நூலகம்c a
＝
3 2
，得c＝3
3 ，故b2＝
a2－c2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为3x26＋y92＝1.
触类旁通 (1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应 考虑用定义来解决． (2)求椭圆的标准方程有以下五种方法： ①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合 焦点位置可写出椭圆方程．
焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一
个焦点F2构成的△ABF2的周长为(
)
A．2 B．4
C．8 D．2 2
[解析] 因为椭圆方程为4x2＋y2＝1，所以a＝1.根据椭
圆的定义，知△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋ |BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4.
⑤相关点法(代入法)：若动点与某个参动点有关，常 用动点坐标表示参动点坐标，然后代入参动点满足关系即 可得方程．
【变式训练1】 (1)[2017·湖南岳阳模拟]在平面直角坐
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y2 4
＋
x2 3
＝λ(λ>0)代入点(2，－
3)，得λ＝2152， ∴2y52 ＋2x52 ＝1.
34
(1)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步 骤是：
①作判断：根据条件判断焦点的位置． ②设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程 为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． ③找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方 程组． ④求解，得方程．
(4)方法1：∵e＝ac＝
a2－b2 a
＝
1－ba22＝
1－34＝12，若
焦点在x轴上，设所求椭圆方程为
x2 m2
＋
yபைடு நூலகம் n2
＝1(m>n>0)，则1－
mn 2＝14.
从而mn 2＝34，mn ＝
3 2.
又m42＋n32＝1，∴m2＝8，n2＝6.
∴方程为x82＋y62＝1. 若焦点在y轴上，设方程为my22＋nx22＝1(m>n>0)，
【调研2】 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到 同侧顶点的距离为 3； (3)经过点P(－2 3，1)，Q( 3，－2)两点； (4)与椭圆x42＋y32＝1有相同离心率且经过点(2，－ 3)．
【解】 (1)若焦点在x轴上，设方程为 ax22＋by22＝1(a>b>0)．
突破考点01 突破考点02 突破考点03
突破考点04 高考真题演练
课时作业
突破考点 01
集合的基本概念
（基础送分型——自主练透）
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________的点的 轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距 离叫做椭圆的焦距．
常数(大于|F1F2|)
【调研1】 (1)已知A－12，0，B是圆x－122＋y2＝4(F为圆 心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨 迹方程为________．
(2)①方程ax22＋by22＝1与ax22＋by22＝λ(λ>0)有相同的离心率．
第八章
平面解析几何
第五节 椭圆
考纲下载 1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现 实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握椭圆的定义、标准方程及简单的几何性质．
请注意 1.椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点，而 直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点． 2．定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的 形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不 等式等的综合题常以解答题的形式考查，属中、高档题 目．
(2)由已知，有aa＝－2c＝c， 3，
解得ac＝＝2
3， 3.
从而b2＝a2－c2＝9.
∴所求椭圆方程为1x22 ＋y92＝1或x92＋1y22 ＝1.
(3)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． ∵点P(－2 3，1)，Q( 3，－2)在椭圆上， ∴132mm＋＋4nn＝＝11，， 解得m＝115，n＝15. 故1x52 ＋y52＝1为所求．
【答案】 最大值6＋ 2，最小值6－ 2
(3)(2014·辽宁卷)已知椭圆C：
x2 9
＋
y2 4
＝1，点M与C的焦点
不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的
中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.
【解析】 方法1：由椭圆方程知椭圆C的左焦点为F1(－ 5 ，0)，右焦点为F2( 5 ，0)，则M(m，n)关于F1的对称点为 A(－2 5 －m，－n)，关于F2的对称点为B(2 5 －m，－n)，设 MN中点为(x，y)，所以N(2x－m,2y－n)．所以|AN|＋|BN|＝ 2x＋2 52＋2y2＋ 2x－2 52＋2y2＝2[ x＋ 52＋y2
则m32＋n42＝1，且mn ＝ 23，解得m2＝235，n2＝245. 故所求方程为2y52 ＋2x52 ＝1.
34
方法2：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为 x42＋y32＝t(t>0)，将点(2，－ 3)代入，得
t＝242＋－3 32＝2.
故所求方程为x82＋y62＝1.
若焦点在y轴上，设方程为
【解析】
如图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|＋|PF1|＝6. ∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6. 利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号 成立)．
∴|PA|＋|PF|≤6＋ 2， |PA|＋|PF|≥6－ 2. 故|PA|＋|PF|的最大值为6＋ 2，最小值为6－ 2.
【解析】 如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所
以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF|>|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为
焦点的椭圆，a＝1，c＝12，b2＝34，所以动点P的轨迹方程为x2
＋43y2＝1. 【答案】
x2＋43y2＝1
(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的 动点，A(1,1)是一定点．求|PA|＋|PF|的最大值和最小值 ________．
∵椭圆过点A(3,0)．
∴a92＝1，∴a＝3，∵2a＝3×2b， ∴b＝1，∴方程为x92＋y2＝1. 若焦点在y轴上，设方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)．
∵椭圆过点A(3,0)，∴b92＝1，∴b＝3. 又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为8y12 ＋x92＝1. 综上所述，椭圆方程为x92＋y2＝1或8y12 ＋x92＝1.
【答案】 12
在利用椭圆定义解题的时候，一方面要注 意到常数2a>|F1F2|这个条件；另一方面要熟练掌握由椭圆上任 一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系．
突破考点 02
求椭圆的标准方程
（重点得分型——师生共研）
标准方程
ax22＋by22＝1 (a>b>0)
图形
ay22＋bx22＝1 (a>b>0)
＋ x－ 52＋y2]， 故由椭圆定义可知|AN|＋|BN|＝2×6＝12.
方法2：根据已知条件画出图形，如图．设MN的中点为 P，F1、F2为椭圆C的焦点，连接PF1、PF2.显然PF1是△MAN 的中位线，PF2是△MBN的中位线，∴|AN|＋|BN|＝2|PF1|＋ 2|PF2|＝2(|PF1|＋|PF2|)＝2×6＝12.