1998年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
1997年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
B1997年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
1997*1、已知数列{}n x 满足11-+-=n n n x x x (2≥n )，a x =1，b x =2， 记n n x x x S +++= 21，则下列结论正确的是（ ）A.a b S a x -=-=2,100100B. a b S b x -=-=2,100100C. a b S b x -=-=100100,D. a b S a x -=-=100100, ◆答案：A★解析：列举得a x =1，b x =2，a b x -=3，a x -=4，b x -=5，b a x -=6，a x =7，b x =8，易知该数列的周期为6，且0654321=+++++x x x x x x ，所以a x x -==4100，a b S -=21001997*2、如图，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使得λ==FDCFEB AE ，)0(>λ，记λλβαλ+=)(f 其中λα表示 EF 与AC 所成的角，λβ表示EF 与BD 所成的角，则（ ） A. )(λf 在()+∞,0上单调增加 B. )(λf 在()+∞,0上单调减少C. )(λf 在()1,0上单调增加，而在()+∞,1上单调减少D. )(λf 在()+∞,0上为常数◆答案：D★解析：作AC EG //交BC 于G ，连GF ，则FDCFGB CG EB AE ==，故BD GF //．故λλβα=∠=∠G F E G E F ,，但BD AC ⊥，故090=∠EGF ．故)(λf 为常数．选D ．1997*3、设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为297，则这样的数列共有（ ）A.2个B.3个C. 4个D. 5个 ◆答案：C★解析：设首项为a ，公差为d ，项数为n ，则297)1(21=-+n n na ，即()2972)1(2⨯=-+d n a n ，即n 为2972⨯的大于3的约数．∴ 若297=n ，则解得0,1==d a ，（1≥d 时，0<a ）．此时有一解；若97=n ，则194962=+d a ，得97,0==a d ；49,1==a d ；1,2==a d .有三解； 若972⨯=n ，或2972⨯=n 时，无解．2,1=n 时3<n ．选C1997*4、若方程222)32()12(+-=+++y x y y x m 表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围为（ ） A. ()1,0 B. ()+∞,1 C. ()5,0 D. ()+∞,5 ◆答案：D★解析：将该方程看成是轨迹上点到()1,0-的距离与到直线032=+-y x 的距离的比：()15)2(13212222<=-++-++my x y x ，解得5>m ，选D ．1997*5、设x x x f π-=2)(，31arcsin =α，45arctan =β，)31arccos(-=γ，)45arctan(-=σ，则（ ）A.)()()()(γσβαf f f f >>>B. )()()()(γβσαf f f f >>>C. )()()()(γβασf f f f >>>D. )()()()(βγασf f f f >>>◆答案：B★解析： )(x f 的对称轴为2π=x ，易得， 65433223460πσππγππβππα<<<<<<<<<<<．选B ．1997*6、如果空间三条直线c b a ,,两两成异面直线，那么与c b a ,,都相交的直线有（ ） A.1条 B.1条 C.多于1的有限条 D. 无穷多条 ◆答案：D★解析：在c b a ,,上取三条线段///,,D A CC AB ，作一个平行六面体////D C B A ABCD -，在c 上取线段//D A 上一点P ，过P a ,作一个平面，与/DD 交于Q 、与/CC 交于R ，则a QR //，于是PR不与a 平行，但PR 与a 共面．故PR 与a 相交．由于可以取无穷多个点P ．故选D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分。
详解——1998年全国初中数学竞赛试题
1998年全国初中数学联合竞赛试题答案及详解第 一 试1．3 15+=m ，4151511-=+=m ， ∴ 435451+=+m m ，31=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+m m . 2．322 如图，AD 为直角A 的平分线，过B 作DA BE //交CA 的延长线于点E .=∠EBA ︒=∠45BAD ，1==AB AE ，2=EB ，又CDA ∆∽CBE ∆，32==CE AC EB AD ，∴32232==EB AD . 3．22)1()(122233+--+--=+-x x x x x x x22)1()1(22=+--+--=x x x x x .4．3因为m 、n 为有理数，方程一根为25-，那么另一个根为25--，由韦达定理.得 4=m ，1-=n ，∴3=+n m .5．316 由原图 AEFG EF AE EG ED BE EF AE +===， ∴ EF EFAE FG -=23163352=-=(厘米). 6．1647175399522⨯⨯==-m n ,47175))((⨯⨯=+-m n m n .显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m ,n )，故满足条件的整数对(m ,n )共162222=⨯⨯⨯(个).7．1111个相继整数的平方和为22222)5()4()4()5(+++++++-+-x x x x x ΛΛ22)10(11y x =+=,则y 最小时，从而12=x ，∴11=y .8．39∵ MBP ∆∽CBA ∆，3:1:=∆∆CBA MBP S S ， 3:1:=BA BP ,∴ 32=BA ，13=AC . 39133221=⋅⋅=∆ABC S . 9．27204 ∵72==∆∆ABC ABF S S BC BF ，同理54=BA BE , 由原图，连BG .记a S AGE =∆，b S EGB =∆，c S BGF =∆，d S EGc =∆.又由已知 5=++c b a ，14=++d c b ，解之得 2728=b ， 27100=c .∴ )(2720427128平方厘米==+=c b S BEGF . 10．13由题意，设有n 人，分苹果数分别为1,2,…,n 2)1(321+=++++n n n Λ≤100, ∴ n ≤13，所以至多有13人.11．-1b a b ab a 222--++b b a b a 2)1(22-+-+= 412343)21(22--+-+=b b b a 1)1(43)21(22--+-+=b b a ≥-1. 当 021=-+b a ，01=-b ， 即 0=a ，1=b 时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为-1. 12．73 对 ))((22m n m n m n x -+=-=(1≤m <n ≤98 m ,n 为整数)因为n +m 与n -m 同奇同偶，所以x 是奇数或是4的倍数，所以1至98共98个自然数中，满足条件的数有49+24=73个.13．15设算式∴ A ≤6.35876543219)(2=++++++=++B A .∴ 8=+B A .欲令A ·B 最大，取A =5，B =3，此时b ,e 为6,8;a ,c ,f 为2,4,7，故A ·B 最大值为15.14．62a c fB b e A d h + g 显然：g =1,d =9,h =0. a +c +f =10+Bb +e =9+A如图，AB PM ⊥，AC PN ⊥，BC PQ ⊥.P ,Q ,C ,N 四点共圆，P ,Q ,B ,N 四点共圆,NPQ NCQ MBQ MPQ ∠=∠-︒∠=∠-︒=∠180180，QNP BCP MBP MQP ∠=∠=∠=∠，∴ MPQ ∆∽QPN ∆， NP PQ PQ MP =， 62=⋅=NP MP PQ (厘米).15．7213047506778296109⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=y S∴ S 被11除所得的余数等于17+y 被11除所得的余数.由检查号码可知，S 被11除所得的余数是11-5=6，因此7y 被11除所得余数为6-1=5, ∴y =7第 二 试一、设两整数根为x ,y (x ≤y )，则⎩⎨⎧>=>=+04,0a xy a y x 2a ≤y ≤a ,4≤x ≤8.可推出4≠x ， ∴ 42-=x x a ，由于x 为整数, ∴ 5=x 时，25=a ，20=y ； 6=x 时，18=a ，12=y ；7=x 时，a 不是整数；8=x 时，16=a ，8=y .于是25=a 或18或16均为所求.说明 没有说明理由，仅指出a 的每一个正确值给4分.二、证明 如原图，连PO ，设PO 与AN ，DM 分别交于点'Q ,''Q . 在PAC ∆中，∵OC AO =，NC PN =，∴'Q 为重心，'2'OQ PQ =在PDB ∆中，∵BO DO =，MP BM =，∴''Q 为重心，''2''OQ PQ =这样'''Q Q =，并且'Q ,''Q 就是AN ，DM 的交点Q .故P ,Q ,O 在一条直线上，且OQ PQ 2=.三、1680，1692，1694，1695，1696为满足条件的5个数（注：答案不唯一） 以上5个数可用以下步骤找出：第一步：2,3,4为满足要求的三个数.第二步：设a ,a +2,a +3,a +4为满足条件的四个数，则a 可被2,3,4整除.取a =12，得满足条件的四个数12，14，15，16.第三步：设b ,b +12,b +14,b +15,b +16.取12,14,15,16的最小公倍数为b .即b =1680，得满足条件的五个数1680，1692，1694，1695，1696.。
1992年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
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连 PD, QE , RF ，则由三垂线定理之逆，知 PD, QE , RF 都 m ．
l
C
B
A
PD 15 d 2 ， QE
49 d 2 ， RF 10 d 2 ． 4
x 4 3 x 2 6 x 13 x 4 x 2 1 的最大值是_____．
x
2
2 x 3
2 2
x
2
1 x 2 ，表示点 x, x 2 与点 A3,2 的距离及
2
B 0,1 距离差的最大值．由于此二点在抛物线两侧，故过此二点的直线必与抛物线交于两点．对于
A.偶函数，又是周期函数 C.奇函数，又是周期函数 ◆答案：C B.偶函数，但不是周期函数 D.奇函数，但不是周期函数
★解析： f ( 20 x ) f (10 (10 x )) f (10 (10 x )) f ( x ) f ( 20 x ) ． ∴ f ( 40 x ) f ( 20 ( 20 x )) f ( 20 x ) f ( x ) ．∴ f ( x ) 是周期函数； ∴ f ( x ) f ( 40 x ) f ( 20 ( 20 x )) f ( 20 ( 20 x )) f ( x ) ． ∴ f ( x ) 是奇函数．选 C
∴ arg
z2 5 ． 或 3 z1 3
3
z2 ∴ arg z ． 1
1992*11、 设数列 a1 , a2 , , an , 满足 a1 a2 1 ， 且对任何自然数 n ，都有 an an 1an 2 1 ， a3 2 ， 又 an an 1an 2 an 3 an an 1 an 2 an 3 ，则 a1 a2 a100 的值是__ ◆答案： 200 ★解析：由 an an 1an 2 an 3 an an 1 an 2 an 3 ，得 an 1an 2 an 3 an 4 an 1 an 2 an 3 an 4 ， 相减，得 an an 1an 2 an 4 an an 4 an ，由 an an 1an 2 1 ，得 an 4 an ． 又 a1 a2 1 ， a3 2 ，得 a4 4 ． ∴ a1 a2 a100 25a1 a2 a3 a4 200 。 1992*12、函数 f ( x ) ◆答案： 10 ★解析： f ( x ) __．
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)模拟卷(全国高中数学联赛一试)(解析版)
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题1参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知函数()sin()f x x 是定义在R 上的偶函数，则cos(2) 的值为 ． 答案：0．解：由于()sin()f x x 是偶函数，故()2k kZ ，所以 cos(2)cos cos sin 02k k． 2．若关于z 的复系数一元二次方程2i 0()z z R 的一个根为11z =，则另一个根2z ．答案：i 12． 解：由题意得201i 1 ，解得i 12．因此12i 12i z z ，所以2i 12z ． 3．设数列{}n a 的通项公式为2[log ]n a n n ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则{}n a 的前32项和为 ．答案：631．解：事实上，22[log ][log ]n a n n n n ．而当1n 时，2[log ]0n ；当2,3n 时，2[log ]1n ；当4,5,6,7n 时，2[log ]2n ；当8,9,,15n 时，2[log ]3n ；当16,17,,31n 时，2[log ]4n ；当32n 时，2[log ]5n ，因此{}n a 的前32项和为321232102142831645631S ．4．已知向量,a b的最小值为 ．答案：2．解：设向量,a b的夹角为 ，其中(0,) ，则． 令254()((1,1))1x f x x x ，则222(2)(21)()(1)x x f x x ．因此()f x 在11,2 单调递减，1,12单调递增，所以()f x 的最小值为142f ．2，此时1cos 2 ． 5．在梯形ABCD 中，,2260A D C A B B ，M 为CD 边点Q （异于的中点，动点P 在BC 边上，ABP 与CMP 的外接圆交于点P ），则BQ 的最小值为 ．1．解：由熟知的结论，,,ABP CMP AME 的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在AME 的外接圆上，如图所示．而AME 是直角三角形，故其外接圆半径1R AD ．在ABD中，由余弦定理，BD ，所以BQ1，此时P 在线段BC 上，且CP ．6．已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，过 的右焦点F 且斜率为3的直线与 交于,A B 两点，与 的渐近线交于,C D 两点．若||5AB ，则||CD ．答案：．7．已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为90 的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为2 ，则该圆台体积的取值范围是 ．答案：．解：设圆台上底面为圆1O ，半径为1R ，下底面为圆2O ，半径为2R ，圆台母线为l ．由圆台的侧面积为2 可得21(222)π2lR R ，故212l R R ①．由侧面展开是圆心角为90 的扇形所截得的扇环，可得 11122222l R l l R，故2144l R R ②．因此圆台的高21)h R R ，圆台的体积2222121212211(()3)V R R h R R R R R R ．结合①②可得222112R R．由于210R R，故21R R．令21x R R ，则12124124x R x x R x，进而可得3134V x x ．令31()34f x x x x ，则43()304f x x ．因此()f x在 上单调递增，故()f x f ．所以V ，即圆台体积的取值范围是 ． 8．用 表示11元集合{1,2,3,,10,2024}A 的三元子集的全体．对 中任意一个三元子集{,,}()T x y z x y z ，定义()m T y ，则()T m T的值为 ．答案：990．解：不妨将集合A 视为{}1,2,3,,10,11 （这是因为，将“2024”改成“11”不影响每个()()m T T 的值）．对每个T ，定义*{12|}T t t T ，则*T ，且*)12()(T m T m ． 由于当T 遍历 的所有三元子集时，*T 也遍历 的所有三元子集，所以**311()666C 990()()(2)T T T T m T m T m T m T ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）已知,,0a b c ，二次函数2()f x ax bx c 存在零点，求a b cb c a的最小值．解：令,b c m n a a ，则,0m n 且1a b c mn b c a m n．由题意得240b ac ，即24m n，故m ．考虑11()f m m m n，则()f m在) 上单调递增．所以()a b c f m n f n n b c a，当n m 时等号成立．因此a b c b c a． 10．（本题满分20分）在ABC 中，,30AB AC BAC ．在AB 边上取五等分点12345,,,,T T T T T （12345,,,,,,A T T T T T B 顺次排列）．记(1,2,3,4)k k BT C k ，求31141tan tan tan tan tan tan k k k A B 的值．解：在AB 延长线上任取一点D ，记05,A DBC B ，则所求式子即为410tan tan kk k．为方便，记05,T A T B ．作CH AB 于点H ，则tan (04)k k CH k T H（这里及以下，有向线段的方向约定为AB方向）．注意到,30AB AC BAC ，有111112tan tan 555k k k k k k AC T H T H T T ABCH CHCH CH ， 故115tan tan (tan tan (04))2k k k k k ．进而4411500055tan tan (ta )n tan (tan tan 22)k k k kk k575tan tan (252126211．（本题满分20分）已知A 是抛物线22(0)y px p 上一点（异于原点），斜率为1k 的直线1l 与抛物线恰有一个公共点A （1l 与x 轴不平行），斜率为2k 的直线2l 与抛物线交于,B C两点．若ABC 是正三角形，求12k k 的取值范围．解：设(,),(,),(,)A A B B C C A x y B x y C x y ．设直线):(A A AB y y t x x −=−，代入抛物线22y px 得2220A A y p y y p x t t ，故2B A p y y t． 设直线):(A A AC y y s x x ，同理可得2C A py y s． 由AB AC 知2222111)(1()B A C A y y y y t s． 不妨设,,A B C 是绕着ABC 的重心逆时针排列的，则由3BAC知s t ，代入化简得)2A A p t y t p y t．结合t 0t 时B A y y 与C A y y 同号可知A py ， 又22B C B C B C y y p k x x y y，进而121112B C AA y y k p k y t s y ，代入化简得1211k k0,t ． 因此121111,,00,227k k．当t时，易知AC x 轴，B 位于坐标原点，此时12122B C A y y k k y．而0,t 均不符合题意．k k 的取值范围是1(1,0)0,7．因此，12。
1998年北京市中学生数学竞赛
1998年北京市中学生数学竞赛初中二年级初赛试题（1998年4月5日8：30～10：30）一、选择题（满分36分，每小题只有一个正确答案．请将你的答案填在括号内，答对得6分，答错或不答均记0分）1．已知如下数组3，32-③12402，12240，1998 ④1998，640，2098其中可作为直角三角形三边长度的数组是（）A．①④B．②④C．②③D．③④2．在下面时间段内，时钟的时针与分针会出现重合的是（）A．5：25～5：26 B．5：26～5：27C．5：27～5：28 D．5：28～5：293．已知()=---A为正数的自然数x有（）A x25A．1个B．2个C．多于2的有限个D．无限多个4．将长度为20的铁丝围成三边长均为整数的三角形，那么不全等的三角形的个数是（）A．5 B．6 C．8 D．105．在ABC∠=°，12△的面积等于（）AC∠=°，15△中，90AB=．则ABCA．16 B．18 C．D．6．已知432c=，324b=，423a=，342d=，则a，b，c，d，e的大小关系是（）A．a b d e c===>===<B．a b d e cC．e d c b a<<<<D．e c d b a<<<<2．P为正方形ABCD内一点，10PA PB==，并且P点到CD边距离也等于10．求正方形ABCD 的面积．D CPAB 3．已知a为整数，2--是质数，试确定a的所有可能值的和．a a412274．如图，P 为平行四边形ABCD 内一点，过点P 分别作AB ，AD 的平行线交平行四边形于E ，F ，G ，H 四点．若3AHPE S =，5PFCG S =．求PBD S △．HCA5．实数a ，b ，x ，y满足21y a =-，231x y b -=--，求22x ya b+++之值．6．多项式2256x axy by x y ++-++的一个因式是2x y +-．试确定a b +的值．7．梯形的两条对角线互相垂直，其中一条对角线的长是5厘米，梯形的高等于4厘米．此梯形的面积是多少平方厘米？8．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了55级后达到楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间乙、登楼梯级数是甲的2倍），他登了60级后到达楼上．问由楼下到楼上自动扶梯共有多少级？初中二年级复赛试题（1998年5月3日8：30～10：30）一、填空题（满分40分）1．若x y +x y -，则xy = ．2．等腰直角三角形ABC 中，D 为斜边AB 的中点，E 、F 分别为腰AC 、BC 上（异于端点）的点，DE DF ⊥，10AB =，设x DE DF =+，则x 的取值范围是 ．FE DCBA3．实数a ，b1032b b -+--，则22a b +的最大值为 ． 4．若y ，z 均为质数，x yz =，且x ，y ，z 满足113x y z+=，则199853x y z ++= ． 5．黑板上写有1，2，3，…，1997，1998这1998个自然数，对它们进行操作．每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数字，例如：擦掉5，13和1998后，添加上6；若再擦掉6，6，38，添加上0，等等．如果经过998次操作后，发现黑板上剩下两个数，一个是25，则另一个是 ． 二、（满分15分）今有浓度为5%，8%，9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克，60克，47克，现要配制浓度为7%的盐水100克．问：甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？三、（满分15分）矩形ABCD中，20AB=厘米，10BC=厘米．若在AC、AB上各取一点M，N（如右图），使BM MN+的值最小，求这个最小值．N MD CBA四、（满分15分）国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分．今有8名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后，发现各选手手电分均不相同，当按得分由大到小排列好名次后，第四名选手得4.5分，第二名的得分等于最后四名选手得分总和．问：前三名选手各得多少分？说明理由．五、（满分15分）正方形ABCD被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍．试确定HAF∠的大小并证明你的结论．P HGF E DCB A1998年北京市中学生数学竞赛初中二年级初赛试题答案（1998年4月5日8：30～10：30）一、选择题（满分36分，每小题只有一个正确答案．请将你的答案填在括号内，答对得6分，答错或不答均记0分）1．D验算222+≠，排除A ．)(((2231913+=-+- (23232=--，排除B ，C ．又()()2212402122401240212240124021224024642162-=+-=⨯ ()222231111998=⨯⨯=()()2222098199820981998209819984096100640-=+-=⨯= 所以③，④合于要求．选D ．2．C设5点x 分时，时针与分针重合．因为分针速度是时针速度的12倍，5点钟时，时针在分针前面25格，所以可得方程2512xx -=解得32711x =．因此5点32711分时时针与分针重合．选C ．算术解法：分针速度是时针速度的12倍，所以时针指到26格时，分针指到12格（即5点12分）．时针指到27格时，分针指到24格，分针落后于时针．当时针指到28格时，分针指到36格，此时分针已超过时针．所以在27格到28格之间时针与分针重合．3．C因为()2532A x x =----++由320x -++>，解得 3.02x <． 所以满足条件的自然数是1，2，3． 故选C ．4．C设三角形三边a ，b ，c 满足a b c ≤≤因为a b c +>，所以22010c a b c c <++=⇒<．又因为320c a b c ++=≥，所以2673c c ⇒≥≥．因此79c ≤≤．当7c =时，7b =，6a =．当8c =时，8b =，4a =；7b =，5a =；6b =，6a =．当9c =时，9b =，2a =；8b =，3a =；7b =，4a =；6b =，5a =．共有8组解． 选C ． 5．B如图，作CE AB ⊥于E ，D 为AB 中点，6CD =．因为230CDB A ∠=∠=°，所以132CE CD ==．1123182ABC S =⨯⨯=△．选B ．6．C因为432a =，342b =，423c =，234d =，324e =即812a =，642b =，163c =，91842d ==，81642e ==． 又643232162433b c ==>>=，186681628993d c ==<<==． 所以e d c b a <<<<．选C ．二、填空题（满分64分，每小题答对得8分，答错或不答均记0分）1．， 此式要有意义，应有1a ≤．2a <，3a ≠， 因为{1}{2}{3}{1}a a a a <= ≤≠≤，所以，原式=0==．2．256设CD 中点为M ，则PM CD ⊥．所以10PM =．延长MP 交AB 于N ，则AN NB =．MN AB ⊥．设正方形边长为2x ，则AN BN x ==，210PN x =-． 在Rt APN △中，由勾股定理得：()22210210x x =+-化简得25400x x -=即()580x x -=因为0x >，解得8x =．所以正方形的边长为16，面积为256． 3．6设241227a a --是质数p ，则241227a a --有因子1±及p ±． 由()()2412272329a a a a --=+-可得： 当231a +=时，1a =-．此时()21911--=-． 当231a +=-时，2a =-．此时()22913--=-． 当291a -=时，5a =．此时()25313+=． 当291a -=-时，4a =．此时()24311+=．ED CBAM xx NABCDP所以当a 取1-，2-，5，4时，241227a a --是质数．a 的所有可能值的和为()()12546-+-++=．4．1设PBD S x =△，ABD CDB S S s ==△△，则PBCD S s x =+，PDAB S s x =- 所以53s x s x +-=--． 解得1x =．即1PBD S =△．5．17由已知21y a =- ①231x y b -=-- ② ①+223x a b +-=--30x -≥，220a b --≤，30x +-=0=，30x -=；220a b --=，6．3-设()()22562f x y x axy by x y x y =++-++=+-，，()g x y ，是()f x y ，的另一个因式，于是，()()()2f x y x y g x y =+-⋅，，令1x y ==，则()110f =，，()0g x y =，，即得15160a b ++-++=， 所以3a b +=-．7．503 如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC BD ⊥，5BD =，DH BC ⊥于H ，4DH =．于是3BH =．过D 作AC 的平行线交BC 的延长线于E ，则DE AC =．令DE AC x ==，则HE 在Rt BDE △中，2DH BH HE =⨯，即243=解得203x =．所以梯形ABCD 的面积11205052233BD AC =⨯⨯=⨯⨯=（平方厘米）．8．66设自动扶梯共n 级．甲登梯速为每分钟y 级，则乙登梯速为每分钟2y 级．电梯速度为每分钟x 级． 则依题意列得关系式： ()55x y n y +=，()6022x y n y+=． 所以()()556022x y x y y y+=+得55553060x y x y +=+ 即255x y =所以15x y =．45xxHED CBA因此，()55551555555665x n x y y y =+=+=⨯+=． 也就是说，楼下到楼上自动扶梯共有66级．初中二年级复赛试题答案（1998年5月3日8：30～10：30）一、填空题（满分40分）1解：由x y +x y -①+②得x ①-②得y =2．10x < 连接CD ．易证ADE CDF △≌△，所以DE DF =． 因此2x DE =．因为D 为定点，E 为AC 边上的动点．而5AD CD ==．当E 为AC 中点时，DE AC ⊥，DE．当点E 向A 运动或向C 运动时，DE 增大，但5DE AD <=，所以55DE <，也就是10x <． 3．45由已知得()161032a a b b -+-=--+-，由绝对值的几何意义，易知 左边165a a -+-≥，右边()1032055b b --+--=≤1， 所以，左边=右边5=，此时16a ≤≤，32b -≤≤．因此22a b +的最大值为()226345+-=． 4．20005由已知x ，y ，z 满足113x y z+=得3yz xz xy +=． 因为x yz =，所以3x xz xy +=． 又0x ≠，所以13z y +=．若2z =，则1y =，与“y 与质数”的条件相矛盾，所以2z ≠，因此质数z 必为奇数，13z y +=为偶数．y 只能是偶数，又y 是质数，所以2y =．于是取2y =，5z =，则10x =．所以199853199810523520005x y z ++=⨯+⨯+⨯=． 5．6由操作规则知，每次操作后黑板上所有的数之和被10除的余数保持不变． 因为123199719981997001+++++=…，故黑板上的数之和被10除的余数为1始终不变．最后剩下的两个数中，至少有一个为新添加的数．而新添加的数只能是一位数，所以25不是新添加的数．因此另一个数必是新添加的数．他应是个F′E′ABCDE F一位数，且与25的和被10除余1．故只能是6．二、（满分15分）解：设甲、乙、丙三种盐水分别各取x 克，y 克，z 克可配成浓度为7%的盐水100克．依题意，得100589700x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①② 其中060x ≤≤③ 060y ≤≤④047z ≤≤⑤由①，②解得2004y x =-，3100z x =-，所以由④0200460x -≤≤，解得3550x ≤≤⑥由⑤0310047x -≤≤，解得133493x ≤≤⑦综合③，⑥，⑦可知3549x ≤≤．事实上，当甲种盐水取35克时，乙种盐水取60克，丙种盐水取5克，可满足方程①，②； 当甲种盐水取49克时，乙种盐水取4克，丙种盐水取47克，也可满足方程①，②． 答：甲种盐水最多可用49克，最少可用35克．三、（满分15分）解：作B 关于AC 的对称点B '，连结AB '． 则N 点关于AC 的对称点为AB '上的N '点．这时，B 到M 到N 的最小值等于B M N '→→的最小值，等于B 到AB '的距离BH '．即BM MN +的最小值为BH '．现在求BH '的长．设AB '与DC 交于P 点，连结BP ，则ABP △的面积等于120101002⨯⨯=．注意到PA PC =（想一想为什么？） 设AP x =，则PC x =，20DP x =-． 根据勾股定理得222PA DP DA =+，即()22222201040040100x x x x x =-+⇒=-++， 解得12.5x =（cm ）．所以10021612.5BH ⨯'==（cm ）． 即BM MN +的最小值是16厘米．N′H′B′P HAB CD M N四、（满分15分）A 7A 654Ai j A A →表示i A 胜j A i j A A …表示i A 平j A解：设第i 名选手得分为i a ，则12345678a a a a a a a a >>>>>>> 由于8名选手每人比赛7局，最多可胜7场， 所以17a ≤．大家共赛78282⨯=场，总积分为28分．所以1234567828a a a a a a a a +++++++=①因为每局的积分为0，0.5，1这三种值，所以每人的积分只能取0，0.5，1，1.5，2，2.5，3，3.5，4，4.5，5，5.5，6，6.5，7这15个值．又知4 4.5a =，25678a a a a a =+++ ②若3 5.5a ≥，则26a ≥，1 6.5a ≥，此时123 6.56 5.518a a a ++++=≥． 由①4567810a a a a a ++++≤，但4 4.5a =，由②2567810 4.5 5.5a a a a a =+++-=≤，这与26a ≥矛盾．所以3 5.5a <，但34 4.5a a >=，所以35a =．这时由①得125678285 4.518.5a a a a a a +++++=--=，也就是12218.5a a += 若2 5.5a =，那么118.5117.57a =-=>，与17a ≤矛盾！若2 6.5a ≥，那么12218.5218.513 5.5a a a =--=<≤矛盾！所以只能26a =． 此时118.526 6.5a =-⨯=．所以前三名选手的积分分别为：6.5分，6分，5分．事实上，当第一名选手平第三名选手、胜其余六人，第二名选手负于第一名而胜其他六名选手，第三名选手平第一名、负于第二名、平第四名、胜其他各名选手时，这时第四名选手负于第一名、第二名，平第三名时即可达到．如图所示． 五、（满分15分）解：容易猜测到45HAF ∠=°． 我们证明如下．设AG a =，BG b =，AE x =，ED y =．则有关系式 2a b x y ax by +=+⎧⎨=⎩①② 由①a x y b -=-平方得22222a ax x y by b -+=-+，将②代入得222224a ax x y ax b -+=-+，M D H∴()222a xb y a x+++⇒+∵22222b y CH CF FH+=+=，∴a x FH+=．即DH BF FH+=．将Rt ADH△绕A旋转90°到Rt ABM△的位置．易证：AMF AHF△≌△，M AF H AF∠=∠．而90 MAH MAB BAH DAH BAH DAB∠=∠+∠=∠+∠=∠=°∴1452HAF MAH∠=∠=°。
一九八六年全国高中数学联合竞赛试题解答
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,
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,
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( 还 有湖 南 邵 阳 市 教师 进 修 学 院 周 , 玉
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第 三次 取 出x 片 的 纸片 数 为
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一 x
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年全国高中数学联赛浙江省预赛试题及答案（word版本）
年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷一、选择题 1、下列三数16273,log 82,log 1242的大小关系正确的是 （ ） A 、16273log 82log 1242<< B 、27163log 124log 822<<C 、27163log 124log 822<<D 、27163log 124log 822<<2、已知两点A （1,2），B （3,1）到直线L 252L 共有（ ）A 、1条B 、2条C 、 3条D 、 4条3、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如()22212312314f =++=。
记1()()f n f n =，1()(())k k f n f f n +=，1,2,3...k =，则2006(2006)f =（ ）A 、20B 、4C 、42D 、1454、设在xOy 平面上，20y x <≤，01x ≤≤所围成图形的面积为13，则集合 {}{}2(,)|||||1,(,)|||1M x y y x N x y y x =-≤=≥+的交集M N ⋂所表示的图形面积为（ ）A 、13 B 、23 C 、1 D 、435、在正边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（ ）。
A 、B 、21003 C 、210031003- D 、210031002- 6、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2x o π∈时的最小值为（ ）。
A 、2B 、4C 、6D 、8 二、填空题7、手表的表面在一平面上。
整点1,2,,12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上。
从整点i 到整点()1i +的向量记作1i i t t +，则1223233412112t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅++⋅＝ 。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
2000年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
5 1 a ， ∴ 2
AF
5 1 a ． 2
BF a ， 由
AB AO BO
2 2
2
2
2
5 3 2 2 2 2 a ．故有 AF AB BF |AF|2=|AB|2+|BF|2．即 ABF 90 0 . 2
2
本题也可以由 b a c
5 1 2 a ac ，解得． 2
2000 年全国高中数学联合竞赛试题 第 4 页 共 7 页
1 2
2
13 2b ． 最 小 值 为 2
a 0 矛盾．故舍．
⑶ 0 a b ．此时，最大值为 f ( a ) 2b ，最小值为 f (b) 2a ．
1 2 13 b 2 2 a ∴ 2 ．两式相减得 a b 4 ．解得 a 1, b 3 ． 1 13 a 2 2b 2 2
3 1 1 1 2 2 2
Sn 的最大值． (n 32) S n 1 n(n 1) n(n 1) ，得 f ( n) 2 (n 32)(n 1)(n 2) 1 1 =． 64 50 n 34 n
★解析：由题意得 S n
(当 n 8 时 f ( n) 取得最大值)． 2000*14、 （本题满分 20 分） 若函数 f ( x ) 求 a, b ． ★解析：⑴
∴ 符合条件的 a, b 有 1,3 或 17 ,
13 ． 4
x2 y2 2000*15、 （本题满分 20 分）已知 C 0 : x y 1 和 C1 : 2 2 1 ( a b 0 )．试问：当且仅当 a b
2 2
a, b 满足什么条件时，对 C1 上任意一点 P ，均存在以 P 为顶点，与 C 0 外切，与 C1 内接的平行四边
1999年全国高中数学联合竞赛试题及解答
1999年全国高中数学联合竞赛试题及解答加试一、(满分50分)如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分∠ BAD 。
在 CD 上取一点 E ， BE 与 AC 相交于 F ，延长 DF 交 BC 于 G 。
求证：∠ GAC =∠ EAC .解析：连结B D 交A C 于H ．对△B C D 用塞瓦定理，可得因为A H 是∠B A D 的平分线，由角平分线定理，可得 ．故．过点C 作A B 的平行线A G 的延长线于I ，过点C 作A D 的平行线交A E 的延长线于J ．则 . 所以，从而，C I =C J.又因为 C I ∥A B ，C J ∥A D ，故 ∠A C I =π-∠A B C =π-∠D A C =∠A C J ． 因此，△A C I ≌△A C J ．从而，∠I A C =∠J A C ，即 ∠G A C =∠E A C ．二、(满分50分)给定实数 a , b , c ，已知复数 z 1 , z 2 , z 3 满足：1133221+++z z z z z z ，求| az 1 + bz 2 + cz 3 |的值。
解析：记 e i θ=c o s θ+i s i n θ．可设，，则)(31ϕθ+=i ez z ．由题设，有ei θ+ei φ+e-i (θ+φ)=1.φ两边取虚部，有0=s i n θ+s i n φ-s i n (θ+φ)故θ=2kπ或φ=2kπ或θ+φ=2kπ，k∈Z．因而，z1=z2或z2=z3或z3=z1．如果z1=z2，代入原式即．故．这时，|a z1+b z2+c z3|=|z1||a+b±c i|=．类似地，如果z2=z3,则|a z1+b z2+c z3|=;如果z3=z1,则|a z1+b z2+c z3|=．所以，|a z1+b z2+c z3|的值为或或．三、(满分50分)给定正整数n ，已知用克数都是正整数的k 块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…, n 克的所有物品。
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1998年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
1998*1、若1,1>>b a 且b a b a lg lg )lg(+=+，则)1lg()1lg(-+-b a 的值( ) A.等于2lg B.等于1 C.等于0 D.不是与b a ,无关的常数 ◆答案：C★解析：由已知得ab b a =+，即()()111=--b a ，由01,01>->-b a ，故01lg )1)(1lg()1lg()1lg(==--=-+-b a b a 。
1998*2、若非空集合{}5312|-≤≤+=a x a x A ,{}223|≤≤=x x B ，则能使B A A ⊆成立的所有a 的集合是( )A.{}91|≤≤a aB. {}96|≤≤a aC. {}9|≤a aD.φ◆答案：B★解析：即B A ⊆，φ≠A ．所以2253123≤-≤+≤a a ，解得96≤≤a 。
故选B ．1998*3、各项均为实数的等比数列{}n a 前n 项和记为n S ，若1010=S ,7030=S ，则40S 等于( )A. 150B.200-C. 150或200-D. 400或50- ◆答案：A★解析：首先1≠q ，于是()1011101=--q q a ，()7011301=--q qa，两式相除得061020=-+q q 得210=q ，1011=-qa ，所以()1501210440=-⨯=S1998*4、设命题P :关于x 的不等式01121>++c x b x a 与02222>++c x b x a 的解集相同；命题Q :212121c c b b a a ==。
则命题Q （ ） A.是命题P 的充分必要条件 B.是命题P 的充分条件但不是必要条件C.是命题P 的必要条件但不是充分条件D.既不是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件◆答案：D★解析：若两个不等式的解集都是R ，否定A 、C ，若比值为1-，否定A 、B ，选D1998*5、设G F E ,,分别是正四面体ABCD 的棱CD BC AB ,,的中点，则E FG C --的大小是( ) A.36arcsin B. 33arccos 2+π C. 2arctan 2-πD. 22arctan -π◆答案：DB D★解析：取BD AD ,中点M H ,，则BD FG EH ////， 于是EH 在平面EFG 上．设P FG CM = ，Q EH AM = ，则Q P ,分别 为AM CM ,中点，且AC PQ //∵BD AC ⊥，得FG PQ ⊥，FG CP ⊥, 所以CPQ ∠是二面角E FG C --的平面角． 设2=AC ，则3==MA MC ，33cos =∠ACM ．故选D ．1998*6、在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是( )A.57B.49C.43D.37◆答案：B★解析：注意到8个顶点中无3点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心．⑴ 体中心为中点：4对顶点，6对棱中点，3对面中心；共13⑵ 面中心为中点：2464=⨯组； ⑶ 棱中点为中点：12个．共49个，选B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分。
1998*7、若)(x f 是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，19981)(x x f =，则)1998(f ,)17101(f ,)15104(f 由小到大的排列是_________________. ◆答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛15104199817101f f f ★解析：因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛1916191661998f f f ，⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛171171617101f f f ，⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛15141514615104f f f ．知)(x f 在[]1,0∈x 上递增，且1151419161710<<<<， 于是⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛15104199817101f f f 。
1998*8、设复数θθsin cos i z += (πθ≤≤0)，复数z ,z i )1(+,z 2在复平面上对应的三个点分别是R Q P ,,，当R Q P ,,不共线时，以线段PQ ，PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S ，则点S 到原点距离的最大值是_______. ◆答案：3★解析：因为OP OR OQ OP OR OP OQ OP QP PQ OP OS -+=-+-+=++=, 即()()()ααααsin 2cos sin cos 2221-+-=+=-++=i z iz z z z i OS∴()()ααααα2sin 25sin 2cos sin cos 222-=-+-=．即当22πα=，即4πα=时，OS 取得最大值3．1998*9、从9,8,7,6,5,4,3,2,1,0这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有____种. ◆答案：51★解析：从这10个数中取出3个偶数的方法有1035=C 种，取出1个偶数，2个奇数的方法有502515=C C 种，而取出3个数的和为小于10的偶数的方法有()4,2,0，()6,2,0，()3,1,0，()5,1,0，()7,1,0，()5,3,0，()3,1,2，()5,1,2，()3,1,4，共有9种，故应答5195010=-+种．1998*10、各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有_______项. ◆答案：8★解析：设其首项为a ，项数为n ．则得010022)1(22≤--+-+n n a n a ．注意到0401672≥++-=∆n n ，得8≤n取8=n ，则34≤≤-a ．即至多8项． (也可直接配方得到8≤n ．)1998*11、若椭圆4)(422=-+a y x 与抛物线y x 22=有公共点，则实数a 的取值范围是_____________. ◆答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-817,1 ★解析：联立椭圆与抛物线得022)14(222=-+--a y a y ，则此方程至少有一个非负根．∴ 0817≥-=∆a ，解得817≤a ．又两个负根是⎩⎨⎧<->-0140222a a 得1-<a ，所以，至少有一个非负根时，8171≤≤-a 。
1998*12、在ABC ∆中，090=∠C ,030=∠B ,2=AC ，M 是AB的中点，将ACM ∆沿CM 折起，使B A ,两点间的距离为22， 此时三棱锥BCM A -的体积等于________. ◆答案：322 ★解析：由已知，得4=AB ，2===MC MB AM ，32=BC ，由AMC ∆为等边三角形，取CM 中点，则CM AD ⊥，AD 交BC 于E ，则3=AD ，33=DE ，332=CE ． 折起后，由222AB AC BC +=，知090=∠BAC ，33cos =∠ECA . ∴ 38cos 2222=∠⋅-+=ECA CE CA CE CA AE , 于是222CE AE AC +=．090=∠AEC ．又222ED AE AD +=，得⊥AE 平面BCM ，即AE 是三棱锥BCM A -的高，362=AE ,所以3=∆BCM S ，322=-BCM A V 。
三、解答题：本大题共3小题，共60分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1998*13、（本题满分20分）已知复数θθcos sin 1i z +-= (πθπ<<2)，求z 的共轭复数z 的辐角主值。
★解析：⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++=24cos 24sin 224cos 22sin 2cos 12θπθπθπθπθπi i z 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=24sin 24cos 24cos 2θπθπθπi z当πθπ<<2时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=24sin 24cos 24cos 2θπθπθπi z 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+-=243sin 243cos 24cos 2θπθπθπi z ∴ 辐角主值为243θπ-． 1998*14、（本题满分20分）设函数38)(2++=x ax x f (0<a )，对于给定的负数a ，有一个最大的正数)(a l ，使得在整个区间[])(,0a l 上，不等式5)(≤x f 都成立。
问：a 为何值时)(a l 最大？求出这个最大的)(a l ，证明你的结论。
★解析：aa x a x f 163)4()(2-++=． (1)当5163>-a，即08<<-a 时，)(a l 是方程5382=++x ax 的较小根，故aaa l 28648)(++-=．(2)当5163≤-a，即8-≤a 时，)(a l 是方程5382-=++x ax 的较大根，故aaa l 232648)(---=综合以上，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤++----=08,8,28648232648)(a a aa a aa l当8-≤a 时，2244232648)(--=---=a a a a l 在(]8,-∞-∈a 上递增， 所以当8-=a 时，2512204)8(+=-=-l ；当08<<-a 时，251424216228648)(+<<++=++-=a a a a l 。
所以8-=a 时，)(a l 取得最大值251+．1998*15、（本题满分20分）已知抛物线px y 22=及定点),(b a A ,)0,(a B -,)2,0(2pa b ab ≠≠，M 是抛物线上的点，设直线AM ,BM 与抛物线的另一交点分别为21,M M .求证：当M 点在抛物线上变动时（只要21,M M 存在且21M M ≠），直线21M M 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标。
★证明：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m p m M ,22．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1211,2m p m M ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222,2m p m M ， 则1,,M M A 共线，得pm p m pm a m m m b 22222121--=--， 即m m m pa m b +-=-122．∴m b bm pa m --=21，同法得mpam 22=；∴21M M 所在直线方程为2221222122m m m pa m m m y --=--，即()21212m m px y m m +=+．消去21,m m 得 pabm a p x pm pbmx y bm paby 242222222-+-=-．⑴分别令1,0=m 代入，得b pa y a x 2,==，以⎪⎭⎫⎝⎛b pa a 2,代入方程⑴知此式恒成立．即21M M 过定点⎪⎭⎫⎝⎛b pa a 2,。