1998年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

M
A
B C
1998年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
1. 设m＝5＋1,那么m＋1
m的整数部分是 .
2. 在直角三角形ABC中,两条直角边AB,AC的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分线的长度等于厘米.
3. 已知x2－x－1＝0,那么代数式x3－2x＋1的值是 .
4. 已知m,n是有理数,并且方程x2＋mx＋n＝0一个根是5－2,那么m＋n的值是 .
5. 如图,ABCD为正方形,A,E,F,G在同一条直线上,并且AE＝5厘米,EF＝3厘米,那么FG ＝厘米.
6. 满足19982＋m2＝19972＋n2(0＜m＜n＜1998)的整数对(m,n) ,共有个.
7. 设平方数y2是11 个连续整数的平方和,则y的最小值是 .
8. 直角三角形ABC中,直角边AB上有一点M,斜边BC上有一点P, 已知MP⊥BC，△BMP 的面积等于四边形MPCA的面积的一半, BP＝2厘米, PC＝3厘米,那么直角三角形ABC 的面积是 _________平方厘米.
P
B
A G A B
C D
E F 9. 已知正方形ABCD 的面积35平方厘米, E , F 分别为边AB , BC 上的点, AF , CE 相交于点G ,并且△ABF 的面积为5平方厘米, △BCE 的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF 的面
积是____________平方厘米.
10. 把100个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每人分的数目各不相同,那么至多有_________ 人.
11. 设a ，b 为实数,那么a 2＋ab ＋b 2－a －2b 的最小值是 __________.
12. 在1, 2, 3,……，98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是 _______.
13. 在右边的加法算式中,每一个□表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么A 与B 乘积的最大值是 ____________.
14. 直线AB 和AC 与圆O 分别为相切于B ,C 两点,P 为圆上一点,P 到AB ,AC 的距离分别为4厘米,6厘米,那么P 到BC 的距离为 厘米.
15. 每一本书都有一个国际书号: A B C D E F G H I J ,其中A B C D E F G H I 由九个数字排列而成,J 是检查号码.令S ＝10A ＋9B ＋8C ＋7D ＋6E ＋5F ＋4G ＋3H ＋2I , x 是S 除以11所得的余数,若x 不等于0或1,则规定J ＝11－x .(若x ＝0,则规定J ＝0;若x ＝1,规定J 用x 表示)现有一本书的书号是962y 707015,那么y ＝ .
第二试
1．求所有正实数a,使得方程x2－ax＋4a＝0仅有整数根.
2．已知P为□ABCD内一点,O为AC与BD的交点,M、N分别为PB,PC的中点,Q为AN 与DM的交点,求证:
（1）P,Q,O三点在一条直线上;
（2）PQ＝2OQ.
3. 试写出5个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.
1998年答案
第 一 试
1. 3 15+=m ，4151511-=+=m ， ∴ 435451+=+m m ，31=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+m m . 2. 3
22 如图，AD 为直角A 的平分线，过B 作DA BE //交CA 的延长线于点E .=∠EBA ︒=∠45BAD ，
1==AB AE ，2=EB ，又CDA ∆∽CBE ∆，3
2==CE AC EB AD ，∴32232==EB AD .
3．2
2)1()(122233+--+--=+-x x x x x x x
22)1()1(22=+--+--=x x x x x .
4．3
因为m 、n 为有理数，方程一根为25-，那么另一个根为25--，由韦达定理. 得 4=m ，1-=n ，∴3=+n m .
5．3
16 由原图
AE FG EF AE EG ED BE EF AE +===， ∴ EF EF AE FG -=23
163352=-=(厘米).
6．16
47175399522⨯⨯==-m n ,
47175))((⨯⨯=+-m n m n .
显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m ,n )，故满足条件的整数对(m ,n )共162222=⨯⨯⨯(个).
7．11
11个相继整数的平方和为
22222)5()4()4()5(+++++++-+-x x x x x 22)10(11y x =+=,
则y 最小时，从而12=x ，∴11=y .
8．39
∵ MBP ∆∽CBA ∆，
3:1:=∆∆CBA MBP S S ， 3:1:=BA BP ,
∴ 32=BA ，13=AC . 39133221=⋅⋅=
∆ABC S .
9．27
204 ∵ 72==∆∆ABC ABF S S BC BF ，同理5
4=BA BE , 由原图，连BG . 记a S AGE =∆，b S EGB =∆，c S BGF =∆，d S EGc =∆.
又由已知 5=++c b a ，14=++d c b ，
解之得 2728=b ， 27
100=c .
∴ )(27
20427128平方厘米==
+=c b S BEGF .
10．13 由题意，设有n 人，分苹果数分别为1,2,…,n
2
)1(321+=
++++n n n ≤100, ∴ n ≤13，所以至多有13人.
11．－1 b a b ab a 22
2--++
b b a b a 2)1(22-+-+= 4
12343)21(22--+-+
=b b b a 1)1(4
3)21(22--+-+=b b a ≥-1. 当 021=-+b a ，01=-b ， 即 0=a ，1=b 时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为－1.
12．73
对 ))((22m n m n m n x -+=-= (1≤m <n ≤98 m ,n 为整数)
因为n ＋m 与n -m 同奇同偶，所以x 是奇数或是4的倍数，所以1至98共98个自然数中，满足条件的数有49＋24＝73个.
13．15
设算式
a c f B
b e A d h + g 显然：g =1,d =9,h =0. a +
c +f =10+B b +e =9+A
∴ A ≤6.
35876543219)(2=++++++=++B A .
∴ 8=+B A .
欲令A ·B 最大，取A ＝5，B ＝3，此时b ,e 为6,8;a ,c ,f 为2,4,7，故A ·B 最大值为15.
14．62 如图，AB PM ⊥，AC PN ⊥，BC PQ ⊥.P,Q,C,N 四点共圆，P,Q,B,N 四点共圆, NPQ NCQ MBQ MPQ ∠=∠-︒∠=∠-︒=∠180180，
QNP BCP MBP MQP ∠=∠=∠=∠，
∴ MPQ ∆∽QPN ∆，
NP
PQ PQ MP =， 62=⋅=
NP MP PQ (厘米).
15．7 213047506778296109⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=y S
∴ S 被11除所得的余数等于7y ＋1被11除所得的余数.由检查号码可知，S 被11除所得的余数是11－5＝6，因此7y 被11除所得余数为6－1＝5, ∴y ＝7
第 二 试
一、设两整数根为x ,y (x ≤y )，
则⎩⎨⎧>=>=+0
4,0a xy a y x
2
a ≤y ≤a ,4≤x ≤8.可推出4≠x ， ∴ 42-=x x a ，由于x 为整数, ∴ 5=x 时，25=a ，20=y ； 6=x 时，18=a ，12=y ；
7=x 时，a 不是整数；8=x 时，16=a ，8=y .
于是a ＝25或18或16均为所求.
二、证明 如原图，连PO ，设PO 与AN ，DM 分别交于点'Q ,''Q .
在PAC ∆中，∵OC AO =，NC PN =，
∴'Q 为重心，'2'OQ PQ =
在PDB ∆中，∵BO DO =，MP BM =，
∴''Q 为重心，''2''OQ PQ =
这样'''Q Q =，并且'Q ,''Q 就是AN ，DM 的交点Q .故P ,Q ,O 在一条直线上，且OQ PQ 2=.
三、1680，1692，1694，1695，1696为满足条件的5个数（注：答案不唯一）
以上5个数可用以下步骤找出：
第一步：2,3,4为满足要求的三个数.
第二步：设a ,a ＋2,a ＋3,a ＋4为满足条件的四个数，则a 可被2,3,4整除.取a ＝12，得满足条件的四个数12，14，15，16.
第三步：设b ,b ＋12,b ＋14,b ＋15,b ＋16.取12,14,15,16的最小公倍数为b .即b ＝1680，得满足条件的五个数1680，1692，1694，1695，1696.。