排列组合解题技巧和方法

运用两个基本原理

例1．n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？

例2．同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）

（A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）23种

解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。

特殊元素（位置）的“优先安排法”： 特殊优先，一般在后

例1． 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。

A ． 24个 B.30个 C.40个 D.60个

例2． 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法（ ）种．

例3．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有（ ）种.

例4．8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？

相邻问题用捆绑法：

例5 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有（ ）．

A ．5544A A ⋅

B ．554433A A A ⋅⋅

C ．554413A A C ⋅⋅

D ．554422A A A ⋅⋅

例6 四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种？

例7．有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种．

例8．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？

例9．8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？

例10． 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？

不相邻问题用“插空法”：

例11．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有( )个．

例12．4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种？

例13．排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？

例14． 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？

例15．马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？

六．顺序固定用“除法”：

例16．6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？

例17．4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。元素定序，先排后除或选位不排或先定后插

例18． 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？

练习6 要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要插入5个歌唱节目，则共有几种插入方法？

七．分排问题用“直排法”：把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一排的排法来处理。

例19．7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？

八．逐个试验法：题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。

例20. 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的方格中，每方格填1个，方格标号与所填数字均不相同的填法种数有（）

A．6 B.9 C.11 D.23

九、构造模型“隔板法”对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。

例21．方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？

例．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？

例22．20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？

相同元素进盒，用档板分隔

例23．10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？

练习9 从全校10个班中选12人组成排球队，每班至少一人，有多少种选法？

十.正难则反——排除法

对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法．

例24．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )种．

A．140种B．80种C．70种D．35种

例25．求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。

例26．100件产品中有3件是次品，其余都是正品。现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？

例27．8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？

十二．一一对应法：

例29.在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场失败要退出比赛）最后产生一名冠军，要比赛几场？

十三、多元问题——分类讨论法

对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

例30．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ）

A．42 B．30 C．20 D．12

例31．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？（以数字作答）

多类元素组合，分类取出

例32．车间有11名工人，其中4名车工，5名钳工，AB二人能兼做车钳工。今需调4名车工和4名钳工完成某一任务，问有多少种不同调法？

十四、混合问题——先选后排法

对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．

例33．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）A．种B．种C．种D．种

例34．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）

A．24种B．18种C．12种D．6种

分组分配问题:

例18名同学,(1)平均分成三组,有____________种分法.(2)平均分给数、理、化小组有___________种分法.(3)分配给化学小组7人,物理小组6人,数学小组5人,有__________种分法.(4)分给数、理、化小组,其中一个组为5人,一个组为6人, 一个组为7人,有_________种分法.

用多种方法解

1.某班上午要上语文、数学、体育和英语,又体育教师因故不能上第一节和第四节, 则不同的排课方案有_________________种.

2.从5位女同学,6位男同学中选出3位女同学和2位男同学担任五种不同的职务,

有____________________种选法.