排列组合问题的解题方法与技巧的总结完整版
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
有 种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有 种.
四、特殊元素--优先考虑法
对于含有限定条件的排列组合应用题,可以考虑优先安排特殊位置,然后再考
虑其他位置的安排。
例4. (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念,若老
师不排在两端,则共有不同的排法
种.
解:先考虑特殊元素(老师)的排法,因老师不排在两端,故可在中间三个位置上任选一个位置,
有3种,而其余学生的排法有 种,所以共有 =72种不同的排法.
例5.(2000年全国高考题)乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名队员参加比赛,3名
主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场
安排共有 种.
解:由于第一、三、五位置特殊,只能安排主力队员,有 种排法,而其余7名队员选出2名
安排在第二、四位置,有 种 排法,所以不同的出场安排共有 =252种.
五、多元问题--分类讨论法
对于元素多,选取情况多,可按要求进行分类讨论,最后总计。
例6.(2003年北京春招)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新
节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为( )
A .42
B .30
C .20
D .12
解:增加的两个新节目,可分为相临与不相临两种情况:1.不相临:共有 种;2.相临:共有
种。故不同插法的种数为:26A + 22A 16A =42 ,故选A 。
例7.(2003年全国高考试题)如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区
不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种.(以数字作答)
解:由题意,选用3种颜色时,C 43种颜色,必须是②④同色,③⑤同色,与①进行全排列,涂色
方法有C43A33=24种4色全用时涂色方法:是②④同色或③⑤同色,有2种情况,涂色方法有
C21A44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种;故答案为72
六、混合问题--先选后排法
对于排列组合的混合应用题,可采取先选取元素,后进行排列的策略.
例8.(2002年北京高考)12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案共有()种
A. B.3种 C. 种 D.
解:本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有:
种,故选A。
例9.(2003年北京高考试题)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有()
A.24种B.18种C.12种 D.6种
解:黄瓜必选,故再选2种蔬菜的方法数是C32种,在不同土质的三块土地上种植的方法是A33,
∴种法共有C32A33=18,故选B.
七.相同元素分配--档板分隔法
例10.把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室,每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数,试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解,并思考这些方法是否适合更一般的情况?本题考查组合问题。
解一:先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书;再对余下的7本书进行分配,保证每个阅览室至少得一本书,这相当于在7本相同书之间的6个“空档”
内插入两个相同“I”(一般可视为“隔板”)共有2
C种插法,即有15种分
6
法。
2、解二:由于书相同,故可先按阅览室的编号分出6本,此时已保证各阅览室所分得的书不小于其编号,剩下的4本书有以下四种分配方案:①某一阅览室独得4本,有种分法;②某两个阅览室分别得1本和3本,有种分法;③某两个阅览室各得2本,有种分法;④某一阅览室得2本,其余两阅览室各得1本,有种分法.由加法原理,共有不同的分法3+=15种.
八.转化法:
对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题,可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解
。例11 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.
解:此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有种不同的放法,所以名额分配方案有种.
九.剩余法:
在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.
例12 袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?
分析此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得