排列组合几种常见题型及解法论文
例析排列组合问题类型及解题常用方法
例析排列组合问题类型及解题常用方法排列组合问题是数学中的一个重要分支，广泛应用于概率论、统计学、组合数学等多个领域。
在解决排列组合问题时，我们需要明确问题类型，并选用适当的方法进行求解。
下面将介绍几种常见的排列组合问题类型及解题常用方法。
1.组合问题组合问题是在给定的元素集合中，选择出若干个元素的子集，并以不同的顺序来表示这些子集。
组合问题的典型例子有"从n个不同的元素中，选取m个元素的组合个数是多少"。
解题方法：1)使用组合数公式进行计算，公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中C表示组合数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
2)利用递归方法求解，即对问题进行拆解，递归地求解子问题，然后将子问题的解合并得到原问题的解。
2.排列问题排列问题是将一组元素进行有序的排列，即考虑元素的顺序。
典型例子有"从n个不同的元素中，选择m个元素进行排列，有多少种不同的排列方式"。
解题方法：1)使用排列数公式进行计算，公式为P(n,m)=n!/(n-m)!，其中P表示排列数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
2)利用递归方法求解，将问题分解成子问题，进行子问题的排列，然后按照不同的顺序进行合并，得到原问题的解。
3.重复元素的排列组合问题重复元素的排列组合问题是在给定元素集合中，包含有重复元素的情况下，选择出若干个元素的子集，并以不同的顺序来表示这些子集。
解题方法：1)使用重复组合数公式进行计算，公式为C'(n,m)=(n+m-1)!/(m!(n-1)!)，其中C'表示重复组合数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
2)使用重复排列数公式进行计算，公式为P'(n,m)=n^m，其中P'表示重复排列数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
4.包含条件的排列组合问题包含条件的排列组合问题是在给定一组元素和一组条件的情况下，选择满足条件的子集，并以不同的顺序进行排列。
排列组合的几种常见题型及解法
排列组合的几种常见题型及解法作者：胡小飞来源：《新校园·中旬刊》2011年第02期排列组合应用问题，题型繁多，解法独特，但经仔细分析研究，还是有一定规律可循,它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。
下面通过一些例题来说明几种常见的解法。
一、特殊位置法例17个人站成一排，如果甲不站在中间，有多少种排法？据题目要求，中间是特殊位置，先安排它，有Ａ■■种排法；再安排其余的6个位置，有Ａ■■种排法，由分步计数原理得Ａ■■·Ａ■■=4320种。
二、特殊元素法例２甲是特殊元素，先安排甲，有种Ａ■■站法，再安排其余的6个人，有Ａ■■种站法，由分步计数原理得Ａ■■·Ａ■■=4320种。
三、捆绑法例３8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？解：把甲、乙、丙先排好，有Ａ■■种排法，把三个人“捆绑”在一起看成是一个，与其余5个人相当于6个人排成一排，有Ａ■■种排法，所以一共有Ａ■■·Ａ■■=1440种排法。
四、插空法例４排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？解：先排5个不是小品的节目，有Ａ■■种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有6个空隙，将3个小品插入进去，有Ａ■■种排法，所以一共有Ａ■■·Ａ■■=7200种排法。
注：捆绑法与插空法一般适用于有如上述限制条件的排列问题。
五、定序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。
解题方法是：先将n个元素进行全排列有Ａ■■种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有■种排列方法。
例５由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？解：不考虑限制条件，组成的六位数有Ａ■■种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有：■（个）。
数学排列组合常见题型及解法
排列组合常见题型及解法排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口,实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。
一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。
二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。
(2)两种途径：元素分析法，位置分析法。
1 重复排列“住店法”重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。
把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题。
例1 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）[解析] 冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军。
把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可住进任意一家“店”，每个客有8种可能，因此共有种不同的结果。
[评述]类似问题较多。
如：将8封信放入3个邮筒中，有多少种不同的结果？这时8封信是“客”，3个邮筒是“店”，故共有种结果。
要注意这两个问题的区别。
2. 特殊元素（位置）用优先法:把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。
对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有种站法，故站法有：＝480（种）解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有种，故站法共有：（种）例2（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）。
论文读书笔记---排列组合中几种常见的类型及解法
(3)缺乏创新，没有自己的见解；
(4)高中生排列组合学习障碍分为外部因素和内部因素，但所给的对策不够细分。
七、基于该论文的想法
（1）测试卷的内容是根据实际情况而设计，受客观条件的影响，问卷的调查范围没有很广泛，不能代表所有高中生的问题，应该将范围扩大，普及更多的学校和地区。
（2）笔者的学业水平和实践经验不足，提出有益于排列组合学习的对策存在主观性，应加强这方面的研究，争取能够总结出更深层次的对策和手段；
（3）问卷都是选择题，难免会遇到学生之间猜测的情况，给调查带来了不确定性。应深入一线去了解学生真实有效的水平，多融合更多人的力量去解决排列组合学习上的障碍；
（4）文章理论知识太多，应理论应联系实际，将排列组合生活化，激发学生兴趣，培养数学抽象和数学建模核心素养，以学生为中心，培养学生的逻辑推理和数据分析核心素养；
(1)论文结构合理，层次清晰，逻辑条理清楚；
(2)该论文查阅了大量文献资料，有坚实的理论依据，还利用了问卷调查等方法搜集了一些真实的数据，理论结合真实数据，做到了理论与实际相结合的统一;
(3)用数形结合的教学模式给学生直观掌握数学知识；
2.缺点:
(1)在问卷调查的测试卷中，并没有考虑到不同地方的教育水平不同，调查结果会存在差异性;
三、核心观点
将核心素养于高中排列组合的学习融合到一起。
归纳高中生排列组合的学习障碍成因，从而找到解决对策，改善教学方法。
四、主要方法
文献法、调查研究法、、问卷调查、和访谈法。
五、关键手段
现场调研，信息技术手段，归纳整理
以建构主义探究式学习理论、SOLO 分类评价理论作为着手点。
高中数学排列组合几种常见题型及解法
高中数学排列组合几种常见题型及解法摘要:排列、组合问题是高中数学的重要知识之一,或单独命题,或与概率内容相结合,一般以较易题出现,但由于解这类问题时方法灵活,切入点多,且抽象性极强,在解题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现,所以又成为学习的难点之一。
故在解题过程中通过分类、分步把复杂问题分解,运用化归思想、比较分类思想和模型化思维方法,将问题简单化、常规化。
关键词:分类计数原理、分步计数原理、特殊元素、特殊位置、捆绑法、插空法、隔板法排列组合的学习虽然注意发散思维、逆向思维能力的培养,但如果能够掌握一些常见题型及其解题策略,则会降低学习这部分知识的难度。
本文就排列组合的基本题型、基本思路做以简略介绍:一、排列组合的基本思路1、排列、组合的应用问题(1)无限制条件的简单排列、组合应用问题,可直接用公式求解。
(2)有限制条件的排列组合问题,可根据具体的限制条件,用“直接法”或“间接法”求解。
2、排列、组合的综合问题排列组合的综合问题,主要是排列组合的混合题,解题的思路是先解决组合问题,然后再讨论排列问题。
在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点:(1)限制条件的排列问题常见命题形式:“在”与“不在”“相邻”与“不相邻”在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法:①“在”与“不在”问题,常常涉及特殊元素或特殊位置,通常是先排特殊元素或特殊位置。
②“相邻”问题在解题时常用“捆绑法”,即可以把两个或两个以上的元素当做一个元素来看,这是处理相邻问题最常用的方法。
③“不相邻”问题在解题时最常用的是“插空法”,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中。
④元素有顺序限制的排列,可以先不考虑顺序限制,等排列完毕后利用规定顺序的实情求出结果。
(2)限制条件的组合问题常见命题形式:“含”与“不含”“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”。
(3)在处理排列组合综合题时,通过分析条件按元素的性质分类,做到不重复、不遗漏按事件的发生过程分类、分步,正确地交替使用两个原理,这是解决排列组合问题的最基本,也是最重要的思想方法。
排列组合的常见题型及其解法(good)
排列、组合问题，在高考中所占比重不大，但试题都具有一定的灵活性、机敏性和综 合性，在“倡导创新体系，提高素质教育”的今天，该类试题是最好的体现，由于有 些问题比较抽象，且题型繁多，解法独特，再加上限制条件，容易产生错误。
本文就 排列、组合问题的常见题型的求解方法加以归纳，供大家参考。
1、特殊元素——优先法：对于含有限定条件的排列、组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。
例 1，用 0、2、3、4、5 这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共 有多少个？[解析]因组成的三位数为偶数，末尾的数字必须是偶数，又 0 不能排在首位，故0 是其中的特殊元素应优先安排。
①当 0 排在末尾时，有 个；②当 0 不排在末尾A 1 A 1 A 1 A 2 A 1 A 1 A 1 30 2 3 4 4 2 3 4个。
例 2，1 名老师和 4 名获奖学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法多少种。
[解析]优先考虑对特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上来排，有 3 种。
剩下的位置由 4 名学生全排列，有 4 种。
因此共有 种不同的排法。
A 1 A 4 723 42、相邻问题——捆绑法：对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起看作一 个元素与其它元素进行排列，然后再对这几个元素进行全排列。
例 3，5 名学生和 3 名老师站成一排照相，3 名老师必须站在一起的不同排法共有 种。
[解析]将 3 名老师捆绑起来看成一个元素，与 5 名学生排列，有6种排法；而 3名老师之间又有3种排法，故满足条件的排法共有634320种。
例 4，计划展出 10 幅不同的画，其中一幅水彩画，4 幅油画，5 幅国画，排成一 行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列 方式有多少种？[解析]把每种画捆绑在一起，看成一个整体，又水彩画较特殊，应优先安排。
巧解排列组合问题论文：如何巧解排列组合问题
巧解排列组合问题论文：如何巧解排列组合问题排列组合问题，通常都是以选择题或填空题的形式出现在试卷上，它联系实际，生动有趣；但题型多样，解法灵活。
实践证明，备考有效的方法是题型与解法归类，识别模式，熟练运用。
下面介绍十多种排列组合问题的解答策略。
1.相邻元素捆绑。
所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个“大”元素。
2.不相邻问题插空法。
不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，可以先将其他元素排好，将不相邻的元素插入到他们的空隙及两端位置，故称“插空法”。
3.定序问题缩倍法。
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题，这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便。
4.定位问题优限法。
所谓“优限法”，即有限制条件的元素（或位置）在解题时优先考虑。
例1：把6个学生分到3个班去，每班2人，其中甲必须分到一班，乙和丙不能分到三班，不同的分法共有（）种。
a.6b.9c.12d.24解析：第一步甲分到一班，然后分乙，若乙分到一班，则丙只能到二班，余下的三人中有一人分到二班，分法为c 种，另两个去三班，共有c种；若丙分到一班，乙分到二班，分法与上面一样，也有c种；若乙丙均分到二班，则余下的三个人有一人去甲班，分法仍为c种，这样总的分法为c＋c ＋c种。
选b。
5.交叉问题集合法：对于二者有叠加部分的排列组合问题可借助集合来分析解题。
例2：某演出队有9名歌舞演员，其中7人会表演唱歌节目，有5人会表演舞蹈节目，今从9人中选出2人，一人表演唱歌，一人表演舞蹈，则不同的选法共有（）种。
a.32b.29c.36d.35解析：既能表演歌唱又能表演舞蹈的演员有5＋7－9＝3人。
如下图：集合a、b分别表示会表演歌唱和会表演舞蹈的演员的集合，则不同的选法有ccc＋cc＝32种。
选a。
6.至少问题间接法。
含“至多”“至少”的排列组合题中，是需要分类问题，当分类情况较复杂时，可运用正难则反的解题策略，即排除法（总体去杂），但仅适用于反面情况明确且易于计算的情况。
排列组合的基本题型及其解法
排列组合的基本题型及其解法【摘要】排列组合应用问题，题型繁多，解法独特，但经仔细分析研究，还是有一定规律可循。
关键是要了解一些基本题型及其解法。
【关键词】排列组合基本题型解法一、纯排列问题“从n个不同的元素中取出m个元素的排列”是最简单的纯排列问题，但是它有三种题型变化，下面分别用例题予以说明。
例1.现在九位同学排成一行，试问：①如果其中甲、乙两位同学必须排在两端，那么一共有多少种排法？②如果甲不能排在最左端，乙不能排在最右端，那么一共有多少种排法？本例是属于“某些元素‘在’或‘不在’某几个位置上”的一种排列题型。
“在”，一般用直接法解，即先取出这几个元素并让它们落在指定的位置上，然后再考虑其它元素；“不在”，一般用间接法，转化为“在”来求解。
例2.现有五位男同学，四位女同学排成一列，试问：①如果男女同学各自排在一起，那么一共有多少种排法？②如果男女同学相间地排，那么一共有多少种排法？本例是属于“某些元素‘相邻’或‘不相邻’”的一种排列题型。
“相邻”则将这要求“相邻”的m个元素看成一个整体(一个大元素)与另外(n-m)个元素进行全排列，再乘以这个m个元素自身的全排列数即n①男甲，女A必须当选，有几种选法？②男甲必须当选，女A不能当选，有几种选法？本例是属于“‘含有’或‘不含有’某些元素”的一种组合题型。
“含”则先将这些元素，再由另外元素补足；“不含”则先将这些元素剔除，再从留下的元素中去取。
例5.现从五位男同学，四位女同学中选出5名代表，试问其中：①至少有一个女同学当选，有几种选法？②最多有三个女同学当选，有几种选法？本例是属于“‘至少’或‘最多’含有几个元素”的一种组合题型。
用直接法或间接法解都可以，但是解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防漏解与重复。
三、排列组合混合题这类问题有两群之间的排列题和分配(分组)问题两类题型。
例6.①用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的五位数中，由两个偶数数字和三个奇数数字组成的有多少个？②从n个不同元素里取出m个元素的排列中，试问其中含有)(,,,21pmnaaap。
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排列组合的几种常见题型及解法
排列组合应用问题，题型繁多，解法独特，但经仔细分析研究，还是有一定规律可循,它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。
下面通过一些例题来说明几种常见的解法。
一、特殊位置法
例17个人站成一排，如果甲不站在中间，有多少种排法？据题目要求，中间是特殊位置，先安排它，有ａ■■种排法；再安排其余的6个位置，有ａ■■种排法，由分步计数原理得ａ■■·ａ■■=4320种。
二、特殊元素法
例２甲是特殊元素，先安排甲，有种ａ■■站法，再安排其余的6个人，有ａ■■种站法，由分步计数原理得ａ■■·ａ■■=4320种。
三、捆绑法
例３8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？
解：把甲、乙、丙先排好，有ａ■■种排法，把三个人“捆绑”在一起看成是一个，与其余5个人相当于6个人排成一排，有ａ■■种排法，所以一共有ａ■■·ａ■■=1440种排法。
四、插空法
例４排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？
解：先排5个不是小品的节目，有ａ■■种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有6个空隙，将3个小品插入进去，有ａ■■种排法，所以一共有ａ■■·ａ■■=7200种排法。
注：捆绑法与插空法一般适用于有如上述限制条件的排列问题。
五、定序问题用除法
对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。
解题方法是：先将n个元素进行全排列有ａ■■种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有■种排列方法。
例５由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？
解：不考虑限制条件，组成的六位数有ａ■■种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有：■（个）。
六、排列、组合综合问题用先选后排的策略
处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。
例６将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？
解：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），分成三组之后在排列共有：6（种），第二步将这三组教师分派到3种中学任教有ａ■■种方法。
由分步计数原理得不同的分派方案共有：36（种）。
因此共有36种方案。
七、复杂问题用排除法
对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。
在应用此法时要注意做到不重不漏。
例７四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（）
a.150种
b.147种
c.144种
d.141种
解：从10个点中任取4个点有ｃ■■种取法，其中4点共面的情况有三类。
第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有４ｃ■■种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。
以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：141（种）。
八、插隔板法
例８12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？
将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若记“|”为隔板，则如图00|0000|0000|00，隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有
ｃ■■=165种。
配合练习：
1.用0,1,2,3,4,5,可以组成没有重复数字的四位偶数____个。
2.四男三女排成一排，（1）三个女的要相邻，有____种排法；
（2）女同学必须按从高到矮的顺序(可不相邻)有____种。
3.8人排成一排，其中甲、乙两人不排在一起，有____种排法。
4.平面内有8个点,其中有4个点共线,另外还有三点共线,此外再无三点共线。
则（1）过这8个点中的任何两点可组成____条直线。
（2）由这8 个点可以组成____个不同的三角形。
5.从甲、乙，......，等6人中选出4名代表，那么
（1）甲一定当选，共有____种选法。
（2）甲一定不入选，共有____种选法。
（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有____种选法。
配合练习解答：
1.156个
2.（1）720；（2）840
3.ａ■■- ａ■■·ａ■■=30240
4.（1）21；（2）51
5.（1）10；（2）5；（3）14
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以pdf格式阅读”。