排列组合问题的解法第三计
排列组合问题的解答技巧和记忆方法
排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略①分堆问题；②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。
二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。
三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
解排列组合问题的几种方法
解排列组合问题的几种方法郑勇山东省济宁市微山县第三中学272195排列组合问题是高中数学的重点和难点之一，也是新教材中学习概率的基础，是近年高考必考内容。
排列组合是研究计数问题的策略学，首先根据题意弄清是排列还是组合问题以及排列组合混合问题，抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则。
分析计数原理满足两个条件，①类与类互斥，②总类完备。
分步计数原理的特征是，分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。
这是解决排列组合问题的最基本的方法手段。
具体的题中，这两种原理交叉结合来解决问题。
下面谈一些粗浅的认识及常用的方法，仅供参考。
1、特殊元素·优先法对于有要求的特殊元素，特殊位置要优先安排，在做题时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
合理分配，准确分步是确保解决问题的前提。
例1 ，0、3、5、6、8这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数有几个？分析：这里百位及个位是特殊位置，0是特殊元素，若以“元素优先”考虑，则先对0分两类。
第一类：这三位数中含有0 ，再分两类：①0在个位上分两步，（首先个位安排0，百位十位从4个元素中任取2个排序有A24）有A11A24个。
②0不在个位上分三步（首先安排0在十位上，再安排好个位，从两个偶数中取一个有A12，最后安排百位有A13）有A11A12A13个；第二类：这三位数不含有０，此时只有个位是特殊位置分两步（先安排个位有A12再安排十位百位有A23）有A12A23。
由分类计数原理偶数共有（A11A24+A11A12A13）+A12A23=30个，若从“位置优先”考虑，可分0再个位和0不再个位两类：①0在个位有A24,②0 不在个位有A12A13A13，由分类计数原理得偶数共有A24+A12A13A13=30个。
2、间接法对含有否定字眼的问题可以从总体中把不符合要求的删去，此时注意既不能多减又不能少减。
例2，7人按甲不在排头，乙不在排尾站成一排，有多少种排列方法。
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类方法，在第1类方法中有1m 种不同的方法，在第2类方法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类方法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步与多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少与取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素部进行自排。
排列组合问题常用的解题方法含答案
高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组( 看作一个元素 ) 参加摆列．例 1: 五人并排站成一排，假如甲、乙一定相邻且乙在甲的右侧，那么不一样的排法种数有种。
二、相离问题插空法元素相离 ( 即不相邻 ) 问题，可先把无地点要求的几个元素全摆列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两头．例 2：七个人并排站成一行，假如甲乙两个一定不相邻，那么不一样排法的种数是。
三、定序问题缩倍法在摆列问题中限制某几个元素一定保持必定次序，可用减小倍数的方法．例 3： A、 B、 C、 D、 E 五个人并排站成一排，假如 B 一定站 A 的右侧 (A、 B 可不相邻 ) ，那么不一样的排法种数有。
四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的地点上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，这样持续下去，挨次即可达成．例 4：将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、 2、 3、 4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不同样的填法有。
五、有序分派问题逐分法有序分派问题是指把元素按要求分红若干组，可用逐渐下量分组法。
例 5：有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人肩负，乙丙各需 1 人肩负，从 10 人中选出 4 人肩负这三项任务，不一样的选法总数有。
六、多元问题分类法元素多，拿出的状况也有多种，可按结果要求，分红不相容的几类状况分别计算，最后总计。
例 6：由数字 0 ，1，2，3，4，5 构成且没有重复数字的六位数，此中个位数字小于十位数字的共有个。
例 7：从 1，2，3， 100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法 ( 不计次序 ) 共有多少种？例 8：从 1，2， 100 这 100 个数中，任取两个数，使其和能被 4 整除的取法( 不计次序 ) 有多少种？七、交错问题会合法某些摆列组合问题几部分之间有交集，可用会合中求元素个数公式n( A B) n( A) n(B) n( A B) 。
排列组合问题17种方法
完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 12nN=m +m ++m 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法,…, 做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 12nN=m m m 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.※解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有___ 然后排首位共有___最后排其它位置共有___13C 13C 14C 14C 34A 34A 由分步计数原理得=28813C 14C 34A 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件1.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？练习题解一：分两步完成；第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置35A 有种排法第二步排其余的位置：3454A A ∴共有种不同的排法44有A 种排法解二：第一步由葵花去占位：24A 有种排法第二步由其余元素占位：55A 有种排法2545A A ∴共有种不同的排法小结：当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要求的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。
排列组合问题解法总结
排列组合问题的常见解法一.元素相同问题隔板策略例1.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排．相邻名额之间形成９个空隙．在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法．注：这和投信问题是不同的，投信问题的关键是信不同，邮筒也不同，而这里的问题是邮筒不同，但信是相同的．即班级不同，但名额都是一样的． 练习题：个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多少装法 49C 2.100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C 二.环排问题直排策略如果在圆周上m 个不同的位置编上不同的号码，那么从n 个不同的元素的中选取m 个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从n 个不同的元素的中选取m 个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题．一个m 个元素的环形排列，相当于一个有m 个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个m 个元素的环形排列对应着m 个直线排列，设从n 个元素中取出m 个元素组成的环形排列数为N 个，则对应的直线排列数为mN 个，又因为从n 个元素中取出m 个元素的排成一排的排列数为mnA 个，所以mn mN A=，所以m nA N m=．即从n 个元素中取出m 个元素组成的环形排列数为m nA N m =．n 个元素的环形排列数为!(1)!n n A n N n n n===-例2. 8人围桌而坐,共有多少种坐法解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(81)!7!-=种排法，即7!7654321840=⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 种七班练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 三.多排问题直排策略例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先排前４个位置，２个特殊元素有24A 种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种排法．（排好后，按前４个为前排，后４人为后排分成两排即可）练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346解：由于甲乙二人不能相邻，所以前排第1,4,8,11四个位置和后排第１，１２位置是排甲乙中的一个时，与它相邻的位置只能排除一个，而其它位置要排除３个，所以共有排列11116181417108238346C C C C +=+=四.排列组合混合问题先选后排策略例4.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种五.小集团问题先整体后局部策略例5.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个（注：两个偶数２，４在两个奇数１，５之间，这是题意，说这个结构不能被打破，故３只能排这个结构的外围，也就是说要把这个结构看成一个整体与３进行排列）．解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法.练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种 六.正难则反总体淘汰策略例6.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法．这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555C C C +．再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C C C +-练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种七.平均分组问题除法策略例7. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法解: 分三步取书得222642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则222642C C C 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有22264233C C C A 种分法．练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法（544138422C C C A ） 名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 （1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______（2224262290C C A A =） 八. 合理分类与分步策略例8.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员．选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种，由分类计数原理共有 22112223353455C C C C C C C ++种．解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。
排列组合常用方法总结(全)
解决排列组合问题常见策略学习指导1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。
组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的。
较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。
必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列。
排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。
弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧。
集合是常用的工具之一。
为了将抽象问题具体化，可以从特殊情形着手，通过画格子，画树图等帮助理解。
“正难则反”是处理问题常用的策略。
常用方法：一. 合理选择主元例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。
例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。
二. “至少”型组合问题用隔板法对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。
例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有：（种）三. 注意合理分类元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。
再用分类计数原理求出总数。
例6. 求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。
解：比2015大的四位数可分成以下三类：第一类：3×××，4×××，5×××，共有：（个）；第二类：21××，23××，24××，25××，共有：（个）；第三类：203×，204×，205×，共有：（个）∴比2015大的四位数共有237个。
高中数学高考总复习---排列组合、二项式定理知识讲解及考点梳理
高中数学高考总复习---排列组合、二项式定理知识讲解及考点梳理【高考展望】命题角度：该部分的命题就是围绕两个点展开．第一个点是围绕排列，组合展开，设计利用排列组合和两个基本原理求解的实际计数问题的试题，目的是考查对排列组合基本方法的掌握程度，考查分类与整合的思想方法，试题都是选择题或者填空题，难度中等或者偏易；第二点是围绕二项式定理展开，涉及利用二项式的通项公式计算二项式中特定项的系数、常数项、系数和等试题，目的是考查对二项式定理的掌握程度和基本的运算求解能力，试题也都是选择题或者填空题，难度中等．预计高考对该部分的考查基本方向不变，即考查简单的计数问题、二项式定理的简单应用，但由于排列，组合试题的特点，也不排除出现难度稍大的试题的可能．复习建议：该部分的复习以基本问题为主，要点有两个：一个是引导学生掌握解决排列，组合问题的基本思想，即分类与分步的思想，使学生在解题时有正确的思维方向；一个是掌握好二项展开式的通项公式的应用，这是二项式定理的考查核心．【知识升华】一、排列与组合1、分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.2、排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.3、排列与组合的主要公式①排列数公式：)1()1()!(!+-⋅⋅⋅-=-=mnnnmnnA mn(m≤n)A nn=n! =n(n―1)(n―2) ·…·2·1.②组合数公式：12)1()1()1()!(!!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯+-⋅⋅⋅-=-=mmmnnnmnmnC mn(m≤n).③组合数性质：①mnnmnCC-=(m≤n). ②nnnnnnCCCC2210=+⋅⋅⋅+++③1314202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++nnnnnnCCCCC4、分类应在同一标准下进行，确保“不漏”、“不重”，分步要做到“步骤连续”和“步骤独立”，并能完成事项.5、界定“元素与位置”要辩证地看待，“特殊元素”、“特殊位置”可直接优先安排，也可间接处理.6、解排列组合综合问题注意先选后排的原则，复杂的排列、组合问题利用分类思想转化为简单问题求解.7、常见的解题策略有以下几种：（1）特殊元素优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略；（7）定序问题除法处理的策略；（8）分排问题直排处理的策略；（9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；（10）构造模型的策略.二、二项式定理1、二项式定理(a +b)n =C 0n an +C1n an－1b+…+Crn an－rbr +…＋Cnn bn，其中各项系数就是组合数Crn，展开式共有n+1项，第r+1项是Tr+1 =C rn an－rbr.2、二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1项Tr+1=C rn an－rbr(r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。
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每周一计第三计——排列组合问题的解法解决排列组合问题要讲究策略，用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。
（一）.特殊元素、特殊位置的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。
在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
例1 ： 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0：0在个位有 种，0在十位有 种； 第二类，不含0：有1223A A 种。
故共有（ 24A ＋1123A A ）＋1223A A ＝３０种。
注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。
解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有 种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有 种。
故共有 练习：甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学选四人组队参加4*100m 接力赛，其中甲、乙不跑最后一棒，共有多少种不同的安排方法？（此题可有元素优先和位置优先两个角度两种解法，但位置优先则更简单）（二）．排除法 对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去.例２：５个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有5435432A A A -+=78种．（三）.相邻问题“捆绑法”对于某些元素要求相邻．．排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
例3： 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。
同时，3个女生自身也应全排列。
由乘法原理共有6365A A 种。
（四）。
不相邻问题“插空法”对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他可相邻元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（注意有时候两端的空隙的插法是不符合题意的）例4： 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生间的4个空隙，由乘法原理共有 种。
注意：①分清“谁插入谁”的问题。
要先排可相邻的元素，再插入不相邻的元素；②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。
例5： 马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有35C 种。
（五）。
定序问题选位不排对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先在总位置中选出顺序一定元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。
例6： 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？解：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有 种，再排列其它3人有 ，由乘法原理得共有 =60种。
1345240A A =5354A A 25C 33A 25C 33A 24A 1123A A 111233A A A 2111423330A A A A +=24A（六）“小团体”排列，先“团体”后整体对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。
例7:四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？解：先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有 种，把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有 种，由乘法原理，共有 种． （七）分排问题用“直排法”把n 个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方法来处理．例８：7个人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有 种排法．解：可以在前后两排随意就座，故两排可以看成一排来处理，所以不同的坐法有 ． (八)列举法如果题中附加条件增多,直接解决困难,用列举法寻找规律有时也是行之有效的方法．例9：从１到１００的自然数中，每次取出不同的两个数，使他们的和大于１００，则不同的取法有 种。
解：此题的数字较多，情况也不一样，需要分析摸索其规律。
为方便，两个加数中较小的为被加数，１＋１００＝１０１＞１００，１为被加数的有１种；同理，２为被加数的有 ２种；３为被加数的有３种；……；４９为被加数的有４９种；５０为被加数的有５０种；但５１为被加数的只有４９种；５２为被加数的只有４８种；……；９９为被加数的只有１种，故不同的区法有：（１＋２＋……５０）＋（４９＋４８＋……＋１）＝２５００种。
（九）元素可重复的排列求幂法。
解决“允许重复排列．．．．．．”的问题要注意区分两类元素：一类元素可重复，另一类元素不能重复。
把不能重复的元素看成“客”，能重复的元素看成“店”，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法”。
例10：７名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能种数是 种。
解：应同一学生可同时夺得n 项冠军，故学生可重复排列，将７名学生看成７家“店”，五项冠军看成５名“客”，每个客有７种住宿方法，由分步计数原理得Ｎ＝75种。
（十）特征分析法 有约束条件的排数问题，必须紧扣题中所提供的数字和结构特征，进行推理，分析求解。
例11：由１、２、３、４、５、６六个数可组成多少个无重复且是６的倍数的五位数？解：分析数字的特征：６的倍数的数既是２的倍数，又是３的倍数。
其中３的倍数又满足“各个数位上的数字之和是３的倍数”的特征。
而且１＋２＋……＋６＝２１是３的倍数，从６个数字中取５个，使之和还是３的倍数，则所去掉的数字只能是３或６。
因而可以分两类讨论：第一类，所排的五位数不含３，即由１、２、４、５、６作数码；首先从２、４、６三个中任选一个作个位数字有 种，然后其余４个数字在其他数位上的全排列有 ，所以 ；第二类，所排的五位数不含6，即由1、2、3、4、5作数码，依上法有，故 种。
（十一）名额分配问题用隔板法例12： 10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？解：这里只是票数而已，与顺序无关，故可把10张票看成10个相同的小球放入5个不同的盒内，每盒至少1球，可先把10球排成一列，再在其中9个间隔中选4个位置插入4块“档板”分成5格(构成5个盒子)有 种方法。
注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。
（十二）个数不少于盒子编号数，先填满再分隔例13： 15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？ 解：（解法一）先用6个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求),再把9个球放入3个盒内即可,可用2块档板与9个球一起排列(即为两类元素的排列问题),有 种。
2242A A 2242A A 33A 33A 12N=N N 120+=13A 44A 14134N A A =14224N A A =77A 49C 211C 14134N A A =（解法二）先在2号盒和3号盒分别放入一个球和两个球，则问题转化为12个相同的球放入3个盒子内，每个盒子至少放入一个球，有多少种不同的放法？（十三）不同．．元素进盒，先分堆再排列 对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入。
例14： 5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？解：先把5位老师分3堆，有两类：3、1、1分布有 种和1、2、2分布有 种，再排列到3个班里有 种，故共有122335425322C C C C A A ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭。
注意：不同的老师不可分批进入同一个班，须一次到位(否则有重复计数)。
即“同一盒内的元素必须一次进入”。
（十四）两类元素的排列，用组合选位法例15： 10级楼梯，要求7步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同的跨法？解：由题意知，有4步跨单级，3步跨两级，所以只要在7步中任意选3步跨两级即可。
故有 种跨法。
注意：两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视。
例16： 沿图中的网格线从顶点A 到顶点B ，最短的路线有几条？ 解：每一种最短走法，都要走三段“|”线和四段“—”线，这是两类元素不分顺序的排列问题。
故有 或 种走法。
例17： 从5个班中选10人组成校篮球队(无任何要求)，有几种选法？解：这个问题与例12有区别，虽仍可看成4块“档板”将10个球分成5格(构成5个盒子)，是球与档板两类元素不分顺序的排列问题。
但某些盒子中可能没有球，故4块“档板”与10个球一样也要参与排成一列而占位置，故有 种选法。
注意：怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键。
（十五）利用对应思想转化法。
对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理。
例18： 长方体上任意两顶点的连线段中，异面直线共有多少对？分析：任意一对异面直线必然对应四个顶点，而这四个顶点不共面，构成四面体，每个四面体上有3对异面直线，因此把求异面直线的问题转化成求可以构成多少个四面体的问题。
解：()48123174C -⨯= 例19：如图，∠AOB 的两边分别有异于O 的4个点A 1、A 2、A 3、A 4和5个点B 1、B 2、B 3、B 4、B 5，连接A i B j （i=1,2,3,4，j=1,2,3,4,5）构成的线段中，有多少个交点在∠AOB 内？分析：在∠AOB 内相交的两条线段对应一个四边形的两对角线，所以求交点个数问题转化为求四边形个数问题。
解：2245⋅C C =60 （十六）取鞋问题先双后支 例20：从五双鞋中任取四支，恰有一双的取法有多少种？解：先从五双中取一双，有15C 种，再从余下4双中选两 双，从每双的两只中选择1支，有211422C C C ⋅⋅。
共有12115422C C C C ⋅⋅⋅种。
（十七）涂色问题抓住关键分类讨论例21：如图，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四块，现有4种不同的花供选择，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 种。
47C O A BA 1 A 2 A 3 A 4B 1 B 2 3 B 4 B 5 35C 33A 37C 37C A B 414C分析：A 、C 种花是否相同将会影响B 、D 的可选择种数，因此按照A 、 C 种花是否相同进行分类。
解：若A 、C 种花同，则B 、D 各自可从余下三种花中选择一种，有 111433C C C ⋅⋅种；若A 、C 种花不同，则B 、D 只能从余下两种花中选择， 有211422A C C ⋅⋅。