最新计数原理单元测试题答案

计数原理单元测试题答案

一、选择题：（每题5分，共60分）

1、D 解析：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种，选D

2、C 解析．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙

各选修3门，则不同的选修方案共有2334

4496C C C ⋅⋅=种，选C 3、解析：5名志愿者先排成一排，有55A 种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有5524A ⋅⋅=960种不同的排法，选B 4、A

5、B

6、B 解析:只考虑奇偶相间,则有33332A A 种不同的排法,其中0在首位的有3322A A 种不符合题意,所以共有3333

2A A 603

322=-A A 种. 7、C 解析: 比12340小的分三类:第一类是千位比2小为0,有63

3=A 个; 第二类是千位为2 ,百位比3小为0,有22

2

=A 个; 第三类是十位比4小为0,有1个.共有6+2+1=9个,所以12340是第10个数.

8、D 解析:在一条线上取2个点时,另一个点一定在另一条直线上,且不能是交点.

9、C 解析: 由()

1010221010

2x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-可得:

当1=x 时, ()

1010221010

1111

2a a a a +⋅⋅⋅+++=-10210a a a a +⋅⋅⋅+++=

当1-=x 时, ()

10321010

12a a a a a +⋅⋅⋅+-+-=+10210a a a a +⋅⋅⋅++-=

()()292121020a a a a a a +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++∴

()10210a a a a +⋅⋅⋅+++=()103210a a a a a +⋅⋅⋅+-+-

()()()()[]

11212121210

10

10

=+-=+-=

.

10、A 解析:先进行单循环赛,有4882

4

=C 场,在进行第一轮淘汰赛,16个队打8场,在决出4强,打4场,再分别举行2场决出胜负,两胜者打1场决出冠、亚军,两负者

打1场决出三、四名,共举行:48+8+4+2+1+1=64场. 11、C 解析:()5

59.98100.02=-

()

2

51

4235510100.02100.02C C =-⨯⨯+⨯⨯()⋅

⋅⋅+⨯⨯+323

502.010C

9900406.04101035≈⋅⋅⋅+-+-=.

12、A 解析:先取出一双有1

5C 种取法,再从剩下的4双鞋中取出2双,而后从每双

中各取一只,有121224

C C C 种不同的取法,共有15C 1201

21224=C C C 种不同的取法. 二、 填空题(每小题4分，共16分）

13、1260 解析： 由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，

共有423

953

1260C C C = 14、18， __6_. 15、7 解析：若(2x 3+

x

1)n 的展开式中含有常数项，31(2)n r

n r r

r n

T C x --+=⋅为常数项，即732

r

n -

=0，当n =7，r =6时成立，最小的正整数n 等于7. 16、①④

三、解答题（共六个小题，满分74分）

17.解：每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a 、b 、c ，支线a ，b 中至少有一个电阻断路情况都有22―1=3种；………………………4分

支线c 中至少有一个电阻断路的情况有22―1=7种，…………………………………6分

每条支线至少有一个电阻断路，灯A 就不亮，

因此灯A 不亮的情况共有3×3×7=63种情况.………………………………………10分

18. 解：①分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有3

4C 种情况；

第二步在5个奇数中取4个，可有45C 种情况；

第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有77A 种情况， 所以符合题意的七位数有34

C 45C 1008007

7=A 个．………3分 ②上述七位数中，三个偶数排在一起的有个．34

C 144003

35545=A A C ……6分 ③上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有

34C 57602

224335545=A A A C C 个． (9)

分

④上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5

个空档，共有288003

53445

=A C A 个.…………………………………12分 19.解：⑴先考虑大于43251的数，分为以下三类

第一类：以5打头的有：4

4A =24

第二类：以45打头的有：3

3A =6

第三类：以435打头的有：22A =2………………………………2分 故不大于43251的五位数有：()882

2334455

=++-A A A A （个） 即43251是第88项.…………………………………………………………………4分

⑵数列共有A=120项，96项以后还有120-96=24项， 即比96项所表示的五位数大的五位数有24个，

所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321.…8分 ⑶因为1，2，3，4，5各在万位上时都有A 个五位数，所以万位上数字的和为：（1+2+3+4+5）·A ·10000……………………………………………………………10分 同理它们在千位、十位、个位上也都有A 个五位数，所以这个数列各项和为： （1+2+3+4+5）·A ·（1+10+100+1000+10000）

=15×24×11111=3999960……………………………………………………………12分

20.证明:因 45322-+⋅+n n n 4564-+⋅=n n ()45154-++⋅=n n ………………3分

()

45155555.41

222211-++++⋅⋅⋅+++=----n C C C C n n n n n n n n n (8)

分

()

n C C C n n n n n n n 255555.4222211++⋅⋅⋅+++=---……………………………………10分

显然()2

222115555---+⋅⋅⋅+++n n n n n n

n C C C 能被25整除,25n 能被25整除,

所以45322-+⋅+n n n 能被25整除.…………………………………………………12分

21. 设5

3514⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-b b 的展开式的通项为()

r

r r r b b C T ⎪

⎪⎭⎫

⎝

⎛

-=-+51453

51

()5,4,3,2,1,0,4516

51055=⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=--r b C r

r

r r

.………………………………6分

若它为常数项,则2,06

510=∴=-r r

,代入上式732=∴T .

即常数项是27

，从而可得n

a a ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-33中n=7，…………………10分

同理7

33⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-a a 由二项展开式的通项公式知，含

的项是第4项，