2017年全国卷1、2、3理科高考数学卷及答案解析

绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将
试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A
B x x =< B ．A B =R
C ．{|1}A B x x =>
D ．A B =∅
2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A ．
14
B ．
π8
C ．12
D ．
π4
3．设有下面四个命题
1p ：若复数z 满足1
z
∈R ，则z ∈R ；
2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .
其中的真命题为 A ．13,p p
B ．14,p p
C ．23,p p
D ．24,p p
4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范
围是 A ．[2,2]-
B ．[1,1]-
C ．[0,4]
D ．[1,3]
6．6
2
1(1)(1)x x
+
+展开式中2x 的系数为 A ．15
B ．20
C ．30
D ．35
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
8．右面程序框图是为了求出满足3n
−2n
>1000的最小偶数n ，那么在
和
两个空白框中，可以分别填入
A ．A >1 000和n =n +1
B ．A >1 000和n =n +2
C ．A ≤1 000和n =n +1
D ．A ≤1 000和n =n +2
9．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +
2π
3
)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度，得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的
12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度，
得到曲线C 2
10．已知F 为抛物线C ：y 2
=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，
直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
11．设xyz 为正数，且235x y z ==，则
A ．2x <3y <5z
B ．5z <2x <3y
C ．3y <5z <2x
D ．3y <2x <5z
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。

为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解
数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20
，接下来的两项是20
，21
，再接下来的三项是20
，21
，22
，依此类推。

求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂。

那么该款软件的激活码是 A ．440
B ．330
C ．220
D ．110
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .
14．设x ，y 满足约束条件21
210x y x y x y +≤⎧⎪
+≥-⎨⎪-≤⎩
，则32z x y =-的最小值为 .
15．已知双曲线C ：2
2
221x y a b
-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线
C 的一条渐近线交于M 、N 两点。

若∠MAN =60°，则C 的离心率为________。

16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O 。

D 、E 、F 为圆O
上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。

沿虚线剪开后，分别以
BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。

当△ABC 的边长变
化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3
）的最大值为_______。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2
3sin a A
（1）求sin B sin C ;
（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 18.（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=
.
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A -PB -C 的余弦值. 19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2
(,)N μσ．
（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96
9.96 10.01 9.92
9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得16119.9716i i x x ===∑，16162
22211
11()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．
用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ
，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z 服从正态分布2
(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，
160.997 40.959 2=0.0080.09≈．
20.（12分）
已知椭圆C ：22
22=1x y a b
+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–13），P 4（13）中恰有
三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。

若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 21.（12分）
已知函数)f x =
（a e 2x +(a ﹣2) e x
﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为
4,
1,x a t t y t =+⎧⎨
=-⎩
（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l a . 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f （x ）=–x 2
+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；
（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

1. A 2．B 3．B 4．C
5．D
6．C
7．B
8．D
9．D
10．A 11．D 12．A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13
．
14．-5
15
16
3
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2
3sin a A
（1）求sin B sin C ;
（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 解：（1）
由题意可得2
1sin 23sin ABC
a S bc A A
∆==
， 化简可得2223sin a bc A =，
根据正弦定理化简可得：222
2sin 3sin sinCsin sin sinC 3
A B A B =⇒=。

（2）
由()2sin sinC 123cos cos sin sinC cos cos 123cos cos 6B A A B B B C A B C π⎧
=⎪⎪⇒=-+=-=⇒=
⎨⎪=
⎪⎩
， 因此可得3
B C π
=
-，
将之代入2sin sinC 3B =
中可得：21sin sin cos sin 0322C C C C C π⎛⎫
-=-= ⎪⎝⎭
，
化简可得tan ,366
C C B ππ=
⇒==，
利用正弦定理可得
1
sin3 sin
2
3
2
a
b B
A
==⨯=，
同理可得3
c=，
故而三角形的周长为323
+。

18.（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90
BAP CDP
∠=∠=.
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，90
APD
∠=，求二面角A-PB-C的余弦值.
（1）证明：
//,
AB CD CD PD AB PD
⊥∴⊥,
又,
AB PA PA PD P
∴⊥⋂=,PA、PD都在平面PAD内，
故而可得AB PAD
⊥。

又AB在平面PAB内，故而平面PAB⊥平面PAD。

（2）解：
不妨设2
PA PD AB CD a
====，
以AD中点O为原点，OA为x轴，OP为z轴建立平面直角坐标系。

故而可得各点坐标：()))()
2,2,0,0,2,2,0,2,2,0
P a A a B a a C a a
-，因此可得()()()
2,0,2,2,2,2,2,2,2 PA a a PB a a a PC a a a =-=-=--，
假设平面PAB的法向量()
1
,,1
n x y
=，平面PBC的法向量()
2
,,1
n m n
=，
故而可得1
1
2201
22200
n PA ax a x
n PB ax ay a y
⎧⋅=-=⇒=
⎪
⎨
⋅=--=⇒=
⎪⎩
，即()
1
1,0,1
n=，同理可得
2
2
22200
2
2220
n PC am an a m
n PB am an a n
⎧⋅=-+-=⇒=
⎪
⎨
⋅=+-=⇒=
⎪
⎩
2
2
0,
2
n
⎛⎫
= ⎪
⎪
⎝⎭。

因此法向量的夹角余弦值：
12
cos,n n
<>==。

很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为
3
-。

19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2
(,)
Nμσ．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)
μσμσ
-+之外的零件数，求(1)
P X≥及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)
μσμσ
-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
经计算得
16
1
1
9.97
16i
i
x x
=
==
∑，0.212
s==≈，其中i x为抽取的第i
个零件的尺寸，1,2,,16
i=⋅⋅⋅．
用样本平均数x作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ
(3,3)
μσμσ
-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布2
(,)
Nμσ，则(33)0.997 4
P Z
μσμσ
-<<+=，
16
0.997 40.959 2
=0.09
≈．
解：（1）()()16
11010.997410.95920.0408
P X P X
≥=-==-=-=
由题意可得，X满足二项分布()
~16,0.0016
X B，
因此可得()
16,0.0016160.00160.0256
EX==⨯=
（2）
○1由（1）可得()10.04085%
P X≥=<，属于小概率事件，
故而如果出现
(3,3)
μσμσ
-+的零件，需要进行检查。

○2由题意可得9.97,0.21239.334,310.606μσμσμσ==⇒-=+=，
故而在()9.334,10.606范围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。

此时：9.97169.22
10.0215
x μ⨯-==
=，
0.09σ=≈。

20.（12分）
已知椭圆C ：22
22=1x y a b
+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–
1），P 4（1
）中恰有
三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。

若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 解：（1）
根据椭圆对称性可得，P 1（1,1）P 4（
1）不可能同时在椭圆上， P 3
（–1，
2），P 4
（1，2
）一定同时在椭圆上， 因此可得椭圆经过P 2（0,1），P 3
（–1，2），P 4（
1，2
）， 代入椭圆方程可得：213
1,
124
b a a =+=⇒=， 故而可得椭圆的标准方程为：2
214
x y +=。

（2）由题意可得直线P 2A 与直线P 2B 的斜率一定存在，
不妨设直线P 2A 为：1y kx =+,P 2B 为：()11y k x =-+.
联立()22
22
1418014
y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩， 假设()11,A x y ，()22,B x y 此时可得：
()()()()2
222
2281141814,,,4141411411k k k k A B k k k k ⎛⎫+-+⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭
，
此时可求得直线的斜率为：()
()()()2
22
2
21
21
2
2141144141181841
411
AB k k k k y y k k x x k k k -+--+++-=
=+---
+++，
化简可得()
2
1
12AB k k =-
+，此时满足12
k ≠-。

○
1当1
2
k =-时，AB 两点重合，不合题意。

○2当12k ≠-时，直线方程为：()22221814414112k k y x k k k -⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭+， 即()
()
2
2
44112k k x y k +-+=-
+，当2x =时，1y =-，因此直线恒过定点()2,1-。

21.（12分）
已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x
﹣x .
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 解：
（1）对函数进行求导可得()()()()
2'22111x x x x f x ae a e ae e =+--=-+。

○
1当0a ≤时，()()()'110x x
f x ae e =-+≤恒成立，故而函数恒递减 ○
2当0a >时，()()(
)
1'110ln x x
f x ae e x a =-+>⇒>，故而可得函数在1,ln a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭上单调递
减，在1ln
,a ⎛
⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增。

（2）函数有两个零点，故而可得0a >，此时函数有极小值11ln
ln 1f a a a
⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭， 要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0，
故而可得()1ln 100a a a -
+<>，令()1
g ln 1a a a
=-+， 对函数进行求导即可得到()21
g'0a a a +=>，故而函数恒递增，
又()g 10=，()1
g ln 101a a a a
∴=-+⇒<<，
因此可得函数有两个零点的范围为()0,1a ∈。

（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,
sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为
4,
1,
x a t t y t =+⎧⎨
=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l
a . 解：
将曲线C 的参数方程化为直角方程为2
219x y +=，直线化为直角方程为11144y x a =-+-
（1）当1a =时，代入可得直线为1344y x =-+，联立曲线方程可得：22134499
y x x y ⎧=-+
⎪⎨⎪+=⎩
，
解得21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
或30x y =⎧⎨=⎩，故而交点为2124,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,0
（2）点3cos ,
sin ,
x y θθ=⎧⎨=⎩到直线11144y x a =-+-
的距离为d =
≤ 即：3cos 4sin 417a θθ++-≤，
化简可得()()1743cos 4sin 174a a θθ---≤+≤--， 根据辅助角公式可得()135sin 21a a θϕ--≤+≤-， 又()55sin 5θϕ-≤+≤，解得8a =-或者16a =。

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f （x ）=–x 2
+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；
（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 解：
将函数()11g x x x =++-化简可得()2121121x
x g x x x x >⎧⎪
=-≤≤⎨⎪-<-⎩
（1） 当1a =时，作出函数图像可得()()f x g x ≥的范围在F 和G 点中间，
联立224y x y x x =⎧⎨=-++⎩可得点171,171G ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，因此可得解集为1711,⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦。

（2） 即()()f x g x ≥在[]1,1-内恒成立，故而可得22422x ax x ax -++≥⇒-≤恒成立，
根据图像可得：函数y ax =必须在12,l l 之间，故而可得11a -≤≤。

2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项: 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘
贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

1．=++i
1i 3
A ．i 21+
B ．i 21-
C ．i 2+
D ．i 2-
2． 设集合{
}4 2 1，，=A ，{}
042
=+-=m x x B ，若{}1=B A ,则=B A ．{
}3 1-， B. ．{}0 1， C ．{}3 1， D ．{
}5 1， 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，
共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏
4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．π90 B ．π63 C ．π42 D ．π36
5．设y x 、满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≥+-≤-+，，，0303320332y y x y x 则y x z +=2的最小值是
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9
6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A ．12种
B ．18种
C ． 24种
D ．36种
理科数学试题 第1页（共4页）
7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则
A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成
绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩
8．执行右面的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9．若双曲线)00(1:2222>>=-b a b
y a x C ，的一条渐近线被圆4)2(2
2=+-y x 所截得的弦长为
2，则C 的离心率为
A ．2
B ．3
C ．2
D ．
3
3
2 10．已知直三棱柱111C B A ABC -中， 120=∠ABC , 2=AB , 11==CC BC , 则异面直线1
AB 与1BC 所成角的余弦值为 A ．
23 B ．5
15 C ．510
D ．
3
3 11．若2-=x 是函数12)1()(--+=x e ax x x f 的极值点，则)(x f 的极小值为
A ．1-
B ．32--e
C ．35-e
D ．1
12．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(+⋅的最小
值是
A ．2-
B ．23-
C ．3
4
-
D ．1-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．一批产品的二等品率为02.0，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100
次，X 表示抽到二等品件数，则=DX .
14．函数])2
0[(43cos 3sin )(2π
，∈-+=x x x x f 的最大值是 .
15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33=a ，104=S ，则=∑
=n
k k
S 11
. 16．已知F 是抛物线x y C 8:2
=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M
为FN 的中点，则=FN .
理科数学试题 第2页（共4页）
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必
考题，每个试题考生都必须作答。

第22/23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
ABC ∆的内角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，已知2
sin 8)sin(2B
C A =+.
(1)求B cos ；
(2)若6=+c a ，ABC ∆的面积为2，求b .
18.（12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ），其频率分布直方图如下：
M E
D
A
P
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ”，估计A 的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关； (3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确 到0.01）.
附：
)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-= .
理科数学试题 第3页（共4页）
19.（12分）
如图，四棱锥ABCD P -中，侧面PAD 为等
边三
角形且垂直于地面ABCD ，AD BC AB 2
1
==，
90=∠=∠ABC BAD ,E 是PD 的中点.
箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖
法
新养殖
法
箱产量/kg
频率/组距
0.0680.0460.044
0.0200.0100
0.0080.004
70
65605550454035旧养殖法
0.0340.0320.0240.0140.012
2530箱产量/kg
频率/组距
0.0400.0200
70
65605550454035新养殖法
(1)证明：直线PAB CE 平面∥；
(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为 45，求二面角D AB M --的余弦值.
20.（12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆12
:22
=+y x C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，
点P 满足=. (1)求点P 的轨迹方程；
(2)设点Q 在直线3-=x 上，且1=⋅. 证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
21.（12分）
已知函数x x ax ax x f ln )(2
--=，且0)(≥x f .
(1)求a ；
(2)证明：)(x f 存在唯一的极大值点0x ，且2022)(--<<x f e .
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做则按所做的第
一题计分。

22.[选修44-：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
1C 的极坐标方程为4cos =θρ.
(1) M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16=⋅OP OM ，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
(2)设点A 的极坐标为)3
2(π
，，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值.
23.[选修54-：不等式选讲]（10分） 已知20033=+>>b a b a ，，.证明：
(1)4))((55≥++b a b a ；
(2)2≤+b a .
理科数学试题 第4页（共4页）
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 参考答案
一、选择题
1.D
2.C
3.B
4.B
5.A
6.D
7.D
8.B
9.A 10.C 11.A 12.B
二、填空题
13. 1.96 14. 1 15. 1
2+n n
16. 6
三、解答题
17.（1）由B C A -=+π得2sin 8sin 2
B B =，即2
sin 42cos B B =， ∴412tan =B ，得158tan =B ，则有17
15
cos =B .
（2）由（1）可知178sin =B ，则2sin 21==∆B ac S ABC ，得2
17
=ac ，
又417
30
2)(cos 22222=--+=-+=ac ac c a B ac c a b ，则2=b .
18.（1）旧养殖法箱产量低于50kg 的频率为
62.05)040.0034.0024.0014.0012.0(=⨯++++，
新养殖法箱产量不低于50kg 的频率为
66.05)008.0010.0046.0068.0(=⨯+++，
而两种箱产量相互独立，则4092.066.062.0)(=⨯=A P . （2）由频率分布直方图可得列联表
则
635.6705.15104
96100100)38346662(2002
2
>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K ，
所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
（3）新养殖法箱产量低于50kg 的面积为5.034.05)044.0020.0004.0(<=⨯++， 产量低于55kg 的面积为5.068.05)068.0044.0020.0004.0(>=⨯+++，
所以新养殖法箱产量的中位数估计值为35.5250534.034.05.0≈+⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛-（kg ）.
19.（1）取PA 中点F ，连结BF EF 、.因为E 为PD 中点，则AD EF 2
1
∥.而由题可知
AD BC 2
1
∥，则BC EF ∥，即四边形BCEF 为
平行四边形，所以FB EC ∥.又
PAB FB PAB EC 面，面⊂⊄，故PAB CE 面∥.
（2）因为AD AB ⊥，则以A 为坐标原点，
AD AB 、所在直线分别为y x 、轴建立空间直角
坐标
系xyz A -，如图所示.
取1=AB ，设)10(<<=λλ则得
)011()001()000(，，，，，，，，C B A ，)310(，，
P ，则)301(，，-=，)30(λλ，，-=，可得点)311(λλ，，-M ，所以)31(λλ，，-=.
取底面ABCD 的法向量为)100(，，=，则 45sin 313cos 2
2=++=
〉〈λλλ
n BM ，，
解得2
2
=λ,则)2
6122(，，-
=BM .因为)001(，，=,设面MAB 的法向量为)(z y x ，，=，由
⎪⎩⎪
⎨⎧=⋅=⋅00得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=026
2
20z y x x ，取2=z 得)260(，，-=m ，
则5
10
cos =
=〉〈.故二面角D AB M --的余弦值为510.
20.（1）设)(y x P ，，则)22(y x M ，，将点M 代入C 中得12
22
2=+y x ，所以点P 的轨迹方程
为222=+y x .
（2）由题可知)01(，-F ，设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m t ---=-=，，，， )3( )(n t m n m ---==，，，.由1=⋅得1322=-+--n tn m m ，由（1）有222=+n m ，则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m PF OQ ，即过点
P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
21.（1）)(x f 的定义域为)0(∞+，，则0)(≥x f 等价于0ln ≥--x a ax .
设x a ax x g ln )(--=，则x a x g 1)(-
='.由题可知0>a ，则由0)(>'x g 解得a
x 1
>，所以)(x g 为)1(∞+，a 上的增函数，为)10(a ，上的减函数.则有==)1
()(min a
g x g
0ln 1=+-a a ，解得1=a .
（2）由（1）可知x x x x x f ln )(2
--=，则x x x f ln 22)(--='.
设x x x h ln 22)(--=，则x x h 12)(-
='.由0)(>'x h 解得21>x ，所以)
(x h 为)2
1
(∞+， 上的增函数，为)210(，上的减函数.又因为0)1(012ln )21(=<-=h h ，，则)(x h 在)2
1
0(，上存
在唯一零点0x 使得0ln 2200=--x x ，即00ln 22x x =-,且)(x f 为)0(0x ，，)1(∞+，上的
增函数，为)1 (0，
x 上的减函数，则)(x f 极大值为4
1
)1()(000<-=x x x f . 而101)10(--≠∈e x e ，，
，所以210)()(--=>e e f x f . 综上，2022)(--<<x f e .
22.（1）设P 极坐标为)0)((>ρθρ，，M 极坐标为)0)((11>ρθρ，.则ρ=OP ，
θ
ρcos 4
1=
=OM .由16=⋅OP OM 得2C 的极坐标方程为)0(cos 4>=ρθρ.所以2C 的直角坐标方程为)0(4)2(22≠=+-x y x .
（2）设B 极标为)0)((22>ρθρ，，由题可知αρcos 422==，OA ，则有
322
3)32sin(2)3sin(212+≤--=-⋅⋅=
∆παπαρOA S OAB . 即当12
π
α-
=时，OAB ∆面积的最大值为32+.
23.（1）6
55655))((b b a ab a b a b a +++=++
)(2)(4433233b a ab b a b a ++-+=
222)(4b a ab -+= 4≥
（2）因为3
223333)(b ab b a a b a +++=+ )(32b a ab ++=
)(4)(322
b a b a +++≤
4
)(323
b a ++=，
所以8)(3
≤+b a ，解得2≤+b a .
理科数学 2017年高三2017年全国丙卷理科数学
理科数学
考试时间：120分钟
题型 单选题 填空题 简答题 总分 得分
一、单选题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合(){}(){}2
2,|1,,A x y x
y B x y y x =
+===，则A B 中元素的个数为( )
A . 3
B . 2
C . 1
D . 0
2．设复数z 满足(1+i )z =2i ，则z = ( )
A .
12 B . 2 C . 2 D . 2
3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间
月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是( )
A . 月接待游客量逐月增加
B . 年接待游客量逐年增加
C . 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D . 各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4.()()5
2x y x y +-的展开式中33x y 的系数为 ( )
A . -80
B . -40
C . 40
D . 80
5.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为5
y x =,且与椭圆221123x y +
=有公共焦点，则C 的方程为( )
A . 221810x y -=
B . 22145x y -=
C . 22154x y -=
D . 22143
x y -=
6．设函数()cos 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则下列结论错误的是( )
A . f (x )的一个周期为−2π
B . y =f (x )的图像关于直线83
x π
=
对称 C . f (x +π)的一个零点为6x π
=
D . f (x )在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减 7．执行右面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )
A . 5
B . 4
C . 3
D . 2
8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A . π
B .
34π C . 2π D . 4
π
9.等差数列{}n a的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{}n a前6项的和为（）
A. -24
B. -3
C. 3
D. 8
10.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线
20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）
A
.
B
. C
. 3
D . 13
11.已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ）
A . 12-
B . 13
C . 1
2
D . 1 12. 在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）
A . 3 B
. C
. D . 2
二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若,x y 满足约束条件0
200x y x y y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则34z x y =-的最小值为__________.
14. 设等比数列{}n a 满足12131,3a a a a +=--=-，则4_______.a =
15.设函数()1,02,0
x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩则满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是_________。

16.a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边
AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最小值为60°；
其中正确的是________。

（填写所有正确结论的编号）
三、简答题（综合题）（本大题共7小题，共70分）
17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin3cos0,27,2
+===
A A a b
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积.
18.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）
20,25，需求量为300瓶；如果有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)
最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．
20.（12分）
已知抛物线2:2C y x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；
（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程.
21.（12分）已知函数()1ln f x x a x =--.
（1）若()0f x ≥，求a 的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，211111...1222n m ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，求m 最小值.
22． 选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2,,x t y kt =+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2x m
m
y k =-+⎧⎪
⎨=⎪⎩
（m 为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设(
)3:cos sin 0l ρθθ+，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.
23.选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集；
（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围.
参考答案
单选题
1. B
2. C
3. A
4. C
5. B
6. D
7. D
8. B
9. A 10. A
11. C 12. A
精选题目详解：
8．如图所示，易知
1
1,
2
OA OB
==
，AB
∴=
，
2
3
1
4
S
π
π
∴=⨯=
⎝⎭
，选B
11．()()()
211
11x x
f x x a e e
--+
=--++
令()()21
g x x
=-，则()
g x在()
,1
-∞上单调递减，在()
1,+∞上单调递增；
令()()
11
x x
h x e e
--+
=+，则由均值不等式得，()
h x在()
,1
-∞上单调递减，在()
1,+∞上单调递增；故当0
a>时，()
f x在()
,1
-∞上单调递减，在()
1,+∞上单调递增；
()1120
f a
∴=-+=
1
2
a
∴=>满足题意，结合选项知选C
12. 建立如图所示的平面直角坐标系，
则()()
0,1,2,0
AB AD
=-=，
，
故圆的方程为22
4
5
x y
+=
故可设,
Pθθ
⎫
⎪
⎭
AP AB AD
λμ
=+
1,1
μθλθ
∴+=+
()
2cos23
μλθθθϕ
∴+=+=++≤
x
填空题 13. -1 14. -8
15. (-1/4,+∞) 16. ②③
精选题目详解：
15. 画出()f x 及12f x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭的图像知()f x 及
12f x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭都是R
上的单调递
增函数，故()12f x f x ⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭也是R 上的单调递增函数，从图像上易判断()112f x f x ⎛
⎫+
-= ⎪⎝
⎭的解在直线部
分， 故令1112x x +++
=，解得1
4x =-，故()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的解集为1,4⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
16. 建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设1CA CB CD ===，
直线a 的方向向量为()1,0,0CD =， 直线b 的方向向量为()0,1,0CE = 则()cos ,sin ,0B θθ，()0,0,1A
()cos ,sin ,1AB θθ∴=-
当直线AB 与a 成60°
角时，即1cos ,cos602AB CD
<>==
=
cos θ∴= 则直线
AB 与直线b 的夹角α应该满足1cos 2
α=
=
∴60α=
设直线AB 与直线a 的夹角β
，则cos 0,β⎡=⎢⎣
，所以β的最小值为45，最大值为90
综上 正确的为②③
简答题 17. 解：
(1) sin 0A A +=
f (x )
tan 23
A A π∴=∴=
由余弦定理知 222
cos 2b c a A bc +-=
21428
24c c
+-∴-=
整理可得： 22240c c +-= 4,6c c ∴==(舍去)
(2) 由(1)可得
222cos 2a b c C ab +-==
tan tan 111
sin 4222
ABD C AD AC C S AD AB DAB ∆∴∴=⋅=∴=
⋅⋅∠=⨯=
18.
(1) X 的所有可能取值为200,300,500
()216
2000.290P X +==
=
()36
3000.490
P X ===
()2574
5000.490
P X ++=== 故X 的分布列为：
(2) 当200n ≤时，2Y =
当200300n <≤时，
当300500n <≤时，
当500n >时，Y
综上所述
()2,2008006,2003005
32002,3005005
14402,500n n n n E Y n n n n ≤⎧⎪+⎪<≤⎪=⎨-⎪<≤⎪⎪->⎩
易知，当300n =时，()E Y 最大，此时()520E Y =
19. (1) 证明：
设AB a = ABC ∆是正三角形
∴AB BC AC a ===
,,AB BC BD BD ABD CBD ==∠=∠ ABD CBD ∴∆∆≌ AD CD ∴=
又ACD ∆是直角三角形
AD DC ∴==
取AC 中点M ，连接,DM BM
易知DM AC ⊥
，且1,2DM a BM =，又BD AB a ==
222DM BM BD ∴+= DM BM ∴⊥
又AC BM M = DM ∴⊥平面ABC
又DM ⊂平面ADC
∴平面ACD ⊥平面ABC (2) 过点E 作BM 的垂线，垂足为F ，则//EF DM ，
DM ⊥平面ABC ，EF ∴⊥平面ABC
1
3E ABC ABC V EF S -∆∴=
⨯ 又13D ABC ABC V DM S -∆=⨯，且1
2E ABC D ABC V V --=
1
2
EF DM ∴=
EF ∴为DMB ∆的中位线 E ∴为BD 中点
以M B 为x 轴，MC 为y 轴，MD 为z 轴建立空间直角坐标系，
则由(1)得10,0,2D a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,,02A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，,0,0B ⎫⎪⎪⎝⎭，10,,02C a ⎛⎫
⎪⎝⎭
1,0,4E a ⎫
∴⎪⎪⎝⎭
()3111
1,,,0,,,0,,
02422AE a a a AD a a AC a ⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
∴平面DAE
的法向量11,1
n ⎛⎫=--
⎪ ⎪⎝⎭
，平面AEC 的法向量(21,0,n =
12cos ,n n ∴<>==
∴二面角D AE C -- 20. (1) 设直线方程为2x my =+，()()1122,,,A x y B x y
联立抛物线方程222y x
x my ⎧=⎨=+⎩可得：2240y my --=
121224
y y m y y +=⎧∴⎨=-⎩ ()()()21212121222244x x my my m y y m y y ∴=++=+++= 12120OA OB x x y y ∴⋅=+=
90AOB ∴∠=
∴坐标原点O 在圆M 上
(2) 由(1)得：()2
1212424x x m y y m +=++=+
()()212121212416248440PA PB x x x x y y y y m m ∴⋅=-++++++=
-++=
1
,12
m m ∴=-=
当1m =时，直线方程为20x y --=，
圆心()3,1M ，半径r OM =
∴圆M 的方程为()()22
3110x
y -+-=
当1
2
m =-时，直线方程为240x y +-=
圆心91,42M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r OM ==∴圆M 方程为2
2
9185
4216x y ⎛⎫⎛⎫-++=
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
21.
(1) ()f x 的定义域为()0,+∞
()'1a x a f x x x
-=-
= ①当0a ≤时，()'0f x ≥，()f x 在()0,+∞上单调增，又()10f =，故不满足题意 ②当0a >时，令()'0f x =，则x a =，
易知()f x 在()0,a 上单调减，在(),a +∞上单调增 故只需()0f a ≥，即1ln 0a a a --≥ 令()1ln g a a a a =--，则()'ln g a a =-
易知()g a 在()0,1上单调增，()1,+∞单调减，故()()max 10g a g == 且仅在1a =时取得最大值 故当且仅当1a =时，()0f a ≥
1a ∴=
(2) 由(1)得 1ln x x ->对()0,x ∀∈+∞均成立
故用1
12
n +
代替x 得
11ln 122n n ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭
221111111ln 1ln 1...ln 1...112222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫∴++++++<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
211111...13222n e ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫∴+++<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
又23111135111222264m ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫>+++=
> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
m 的最小值为3 22.
（1）由已知得
，。