【初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题

初中数学

几何题型，辅助线的画法和典型例题

(1)．倍长中线法

1、已知，如图，△ABC 中，D 是BC 中点，DE ⊥DF,试判断BE ＋CF 与EF 的大小关系，并证明你的结

论.

F

E

D C B A

【思路点拨】因为D 是BC 的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF ，使DG ＝DF,证明△EDG ≌△EDF ，△FDC ≌△GDB ，这样就把BE 、CF 与EF 线段转化到了△BEG 中，利用两边之和大于第三边可证.

【答案与解析】BE ＋CF ＞EF ；

证明：延长FD 到G ，使DG ＝DF,连接BG 、EG

∵D 是BC 中点

∴BD ＝CD

又∵DE ⊥DF

在△EDG 和△EDF 中

ED ED EDG EDF DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△EDG ≌△EDF （SAS ）

∴EG ＝EF

在△FDC 与△GDB 中

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=DG DF BD CD 21

∴△FDC ≌△GDB(SAS)

∴CF ＝BG

∵BG ＋BE ＞EG

∴BE ＋CF ＞EF

【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.

举一反三：

【变式】已知：如图所示，CE 、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且∠ACB ＝∠ABC ．

求证：CD ＝2CE ．

【答案】

证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵ EC为中线，

∴ AE＝BE．

在△AEC与△BEF中，

,

,

,

AE BE

AEC BEF CE EF

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△AEC≌△BEF（SAS）．

∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）

又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．

∴ AB＝BF．

又∵ BC为△ADC的中线，

∴ AB＝BD．即BF＝BD．

在△FCB与△DCB中，

,

,

,

BF BD

FBC DBC BC BC

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△FCB≌△DCB（SAS）．

∴ CF＝CD．即CD＝2CE．

(2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形

2、已知：如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求证：AB＝AC＋CD．

【答案与解析】

证明：在AB上截取AE＝AC．

在△AED与△ACD中，

()

12()

() AE AC

AD AD

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

已作，

已知，

公用边，

∴△AED≌△ACD（SAS）．

∴ ED＝CD．

∴∠AED＝∠C(全等三角形对应边、角相等)．

又∵∠C＝2∠B ∴∠AED＝2∠B．

由图可知：∠AED＝∠B＋∠EDB，

∴ 2∠B＝∠B＋∠EDB．

∴∠B＝∠EDB．

∴ BE＝ED．即BE＝CD．

∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD(等量代换)．

【总结升华】本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现AB＞AC．故用截长补短法．在AB 上截取AE＝AC．这样AB就变成了AE＋BE，而AE＝AC．只需证BE＝CD即可．从而把AB＝AC＋CD转化为证两线段相等的问题．

举一反三：

【变式】如图，AD是ABC

∆的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD.

(1)求证：∠B与∠AHD互补；

(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.

【答案】

证明：（1）在AB上取一点M, 使得AM＝AH, 连接DM.

∵∠CAD＝∠BAD, AD＝AD,

∴△AHD≌△AMD.

∴ HD＝MD, ∠AHD＝∠AMD.

∵ HD＝DB,

∴ DB＝ MD.

∴∠DMB＝∠B.

∵∠AMD＋∠DMB ＝180︒,

∴∠AHD＋∠B＝180︒.

即∠B与∠AHD互补.

（2）由（1）∠AHD＝∠AMD, HD＝MD, ∠AHD＋∠B＝180︒.

∵∠B＋2∠DGA ＝180︒,

∴∠AHD＝2∠DGA.

∴∠AMD＝2∠DGM.

∵∠AMD＝∠DGM＋∠GDM.

∴ 2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.

∴∠DGM＝∠GDM.

∴ MD＝MG.

∴ HD＝ MG.

∵ AG＝ AM＋MG,

∴ AG＝ AH＋HD.

（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形

3、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，

求证：MB－MC＜AB－AC．

M G

H

D

C

B

A