非常好的定积分及微积分基本定理复习讲义
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定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了]
考什么怎么考
1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.
2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题.
2.考查简单定积分的求解.
3.考查曲边梯形面积的求解.
4.与几何概型相结合考查.
[归纳·知识整合]
1.定积分
(1)定积分的相关概念:在∫b a f(x)d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)d x叫做被积式.
(2)定积分的几何意义
①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分).
②一般情况下,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)
以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.
(3)定积分的基本性质:①∫b a kf(x)d x=k∫b a f(x)d x.
②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x=∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x.
③∫b a f(x)d x=∫c a f(x)d x+∫b c f(x)d x.
[探究] 1.若积分变量为t,则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等?
提示:相等.
2.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗?
提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算.
3.定积分∫b a[f(x)-g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么?
提示:由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积.
2.微积分基本定理:如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么∫b a f(x)d x=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.为了方便,常把F(b)-F(a)记成F(x)| f(x)d x=F(x)|b a=F(b)-F(a).
b
a,即∫b a
课前预测:
1.∫42
1
x
d x 等于( )
A .2ln 2
B .-2ln 2
C .-ln 2
D .ln 2
2.(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )=t 2-t +2,质点作直线运动,则此物体在时间[1,2]的位移为( )
A.176
B.143
C.136
D.116
3.(教材习题改编)直线x =0,x =2,y =0与曲线y =x 2所围成的曲边梯形的面积为________.
4.(教材改编题)∫10
1-x 2d x =________. 5.由y =1x ,直线y =-x +52所围成的封闭图形的面积为________
考点一 利用微积分基本定理求定积分 [例1] 利用微积分基本定理求下列定积分:
(1)∫21(x 2+2x +1)d x ;(2)∫π
0(sin x -cos x )d x ;
(3)∫2
x (x +1)d x ;(4)∫21
⎝
⎛⎭⎪⎪⎫e 2x +1x d x ;(5)20π⎰ sin 2x 2d x .
———————————————————
求定积分的一般步骤:
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差;
(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积
分;
(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数; (4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值; (5)计算原始定积分的值. 强化训练:
1.求下列定积分:(1)∫20
|x -1|d x ;(2)20
π⎰
1-sin 2x d x .
考点二 利用定积分的几何意义求定积分 [例2]∫10
-x 2+2x d x =________. 变式:在本例中,改变积分上限,求∫20
-x 2+2x d x 的值. —————
—————————————— 利用几何意义求定积分的方法
(1)当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时,可考虑用定积分的几何意义求定积分.
(2)利用定积分的几何意义,可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小. 强化训练:
2.(2014·模拟)已知函数f (x )=∫x 0(cos t -sin t )d t (x >0),则f (x )的最大值为________.
考点三:利用定积分求平面图形的面积
[例3] (2014·高考)由曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为( )
A.103 B .4C.16
3D .6 变式训练:
若将“y =x -2”改为“y =-x +2”,将“y 轴”改为“x 轴”,如何求解? —————
—————————————— 利用定积分求曲边梯形面积的步骤
(1)画出曲线的草图.
(2)借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限.
(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差. (4)计算定积分,写出答案. 强化训练:
3.(2014·模拟)如图,曲线y =x 2和直线x =0, x =1,y =1
4
所围成的图形(阴影部分)的面积为( )
A.23
B.13
C.12
D.14
考点四:定积分在物理中的应用
[例4] 列车以72 km/h 的速度行驶,当制动时列车获得加速度a =-0.4 m/s 2,问列车应在进站前多长时间,以及离车站多远处开始制动?
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