11.8点函数

更进一步,我们还可以利用点函数积分的概念统 一来表述占有有界闭区域 的物体的重心、 转动
惯量、 引力等物理概念, 此处不再赘述.
为方便起见,我们把一段直线和曲线,一张有界平
为方便起见,我们把一段直线和曲线,一张有界平 面或曲面, 一张有界立体 (包括边界点) 统称为空 间的有界闭区域 .区域 的度量仍记为 ,代表 它的长度或面积或体积的大小.
如果点 P是 上的任意一点, 函数
u f (P)
就是点 P 的函数, 简称为点函数, 其中点 P为P ( x ) 或 P ( x , y ) 或 P ( x , y , z ).
性质 1
[ f ( P ) g( P )]d f ( P )d g( P )d.

性质 2 性质 3
( k为常数). kf ( P ) k f ( P ) d

f ( P )d f ( P )d f ( P )d,
1 2
f ( P )d M.

若 f ( P ) 在有界闭区域 上连续, 则至少有一点
P , 使得
*

其中 f ( P * ) 平均值.
f ( P )d f ( P * ).

f ( P )d


称为函数 f ( P ) 在 上的
点函数积分的分类及其关系
1. 若 [a , b] R, 这时 f ( P ) f ( x ), x [a , b],
点函数积分的概念
迄今为止,我们先后学习了定积分、 二重积分、 三 曲面积分等多种不同类型的积 重积分、 曲线积分、 分.在学习过程中, 我们也注意到上述各类积分在 定义与性质的表述上相当类似, 那么是否可从上 述积分概念中抽象出一种统一的积分概念的表述, 使得上述各类积分都是它的一种特殊情形呢? 这个问题的答案是肯定的.由此要引入点函数积 分的概念.
并作和
f ( P )ห้องสมุดไป่ตู้ .
i 1 i 1
n
如果当各子闭区域 i 的直径中的最大值 趋近 于零时, 这和式的极限存在则 , 称此极限为点函数
于零时, 这和式的极限存在则 , 称此极限为点函数
f ( P ) 在 上的积分,记为 f ( P )d ,即
f ( P )d lim f ( P ) ,
点函数积分的分类及其关系
4. 若 D R 2 , 且 D是平面区域,这时
f ( P ) f ( x , y ), ( x , y ) D,
(4) f ( P )d f ( x, y )d (4) 式称为二重积分. 当 f ( x , y ) 1 时, d 则
于是
f ( P )d

L
f ( x , y )ds .
(2)
点函数积分的分类及其关系 于是
f ( P )d

L
f ( x , y )ds .
(2)
当 f ( P ) 1时, ds s是曲线的弧长. (2) 式称为
L

第一类平面曲线积分.
3. 若 R 3 , 且 是空间曲线, 这时
f ( P ) f ( x , y , z ),( x , y , z ) ,
则


f ( P )d f ( x , y , z )ds .

(3)
当 f ( P ) 1时, ds s是曲线的弧长. (3) 式称为


点函数积分的分类及其关系
当 f ( P ) 1时, ds s是曲线的弧长. (3) 式称为
D
是平面区域 D 的面积.
D
5. 若 R 3 ,且 是空间曲面,这时
f ( P ) f ( x , y , z ),( x , y , z ) ,
则
f ( P )d f ( x, y, z )dS

(5)
点函数积分的分类及其关系 则
f ( P )d f ( x, y, z )dS


n
0
i 1
i
1
其中 称为积分区域, f ( P ) 称为被积函数,P 称为 积分变量, f ( P )d 称为被积表达式,d称为 的 度量微元.
点函数积分具有如下物理意义: 设一物体占有有
界闭区域 ,其密度为 f ( P )( P ),则该物体
界闭区域 ,其密度为 f ( P )( P ),则该物体 的质量 M
定义 1 设 为有界闭区域,函数 u f ( P )( P ) 为 上的有界点函数. 将形体 任意分成 n个子闭 区域 1 , 2 ,, n ,其中 i 表示第 i 个子闭
区域,也表示它的度量, 在 i上任取一点Pi ,作乘积
f ( Pi )1 ( i 1,2,, n),


第一类空间曲线积分.
2、3 的特殊情形是曲线为直线段,而直线段上的
点函数积分本质上是一元函数的定积分, 这说明

L
f ( x , y )ds,


f ( x , y, z )ds
可用一次定积分计算,因此用了一次积分号. 4. 若 D R 2 , 且 D是平面区域,这时
f ( P ) f ( x , y ), ( x , y ) D,

(5)
(5) 式称为第一类曲面积分.
当 f ( P ) 1时,
是空间曲面 的面积 . dS S

由于 (5)的特殊情形是平面区域上的二重积分,说 明该积分可化为两次定积分的计算, 因此用二重 积分号. 6. 若 R 3为空间立体,这时
f ( P ) f ( x , y , z ), ( x , y , z ) ,
其中1 2 , 且 1与 2无公共内点. 性质 4 若f ( P ) 0, P , 则 f ( P )d 0.


点函数积分的性质
性质 4 若f ( P ) 0, P , 则 f ( P )d 0.


性质 5 若 f ( P ) g( P ), P , 则
f ( P )d g( P )d.

特别地, 有
f ( P )d | f ( P ) | d .

性质 6 若 f ( P ) 在积分区域 上的最大值为M , 最小值为 m , 则 m
f ( P )d M.

点函数积分的性质 最小值为 m , 则 m 性质 7 (中值定理)
f ( P )d, ( f ( P ) 0)

特别地,当 f ( P ) 1时,有
(度量). d lim i

n
0
i 1
如果点函数 f ( P )在有界闭区域 上连续,则 f ( P )
在 上可积.
点函数积分的性质
设 f ( P ), g( P )在有界闭区域 上都可积, 则有
点函数积分的分类及其关系
6. 若 R 3为空间立体,这时
f ( P ) f ( x , y , z ), ( x , y , z ) ,
则


f ( P )d f ( x , y , z )dv .

(6)
(6) 式称为三重积分. 当 f ( P ) 1, 则 的体积 . 是空间立体 dv V
则
f ( P )d

b
a
f ( x )dx .
(1)
这是一元函数 f ( x )在区间[a , b]上的定积分. 当 f ( x ) 1时,

b
a
dx b a 是区间长.
2 若 2. L R , 且 L 是一平面曲线, 这时
f ( P ) f ( x , y ), ( x , y ) L,