实变函数知识点总结

第一章 集 合

1 集合的运算

一、集合的概念

定义1 设有两个集合A，B。

若x A ∈，必有x B ∈，则称A 是B 的子集或B 包含A，记为A B B A ⊂⊃或。 若A B ⊂，且存在x B ∈满足x A ∉，则称A 是B 的真子集。 若A B B A ⊂⊂且，则称A 与B 相等或相同。 定义2 设Λ是一个非空集合，对于每个α∈Λ，指定一个集合A α，于是得到许

多集合，它们的总体称为集合族，记为{}|A αα∈Λ或{}A αα∈Λ。

二、集合的运算

定义3 设A，B 是两个集合。

（1） 称集合{}|A B x x A x B ∪=∈∈或为A 与B 的并集，即由A 与B 的全

部元素构成的集合；

（2） 称集合{}|A B x x A x B ∩=∈∈且为A 与B 的交集，即由A 与B 的公

共元素构成的集合；

定理1（1）交换律 A B B A ∪=∪，A B B A ∩=∩；

（2）结合律 ()()A B C A B C ∩∩=∩∩,()()A B C A B C ∩∩=∩∩; （3）分配律()()()A B C A B A C ∩∪=∩∪∩()()()A B C A B A C ∪∩=∪∩∪。

更一般地有 （4）()()A B A B α

α

αα∈Λ

∈Λ

∪∩=∩∪；

（5）()()

A B A B α

α

αα∈Λ

∈Λ

∩

∪=∪∩；

（6）设{}n A 和{}n B 为两集列，有()111n n n n n n n A B A B ∞

∞∞===⎛⎞⎛⎞

∪∪=∪∪∪⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠

。 定义4 设A，B 是两个集合，称集合{}\|A B x x A x B =∈∉且是A 和B 的差集，

即在集合中而不在集合B 中的一切元素构成的集合。如果B A ⊂，则称

\A B 为B 相对于A 的补集或余集。

定理2 （1）()

,,,,c

c

c

c c c A A X A A A

A X X ∪=∩=∅==∅∅=；

（1）A ζ⊂；

（2）任何包含A 的环（或代数，或σ环或σ代数）*

ζ，必有*

ζζ⊂。

定义9 定理8中的环（或代数，或

σ

环或σ代数）ζ称为由集类A 所张成的

环（或代数，或σ环或σ代数），并用()A ζ

（或()A ℜ或()A σζ或

()A σℜ）来表示。

例题：设X 为一非空集合，A 为X 的单点集全体所成的集类，则由

① 集类A 所张成的环()A ζ={}|B B 是X的有限子集

若X 为有限集，()A ζ

也是代数、σ

环、σ代数

② 若{}|n X a n N =∈，则()A ζ

={}|B B 是X的有限子集

()A σζ=()A σℜ=2

A

={}|B B X ⊂ 2 集合的势

一、映射

定义1 有关映射的一些概念（舍）见教材P9。 定理1 设:T

X Y →为映射，则

（1）()()1212;A A X A T A ⊂⊂⊂当时，有T （2）()

()(),;T A T A A X αααααα∈Λ

∈Λ

∪=∪⊂∈Λ

（3）()()(),;

T

A T A A X α

α

α

ααα∈Λ

∈Λ

∩⊂∩⊂∈Λ

（4）()()1

1212;B B Y B T B −⊂⊂⊂-1当时，有T

（5）(

)

()()1

1,;T B T B B Y αααααα−−∈Λ

∈Λ

∪=∪⊂∈Λ

（6）()()()1

1

,;T B T

B B Y α

ααααα−−∈Λ

∈Λ

∩=∩⊂∈Λ

（7）()()()1

1c

c T

B T B −−=

由此看出原像集的性质保持比像集的性质保持要好

注解：①、（3）中如：一个映射f 把X 全部映射成一个值，就可以造成左边为

性质2集合A 是无限集的充要条件是A 与其某一真子集对等； （定理4） 性质3（至多可数集的性质） （定理5） （1）可数集A 的任一子集B 为至多可数集； （2）设12,,,n A A A 为至多可数集，则

1

n

i i A =∪仍为至多可数集，如果

12,,,n A A A 中至少有一个可数集，则1

n

i i A =∪为可数集；

（3）设12,,,,n A A A 为至多可数集，则

1

i i A ∞

=∪仍为至多可数集，如果12,,,,n A A A 中至少有一个可数集，则1

i i A ∞

=∪为可数集；

（4）设12,,,n A A A 为可数集，则12n A A A ××× 为可数集。

（5）若集合{}

12,,,|,1,,n a a a i i i A x a A A i n =∈= 为可数集，，则A 为可数集。 常用结论：①有理数集Q 是可数集，n R 中有理点集n

Q 为可数集。

②1

R

中互不相交的开区间族是至多可数集。

定理6若Ａ为无限集，Ｂ是至多可数集，则A B ∪～A

由证明归纳出两种证明对等的方法： （１）建立一一映射；

设{}12,,B b b = 为可数集，A B ∩=∅，由性质１知，Ａ存在可数子集

{}112,,A a a = ，作映射:f A B A ∪→

()212,,1,2,,,1,2,,,,1,2,k k k k k k a x a k x f x a x b k x x a b k −==⎧⎫⎪⎪

===⎨⎬⎪⎪

≠=⎩⎭

（2）要证A 与B 对等，可将A 和B 都分解为不交并，即1212,A A A B B B =∪=∪

再分别证明

1A ~1B ，2A ~2B

()()()1111\,\\A A A A A B A A A B A =∪∪=∪∪⎡⎤⎣⎦