实变函数知识点总结
实变函数期末总结高中
实变函数期末总结高中一、实变函数的定义及基本性质1. 实变函数的定义实变函数是指定义域和值域都是实数的函数。
一般情况下，实变函数可以用解析式表示，例如：y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
关于实变函数的定义，我们需要注意以下几点：（1）实变函数的定义域是指函数自变量能取到的所有实数的集合。
（2）实变函数的值域是指函数因变量能取到的所有实数的集合。
（3）在实变函数中，自变量和因变量之间存在着一种确定的对应关系。
2. 实变函数的性质（1）有界性：实变函数的定义域上，函数值是否有上界或下界。
（2）单调性：实变函数的增减趋势是递增还是递减。
（3）奇偶性：实变函数的奇偶性是指函数的图像关于y轴对称，或者具有某种周期性。
（4）周期性：实变函数在某一区间上是否有重复的特点。
（5）连续性：实变函数在定义域上是否连续。
（6）可导性：实变函数在某一点处是否存在导数。
二、实变函数的常见类型及特点1. 基本初等函数（1）常数函数：f(x) = c，其中c为常数。
常数函数的图像是一条水平直线。
（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数。
当n为偶数时，函数图像关于y轴对称；当n为奇数时，函数图像关于原点对称，同时具有单调增或单调减的特点。
（3）指数函数：f(x) = a^x，其中a>0且a≠1。
指数函数的图像呈现出递增或递减的特点。
（4）对数函数：f(x) = loga(x)，其中a>0且a≠1。
对数函数的图像关于y=x对称，并且图像从左下到右上递增。
（5）三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的图像具有周期性。
2. 变量变换实变函数的研究常常需要通过变量变换来简化表达式或改变函数的性质。
（1）平移变换：对于函数y=f(x)，平移变换的一般形式为y=f(x-h)+k，其中h表示x轴上的平移量，k表示y轴上的平移量。
平移变换可以改变函数图像的位置。
（2）伸缩变换：对于函数y=f(x)，伸缩变换的一般形式为y=af(bx)+c，其中a表示y轴上的伸缩因子，b表示x轴上的伸缩因子，c表示y轴上的平移量。
实变函数知识点总结免费
实变函数知识点总结免费1. 函数的概念与性质函数是数学中一个非常基础的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
在实变函数中，函数通常表示为f: A→B，其中A和B分别是定义域和值域。
函数的性质包括单调性、有界性、周期性等，这些性质在后续的分析中都将扮演重要的角色。
2. 极限与连续性极限是实变函数理论中极为重要的概念之一。
它描述了函数在某一点附近的趋势，是理解函数性质的基础。
极限的定义、性质和计算是实变函数学习的重点内容，包括无穷极限、级数与收敛性等相关内容。
连续性是指函数在某一点的连续性，它与极限息息相关，是实变函数理论中另一个重要的概念。
3. 可导性与微分可导性描述的是函数在某一点的导数存在性，微分则是对函数的导数进行研究的一部分。
在实变函数中，可导性的概念包括了导数的存在与连续性、高阶导数及其性质等。
微分则包括了微分中值定理、泰勒公式、泰勒展开等重要内容。
4. 积分与微积分基本定理积分是实变函数理论中的另一个核心内容，包括定积分和不定积分。
微积分基本定理是积分理论的基础，它描述了积分与导数之间的关系，是理解积分性质的重要定理。
在实变函数中，积分的性质、计算方法以及应用都是学习的重点。
5. 序列与级数序列与级数是实变函数理论中的另一个重要概念，它描述了函数在无穷情况下的性质。
序列的极限、级数的收敛性和性质是实变函数学习的重点内容，也是分析理论的基础之一。
6. 函数空间与泛函分析函数空间与泛函分析是实变函数理论的高级内容，它描述了函数集合的结构和性质。
在这一部分中，将研究函数的收敛性、完备性、紧性等概念，探讨函数空间的结构和代数性质，这是实变函数理论的深入内容，也是数学分析的重要分支。
以上是实变函数理论的主要知识点总结，实变函数理论涉及范围广泛，内容丰富，需要学生在学习过程中多多练习和实践，加深对概念和理论的理解，提高数学建模和问题解决能力。
实变函数知识点简要总结
实变函数知识点简要总结实变函数是数学中的重要概念，它在微积分、实分析等领域中有着广泛的应用。
本文将对实变函数的相关知识点进行简要总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、实变函数的定义与性质1. 实变函数的定义：实变函数是定义在实数集上的函数，即自变量和函数值都是实数。
2. 实变函数的性质：实变函数可以进行加法、乘法、求和、求积等运算，并具有可加性、可乘性、可积性等性质。
二、实变函数的连续性1. 实变函数的连续性：一个实变函数在某点连续，意味着当自变量趋近于该点时，函数值也趋近于该点的函数值。
2. 实变函数的间断点：如果一个实变函数在某点不连续，那么该点就是函数的间断点。
常见的间断点类型包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
三、实变函数的导数与微分1. 实变函数的导数：实变函数的导数描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义是函数在该点的极限值。
2. 实变函数的微分：实变函数的微分是函数在某一点附近的近似线性变化。
微分可以用来估计函数值的变化。
四、实变函数的极限1. 实变函数的极限：实变函数的极限描述了函数在自变量趋近于某一点时的趋势。
常见的极限类型包括左极限、右极限和无穷极限。
2. 实变函数的无穷大与无穷小：当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于无穷大或无穷小，可以用来描述函数在该点的特性。
五、实变函数的积分1. 实变函数的不定积分：实变函数的不定积分描述了函数在某一区间内的累积变化量。
不定积分可以用来求解定积分和求函数的原函数。
2. 实变函数的定积分：实变函数的定积分描述了函数在某一区间上的平均值或累积值。
定积分可以用来计算曲线下的面积或求解物理、经济等问题。
六、实变函数的应用实变函数在自然科学、工程技术、经济管理等领域中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，实变函数可以描述质点的运动轨迹；在经济学中，实变函数可以描述市场需求函数；在工程学中，实变函数可以描述电路中电流和电压之间的关系。
实变函数是数学中的重要概念，它在微积分、实分析等领域中有着广泛的应用。
实变函数知识点总结
实变函数知识点总结
实变函数是数学中的一个重要概念，它是指定义在实数集上的函数。
以下是实变函数的一些重要知识点总结：
1. 定义域和值域
实变函数的定义域是实数集，即函数可以接受任何实数作为自变量。
而函数的值域则是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
2. 极限
极限是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
当自变量趋近于某一点时，函数的输出值也会趋近于一个特定的值，这个值就是函数在该点的极限。
3. 连续性
连续性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的连续程度。
如果函数在某一点处的极限等于该点的函数值，那么该函数在该点处是连续的。
4. 导数
导数是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
导数可以用来求函数的最大值、最小值以及函数的凸凹性等。
5. 积分
积分是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一区间内的面积或体积。
积分可以用来求函数的平均值、总和以及函数的变化趋势等。
6. 奇偶性
奇偶性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的对称性。
如果函数满足f(-x)=-f(x)，那么该函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，那么该函数是偶函数。
7. 周期性
周期性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的重复性。
如果函数满足f(x+T)=f(x)，那么该函数是周期函数，其中T 为函数的周期。
以上是实变函数的一些重要知识点总结，掌握这些知识点可以帮助我们更好地理解和应用实变函数。
实变函数知识归纳总结
定理 6 若Ａ为无限集，Ｂ是至多可数集，则 A ∪ B ～ A 由证明归纳出两种证明对等的方法： （１）建立一一映射； 设 B = {b1 , b2 ,
} 为可数集， A ∩ B = ∅ ，由性质１知，Ａ存在可数子集
A1 = {a1 , a 2 ,
} ，作映射 f : A ∪ B → A
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
α ∈Λ
∩ ζ α 是 X 上的环（或代数） 。
, 有 ∩ En ∈ ζ ； n =1
, 有 lim En ∈ζ , lim En ∈ζ ； n→∞
n→∞
∞
(α ∈ Λ ) 为 X 上 σ
环（ σ 代数） ，则 ∩ ζα 是 X 上 σ 环（ σ
α∈Λ
代数） 。
定理 8 设 A 是由 X 的某些子集构成的集类， 则存在唯一的环 （或代数，
−1
( ∩ B )= ∩T
α∈Λ α α∈Λ
−1 c
−1
( Bα )( Bα ⊂ Y,α ∈Λ) ;
c
−1
( B ) = (T ( B ) )
由此看出原像集的性质保持比像集的性质保持要好 注解：①、 （3）中如：一个映射 f 把 X 全部映射成一个值，就可以造成左边为
空集即可； ②、 一般T -1 (T ( A) ) ⊃ A，当T为单射时,有T -1 (T ( A) ) = A ③、 一般T T −1 ( B ) ⊂ B，当T为满射时,有T T −1 ( B ) = B 定义 2 复合映射概念（舍）见教材 P10 二、集合的势 定义 3 设 A 和 B 为两集合， 若存在从 A 到 B 的一一映射， 则称集合 A 与Ｂ对等， 记为 A~B 注解：①、对等关系是等价关系 ②、设 {
α∈Λ α∈Λ
实变函数知识点
实变函数知识点实变函数是一种常见的数学函数类型，它在数学分析中有着非常重要的地位。
在这篇文章中，我们将详细探讨实变函数的知识点，包括什么是实变函数、实变函数的定义、实变函数的性质、实变函数的极限和导数、实变函数的应用等内容。
一、什么是实变函数实变函数是指$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$的函数，即定义域为实数集$\mathbb{R}$的函数，也称为一元实函数。
它以实数为自变量，实数为函数值。
实变函数主要研究实数集上的性质和变化规律。
二、实变函数的定义实变函数的定义有多种方式，常用的有以下几种：1. 函数图像法根据函数的图像来定义实变函数，即$f(x)$的定义域为实数集$\mathbb{R}$，函数值为其图像上对应点的纵坐标。
2. 显式函数法显式函数是通过代数式直接给出函数的定义，如$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$。
3. 隐式函数法隐式函数一般是指如下形式的方程：$F(x,y)=0$，其中$x$和$y$都是实数变量。
如果存在实数集上解析的函数$f(x)$，使得$y=f(x)$是$F(x,y)=0$的解，那么就称$y=f(x)$为隐式函数。
4. 参数方程法将$x$表示为参数$t$的函数$x(t)$，将$y$表示为参数$t$的函数$y(t)$，则$f(x)=f(x(t))=f(t)$为参数方程法。
五种定义方式中，显式函数和隐式函数是最常用的方法。
三、实变函数的性质实变函数具有多种性质，下面介绍一些重要的性质：1. 奇偶性若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数；若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数；若既不是奇函数也不是偶函数，则称$f(x)$为一般实变函数。
2. 周期性若存在正实数$T$，使得$\forall x\in \mathbb{R},f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$为以$T$为周期的周期函数。
实变函数内容、方法与技巧
实变函数内容、方法与技巧实变函数是数学中一个重要的概念，在实分析中被广泛研究和应用。
本文将介绍实变函数的内容、方法与技巧。
1.实变函数的定义：实变函数是指定义在实数集上的函数，其自变量和因变量都是实数。
常见的实变函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2.实变函数的基本性质：实变函数有一些基本的性质。
首先，实变函数可以进行运算，包括加法、减法、乘法和除法。
其次，实变函数具有定义域和值域，即函数的自变量和因变量的取值范围。
此外，实变函数还有奇偶性、周期性等特点。
3.实变函数的连续性：连续性是实变函数研究中的一个重要概念。
一个函数在某一点处连续，意味着函数在该点的极限存在，并且与函数在该点的值相等。
实变函数在定义域上连续，可以用极限的性质来描述。
4.实变函数的一致连续性：一致连续性是连续性的更强形式。
一个实变函数在整个定义域上一致连续，意味着对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，当自变量的取值在某个区间内时，函数值的变化小于ε。
一致连续性是实变函数相对于局部连续性更一般的性质。
5.实变函数的可导性：可导性是实变函数中的另一个重要概念。
一个函数在某一点处可导，意味着函数在该点的导数存在。
实变函数可导与实变函数在该点处连续是不同的概念。
可导函数具有一些重要的性质，如导数的线性性、链式法则、微分中值定理等。
6.实变函数的积分：积分是实变函数研究中的一个重点内容。
实变函数的积分有两种形式：定积分和不定积分。
定积分是指对函数在一个区间上的积分，可以用来计算函数在该区间上的面积、弧长、体积等。
不定积分是指求函数的原函数，可以用来求解微分方程、计算复合函数的积分等。
7.实变函数的级数展开：级数展开是实变函数研究中的另一个重要内容。
一个实变函数可以用其在某个点处的泰勒级数来近似表示，通过截断级数可以得到函数的近似值。
级数展开在计算、物理学等领域有广泛的应用。
8.实变函数的图像与性质：实变函数的图像可以用来观察函数的性质。
实变函数复习要点
实变函数复习要点实变函数是指定义域为实数集，值域为实数集的函数。
在复习实变函数的要点时，我们可以从以下几个方面入手：1.函数的定义与表示：回顾函数的基本定义，即一个变量映射到唯一的函数值。
再回顾函数的表示方法，如函数图像、表达式、数列等。
2.函数的性质与分类：函数常具有有界性、单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
了解这些性质的定义，并学会根据给定条件判断函数的性质。
另外，实变函数可分为初等函数和非初等函数，初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
3.基本运算：复习函数的基本运算法则，包括函数的加减乘除、复合函数和反函数等。
了解这些运算方法可以帮助我们进行函数的简化与分析。
4.函数的极限：函数的极限是函数理论中的重要概念。
复习函数的极限定义与相关定理，如极限的唯一性、有界性、保序性、四则运算法则等。
还要学会计算函数的极限，并理解极限的几何和物理意义。
5.函数的导数与微分：复习导数的定义与性质，包括导数的存在性、可导性与连续性之间的关系，以及导数的基本运算法则。
进一步学习高阶导数、隐函数与参数方程的导数，并应用导数进行函数的近似与最值计算。
6.函数的积分与不定积分：再次回顾函数积分的定义与常见的积分法则，如分部积分法、换元积分法等。
学习计算函数的不定积分和定积分，并理解积分的几何和物理意义。
7.函数的级数表示与展开：了解函数级数的定义与相关定理，如函数级数的收敛性、绝对收敛性、一致收敛性等。
学习级数展开及其应用，如泰勒级数、傅里叶级数等。
8.函数的图像与应用：绘制函数的图像，了解函数在不同区间的特点和行为。
掌握函数在各种应用问题中的求解方法，如函数的最值、极值与拐点、函数的增减性与凹凸性、函数的模型建立与优化等。
9.常见函数的特殊性质与应用：通过实例了解部分特殊函数的性质与应用，如阶乘函数、取整函数、莫比乌斯函数等。
10.综合应用与思考：通过解答真实问题和综合应用题，巩固所学的实变函数的知识，培养动手实践能力和思考能力。
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第一章 集 合1 集合的运算一、集合的概念定义1 设有两个集合A，B。
若x A ∈，必有x B ∈，则称A 是B 的子集或B 包含A，记为A B B A ⊂⊃或。
若A B ⊂，且存在x B ∈满足x A ∉，则称A 是B 的真子集。
若A B B A ⊂⊂且，则称A 与B 相等或相同。
定义2 设Λ是一个非空集合，对于每个α∈Λ，指定一个集合A α，于是得到许多集合，它们的总体称为集合族，记为{}|A αα∈Λ或{}A αα∈Λ。
二、集合的运算定义3 设A，B 是两个集合。
（1） 称集合{}|A B x x A x B ∪=∈∈或为A 与B 的并集，即由A 与B 的全部元素构成的集合；（2） 称集合{}|A B x x A x B ∩=∈∈且为A 与B 的交集，即由A 与B 的公共元素构成的集合；定理1（1）交换律 A B B A ∪=∪，A B B A ∩=∩；（2）结合律 ()()A B C A B C ∩∩=∩∩,()()A B C A B C ∩∩=∩∩; （3）分配律()()()A B C A B A C ∩∪=∩∪∩()()()A B C A B A C ∪∩=∪∩∪。
更一般地有 （4）()()A B A B αααα∈Λ∈Λ∪∩=∩∪；（5）()()A B A B αααα∈Λ∈Λ∩∪=∪∩；（6）设{}n A 和{}n B 为两集列，有()111n n n n n n n A B A B ∞∞∞===⎛⎞⎛⎞∪∪=∪∪∪⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠。
定义4 设A，B 是两个集合，称集合{}\|A B x x A x B =∈∉且是A 和B 的差集，即在集合中而不在集合B 中的一切元素构成的集合。
如果B A ⊂，则称\A B 为B 相对于A 的补集或余集。
定理2 （1）(),,,,cccc c c A A X A A AA X X ∪=∩=∅==∅∅=；（1）A ζ⊂；（2）任何包含A 的环（或代数，或σ环或σ代数）*ζ，必有*ζζ⊂。
定义9 定理8中的环（或代数，或σ环或σ代数）ζ称为由集类A 所张成的环（或代数，或σ环或σ代数），并用()A ζ（或()A ℜ或()A σζ或()A σℜ）来表示。
例题：设X 为一非空集合，A 为X 的单点集全体所成的集类，则由① 集类A 所张成的环()A ζ={}|B B 是X的有限子集若X 为有限集，()A ζ也是代数、σ环、σ代数② 若{}|n X a n N =∈，则()A ζ={}|B B 是X的有限子集()A σζ=()A σℜ=2A={}|B B X ⊂ 2 集合的势一、映射定义1 有关映射的一些概念（舍）见教材P9。
定理1 设:TX Y →为映射，则（1）()()1212;A A X A T A ⊂⊂⊂当时，有T （2）()()(),;T A T A A X αααααα∈Λ∈Λ∪=∪⊂∈Λ（3）()()(),;TA T A A X αααααα∈Λ∈Λ∩⊂∩⊂∈Λ（4）()()11212;B B Y B T B −⊂⊂⊂-1当时，有T（5）()()()11,;T B T B B Y αααααα−−∈Λ∈Λ∪=∪⊂∈Λ（6）()()()11,;T B TB B Y αααααα−−∈Λ∈Λ∩=∩⊂∈Λ（7）()()()11cc TB T B −−=由此看出原像集的性质保持比像集的性质保持要好注解：①、（3）中如：一个映射f 把X 全部映射成一个值，就可以造成左边为性质2集合A 是无限集的充要条件是A 与其某一真子集对等； （定理4） 性质3（至多可数集的性质） （定理5） （1）可数集A 的任一子集B 为至多可数集； （2）设12,,,n A A A 为至多可数集，则1ni i A =∪仍为至多可数集，如果12,,,n A A A 中至少有一个可数集，则1ni i A =∪为可数集；（3）设12,,,,n A A A 为至多可数集，则1i i A ∞=∪仍为至多可数集，如果12,,,,n A A A 中至少有一个可数集，则1i i A ∞=∪为可数集；（4）设12,,,n A A A 为可数集，则12n A A A ××× 为可数集。
（5）若集合{}12,,,|,1,,n a a a i i i A x a A A i n =∈= 为可数集，，则A 为可数集。
常用结论：①有理数集Q 是可数集，n R 中有理点集nQ 为可数集。
②1R中互不相交的开区间族是至多可数集。
定理6若Ａ为无限集，Ｂ是至多可数集，则A B ∪～A由证明归纳出两种证明对等的方法： （１）建立一一映射；设{}12,,B b b = 为可数集，A B ∩=∅，由性质１知，Ａ存在可数子集{}112,,A a a = ，作映射:f A B A ∪→()212,,1,2,,,1,2,,,,1,2,k k k k k k a x a k x f x a x b k x x a b k −==⎧⎫⎪⎪===⎨⎬⎪⎪≠=⎩⎭（2）要证A 与B 对等，可将A 和B 都分解为不交并，即1212,A A A B B B =∪=∪再分别证明1A ~1B ，2A ~2B()()()1111\,\\A A A A A B A A A B A =∪∪=∪∪⎡⎤⎣⎦注解：①、()\E F E F =∪②、以上两个定理表明，只要有了全部的G δ和F σ和全部的零测集，一切可测集都可以通过G δ型集与一零测集的差集或F σ型集与一零测集的并集获得。
定理7设A、B 分别为pR 和qR 中的可测集，若E A B =×，则E 为p qR+中的可测集，且mE mA mB =• 注解：定理证明中所用到的结论：① n R 开集的构造：n R ()2n ≥中非空开集G 是可数个互不相交的半开半闭区间的并集；② E 是可测集，则存在一列单调递减的开集列{}n G ，使得n E G ⊂，且1\0n n m G E ∞=⎛⎞∩=⎜⎟⎝⎠；或存在一列单调递增的闭集列{}n F ，使得n F E ⊂，且1\0n n m E F ∞=⎛⎞∪=⎜⎟⎝⎠。
（见教材P64课后习题20、21题）③ 当可测集A、B 无界时，A、B 分别都可以表示成一列互不相交的有界可测集的并集，即11,i j i j A A B B ∞∞===∪=∪，其中,i j A B 都是有界可测集。
④ 思路：由定理5（3）存在G δ集12,G G ，使121,,A G B G mA mG ⊂⊂=且()()212,\0,\0mB mG m G A m G B ===**12\,\A G A B G B ==记()()()()****12\\\E A B G G A B A B A B =×=××××第三章 可测函数1 可测函数的定义及简单性质一、可测函数的定义及等价定义 1、简单函数③几何意义为下方图形测度，即()(),Ex dx mG E ϕϕ=∫。
性质1设()(),x x ϕψ是可测集E 上非负简单函数，如果()()()x x x E ϕψ=∈，则 ()()()EEx dx x dx x E ϕψ=∈∫∫。
注解：上述定理说明非负简单函数的Lebesgue 积分与简单函数的表示形式无关。
性质2设()(),x x ϕψ是可测集E 上非负简单函数，则 （1）对任何非负实数c，有()()EEc x dx c x dx ϕϕ=∫∫；（2）()()()()E E E x x dx x dx x dx ϕψϕψ+=+⎡⎤⎣⎦∫∫∫； （3）若()()()x x x E ϕψ≤∈，则()()EEx dx x dx ϕψ≤∫∫，特别的，()()max Ex dx x mE ϕϕ≤⋅∫（经常用）；（4）若A，B 是E 的两个不交子集，则()()()A BABx dx x dx x dx ϕϕϕ=+∫∫∫∪。
证明要点：（2）()()()()1111,,,0,i j n mnmi A j B i j i j i j i j x a x x b x a b E A B ϕχψχ======≥==∑∑∪∪，且{}i A 与{}j B 均互不相交，则()()()()11i j n mi j A B i j x x a b x ϕψχ==+=+∑∑∩。
注解：设()x ϕ是可测集E 上非负简单函数，A 是E 的可测子集，则 ()()()A AEx dx x x dx ϕϕχ=∫∫。
设E 的有限不交分解为1n k k E E ==∪，则()1nk k E E A ==∪∩为A 的有限不交分解。
2 非负可测函数的Lebesgue 积分定理1设(){}(){},n n x x ϕψ是E 上单调增的非负简单函数列，如果 ()()lim lim n n n n x x ϕψ→∞→∞=，那么()()lim lim n n EEn n x dx x dx ϕψ→∞→∞=∫∫。
证明：令()()()lim lim n n n n x x f x ϕψ→∞→∞==，则()0f x ≥且在E 上可测。
由于(){}n x ϕ(){}nx ψ是E 上单调增，()()()11,,,n n n n G E f G E G E ϕψ∞∞====∪∪。
下证(),n G E ϕ，是单增集合列，()(),,n x y G E ϕ∀∈，有1,0n n x E y ϕϕ+∈≤≤≤ 从而()()1,,n x y G E ϕ+∈。
再用集合间互相包含证明()()1,,n n G E f G E ϕ∞==∪。
所以()(),lim ,lim n n En n mG E f mG E dx ϕϕ→∞→∞==∫。
定义1设f（x）是可测集E 上的非负可测函数，(){}n x ϕ是E 上的单调增且收敛 于f（x）的非负简单函数列，记()()lim n EEn f x dx x dx ϕ→∞=∫∫，称()Ef x dx ∫为f（x）在E 上的Lebesgue 积分。
注解：如果()Ef x dx <+∞∫，则称f（x）在E 上Lebesgue 可积。
由定理1有非负可测函数的Lebesgue 积分值与非负简单函数列(){}n x ϕ的选取无关。
性质 设f（x），g（x）是E 上的非负可测函数，则 （1）对任何非负实数c，有()()EEc x dx c x dx ϕϕ=∫∫；（2）()()()()E E E x x dx x dx x dx ϕψϕψ+=+⎡⎤⎣⎦∫∫∫； （3）若()()()f x g x x E ≤∈，则()()EEf x dxg x dx ≤∫∫；（4）若A，B 是E 的两不交可测子集，则()()()A BABf x dx f x dx f x dx =+∫∫∫∪；（5）若()(),..f x g x a e E =于，则()()EEf x dxg x dx =∫∫；（6）若A，B 是E 的可测子集，且A B ⊆，则()()ABf x dx f x dx ≤∫∫。