第3章-1刚体(回顾)包含第2章部分内容
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第3章刚体力学基础讲解
的转动惯量。
z
解：
dJ x2dm
dm o
dm dx m dx
x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l
0l
3l 0
J 1 ml2 3
例3-2 一质量为 m ，半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘中心并 与盘面垂直的轴的转动惯量。
解：dJ r 2dm
dm 2 rdr
J 2 R r3dr 0
第三章 刚体力学基础
§３-1 刚体定轴转动 运动学
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
• 刚体是实际物体的一种理想的模型
二. 刚体的运动
刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点 的轴线的转动 1.平动 运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保
F外力ri sin i F内力ri sin i miri2
相加
F外力ri sin i F内力ri sin i miri2
i
i
i
F内力ri sini 0 令 F外力ri sini M
i
J miri2 i
i
M J
转动定律
刚体作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
三. 刚体定轴转动的描述
1.角坐标 (t)
从上往下看，逆时针为正，顺时针为负
2.角速度 d 单位： rad s 1或 s 1
dt
刚体定轴转动：转动方向用正负表示
刚d体非0 定轴0转逆动时z：r针用转矢v动量;
d0 表示
0 P
0
顺时针转动
参考平面
x 参考轴
3.角加速度
第三章刚体力学
第三章 刚体力学
刚体：质点组——任意两点的距离不因受力而
改变
理想模型
研究思路：质点组的三大定理推广到刚体
刚体力学的内容：
刚体运动学 刚体动力学
刚体静力学
§3.1 刚体运动的分析
一、刚体的自由度
完全确定刚体位置的彼此独立的变量个数
如何 确定？
结论：刚体的独立坐标数是 6 .
如何 分配？ 3个平动+3转动
ri
xi
i
yi
j
zi
k
xi y j zk
J Jxi Jy j Jzk
J
x
I xx x
I xy y
I xz z
J y I yx x I yy y I yz z
J z I zx x I zy y I zz z
I xx mi ( yi2 zi2 )
i
I yy mi ( xi2 zi2 )
2、角速度矢量
lim
n
dn
t0 t dt
的大小： d
dt
角速度矢量
方向：沿转动瞬轴
角加速度矢量
lin
d
t0 t dt
五、刚体内任一点（位置矢量为 r）的线速度
v
dr
r
dt
§3.3 欧勒角
描述刚体定点转动 独立变量为3
那么选取怎样的三个独立坐标？
一、欧勒角的定义
o- 静系 o-xyz 动系 固定在刚体上，随刚体
在动系o-xyz上的投影：
xi y j zk
欧勒角
角 速 度 分 解 图
在动系上的分量
x cos
0 sin sin
y sin 0 sin cos
z
刚体：质点组——任意两点的距离不因受力而
改变
理想模型
研究思路：质点组的三大定理推广到刚体
刚体力学的内容：
刚体运动学 刚体动力学
刚体静力学
§3.1 刚体运动的分析
一、刚体的自由度
完全确定刚体位置的彼此独立的变量个数
如何 确定？
结论：刚体的独立坐标数是 6 .
如何 分配？ 3个平动+3转动
ri
xi
i
yi
j
zi
k
xi y j zk
J Jxi Jy j Jzk
J
x
I xx x
I xy y
I xz z
J y I yx x I yy y I yz z
J z I zx x I zy y I zz z
I xx mi ( yi2 zi2 )
i
I yy mi ( xi2 zi2 )
2、角速度矢量
lim
n
dn
t0 t dt
的大小： d
dt
角速度矢量
方向：沿转动瞬轴
角加速度矢量
lin
d
t0 t dt
五、刚体内任一点（位置矢量为 r）的线速度
v
dr
r
dt
§3.3 欧勒角
描述刚体定点转动 独立变量为3
那么选取怎样的三个独立坐标？
一、欧勒角的定义
o- 静系 o-xyz 动系 固定在刚体上，随刚体
在动系o-xyz上的投影：
xi y j zk
欧勒角
角 速 度 分 解 图
在动系上的分量
x cos
0 sin sin
y sin 0 sin cos
z
第三章刚体力学基础
（1）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。z
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
物理第三章刚体力学
sin Tl
cos
2 3
Tg2 Tg2 4
联立方程(1) (4)可得：
tg 3tg
说明：方程(3)也可用下式替换
2Tl cos 3mg 整体法
例3：有一重2Q的人字形梯子，由两个长为l 的均质杆组
成，DE处用无重柔绳拉住，放在光滑水平地面上，M处
站一重P的人，求平衡时绳子的张力。(已知：
M M1 M2
M1
二、自由刚体的运动微分方程
由质心运动定律(惯性系中)
m
d 2rc dt 2
F
即：mmxycc
Fx Fy
mzc Fz
①
由对质心的动量矩定理(平动质心系中)：
dJc dt
M c
即：
dJcx
dt
M cx
dJ cy dt
M cy
②
dJcz
dt
M cz
①、②即为刚体的基本微分方程
设刚体绕oz轴转动，则：
k
第i个质点的位矢：
ri xii yi j zik
则刚体对点o的动量矩为：
n
Jo ri mii i 1 n ri mi ( ri ) i 1
n
mi[ri ( ri )] i 1
n
Jo mi[ri ( ri )] i1
n
mi[ri2 ( ri )ri ] i1
动惯量Icz, OC l ,求复摆的周期。
解：刚体受重力和轴的支撑力作用，支撑力通过转轴
重力对oz轴的力矩为：
y
Mz mgl sin
根据定轴转动的第二转动定律
M z mgl sin Izz
z
对微小振动， 很小，从而 sin 得 动画演示
第三章_刚体力学基础讲解
第3章 刚体力学基础
§ 3.1 刚体 § 3.2 力矩 刚体定轴转动的描述 刚体定轴转动的转动定律
§ 3.3 刚体定轴转动的动能定理 § 3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒
定
律
1 首 页 上 页 下 页退 出
3.1 刚体
一、刚体的引入
刚体定轴转动的描述
刚体(rigid body) ：即形状和大小完全不变的 物体。是一理想模型。 通常把刚体分成许多部分，每一部分都小到可 看作质点，叫作刚体的质元。 由于刚体不变形，各质元间距离不变。
2 首 页 上 页 下 页退 出
二、刚体的基本运动 刚体最基本的运动方式是平动和转动 。 1、刚体的平动 在运动过程中，若刚体内部任意两质元间的 连线在各个时刻的位置都和初始时刻的位置 保持平行，这样的运动称为刚体的平动．
3 首 页 上 页 下 页退 出
2、刚体的转动 若刚体上各个质元都绕同一直线作 圆周运动，这样的运动称作刚体的 转动(rotation)，这条直线称为转 轴（这根轴可在刚体之内，也可在 刚体之外）。 非定轴转动：在刚体转动过程中，转轴的方 向或位置随时间变化。该转轴称为转动瞬 轴．如陀螺的旋进、车轮的滚动等。 定轴转动：转轴固定不动，即既不改变方向 又不发生平移。该转轴称为固定轴。
d t dt
6 首 页 上 页 下 页退 出
刚体定轴转动的特点: 所有质点的角量都相同 ； 质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比 。
vi ri
ai ri
ani ri
2
7 首 页 上 页 下 页退 出
3.2 力矩
一、力矩
刚体定轴转动的转动定律
1、力对固定点的力矩 1）定义：作用于质点的 力对惯性系中某参考点的 力矩，等于力的作用点对 该点的位矢与力的矢积， 即
§ 3.1 刚体 § 3.2 力矩 刚体定轴转动的描述 刚体定轴转动的转动定律
§ 3.3 刚体定轴转动的动能定理 § 3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒
定
律
1 首 页 上 页 下 页退 出
3.1 刚体
一、刚体的引入
刚体定轴转动的描述
刚体(rigid body) ：即形状和大小完全不变的 物体。是一理想模型。 通常把刚体分成许多部分，每一部分都小到可 看作质点，叫作刚体的质元。 由于刚体不变形，各质元间距离不变。
2 首 页 上 页 下 页退 出
二、刚体的基本运动 刚体最基本的运动方式是平动和转动 。 1、刚体的平动 在运动过程中，若刚体内部任意两质元间的 连线在各个时刻的位置都和初始时刻的位置 保持平行，这样的运动称为刚体的平动．
3 首 页 上 页 下 页退 出
2、刚体的转动 若刚体上各个质元都绕同一直线作 圆周运动，这样的运动称作刚体的 转动(rotation)，这条直线称为转 轴（这根轴可在刚体之内，也可在 刚体之外）。 非定轴转动：在刚体转动过程中，转轴的方 向或位置随时间变化。该转轴称为转动瞬 轴．如陀螺的旋进、车轮的滚动等。 定轴转动：转轴固定不动，即既不改变方向 又不发生平移。该转轴称为固定轴。
d t dt
6 首 页 上 页 下 页退 出
刚体定轴转动的特点: 所有质点的角量都相同 ； 质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比 。
vi ri
ai ri
ani ri
2
7 首 页 上 页 下 页退 出
3.2 力矩
一、力矩
刚体定轴转动的转动定律
1、力对固定点的力矩 1）定义：作用于质点的 力对惯性系中某参考点的 力矩，等于力的作用点对 该点的位矢与力的矢积， 即
第三章 刚体力学基础
取任一垂直于定轴Z的平面 S 作 为转动平面，刚体上的质点 P 用 角坐标θ、角位移∆θ、角速度ω、 角加速度β 描述。 dω d 2θ dθ β= = 2 ω= S dt dt dt 线量与角量转换：
ω
θ
P
X
v = ω×r, v = rw an = rω
2
aτ = rβ
5
思考题3-1 (p94) 一个绕定轴转动着的刚体有非零 的角速度和角加速度。刚体中的质点 A 离转轴的 距离是质点 B 的两倍，对质点 A 和质点 B，以下 各量的比值是多少？ 1. 角速率 2. 线速率 3. 角加速度的大小 4. 加速度的切向分量 5. 加速度的法向分量 6. 加速度的大小
Rsinθ
dθ
m dm = 2π rRdθ 2 4πR
J = ∫ r 2dm
π
θ
= 2∫ 2 mR2 sin 3 θdθ
0
2 = mR2 3
22
例5、质量为m 半径为R 的匀质球体绕过球心轴的 转动惯量 解:把球体看作无数个同心薄球壳的组合
3m 2 dm = 4πr dr = 3 r dr 4 3 R πR 3
Fi + fi = ∆mi ai
外力的合力 内力的合力
(假设 Fi 和 fi 都位于质点 i 所在的转动平面内)
O
r
τ
F
S
转动平面
ϕ Pn
将力分解为作用在质量元 mi 上的切向力和法向力
Fτ + fiτ = ∆mi aiτ = ∆mi ri β i Fin + fin = ∆mi ain
（不影响刚体的转动）
24
2
若刚体对通过质心 C 的某轴 CZ’ 的转动惯量为 JC，另有一与CZ’ 轴平行的任意轴线OZ，两轴线 之间的距离为 d ，刚体对 OZ 轴 的转动惯量为 J ，则有： J＝JC＋md2。
第三章 刚体力学
2
sin2
说明：求解连续体的转动惯量，关键问题是统一r 和dm 的积分
变量。并注意r 的物理含义。 例：(连续体与离散体的混合转动惯量)。将上述两个例题结合
起来，设杆上等间距地套上三个质量相等的小球，且杆的质
量也与小球质量相等。 求：系统的转动惯量 解：如果系统中既有连续体，又有离散体，只需要将连续体看
A.将刚体看作刚性连接的特殊质点、质点系，以质点、质点系
的运动规律来研究刚体的转动规律。
研究方案
B.将一般刚体运动看作为平动和转动的组合，而转动又看作为
绕固定转轴转动的组合。因此，研究刚体的转动，只需要研
究绕固定转轴的转动这样简单的情形。
C.考虑到前面已反复处理由单质点向质点系过渡方法，本章我
们直接按质点系方法处理问题)
上式成为
Mi miri2
ri fij rj f ji
i
i
当微元趋于无限小时
M r dm V
定义转动惯量 I r 2dm
V
绕定轴转动的转动定理 M I
讨论：A.关于转动惯量
转动惯量的物理意义：保持刚体原有转
z
x
Fi
ri i
i i
rj
fij
y
j
动连状续态体的原M因，是r转2d动m 惯性的量离度散。体转动I 惯量m的ir求i2 法：
§3.1 力矩的瞬时效应——刚体的转动定律
一 绕固定转轴的刚体转动定理 1.改变物体转动状态的原因——力矩 2.绕固定轴转动的刚体转动定理
内容结构请与平 动对应章节比较
3.刚体转动惯量的求解
二 绕定轴转动的转动定理的应用
一 绕固定转轴的刚体转动定理
1.改变物体转动状态的原因——力矩
第3章-刚体3.24
Liz mi ri vi mi ri
2
刚体对Oz轴的角动量为
Lz Liz mi ri ( mi ri )
2 2 i i i
令
J z mi ri
i
2
kg m
2
J z 为刚体对 Oz 轴的转动惯量。
Lz J z
2、转动惯量：（单位
kg m )
（2）转动惯量 J 是刚体转动惯性的量度
（3）瞬时性。同一时刻对同一刚体，同一转轴而言。
(4)在定轴转动中，M z 和 的方向均在转轴方位， 可用代数表示。
例4.一质量为m，长为l 的均质细杆，转轴在o点，距 A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动， 求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直 位置时的角速度和角加速度。
J J c md
2 2
同样得
1 l 2 J ml m ml 12 3 2 1
例二 求质量为 m，半径为 R 的细圆环和均匀 薄圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动 时的转动惯量。 解：（1）在圆环上取一质量元为
dm dl m 2 R dl
dl
x
任意点P(r,)的转动可代表整个刚体的转动.
在p点的转动平面内进行研究. 1 描述点P转动的物理量为:
(1). 角坐标 (t) 一般规定逆时针转动为正. (2).角速度 定义:
d dt
o
• P
r
• P
单位:
rad/s
x
>0
一般规定逆时针转动时 > 0 顺时针转动时 < 0 方向用右手法则确定.
W
z
大学物理第三章刚体力学PPT课件
精选
7
F is iin fis iin m ir i
两边同乘ri，得
F ir i siin fir i siin m ir i2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
F ir is ii n fir is ii n ( m ir i 2 )
密度为，则dm=dx，有：
Ox
dx
l
J0r2dm ll2 2x2dx1l32 1 1m 22 l
（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时：
JAr2dm0 lx2dx3 l31 3m2l
精选
12
例2 求质量为m、半径为R、厚 为h的均质圆盘对通过盘心并与 盘面垂直的轴的转动惯量。
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一 半径为r，宽度为dr的薄圆环，它的转动惯量为：
转动惯量与刚体的大小形状、质量分布以及转
轴的位置等有关。
精选
9
一般的情况下刚体质量是连 续分布的，把它分割成无限多个 微小部分，其中质量为dm的小块 到转轴的垂直距离为r，则它对该 转轴的转动惯量为
dJr2dm
r dm
积分得到整个刚体对相应转轴的转动惯量为
J r2dm
精选
10
常见刚体的转动惯量
MF 2dF 2rsin
精选
5
若F位于转动平面内，则上式简化为
MFd Fsri n
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
M rF
第3章刚体总结
P − N1 = 0
v N2
Ff − N 2 = 0
以支点O为转动中心， 以支点 为转动中心，梯子受 为转动中心 的合外力矩： 的合外力矩：
v P θ v
l
r N1
Ff
o
l P cos θ − N 2 l sin θ = 0 2
第三章 刚体转动
P Ff = N 2 = cot θ 2
刚体的转动内容提要
第三章 刚体转动
刚体的转动内容提要
大学物理学
刚体的转动内容提要 一. 刚体的定轴转动 匀变速转动
大学物理学
ω = ω 0 + 2α (θ − θ 0 )
2 2
1 2 θ = θ 0 + ω 0t + α t 2
ω = ω 0 + αt
二. 刚体的定轴转动定律 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩 合外力矩成 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 转动惯量成反比 正比，与刚体的转动惯量 正比，与刚体的转动惯量成反比 .
大学物理学
m1 = 8 .0 kg m2 = 4.0kg
Mf = C
t 2 = 25s
大学物理学
B F =Mg
v T
v Mg
（C） αA<αB ; ） （D）无法确定 ）无法确定. B
aA Tr = Jα A = J r Mg − T = Ma A
aB Fr = Mgr= JαB = J r
第三章 刚体转动
刚体的转动内容提要
大学物理学
人造地球卫星, 绕地球作椭圆轨道运动, 例 人造地球卫星 绕地球作椭圆轨道运动 地球 在椭圆的一个焦点上, 则卫星的： 在椭圆的一个焦点上 则卫星的： (A) 动量不守恒 动能守恒 动量不守恒, 动能守恒; (B) 动量守恒 动能不守恒 动量守恒, 动能不守恒; (C) 角动量守恒 动能不守恒 角动量守恒, 动能不守恒; (D) 角动量不守恒 动能守恒 角动量不守恒, 动能守恒.
v N2
Ff − N 2 = 0
以支点O为转动中心， 以支点 为转动中心，梯子受 为转动中心 的合外力矩： 的合外力矩：
v P θ v
l
r N1
Ff
o
l P cos θ − N 2 l sin θ = 0 2
第三章 刚体转动
P Ff = N 2 = cot θ 2
刚体的转动内容提要
第三章 刚体转动
刚体的转动内容提要
大学物理学
刚体的转动内容提要 一. 刚体的定轴转动 匀变速转动
大学物理学
ω = ω 0 + 2α (θ − θ 0 )
2 2
1 2 θ = θ 0 + ω 0t + α t 2
ω = ω 0 + αt
二. 刚体的定轴转动定律 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩 合外力矩成 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 转动惯量成反比 正比，与刚体的转动惯量 正比，与刚体的转动惯量成反比 .
大学物理学
m1 = 8 .0 kg m2 = 4.0kg
Mf = C
t 2 = 25s
大学物理学
B F =Mg
v T
v Mg
（C） αA<αB ; ） （D）无法确定 ）无法确定. B
aA Tr = Jα A = J r Mg − T = Ma A
aB Fr = Mgr= JαB = J r
第三章 刚体转动
刚体的转动内容提要
大学物理学
人造地球卫星, 绕地球作椭圆轨道运动, 例 人造地球卫星 绕地球作椭圆轨道运动 地球 在椭圆的一个焦点上, 则卫星的： 在椭圆的一个焦点上 则卫星的： (A) 动量不守恒 动能守恒 动量不守恒, 动能守恒; (B) 动量守恒 动能不守恒 动量守恒, 动能不守恒; (C) 角动量守恒 动能不守恒 角动量守恒, 动能不守恒; (D) 角动量不守恒 动能守恒 角动量不守恒, 动能守恒.