2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案解析44030
广东省五校2018届高三1月联考数学(理)试卷(Word版,含答案)
广东省五校2018届高三1月联考数学（理）试题本试卷共23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
写在本试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=N*，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{2，4，6}2．已知i是虚数单位，复数z满足（i﹣1）z=i，则z的虚部是（）A．B．C．D．3. 已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|=p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF=（）A．45°B．30°C．15°D．60°4．在区间上任选两个数x和y，则y＜sinx的概率为（）A ．B ．C ．D ．5．已知，函数y=f （x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（ ） A ． B ．C ．D ．6．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm 的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（ ） A ．3cm B ． 4cm C ．5cm D ．6cm7．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出的y 的值为（ ）A ．2B ．﹣1C ．﹣D ．﹣8．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．1条或2条 9.已知实数x ，y 满足，则z=2|x ﹣2|+|y|的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．310．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0），过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．（1，）B ．（1，2）C ．（，+∞）D ．（2，+∞）11．关于曲线C ：142=+y x 给出下列四个命题： （1）曲线C 有两条对称轴，一个对称中心（2）曲线C 上的点到原点距离的最小值为1 （3）曲线C 的长度l 满足24>l（4）曲线C 所围成图形的面积S 满足4<<S π 上述命题正确的个数是A ．1 B. 2 C. 3 D. 412．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ），当x ∈[0，2]时，f （x ）=，函数g （x ）=x 3+3x 2+m ．若对任意s ∈[﹣4，﹣2），存在t ∈[﹣4，﹣2），不等式f （s ）﹣g （t ）≥0成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣12]B ．（﹣∞，14]C ．（﹣∞，﹣8]D ．（﹣∞，]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在二项式nxx )1(-的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是 ． 14．已知=（，），||=1，|+2|=2，则在方向上的投影为 ．15．两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为 ．16．已知数列{}n a 满足：1a 为正整数，⎪⎩⎪⎨⎧+=+为奇数，为偶数n nn nn a a a a a 13,21，如果1a =1，则 2018321....a a a a ++++= ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝10，cos B ＝255，D 为AC 的中点，求BD 的长．18．如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，△ABD 是正三角形，△BCD 是等腰三角形，∠BCD=120°，EC ⊥BD ． （1）求证：BE=DE ； （2）若AB=2，AE=3，平面EBD ⊥平面ABCD ，直线AE 与平面ABD 所成的角为45°，求二面角B ﹣AE ﹣D 的余弦值．19．据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（1）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价； （2）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X ，求X 的分布列和数学期望． 参考数据： =25，=5.36，=0.64（说明：以上数据i i y x ,为3月至7月的数据）回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且•为定值．（1）求椭圆E的方程；（2）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求a的值；（3）设g（x）=xf（x），若a＞0，对于任意的两个正实数x1，x2（x1≠x2），证明：2g（）＜g（x1）+g（x2）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）设点P（3，4），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．（1）解不等式f（x）＞5；（2）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．广东省五校协作体2018届高三第一次联考理科数学参考答案及评分细则一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.二、填空题：每题5分，满分20分. 13. 56- 14. 41-15. 109 16. 4709 三、解答题：满分70分.17．(1)因为2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )·sin C ，由正弦定理得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ， ………（1分） 整理得2a 2＝2b 2＋2c 2－2bc ， ……………(2分) 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2bc 2bc ＝22， ……………（4分） 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π4. ……………（5分） (2)由cos B ＝255，得sin B ＝1－cos 2B ＝1－45＝55， ……………（6分）所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－⎝⎛⎭⎫22×255－22×55＝－1010，……8分由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝10×5522＝2， ………（9分）所以CD ＝12AC ＝1， ………………………（10分） 在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝(10)2＋12－2×1×10×⎝⎛⎭⎫－1010＝13，…（11分）所以BD ＝13. ………（12分） 18．证明：（Ⅰ）取BD 中点O ，连结CO ，EO ，∵△BCD 是等腰三角形，∠BCD=120°，∴CB=CD ，∴CO ⊥BD ，………………………（2分） 又∵EC ⊥BD ，EC∩CO=C ，∴BD ⊥平面EOC ，∴EO ⊥BD ， ………………………（4分） 在△BDE 中，∵O 为BD 的中点，∴BE=DE ． ………（5分）（Ⅱ）∵平面EBD⊥平面ABCD，平面EBD∩平面ABCD=BD，EO⊥BD，∴EO⊥平面ABCD，……… （6分）又∵CO⊥BD，AO⊥BD，∴A，O，C三点共线，AC⊥BD，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，在正△ABCD中，AB=2，∴AO=3，BO=DO=，………（7分）∵直线AE与平面ABD所成角为45°，∴EO=AO=3，………（8分）A（3，0，0），B（0，，0），D（0，﹣，0），E（0，0，3），=（﹣3，，0），=（﹣3，﹣，0），=（﹣3，0，3），………（9分）设平面ABE的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，，1），………（10分）设平面ADE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，1），………（11分）设二面角B﹣AE﹣D为θ，则cosθ===．∴二面角B﹣AE﹣D的余弦值为．………（12分）19．解：（Ⅰ）由题意月份x 3 4 5 6 7均价y 0.95 0.98 1.11 1.12 1.20=5，=1.072，………（1分）=10，………（2分）∴==0.064，………（3分）=﹣=0.752，………（4分）∴从3月到6月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75，………（5分）x=12时，y=1.47．即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米；（6分）（Ⅱ）X的取值为1，2，3，………（7分）P（X=1）==，P（X=3）==，P（X=2）=1﹣P（X=1）﹣P（X=3）=，………（10分）X的分布列为X 1 2 3P………（11分）E（X）=1×+2×+3×=．………（12分）20．解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，………（1分）又椭圆E的离心率为，得a=，………（2分）于是有b2=a2﹣c2=1．故椭圆Γ的标准方程为：．………（3分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0 ………（4分），………（5分），==（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣=．………（7分）要使•为定值，则，解得m=1或m=（舍）………（8分）当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=，………（9分）点O到直线AB的距离d=，………（10分）△OAB面积s==．………（11分）∴当t=0，△OAB面积的最大值为，………（12分）21．解：（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，，………（1分）令f′（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．………（2分）f（x）max=f（1）=﹣1．∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为﹣1，………（3分）（2）∵．………（4分）①若，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上是增函数，∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0，不合题意，………（5分）②若，则由，即由，即，从而f（x）在（0，﹣）上增函数，在（﹣，e]为减函数………（6分）∴令，则，∴a=﹣e2，………（7分）（3）证明：∵g（x）=xf（x）=ax2+xlnx，x＞0∴，………（8分）∴g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1令，………（9分）∴，∵，∴………（10分）而h（x1）=0，知x＞x1时，h（x）＞0故h（x2）＞0，即………（12分）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），得直线l的普通方程为x+y﹣7=0．（2分）又由ρ=6sinθ得圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=9；……… （5分）（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得2t22t10-+=，设t1、t2是上述方程的两实数根，……… （7分）所以t1+t2=2，t1t2=1，……… （8分）∴t1＞0，t2＞0，所以+= 22. ……… （10分）[选修4-5：不等式选讲]23．解：（Ⅰ）解不等式|x﹣2|+|2x+1|＞5，………（1分）x≥2时，x﹣2+2x+1＞5，解得：x＞2；………（2分）﹣＜x＜2时，2﹣x+2x+1＞5，无解，………（3分）x≤﹣时，2﹣x﹣2x﹣1＞5，解得：x＜﹣，………（4分）故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）；………（5分）（Ⅱ）f（x）=|x﹣2|+|2x+1|=，………（7分）故f（x）的最小值是，所以函数f（x）的值域为[，+∞），………（8分）从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣，+∞），进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）．………（9分）根据已知关于x的方程=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣，0]．………（10分）。
普通高中学业水平考试
2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，则M N = （ ）A .{}0,1,2B .{}1,0,1-C .MD .N2、对任意的正实数,x y ，下列等式不成立的是（ ）A .lg lg lg y y x x -=B .lg()lg lg x y x y +=+C .3lg 3lg x x =D .ln lg ln10x x = 3、已知函数31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，设(0)f a =，则()=f a （ ） A .2-B .1-C .12D .0 4、设i 是虚数单位，x 是实数，若复数1x i +的虚部是2，则x =（ ） A .4B .2C .2-D .4-5、设实数a 为常数，则函数2()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是（ ） A .1a ≤B .1a >C .14a ≤D .14a > 6、已知向量(1,1)a = ，(0,2)b = ，则下列结论正确的是（ ）A .//a bB .(2)a b b -⊥C .a b =D .3a b =7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）A .69和B .96和C .78和D .87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）A .1B .2C .4D .89、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A .0B .1-C .32-D .2- 10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）A .DA DC AC -=B .DA DC DO +=C .OA OB AD DB -+= D .AO OB BC AC ++=11、设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若2,a b c ==，则C =（ ） A .56πB .6πC .23πD .3π 12、函数()4sin cos f x x x =，则()f x 的最大值和最小正周期分别为（ ）A .2π和B .4π和C .22π和D .42π和13、设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =12PF PF +=（ ）A .4B .8C.D.14、设函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()f x 为奇函数，若10x <，20x >，则下列结论不正确的是（ ）A .(0)0f =B .1()0f x >C .221()(2)f x f x +≤D .111()(2)f x f x +≤ 15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则22212n a a a +++= （ ）A .24(21)n -B .124(21)n -+C .4(41)3n -D .14(42)3n -+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线221916x y -=的离心率为.17、若2sin()23πθ-=，且0θπ<<，则tan θ=. 18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为.19、圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是.三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列{}n a 满足138a a +=，且61236a a +=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12b =，112n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .21、如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，PB BC =，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 分别交AC PC ，于点,D E .（1）证明：//EF ABP 平面；（2）证明：BD AC ⊥.2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷答案一、选择题1、B2、B3、C4、D5、C6、B7、A8、C9、D10、A11、A12、B13、C二、填空题16、53174922(4)(2)2x y -++= 三、解答题20、 (1)数列{}n a 的通项公式为2n a n =.(2) 22(1)2(2)232n n n S n n n n n n -∴=+⨯-=-+=-+。
(完整版)2018年的1月广东省普通高中的学业水平考试数学试卷真的题目及答案详解解析汇报
2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）1、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合，，则（ ）{}1,0,1,2M =-{}|12N x x =-≤<M N = . . . .A {}0,1,2B {}1,0,1-C M D N2、对任意的正实数，下列等式不成立的是（ ）,x y . ...A lg lg lgyy x x-=B lg()lg lg x y x y +=+C 3lg 3lg x x =D ln lg ln10x x =3、已知函数，设，则（ ）31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩(0)f a =()=f a . . ..A 2-B 1-C 12D 04、设是虚数单位，是实数，若复数的虚部是2，则（ ）i x 1xi+x =. . . .A 4B 2C 2-D 4-5、设实数为常数，则函数存在零点的充分必要条件是（ ）a 2()()f x x x a x R =-+∈. . . .A 1a ≤B 1a >C 14a ≤D 14a >6、已知向量，，则下列结论正确的是（ ）(1,1)a = (0,2)b =. . . .A //a b B (2)a b b -⊥C a b =D 3a b = A7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）. . . .A 69和B 96和C 78和D 87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）. .. .A 1B 2C 4D 89、若实数满足，则的最小值为,x y 1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩2z x y =-（ ）. . . .A 0B 1-C 32-D 2-10、如图，是平行四边形的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）o ABCD . .A DA DC AC -=B DA DC DO +=. .C OA OB AD DB -+= D AO OB BC AC++= 11、设的内角的对边分别为，若，则（ ）ABC A ,,A B C ,,a b c 2,a b c ===C =.. . .A 56πB 6πC 23πD 3π12、函数，则的最大值和最小正周期分别为（ ）()4sin cos f x x x =()f x . . . .A 2π和B 4π和C 22π和D 42π和13、设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若P 2221(2)4x y a a +=>12F F ，12F F =（ ）12PF PF +=. . . .A 4B 8C D 14、设函数是定义在上的减函数，且为奇函数，若，，则下列结论不()f x R ()f x 10x <20x >正确的是（ ）. . . .A (0)0f =B 1()0f x >C 221((2)f x f x +≤D 111()(2)f x f x +≤15、已知数列的前项和，则（ ）{}n a n 122n n S +=-22212n a a a +++= . . ..A 24(21)n -B 124(21)n -+C 4(41)3n -D 14(42)3n -+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线的离心率为 .221916x y -=17、若，且，则 .2sin()23πθ-=0θπ<<tan θ=18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .19、圆心为两直线和的交点，且与直线相切的圆的标20x y +-=3100x y -++=40x y +-=准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列满足，且.{}n a 138a a +=61236a a +=（1）求的通项公式；{}n a（2）设数列满足，，求数列的前项和.{}n b 12b =112n n n b a a ++=-{}n b n n S 21、如图所示，在三棱锥中，，，为的中点，垂P ABC -PA ABC ⊥平面PB BC =F BC DE 直平分，且分别交于点.PC DE AC PC ，,D E （1）证明：；//EF ABP 平面（2）证明：.BD AC ⊥2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、B 解析：，故选B.{}101M N =- ，，2、B 解析：对于B 项，令，则，而，显然不成1x y ==lg()lg 2lg10x y +=>=lg lg 0x y +=立，故选B.3、C 解析： ，故选C.3(0)011a f ==-=- 11()(1)22f a f -∴=-==4、D 解析： ，故选D.(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++-242xx ∴-=⇒=-5、C 解析：由已知可得，，故选C.11404a a ∆=-≥⇒≤6、B 解析：对于A 项，，错误；12-010⨯⨯≠对于B 项，，，则，正确；2(2,0)a b -= (0,2)b = 20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥对于C 项，，错误；2a = 对于D 项，，错误. 故选B.10122a b =⨯+⨯=A7、A 解析：抽样比为，则应抽取的男生人数为，应抽取的女生人数1535010k ==320=6()10⨯人为，故选A.3(5020)9()10-⨯=人8、C解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为，故选C.2214V =⨯⨯=9、D 解析：（快速验证法）交点为，则分别为，所以11(0,1),(0,0),(,22-2z x y =-32,0,2--的最小值为，故选D.z 2-10、D 解析：对于A 项，，错误；DA DC CA -=对于B 项，，错误；2DA DC DO +=对于C 项，，错误；OA OB AD BA AD BD -+=+=对于D 项，，正确. 故选D.AO OB BC AB BC AC ++=+=11、A解析：由余弦定理，得，又222cos 2a b c C ab +-=== ，故选A.0C π<< 5=6C π∴12、A 解析：，最小正周期为，故选A. ()2sin 2f x x = max ()2f x ∴=22T ππ==13、B 解析：122F F c c ==⇒= 22224164a cb a ∴=+=+=⇒=，故选B.122248PF PF a ∴+==⨯=14、D 解析：对于A 项，为上的奇函数 ，正确；()f x R (0)0f ∴=对于B 项，为上的减函数 ，正确；()f x R 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=对于C 项，20x > 222221121x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立)，正确；221()(2)f x f x ∴+≤对于D 项， 10x < 111111(2x x x x ∴+=--+≤-=--ll，错误. 故选D.111()(2)(2)f x f fx∴+≥-=-15、C 解析：当时，；当时，2n≥1122(22)2222n n n n nn n na S S+-=-=---=⨯-=1n=适合上式. 是首项为，公比211222a S==-=222()(2)4n n nn na n N a*∴=∈⇒=={}2n a∴4为的等比数列，故选C.4222124(14)4(41)143n nna a a--∴+++==-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、解析：由已知，得532293,164a ab b=⇒==⇒= 222916255c a b c∴=+=+=⇒=双曲线的离心率为.∴53cea==17解析：，且2sin()cos23πθθ-==0θπ<< sinθ∴===.sin3tancos2θθθ∴===18、解析：.49224339P⨯==⨯19、解析：联立得22(4)(2)2x y-++=203100x yx y+-=⎧⎨-++=⎩4(4,2)2xy=⎧⇒-⎨=-⎩圆心为则圆心到直线的距离为(4,2)-40x y+-=d圆的标准方程为.∴22(4)(2)2x y-++=3、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列的公差为.{}n a d ∴1311161211828236511362a a a a d a a a a d a d d +=++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+=+++==⎩⎩⎩ 数列的通项公式为.2(1)22n a n n ∴=+-⨯=∴{}n a 2n a n =（2）由（1）知， 2n a n =1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+ 又适合上式 2(1)224n b n n ∴=--+=-+12b = 24()n b n n N *∴=-+∈ 数列是首项为，公差为的等差数列.122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=-∴{}n b 22-22(1)2(2)232n n n S n n n n n n -∴=+⨯-=-+=-+21、解：（1）证明：垂直平分 为的中点DE PC E ∴PC 又为的中点 为的中位线 F BC EF ∴BCP A //EF BP∴又 ,EF ABP BP ABP ⊄⊂ 平面平面//EF ABP∴平面（2）证明：连接BE，为的中点 PB BC = E PC PC BE∴⊥垂直平分 DE PC PC DE∴⊥又， BE DE E = ,BE DE BDE ⊂平面PC BDE∴⊥平面又 BD BDE ⊂ 平面PC BD∴⊥ ,PA ABC BD ABC ⊥⊂平面平面PA BD∴⊥又， PC PA P = ,PC PA PAC ⊂平面BD PAC∴⊥平面又 AC PAC ⊂ 平面BD AC∴⊥。
2018年广东省中考数学真题(学业水平考试+word版+答案解析)
2018年广东中考数学试题一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．1．四个实数0、13、 3.14-、2中，最小的数是 A ．0 B ．13 C ． 3.14- D ．22．据有关部门统计，2018年“五一小长假”期间，广东各大景点共接待游客约14420000人次，将数14420000用科学记数法表示为A ．71.44210⨯B ．70.144210⨯C ．81.44210⨯D ．80.144210⨯3．如图，由5个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图是A ．B ．C ．D ．4．数据1、5、7、4、8的中位数是A ．4B ．5C ．6D ．75．下列所述图形中，是轴对称图形但不是．．中心对称图形的是 A ．圆 B ．菱形 C ．平行四边形 D ．等腰三角形6．不等式313x x -≥+的解集是A ．4x ≤B ．4x ≥C ．2x ≤D ．2x ≥7．在△ABC 中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则ADE 与△ABC 的面积之比为A ．12B ．13C ．14D ．168．如图，AB ∥CD ，则100DEC ∠=︒，40C ∠=︒，则B ∠的大小是A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°9．关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为A ．94m < B ．94m ≤ C ．94m > D ．94m ≥ 10．如图，点P 是菱形ABCD 边上的一动点，它从点A 出发沿A B C D →→→路径匀速运动到点D ，设△PAD 的面积为y ，P 点的运动时间为x ，则y 关于x 的函数图象大致为11. 同圆中，已知弧AB 所对的圆心角是 100，则弧AB 所对的圆周角是 .12. 分解因式：=+-122x x .13. 一个正数的平方根分别是51-+x x 和，则x= .14. 已知01=-+-b b a ，则=+1a .15.如图，矩形ABCD 中，2,4==CD BC ,以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ，连接BD ，则阴影部分的面积为 .（结果保留π）16.如图，已知等边△11B OA ，顶点1A 在双曲线)0(3>=x xy 上，点1B 的坐标为（2，0）.过1B 作121//OA A B 交双曲线于点2A ，过2A 作1122//B A B A 交x 轴于点2B ，得到第二个等边△221B A B ；过2B 作2132//A B A B 交双曲线于点3A ，过3A 作2233//B A B A 交x 轴于点3B ,得到第三个等边△332B A B ；以此类推，…，则点6B 的坐标为三、解答题（一）17．计算：1-0212018-2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+18．先化简，再求值：.2341642222=--⋅+a a a a a a ，其中19．如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，︒=∠75CBD ，（1）请用尺规作图法，作AB 的垂直平分线EF ，垂足为E ，交AD 于F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF ,求DBF ∠的度数.20．某公司购买了一批A 、B 型芯片，其中A 型芯片的单价比B 型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A 型芯片的条数与用4200元购买B 型芯片的条数相等。
2018-2019学年广东省普通高中1月学业水平考试模拟数学试卷Word版含答案
2018-2019学年广东省普通高中1月学业水平考试模拟数学试卷(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．若复数z满足i·z＝－12(1＋i)，则z的共轭复数的虚部是()A．－12i B.12i C．－12 D.12解析：z＝－12（1＋i）i＝12i(1＋i)＝－12＋12i，共轭复数为－12－12i，虚部为－12.故选C.答案：C2．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝()A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}解析：借助数轴可得{x|2＜x＜3}．答案：C3．定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是()A．4 B．3 C．2 D．1解析：函数y＝x3，y＝2sin x为奇函数，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2，故选C.答案：C4．命题“任意x∈R，x2≠x”的否定是()A ．任意x ∉R ，x 2≠xB ．任意x ∈R ，x 2＝xC ．存在x ∉R ，x 2≠xD ．存在x ∈R ，x 2＝x解析：全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x ∈R ，x 2≠x ”的否定是“存在x ∈R ，x 2＝x ”．答案：D5．若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．3解析：等差数列中，设S 2＝a 1＋a 2＝x ，则a 3＋a 4＝S 4－S 2＝4－x ，a 5＋a 6＝S 6－S 4＝8，则S 2，S 4－S 2，S 6－S 4仍成等差数列，所以2(4－x )＝x ＋8，解得x ＝0，即S 2＝0故选B.答案：B6．如图，三棱锥V -ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其主视图的面积为23，则其左视图的面积为( )A.32B.33C.34D.36解析：由题意知，该三棱锥的主视图为△VAC ，作VO ⊥AC 于O ，连接OB ，由VA ＝VC ，知O 为AC 中点，∴OB ⊥AC ，又平面VAC ⊥平面ABC ，∴VO ⊥平面ABC ，∴VO ⊥OB ，设底面边长为2a ，高VO ＝h ，则△VAC 的面积为12×2a ×h ＝ah ＝23.又三棱锥的左视图为Rt △VOB ，在正三角形ABC 中，高OB ＝3a ，∴左视图的面积为12OB ·VO ＝12×3a ×h ＝32ah ＝32×23＝33.答案：B7．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24，7)B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 解析：根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.答案：B8．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53 B ．－59 C.59 D.53解析：利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解．∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13，∵2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23.又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33＞0，∴2k α＋α2＜α＜2k α＋34α(k ∈Z)，∴4k α＋α＜2α＜4k α＋32α(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53.答案：A9．已知双曲线C ：x 2－y 28＝1，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝22xC ．y ＝－22xD ．y ＝±24x解析：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x 且a ＝1，b ＝22，所以答案为A.答案：A10．若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z ＝2y －2x ＋4的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8解析：作出满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域，如图所示，作直线l 1：2y －2x＝t ，当l 1经过B (1，1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.故选B. 答案：B11．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(cos θ，sin θ)，若a ∥b ，则tan θ＝( )A.33 B. 3 C ．－33D ．－ 3 解析：∵a ∥b ，∴sin θ－3cos θ＝0，即sin θ＝3cos θ.故tan θ＝ 3.答案：B12．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4B.π－22C.π6D.4－π4解析：如图所示，区域D 是正方形OABC ，且区域D 的面积S ＝4.又阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积S 阴＝4－π，所以所求事件的概率P ＝4－π4.答案：D13．设函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为M ，则( )A ．T ＝π，M ＝1B ．T ＝2π，M ＝1C ．T ＝π， M ＝2D ．T ＝2π，M ＝2解析：由于三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的最小正周期T ＝2αω，最大值为A ＋B ；∴函数y ＝2sin2x －1的最小正周期T＝2α2＝α，最大值M ＝2－1＝1. 答案：A14．已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n 解析：∵n ⊥β，且α，β交于直线l .l ⊂β，∴n ⊥l .答案：C15．已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均值为2，方差为1，则2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1，平均值和方差分别为( )A ．5，4B ．5，3C ．3，5D ．4，5解析：一组数据x 1，x 2，x 3…，x n 的平均值为2，所以数据2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，…，2x n ＋1的平均数是2×2＋1＝5；又数据x 1，x 2，x 3，…x n 的方差为1，所以数据2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，…，2x n ＋1的方差是22×1＝4，故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)16．f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________．解析：f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2. 答案：－217．经过点(－2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________．解析：设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求．答案：2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝018．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2 000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生________人．解析：由题意知抽取女生97人，设该校共有女生x 人．则x ×2002 000＝97，解得x ＝970. 答案：97019．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝______．解析：由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，由勾股定理可得T 2＝（22）2－22，∴T ＝4，∴ω＝α2.答案：α2三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)在如图所示坐标系中画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －α4＋1的振幅为2，最小正周期T ＝2α2＝α，初相为－α4.(2)列表并描点画出图象： 故函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－α2，α2上的图象是21．(12分)如图所示，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1C 1和BC 的中点．(1)求证：EF ∥平面AA 1B 1B ；(2)若AA 1＝3，AB ＝23，求EF 与平面ABC 所成的角．(1)证明：如图所示，取A 1B 1的中点D ，连接DE ，BD .因为E 是A 1C 1的中点，所以DE 綊12B 1C 1.又因为BC 綊B 1C 1，BF ＝12BC ，所以DE 綊BF .所以四边形BDEF 为平行四边形． 所以BD ∥EF .又因为BD ⊂平面AA 1B 1B ，EF ⊄平面AA 1B 1B ， 所以EF ∥平面AA 1B 1B .(2)解：如图所示，取AC 的中点H ，连接HF ，EH .因为EH ∥AA 1，AA 1⊥平面ABC ， 所以EH ⊥平面ABC .所以∠EFH 就是EF 与平面ABC 所成的角． 在Rt △EHF 中，FH ＝3，EH ＝AA 1＝3， 所以∠EFH ＝60°.故EF 与平面ABC 所成的角为60°.。
2018学年1月广东省普通高中数学学业水平考试模拟试卷(一)+Word版含解析10
学业水平考试模拟试卷(一)(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1＝1＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－2B ．2C ．1－iD ．1＋i2．若集合M ＝{－1，1}，N ＝{－2，1，0}，则M ∩N ＝( )A ．{0，－1}B ．{0}C ．{1}D ．{－1，1}3．已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3 C. 3 D ．15．函数f (x )＝2x ＋1的定义域是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 D ．(－∞，＋∞) 6．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．47．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )A ．a >b >－b >－aB ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b8．函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1的是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．1410．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－711．当x ＞0时，下列不等式正确的是( )A ．x ＋4x ≥4B ．x ＋4x ≤4C ．x ＋4x ≥8D ．x ＋4x≤8 12．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．313．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )A.15B.25C.825D.92514．设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件15．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)16．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．17．某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77则这组数据的中位数是________米．18．已知直线x＝－2交椭圆x225＋y221＝1于A，B两点，椭圆的右焦点为F点，则△ABF的周长为________．19．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．三、解答题(本大题共2个题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且3a＝2c sin A.(1)求角C的大小；(2)若a＝2，且△ABC的面积为332，求c的值．21．(12分)已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD 是正方形，E是PA的中点．求证：(1)PC∥平面EBD；(2)平面PBC⊥平面PCD.学业水平考试模拟试卷解析：(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分) 1．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝1＋i，则z1z2＝()A．－2B．2C．1－i D．1＋i解析：由题意，得z1＝1＋i，z2＝1－i，则z1z2＝(1＋i)(1－i)＝2；故选B.答案：B2．若集合M＝{－1，1}，N＝{－2，1，0}，则M∩N＝()A．{0，－1} B．{0} C．{1} D．{－1，1}解析：M∩N＝{1}，故选C.答案：C3．已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1 C．1 D．3解析：本题考查函数的奇偶性．令x＝－1可得f(－1)－g(－1)＝1⇒f(1)＋g(1)＝1，故选C.答案：C4．直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB 的长度等于()A．2 5 B．2 3 C. 3 D．1解析：利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋（3）2＝1，半径r＝2，∴弦长|AB |＝2r 2－d 2＝222－12＝2 3.答案：B5．函数f (x )＝2x ＋1的定义域是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 D ．(－∞，＋∞) 解析：由2x ＋1≥0，解得x ≥－12，故选B. 答案：B6．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．4解析：(2a －b )·b ＝(3，x )·(－1，x )＝x 2－3＝0，∴x ＝±3，∴|a |＝2.答案：C7．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )A ．a >b >－b >－aB ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b解析：∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0.∴－a <0，b >－a .∴－a <b <0<－b <a .答案：C8．函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1的是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数解析：因为y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，且为奇函数，故选A. 答案：A9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．14解析：由不等式组，作出可行域如下：在点A (2，3)处，z ＝3x ＋y 取最大值为9.答案：C10．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7解析：法一利用等比数列的通项公式求解．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎨⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.答案：D11．当x ＞0时，下列不等式正确的是( )A ．x ＋4x ≥4B ．x ＋4x ≤4C ．x ＋4x ≥8D ．x ＋4x≤8解析：由均值不等式可知，当x ＞0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时取“＝”，故选A.答案：A 12．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知a ＝5，c＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3解析：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋22－524b ＝23，∴b ＝3，答案选D.答案：D13．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825 D.925解析：从5人中选2人共有10种选法，其中有甲的有4种选法，所以概率为410＝25. 答案：B14．设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：a ＞1可以推出a 2＞1，但反过来由a 2＞1，不能推出故答案为A.答案：A15．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在平面直角坐标系中，作出变量x ，y 的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当z ＝2x ＋y 过点B (2，0)时，z 最大，所以z max ＝4，所以z ＝2x ＋y 的最大值4.故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)16．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．解析：由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.答案：1517．某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77则这组数据的中位数是________米．解析：由小到大排列为1.69，1.72，1.75, 1.77，1.78, 1.80.中位数是1.75＋1.772＝1.76. 答案：1.7618．已知直线x ＝－2交椭圆x 225＋y 221＝1于A ，B 两点，椭圆的右焦点为F 点，则△ABF 的周长为________．解析：椭圆x225＋y221＝1，所以c2＝a2－b2＝25－21＝4，又直线x＝－2经过椭圆x225＋y221＝1的左焦点F1，且椭圆的右焦点为F，由椭圆的定义可知，△ABF的周长为AF＋BF＋AB＝AF＋AF1＋BF＋BF1＝4a ＝4×5＝20.答案：2019．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．解析：∵A，B，C三点共线，∴a－35－4＝5－36－4，∴a＝4.答案：4三、解答题(本大题共2个题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且3 a＝2c sin A.(1)求角C的大小；(2)若a＝2，且△ABC的面积为332，求c的值．解：(1)由正弦定理得3sin A＝2sin C sin A，因为A，C是锐角，所以sin C＝3 2，故C＝60°.(2)因为S＝12ab sin C＝332，所以b＝3.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4＋9－2×3＝7，所以c＝7.21．(12分)已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD 是正方形，E是PA的中点．求证：(1)PC∥平面EBD；(2)平面PBC⊥平面PCD.证明：(1)连接AC交BD与O，连接EO，∵E，O分别为PA，AC的中点，∴EO∥PC.∵PC⊄平面EBD，EO⊂平面EBD，∴PC∥平面EBD.(2)∵PD⊥平面ABCDBC⊂平面ABCD∴PD⊥BC∵ABCD为正方形∴BC⊥CD又∵PD∩CD＝D∴BC⊥平面PCD∵BC⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面PCD.。
广东省2018年高中会考[数学]考试真题与答案解析
广东省2018年高中会考[数学]考试真题与答案解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合，，则（）. ...2、对任意的正实数，下列等式不成立的是（）. ...3、已知函数，设，则（）. .. .4、设是虚数单位，是实数，若复数的虚部是2，则（ ）. ..{}1,0,1,2M =-{}|12N x x =-≤<M N = A {}0,1,2B {}1,0,1-C M D N,x y A lg lg lgy y x x-=B lg()lg lg x y x y +=+C 3lg 3lg x x =D ln lg ln10x x =31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩(0)f a =()=f a A 2-B 1-C 12D 0i x 1xi+x =A 4B 2C 2-5、设实数为常数，则函数存在零点的充分必要条件是（）. .. .6、已知向量，，则下列结论正确的是（ ）....7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（）. ...8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（）.a 2()()f x x x a x R =-+∈A 1a ≤B 1a >C 14a ≤D 14a >(1,1)a = (0,2)b =A //a bB (2)a b b -⊥C a b =D 3a b = g A 69和B 96和C 78和D 87和A 1..9、若实数满足，则的最小值为（）. ...10、如图，是平行四边形的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）. . . .11、设的内角的对边分别为，若，则（）. ...12、函数，则的最大值和最小正周期分别为（ ）C 4D 8,x y 1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩2z x y =-A 0B 1-C 32-D 2-o ABCD A DA DC AC -=B DA DC DO += C OA OB AD DB -+= D AO OB BC AC++= ABC V ,,A B C ,,a b c 2,a b c ===C =A 56πB 6πC 23πD 3π()4sin cos f x x x =()f x. ...13、设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（）....14、设函数是定义在上的减函数，且为奇函数，若，，则下列结论不正确的是（）. .. .15、已知数列的前项和，则（）. ...A 2π和B 4π和C 22π和D 42π和P 2221(2)4x y a a +=>12F F ，12F F =12PF PF +=A 4B 8C D ()f x R ()f x 10x <20x >A (0)0f =B 1()0f x >C 221((2)f x f x +≤D 111()(2)f x f x +≤{}n a n 122n n S +=-22212n a a a +++= A 24(21)n -B 124(21)n -+C 4(41)3n -D 14(42)3n -+二、填空题16、双曲线的离心率为 .17、若，且，则.18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .19、圆心为两直线和的交点，且与直线相切的圆的标准方程是.三、解答题本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列满足，且.（1）求的通项公式；（2）设数列满足，，求数列的前项和.21、如图所示，在三棱锥中，，，为的中点，垂直平分，且分别交于点.（1）证明：；（2）证明：.221916x y -=2sin()23πθ-=0θπ<<tan θ=20x y +-=3100x y -++=40x y +-={}n a 138a a +=61236a a +={}n a {}n b 12b =112n n n b a a ++=-{}n b n n S P ABC -PA ABC ⊥平面PB BC =F BC DE PC DE AC PC ，,D E //EF ABP 平面BD AC ⊥答案解析一、选择题1、B答案解析：，故选B.2、B答案解析：对于B 项，令，则，而，显然不成立，故选B.3、C答案解析： ，故选C.4、D 答案解析： ，故选D.5、C答案解析：由已知可得，，故选C.6、B 答案解析：对于A 项，，错误；对于B 项，，，则，正确；对于C 项，，错误；对于D 项，，错误.故选B.7、A答案解析：抽样比为，则应抽取的男生人数为，应抽取的女生人数为，故选A.8、C{}101M N =- ，，1x y ==lg()lg 2lg10x y +=>=lg lg 0x y +=3(0)011a f ==-=- 11()(1)22f a f -∴=-==(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++- 242x x ∴-=⇒=-11404a a ∆=-≥⇒≤12-010⨯⨯≠2(2,0)ab -= (0,2)b = 20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥2a = 10122a b =⨯+⨯=g 1535010k ==320=6()10⨯人3(5020)9()10-⨯=人答案解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为，故选C.9、D答案解析：（快速验证法）交点为，则分别为，所以的最小值为，故选D. 10、D 答案解析：对于A 项，，错误；对于B 项，，错误；对于C 项，，错误；对于D 项，，正确. 故选D.11、A答案解析：由余弦定理，得，又 ，故选A.12、A答案解析：，最小正周期为，故选A. 13、B答案解析：，故选B.14、D 答案解析：对于A 项，为上的奇函数 ，正确；对于B 项，为上的减函数，正确；对于C 项，2214V =⨯⨯=11(0,1),(0,0),(,)22-2z x y =-32,0,2--z2-DA DC CA -=2DA DC DO +=OA OB AD BA AD BD -+=+=AO OB BCAB BC AC ++=+=222cos 2a b c C ab +-===0C π<< 5=6C π∴()2sin 2f x x = max ()2f x ∴=22T ππ==122F F c c ==⇒= 22224164a cb a ∴=+=+=⇒=122248PF PF a ∴+==⨯=()f x R (0)0f ∴=()f x R 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=20x > 222221121x x x x x ∴+≥===（当且仅当时等号成立)，正确；对于D 项， ，错误. 故选D.15、C答案解析：当时，；当时，适合上式. 是首项为，公比为的等比数列 ，故选C.二、填空题16、答案解析：由已知，得 双曲线的离心率为.17答案解析：，且18、答案解析：.19、答案解析：联立得221((2)f x f x ∴+≤10x < 111111()2x x x x ∴+=--+≤-=--111()(2)(2)f x f f x ∴+≥-=-2n ≥1122(22)2222n n n n n n n n a S S +-=-=---=⨯-=1n =211222a S ==-=222()(2)4n n n n n a n N a *∴=∈⇒=={}2n a ∴44222124(14)4(41)143n n n a a a --∴+++==- 532293,164a a b b =⇒==⇒=222916255c a b c ∴=+=+=⇒=∴53c e a ==2sin()cos 23πθθ-== 0θπ<<sin θ∴===sin 3tan cos 2θθθ∴===49224339P ⨯==⨯22(4)(2)2x y -++=203100x y x y +-=⎧⎨-++=⎩4(4,2)2x y =⎧⇒-⎨=-⎩圆心为则圆心到直线的距离为圆的标准方程为.三、解答题20、（1）设等差数列的公差为.数列的通项公式为.（2）由（1）知， 又适合上式 数列是首项为，公差为的等差数列.21、（1）证明：垂直平分为的中点又为的中点为的中位线又（2）证明：连接，为的中点 垂直平分(4,2)-40x y +-=d ∴22(4)(2)2x y -++={}n a d ∴1311161211828236511362a a a a d a a a a d a d d +=++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+=+++==⎩⎩⎩2(1)22n a n n ∴=+-⨯=∴{}n a 2n a n =2n a n =1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+2(1)224n b n n ∴=--+=-+12b = 24()n b n n N *∴=-+∈122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=-∴{}n b 22-22(1)2(2)232n n n S n n n n n n -∴=+⨯-=-+=-+DE PC E ∴PC F BC EF ∴BCP V //EF BP∴,EF ABP BP ABP ⊄⊂ 平面平面//EF ABP∴平面BEPB BC = E PC PC BE∴⊥DE PC又，又又，又PC DE∴⊥BE DE E = ,BE DE BDE ⊂平面PC BDE∴⊥平面BD BDE ⊂ 平面PC BD∴⊥,PA ABC BD ABC ⊥⊂ 平面平面PA BD∴⊥PC PA P = ,PC PA PAC ⊂平面BD PAC∴⊥平面AC PAC ⊂ 平面BD AC∴⊥。
2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题与答案解析44030
精品文档2018 年 1 月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（ B 卷）一、选择题：本大题共15 小题 . 每小题 4 分，满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1、已知集合M 1,0,1,2 ， N x | 1 x 2 ，则 M N（ ）A . 0,1,2B .1,0,1 C .M D .N2、对任意的正实数 x, y ，下列等式不成立的是（ ）A . lg ylg x lgyB . lg( x y)lg x lg yC . lg x33lg xD . lg xln xxln103、已知函数 f (x)x 3 1, x 0(0)a ，则 f (a)= （2x, x 0，设 f）A . 2B . 1C . 1D . 024、设 i 是虚数单位，x 是实数，若复数x 的虚部是 2，则 x （ ）1 iA . 4B . 2C . 2D . 45、设实数 a 为常数，则函数f ( x) x2x a( x R) 存在零点的充分必要条件是（）A . a 1B . a 1C . a1D . a1446、已知向量 a (1,1)， b (0,2) ，则下列结论正确的是（）A . a / /bB . (2a b)bC . abD . a b 37、某校高一（ 1）班有男、女学生共 50 人，其中男生 20 人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取 15 人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（）A .6和9B .9和6C . 7和8D .8和78、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（）A.1B.2C.4D.8x y109、若实数x, y满足x y0，则 z x 2 y 的最小值为x0（）A .0B . 1C .3D .2 210、如图，o是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（）A .DA DC AC B.DA DC DOC .OA OB AD DB D.AO OB BC AC11、设ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为a,b,c ，若a3,b 2, c13 ，则C（）52A.B.C.D.663312、函数 f (x) 4sin x cos x ，则 f ( x) 的最大值和最小正周期分别为（）A .2和B .4和C.2和2 D .4和2x2y2F1， F2是椭圆的两个焦点，若F1F2 4 3，则13、设点P是椭圆1(a 2) 上的一点，a24PF1 PF2（）A.4B.8C.42D.4714、设函数 f ( x) 是定义在R上的减函数，且 f ( x) 为奇函数，若x10 ， x20 ，则下列结论不正确的是（）A .f (0) 0B .f ( x1) 0C . f ( x21) f (2) D .f ( x11) f (2) x2x115、已知数列a n的前n项和 S n2n 1 2 ，则 a12a22a n2（）A .4(2n1)2B .4(2n 11)2C. 4(4 n1)D. 4(4 n 12)33二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分16 分 .x2y2.16、双曲线 1 的离心率为91617、若sin()2，则 tan.，且 02318、笔筒中放有 2 支黑色和 1 支红色共 3 支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为.19、圆心为两直线x y 2 0 和x 3y 10 0 的交点，且与直线 x y 40 相切的圆的标准方程是.三、解答题：本大题共 2 小题 . 每小题 12 分，满分 24 分 . 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 .20、若等差数列a n满足 a1a38 ，且 a6a1236 .（ 1）求a n的通项公式；（ 2）设数列n满足 b1 2 ， b n 1a n 1 2a n，求数列n 的前n 项和 S n.b b21、如图所示，在三棱锥P ABC 中， PA 平面 ABC ， PB BC，F为BC的中点，DE垂直平分 PC ，且DE分别交AC，PC 于点 D, E .（1）证明：EF / /平面ABP；（2）证明：BD AC .2018 年 1 月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（ B 卷）答案解析一、选择题：本大题共 15 小题 . 每小题 4 分，满分 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1、B解析：M N101，，，故选B.2、B解析：对于 B 项，令x y 1，则 lg( x y) lg 2 lg1 0，而 lg x lg y0 ，显然不成立，故选 B.3、C解析： a f (0)0311 f ( a) f ( 1 ) 1 21，故选 C.24、D解析：x x(1i)x x i x2x 4 ，故选 D.1i (1i)(1i )2225、C解析：由已知可得，14a0 a 1，故选 C. 46、B解析：对于 A 项，12-010，错误；对于 B 项，2a b (2,0) ， b (0,2) ，则 2 0+0 2 0 (2 a b) b ，正确；对于 C 项，a2, b 2 ，错误；对于 D 项，a b 1 0122，错误.故选B.7、A解析：抽样比为k153，则应抽取的男生人数为 203=6( 人 ) ，应抽取的女生人数3501010为 (509(人 ) ，故选 A.20)108、C解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为 2，宽为 2 ，高为 1，则体积为V2214，故选 C.9、D解析：（快速验证法）交点为(0,1),(0,0),(1,1) ，则 z x 2 y 分别为 2,0,3，所以 z的最小值为2 ，故选 D.10、 D 解析：对于 A 项， DA DC CA ，错误；对于 B 项， DA DC 2DO ，错误；对于 C 项， OAOB AD BA AD BD ，错误；对于 D 项， AOOB BC AB BC AC ，正确 . 故选 D.11、 A解析：由余弦定理， 得 cosCa2b 2c 2( 3)222( 13)23，又0C2ab23 22C =5，故选 A.62 12、 A 解析：f (x) 2sin 2xf ( x) max2 ，最小正周期为T，故选 A.213、 B 解析：F 1F 2 4 32c c 2 3 a 2c 2b 2(2 3) 24 16 a 4PF 1 PF 2 2a 2 4 8 ，故选 B.14、 D 解析：对于 A 项，f (x) 为 R 上的奇函数f (0)0，正确；对于 B 项，f ( x) 为 R上的减函数x 1 0 f (x 1)f (0) 0 ，正确；x 2 0 x 211 （2当且仅当 x2 1，即 x 21时等号成立 )对于 C 项，x 22 x 2 x 2x 2f ( x 21) f (2) ，正确；x 2对于 D 项，x 1 0 x 11 ( x 11 1 x 1) 2 x 12x 1x 1精品文档f ( x 1 1 ) f ( 2)f (2) ，错误 . 故选 D.x 115 、C解析：当 n2 时， anSS2n 12 (2n2) 2 2n2n2n；当 n 1 时，nn 1a 1 S 1 222 2 适合上式 .a n2n(n N ) a n 2 (2 n )24na n2是首项为 4 ，公比为4 的等比数列2224(1 4n) 4(4n1)，故选 C.a 1a 2a n1 43二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分 .16、 5 解析：由已知，得 a29a 3, b216b 4c2a2b 291 62 5c 53双曲线的离心率为 ec 5a.317、5 解析： s i n ( ) c o s 2，且 0sin1 cos21 (2 )2522333tansin 5 3 5 .cos 3 2 218、4 解析： P2 2 4933.919、 (x4)2( y 2)22 解析：联立x y 2 0 得x 4 2圆心为(4, 2)x 3 y 10y则圆心 (4, 2) 到直线 xy 40 的距离为 d4 2 4 2 ，故圆的半径为21212圆的标准方程为(x 4)2 ( y 2)22 .三、解答题：本大题共 2 小题 . 每小题 12 分，满分 24 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 .20、解：（ 1）设等差数列a n 的公差为 d .a1a38a1a12d 8a12a6a1236a15d a1 11d 36d2a n 2 (n 1) 2 2n数列a n的通项公式为a n2n .（ 2）由（ 1）知，a n 2b n1an 12a n2(n1) 22n2n2 nb n2(n1)22n 4 又b1 2 适合上式b n 2 n 4 (n N )b n 1 bn2n2(2n4)2数列 b n是首项为 2 ，公差为 2 的等差数列.S n2n n( n1)(2)2n n2n n23n221、解：（ 1）证明：DE 垂直平分PC E为PC的中点又F为BC的中点EF 为 B C P的中位线EF //BP又EF平面ABP, BP平面ABP EF / /平面 ABP（ 2）证明：连接BEPB BC，E为PC的中点PC BEDE 垂直平分PC PC DE又BE DE E，BE,DE平面BDE PC平面BDE 又BD平面BDE PC BDPA 平面ABC,BD平面ABC P A B D又PC PA P，PC,PA平面PAC BD平面P AC 又AC平面PAC BD AC感恩和爱是亲姐妹。
2018学年1月广东省普通高中数学学业水平考试真题(一)+Word版含解析10
广东省普通高中学业水平考试真题卷(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知集合M ＝{0，2，4}，N ＝{1，2，3}，P ＝{0，3}，则(M ∪N )∩P 等于( )A ．{0，1，2，3，4}B ．{0，3}C ．{0，4}D ．{0} 2．函数y ＝lg(x ＋1)的定义域是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．－1，＋∞)3．设i 为虚数单位，则复数1－ii等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i4．已知甲：球的半径为1 cm ；乙：球的体积为4π3cm 3，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知直线l 过点A (1，2)，且与直线y ＝12x ＋1垂直，则直线l 的方程是( )A ．y ＝2xB ．y ＝－2x ＋4C ．y ＝12x ＋32D ．y ＝12x ＋526．顶点在坐标原点，准线为x ＝－2的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y7．已知三点A (－3，3), B (0, 1)，C (1，0)，则|AB→＋BC →|等于( ) A ．5 B ．4 C.13＋ 2 D.13－ 28．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边过点P (5，－2)，则下列等式不正确的是( )A. sin α＝－23 B ．sin(α＋π)＝23C ．cos α＝53D ．tan α＝－529．下列等式恒成立的是( )A.13x ＝x －23(x ≠0)B ．(3x )2＝3x 2C ．log 3(x 2＋1)＋log 32＝log 3(x 2＋3)D ．log 313x ＝－x10．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝2，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．n 2＋1B ．n 2C ．2n －1D ．2n －111．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，y ≤x ，x ＋y ≥2，则z ＝2x ＋y 的最大值为()A ．3B ．5C ．9D ．1012．已知点A (－1，8)和B (5, 2)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋5)2＝3 2B ．(x ＋2)2＋(y ＋5)2＝18C ．(x －2)2＋(y －5)2＝3 2D ．(x －2)2＋(y －5)2＝18 13．下列不等式一定成立的是( )A ．x ＋2x ≥2(x ≠0)B ．x 2＋1x 2＋1≥1(x ∈R)C ．x 2＋1≤2x (x ∈R)D ．x 2＋5x ＋6≥0(x ∈R)14．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝x 2－sin x ，则当x ∈0，＋∞)时，f (x )＝( )A ．x 2＋sin xB ．－x 2－sin xC ．x 2－sin xD ．－x 2＋sin x15．已知样本x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数为4, 方差为3，则x 1＋6，x 2＋6，x 3＋6，x 4＋6，x 5＋6的平均数和方差分别为( )A ．4和3B ．4和9C ．10和3D ．10和9二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)16．已知x ＞0，且53，x ，15成等比数列，则x ＝____________．17．函数f (x )＝sin x cos(x ＋1)＋sin(x ＋1)cos x 的最小正周期是____________．18．从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是____________．19．中心在坐标原点的椭圆，其离心率为12，两个焦点F 1和F 2在x 轴上，P 为该椭圆上的任意一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝4，则椭圆的标准方程是________．三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos A ＝bcos B. (1)证明：△ABC 为等腰三角形； (2)若a ＝2，c ＝3，求sin C 的值．21．(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥AB，PA⊥AD，AC ⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC＝2，E为PC的中点．(1) 证明：AP⊥CD；(2) 求三棱锥PABC的体积；(3) 证明：AE⊥平面PCD.广东省普通高中学业水平考试真题卷解析(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分) 1．已知集合M＝{0，2，4}，N＝{1，2，3}，P＝{0，3}，则(M∪N)∩P 等于()A．{0，1，2，3，4} B．{0，3} C．{0，4} D．{0}解析：M∪N＝{0，1，2，3，4}，(M∪N)∩P＝{0，3}，故选B.答案：B2．函数y＝lg(x＋1)的定义域是()A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)C．(－1，＋∞) D．－1，＋∞)解析：对数函数要求真数大于0，所以x＋1＞0，解得x＞－1，故选C.答案：C3．设i为虚数单位，则复数1－ii等于()A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i解析：1－ii＝（1－i）·ii·i＝i－i2i2＝i＋1－1＝－1－i，故选D.答案：D4．已知甲：球的半径为1 cm；乙：球的体积为4π3cm3，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：充分性：若r＝1 cm，由V＝43πr3可得体积为43πcm3，同样利用此公式可证必要性也成立．答案：C5．已知直线l过点A(1，2)，且与直线y＝12x＋1垂直，则直线l的方程是()A．y＝2x B．y＝－2x＋4 C．y＝12x＋32D．y＝12x＋52解析：因为两直线垂直时，斜率互为倒数的相反数(k1k2＝－1)，所以直线l的斜率k＝－2，由点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可得，y－2＝－2(x－1)，整理得y＝－2x＋4，故选B.答案：B6．顶点在坐标原点，准线为x＝－2的抛物线的标准方程是() A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y解析：因为准线方程为x＝－2，所以焦点在x轴上，且－p2＝－2，所以p＝4，由y2＝2px得y2＝8x.7．已知三点A (－3，3), B (0, 1)，C (1，0)，则|AB →＋BC →|等于( ) A ．5 B ．4 C.13＋ 2 D.13－ 2解析：因为AB →＝(3，－2)，BC →＝(1，－1)，所以AB →＋BC →＝(4，－3)，所以|AB →＋BC →|＝42＋（－3）2＝5，故选A. 答案：A8．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边过点P (5，－2)，则下列等式不正确的是( )A ．sin α＝－23B ．sin(α＋π)＝23C ．cos α＝53 D ．tan α＝－52解析：依题意得，r ＝x 2＋y 2＝5＋4＝3，sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx，所以sin α＝－23，cos α＝53，tan α＝－25＝－255，所以A ，B ，C 正确，D 错误．答案：D9．下列等式恒成立的是( ) A.13x＝x －23(x ≠0)B ．(3x )2＝3x 2C ．log 3(x 2＋1)＋log 32＝log 3(x 2＋3) D ．log 313x ＝－x解析：13x ＝x －13(x ≠0)，故A 错；(3x )2＝32x ，故B 错；log 3(x 2＋1)＋log 32＝log 32(x 2＋1)，故C 错．10．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝2，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．n 2＋1B ．n 2C ．2n －1D ．2n －1解析：数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n （n －1）2·2＝n 2，故选B. 答案：B11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，y ≤x ，x ＋y ≥2，则z ＝2x ＋y 的最大值为()A ．3B ．5C ．9D ．10解析：如图，画出可行域，当y ＝－2x ＋z 移动到A 点时，直线与y 轴的截距z 取得最大值，因为A (3，3)，所以z ＝2x ＋y 的最大值为9.答案：C12．已知点A (－1，8)和B (5, 2)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋5)2＝3 2B ．(x ＋2)2＋(y ＋5)2＝18C ．(x －2)2＋(y －5)2＝3 2D ．(x －2)2＋(y －5)2＝18解析：圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，8＋22＝(2，5)，半径r ＝12（5＋1）2＋（2－8）2＝32，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －5)2＝18.答案：D13．下列不等式一定成立的是()A．x＋2x≥2(x≠0) B．x2＋1x2＋1≥1(x∈R)C．x2＋1≤2x(x∈R) D．x2＋5x＋6≥0(x∈R)解析：A选项中，当x＜0时，显然不成立；C选项中，当x＝－1时，显然不成立；D选项中，当x∈(－3，－2)时，x2＋5x＋6＜0，所以不成立；B选项中，x2＋1x2＋1＝(x2＋1)＋1x2＋1－1≥2（x2＋1）·1x2＋1－1＝1(x∈R)，当且仅当x＝0时取“＝”．答案：B14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＝x2－sin x，则当x∈0，＋∞)时，f(x)＝()A．x2＋sin x B．－x2－sin x C．x2－sin x D．－x2＋sin x解析：设x∈0，＋∞)，则－x∈(－∞，0]，所以f(－x)＝(－x)2－sin(－x)＝x2＋sin x，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝x2＋sin x，故选A.答案：A15．已知样本x1，x2，x3，x4，x5的平均数为4, 方差为3，则x1＋6，x2＋6，x3＋6，x4＋6，x5＋6的平均数和方差分别为() A．4和3 B．4和9 C．10和3 D．10和9解析：由平均数的定义可知x1＋6，x2＋6，x3＋6，x4＋6，x5＋6的平均数＝x－＋6＝10，方差不变．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)16．已知x＞0，且53，x，15成等比数列，则x＝____________．解析：因为513，x，15成等比数列，所以x2＝53×15＝25，又x＞0，所以x＝5.答案：517．函数f(x)＝sin x cos(x＋1)＋sin(x＋1)cos x的最小正周期是____________．解析：f(x)＝sin x cos(x＋1)＋sin(x＋1)cos x＝sin x＋(x＋1)]＝sin(2x ＋1)，所以最小正周期T＝2π2＝π.答案：π18．从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是____________．解析：从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数一共有如下12个基本事件：12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43；其中该两位数小于20的共有12，13，14三个，所以该两位数小于20的概率为312＝14.答案：1 419．中心在坐标原点的椭圆，其离心率为12，两个焦点F1和F2在x轴上，P为该椭圆上的任意一点，若|PF1|＋|PF2|＝4，则椭圆的标准方程是________．解析：根据焦点在x轴上可以设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，因为长轴长2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，离心率e＝ca＝12，所以a＝2，c＝1，b＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.答案：x24＋y23＝1三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos A＝bcos B.(1)证明：△ABC为等腰三角形；(2)若a＝2，c＝3，求sin C的值．(1)证明：因为acos A＝bcos B，所以a cos B＝b cos A，由正弦定理知sin A cos B＝sin B cos A，所以tan A＝tan B，又A，B∈(0，π)，所以A＝B，所以△ABC为等腰三角形．(2)解：由(1)可知A＝B，所以a＝b＝2，根据余弦定理有：c2＝a2＋b2－2ab cos C，所以9＝4＋4－8cos C，解得cos C＝－18，因为C∈(0，π)，所以sin C＞0，所以sin C＝1－cos2C＝638.21．(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥AB，PA⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC＝2，E为PC的中点．(1) 证明：AP⊥CD；(2) 求三棱锥PABC的体积；(3) 证明：AE⊥平面PCD.(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，AB∩AD＝A，所以PA⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，所以AP⊥CD.(2)解：由(1)可知AP⊥平面ABC，所以V P－ABC＝13S△ABC·AP，又S△ABC＝12AB·BC·sin ∠ABC＝12×2×2×sin 60°＝3，所以V P－ABC＝13×3×2＝233.(3)证明：因为CD⊥AP，CD⊥AC，AP⊂平面APC，AC⊂平面APC，AP∩AC＝A，所以CD⊥平面APC，又AE⊂平面APC，所以CD⊥AE，由AB＝BC＝2且∠ABC＝60°得△ABC为等边三角形，且AC＝2，又因为AP＝2，且E为PC的中点，所以AE⊥PC，又AE⊥CD，PC⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.。
2018学年1月广东省普通高中数学学业水平考试模拟试卷(二)+Word版含解析8
学业水平考试模拟试卷(二)(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．若复数z满足i·z＝－12(1＋i)，则z的共轭复数的虚部是()A．－12i B.12i C．－12 D.122．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝() A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}3．定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是()A．4 B．3 C．2 D．14．命题“任意x∈R，x2≠x”的否定是()A．任意x∉R，x2≠x B．任意x∈R，x2＝xC．存在x∉R，x2≠x D．存在x∈R，x2＝x5．若等差数列{a n}的前n项和S n满足S4＝4，S6＝12，则S2＝() A．－1 B．0 C．1 D．36．如图，三棱锥V-ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，已知其主视图的面积为23，则其左视图的面积为()A.32 B.33 C.34 D.367．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为()A．(－24，7) B．(－7，24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)8．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53 B ．－59 C.59 D.539．已知双曲线C ：x 2－y 28＝1，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝22xC ．y ＝－22xD ．y ＝±24x10．若实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z ＝2y －2x ＋4的最小值为()A ．3B ．4C ．6D ．811．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(cos θ，sin θ)，若a ∥b ，则tan θ＝( )A.33 B. 3 C ．－33D ．－ 3 12．设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22 C.π6 D.4－π413．设函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为M ，则( )A ．T ＝π，M ＝1B ．T ＝2π，M ＝1C ．T ＝π， M ＝2D ．T ＝2π，M ＝214．已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n15．已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均值为2，方差为1，则2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1，平均值和方差分别为( )A ．5，4B ．5，3C ．3，5D ．4，5二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)16．f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________． 17．经过点(－2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________．18．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2 000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生________人．19．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝______．三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)在如图所示坐标系中画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．21．(12分)如图所示，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1C 1和BC 的中点．(1)求证：EF ∥平面AA 1B 1B ；(2)若AA 1＝3，AB ＝23，求EF 与平面ABC 所成的角．学业水平考试模拟试卷解析(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．若复数z满足i·z＝－12(1＋i)，则z的共轭复数的虚部是()A．－12i B.12i C．－12 D.12解析：z＝－12（1＋i）i＝12i(1＋i)＝－12＋12i，共轭复数为－12－12i，虚部为－12.故选C.答案：C2．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝()A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}解析：借助数轴可得{x|2＜x＜3}．答案：C3．定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是()A．4 B．3 C．2 D．1解析：函数y＝x3，y＝2sin x为奇函数，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2，故选C.答案：C4．命题“任意x∈R，x2≠x”的否定是()A．任意x∉R，x2≠x B．任意x∈R，x2＝xC．存在x∉R，x2≠x D．存在x∈R，x2＝x解析：全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x∈R，x2≠x”的否定是“存在x∈R，x2＝x”．答案：D5．若等差数列{a n}的前n项和S n满足S4＝4，S6＝12，则S2＝()A．－1 B．0 C．1 D．3解析：等差数列中，设S2＝a1＋a2＝x，则a3＋a4＝S4－S2＝4－x，a5＋a6＝S6－S4＝8，则S2，S4－S2，S6－S4仍成等差数列，所以2(4－x)＝x＋8，解得x＝0，即S2＝0故选B.答案：B6．如图，三棱锥V-ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，已知其主视图的面积为23，则其左视图的面积为()A.32 B.33 C.34 D.36解析：由题意知，该三棱锥的主视图为△VAC，作VO⊥AC于O，连接OB，由VA＝VC，知O为AC中点，∴OB⊥AC，又平面VAC⊥平面ABC，∴VO⊥平面ABC，∴VO⊥OB，设底面边长为2a，高VO＝h，则△VAC的面积为12×2a×h＝ah＝23.又三棱锥的左视图为Rt△VOB，在正三角形ABC中，高OB＝3a，∴左视图的面积为12OB·VO＝12×3a×h＝32ah＝32×23＝33.答案：B7．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为()A．(－24，7) B．(－7，24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24.答案：B8．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝()A．－53B．－59 C.59 D.53解析：利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解．∵sinα＋cos α＝3 3，∴(sin α＋cosα)2＝13，∵2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23.又∵α为第二象限角且sinα＋cos α＝33＞0，∴2kα＋α2＜α＜2kα＋34α(k∈Z)，∴4kα＋α＜2α＜4kα＋32α(k∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin22α＝－5 3.答案：A9．已知双曲线C ：x 2－y 28＝1，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝22xC ．y ＝－22xD ．y ＝±24x解析：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x 且a ＝1，b ＝22，所以答案为A. 答案：A10．若实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z ＝2y －2x ＋4的最小值为()A ．3B ．4C ．6D ．8解析：作出满足不等式⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域，如图所示，作直线l 1：2y －2x＝t ，当l 1经过B (1，1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.故选B. 答案：B11．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(cos θ，sin θ)，若a ∥b ，则tan θ＝( ) A.33 B. 3 C ．－33D ．－ 3 解析：∵a ∥b ，∴sin θ－3cos θ＝0，即sin θ＝3cos θ.故tan θ＝ 3. 答案：B12．设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22 C.π6 D.4－π4解析：如图所示，区域D 是正方形OABC ，且区域D 的面积S ＝4.又阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积S 阴＝4－π，所以所求事件的概率P ＝4－π4. 答案：D13．设函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为M ，则( ) A ．T ＝π，M ＝1 B ．T ＝2π，M ＝1 C ．T ＝π， M ＝2D ．T ＝2π，M ＝2 解析：由于三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的最小正周期T ＝2αω，最大值为A ＋B ；∴函数y ＝2sin2x －1的最小正周期T ＝2α2＝α，最大值M ＝2－1＝1.答案：A14．已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n 解析：∵n ⊥β，且α，β交于直线l .l ⊂β，∴n ⊥l . 答案：C15．已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均值为2，方差为1，则2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1，平均值和方差分别为( )A ．5，4B ．5，3C ．3，5D ．4，5解析：一组数据x 1，x 2，x 3…，x n 的平均值为2，所以数据2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，…，2x n ＋1的平均数是2×2＋1＝5；又数据x 1，x 2，x 3，…x n 的方差为1，所以数据2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，…，2x n ＋1的方差是22×1＝4，故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)16．f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________．解析：f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2. 答案：－217．经过点(－2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________．解析：设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求．答案：2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝018．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2 000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生________人．解析：由题意知抽取女生97人，设该校共有女生x 人．则x ×2002 000＝97，解得x ＝970.答案：97019．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝______．解析：由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，由勾股定理可得T2＝（22）2－22，∴T ＝4，∴ω＝α2.答案：α2三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)在如图所示坐标系中画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －α4＋1的振幅为2，最小正周期T ＝2α2＝α，初相为－α4. (2)列表并描点画出图象： 故函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－α2，α2上的图象是21．(12分)如图所示，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1C 1和BC 的中点．(1)求证：EF ∥平面AA 1B 1B ；(2)若AA 1＝3，AB ＝23，求EF 与平面ABC 所成的角．(1)证明：如图所示，取A 1B 1的中点D ，连接DE ，BD . 因为E 是A 1C 1的中点，所以DE 綊12B 1C 1.又因为BC 綊B 1C 1，BF ＝12BC ，所以DE 綊BF .所以四边形BDEF 为平行四边形． 所以BD ∥EF .又因为BD ⊂平面AA 1B 1B ，EF ⊄平面AA 1B 1B ， 所以EF ∥平面AA 1B 1B .(2)解：如图所示，取AC 的中点H ，连接HF ，EH .因为EH ∥AA 1，AA 1⊥平面ABC ， 所以EH ⊥平面ABC .所以∠EFH 就是EF 与平面ABC 所成的角． 在Rt △EHF 中，FH ＝3，EH ＝AA 1＝3， 所以∠EFH ＝60°.故EF 与平面ABC 所成的角为60°.。
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2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，则M N =（ ）A .{}0,1,2B .{}1,0,1-C .MD .N2、对任意的正实数,x y ，下列等式不成立的是（ ）A .lg lg lg y y x x -=B .lg()lg lg x y x y +=+C .3lg 3lg x x =D .ln lg ln10x x = 3、已知函数31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，设(0)f a =，则()=f a （ ） A .2- B .1- C .12D .0 4、设i 是虚数单位，x 是实数，若复数1x i+的虚部是2，则x =（ ） A .4 B .2 C .2- D .4-5、设实数a 为常数，则函数2()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是（ ） A .1a ≤ B .1a > C .14a ≤ D .14a > 6、已知向量(1,1)a =，(0,2)b =，则下列结论正确的是（ ）A .//a bB .(2)a b b -⊥C .a b =D .3a b =7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）A .69和B .96和C .78和D .87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）A .1B .2C .4D .89、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A .0B .1-C .32- D .2- 10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ） A .DA DC AC -= B .DA DC DO +=C .OA OB AD DB -+= D .AO OB BC AC ++=11、设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3,2,13a b c ===C =（ ） A .56π B .6π C .23π D .3π 12、函数()4sin cos f x x x =，则()f x 的最大值和最小正周期分别为（ ）A .2π和B .4π和C .22π和D .42π和13、设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =12PF PF +=（ ）A .4B .8 C. D.14、设函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()f x 为奇函数，若10x <，20x >，则下列结论不正确的是（ ）A .(0)0f =B .1()0f x >C .221()(2)f x f x +≤D .111()(2)f x f x +≤ 15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则22212n a a a +++=（ ） A .24(21)n - B .124(21)n -+ C .4(41)3n - D .14(42)3n -+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线221916x y -=的离心率为 . 17、若2sin()23πθ-=，且0θπ<<，则tan θ= . 18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .19、圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列{}n a 满足138a a +=，且61236a a +=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12b =，112n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .21、如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，PB BC =，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 分别交AC PC ，于点,D E .（1）证明：//EF ABP 平面；（2）证明：BD AC ⊥.2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、B 解析：{}101M N =-，，，故选B.2、B 解析：对于B 项，令1x y ==，则lg()lg 2lg10x y +=>=，而lg lg 0x y +=，显然不成立，故选B.3、C 解析：3(0)011a f ==-=- 11()(1)22f a f -∴=-==，故选C. 4、D 解析：(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++- 242x x ∴-=⇒=-，故选D. 5、C 解析：由已知可得，11404a a ∆=-≥⇒≤，故选C. 6、B 解析：对于A 项，12-010⨯⨯≠，错误；对于B 项，2(2,0)a b -=，(0,2)b =，则20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥，正确； 对于C 项，2,2a b ==，错误；对于D 项，10122a b =⨯+⨯=，错误. 故选B.7、A 解析：抽样比为1535010k ==，则应抽取的男生人数为320=6()10⨯人，应抽取的女生人数为3(5020)9()10-⨯=人，故选A. 8、C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为2214V =⨯⨯=，故选C.9、D 解析：（快速验证法）交点为11(0,1),(0,0),(,)22-，则2z x y =-分别为32,0,2--，所以z的最小值为2-，故选D.10、D 解析：对于A 项，DA DC CA -=，错误；对于B 项，2DA DC DO +=，错误；对于C 项，OA OB AD BA AD BD -+=+=，错误；对于D 项，AO OB BC AB BC AC ++=+=，正确. 故选D.11、A 解析：由余弦定理，得222222cos 22a b c C ab +-===-，又0C π<< 5=6C π∴，故选A. 12、A 解析：()2sin 2f x x =max ()2f x ∴=，最小正周期为22T ππ==，故选A. 13、B解析：122F F c c ==⇒= 22224164a c b a ∴=+=+=⇒= 122248PF PF a ∴+==⨯=，故选B.14、D 解析：对于A 项，()f x 为R 上的奇函数 (0)0f ∴=，正确；对于B 项，()f x 为R 上的减函数 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=，正确； 对于C 项，20x >222222211121x x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立) 221()(2)f x f x ∴+≤，正确； 对于D 项，10x < 111111111()2x x x x x x ∴+=--+≤-=---111()(2)(2)f x f f x ∴+≥-=-，错误. 故选D. 15、C 解析：当2n ≥时，1122(22)2222n n n n n n n n a S S +-=-=---=⨯-=；当1n =时，211222a S ==-=适合上式. 222()(2)4n n n n n a n N a *∴=∈⇒=={}2n a ∴是首项为4，公比为4的等比数列 222124(14)4(41)143n n n a a a --∴+++==-，故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、53解析：由已知，得2293,164a a b b =⇒==⇒= 222916255c a b c ∴=+=+=⇒= ∴双曲线的离心率为53c e a ==. 17、2 解析：2sin()cos 23πθθ-==，且0θπ<<sin θ∴===sin 3tan cos 2θθθ∴===. 18、49 解析：224339P ⨯==⨯. 19、22(4)(2)2x y -++= 解析：联立203100x y x y +-=⎧⎨-++=⎩得4(4,2)2x y =⎧⇒-⎨=-⎩圆心为 则圆心(4,2)-到直线40xy +-=的距离为d ==∴圆的标准方程为22(4)(2)2x y -++=.三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .∴1311161211828236511362a a a a d a a a a d a d d +=++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+=+++==⎩⎩⎩ 2(1)22n a n n ∴=+-⨯= ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由（1）知，2n a n = 1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+2(1)224n b n n ∴=--+=-+ 又12b =适合上式 24()n b n n N *∴=-+∈122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=- ∴数列{}n b 是首项为2，公差为2-的等差数列.22(1)2(2)232n n n S n n n n n n -∴=+⨯-=-+=-+ 21、解：（1）证明：DE 垂直平分PC E ∴为PC 的中点 又F 为BC 的中点 EF ∴为BCP 的中位线 //EF BP ∴ 又,EF ABP BP ABP ⊄⊂平面平面 //EF ABP ∴平面（2）证明：连接BEPB BC =，E 为PC 的中点 PC BE ∴⊥ DE 垂直平分PC PC DE ∴⊥又BE DE E =，,BE DE BDE ⊂平面 PC BDE ∴⊥平面又BD BDE ⊂平面 PC BD ∴⊥,PA ABC BD ABC ⊥⊂平面平面 PA BD ∴⊥又PC PA P =，,PC PA PAC ⊂平面 BD PAC ∴⊥平面又AC PAC ⊂平面 BD AC ∴⊥感恩和爱是亲姐妹。