第2讲 命题及其关系,充分条件与必要条件

第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
课程要求
1.理解命题的概念．
2．了解若“p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相
互关系．
3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 从近三年的高考试题看，充要条件
的判定、判断命题的真假等是高考的热点，题型以选择题、填空题为主，分值为5分，属中
低档题目．本节知识常和函数、向量、不等式及立体几何中直线、平面的位置关系等有关知
识相结合，考查学生对函数的有关性质、向量的概念与运算、不等式的解法及直线与平面位
置关系判定的掌握程度．如2011年陕西卷、湖南卷等.
知识梳理
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题．其中判断为真的
语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题

命题 表述形式
原命题 若p，则q
逆命题 若q，则p
否命题 若¬p，则¬q
逆否命题 若¬q，则¬p
(2)四种命题间的逆否关系

问题探究
：一个命题的“否命题”与“否定”是同一个命题吗？

3．充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．
在判断充分条件与必要条件时，一定要注意弄清问题的设问方式，“A是B的充分不必
要条件”与“A的充分不必要条件是B”两种说法的含义是不同的．
考点1 命题的关系及命题真假的判断
1.判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这
两个条件．只有这两个条件都具备的语句才是命题．
2．对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再
结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．
3．在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的
条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一个命题定为原命题，也就相应地
有了它的“逆命题”、“否命题”和“逆否命题”．
例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)面积相等的两个三角形是全等三角形．
(2)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根．
(3)若x2＋y2＝0，则实数x、y全为零．
巩固训练1

下列命题中正确的是( )
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；
④“若x－3.5是有理数，则x是无理数”的逆否命题．
A.①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④

例1 【解析】 (1)逆命题：全等三角形的面积相等，真命题．否命题：面积不相等的
两个三角形不是全等三角形，真命题．逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命
题．
(2)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1，假命题．
否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，真命题．
(3)逆命题：若实数x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则实数x，y不全为零，真命题．
逆否命题：若实数x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．
巩固训练1 解析：对于①，其否命题是“若x2＋y2＝0，则x、y全为零”．这显然是正
确的，故①为真命题；对于②，其逆命题是“若两多边形相似，它们一定是正多边形”，这
显然是错误的，故②为假命题；对于③，由于Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，所以原命题
正确，其逆否命题也正确，即③为真命题；对于④，原命题为真，故逆否命题也为真．因此
正确的是①③④，选B.

考点2 充分条件与必要条件的判断
1.利用定义判断
例2 (1)(2011·浙江高考)若a、b为实数，则“01a”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2011·湖南高考)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

巩固训练2 (1)(2010·广东高考)“m<14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的( )
A．充分非必要条件 B．充分必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
(2)判断集合A与B的关系，并判断A是B的什么条件？B是A的什么条件？(在“充分
不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出一种)
①A＝{x|x>1}；B＝{x|x>－1}
②A＝[2,5]；B＝[2,5]
③A＝[2,5]；B＝[3,6]

例2 【解析】 (1)∵ab>0，∴a，b同号
若a>0，b>0则由ab<1⇒a<1b

(2)若a＝1，则N＝{1}，从而NM，∴a＝1⇒N⊆M.若N⊆M，则a2∈M，∴a2＝1或a2＝2.
∴a＝±1或a＝±2.∴N⊆M⇒/ a＝1.
因此“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件

巩固训练2【解析】： (1)∵一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的充要条件是Δ＝1－4m≥0，
即m≤14.∴m<14是一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的充分非必要条件，故选A.
(2)①AB，A是B的充分不必要条件，B是A的必要不充分条件
②A＝B，A是B的充要条件，B是A的充要条件
考点3 充分条件与必要条件的应用（求参）
解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根
据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．
例3 设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若¬p是¬q的必要
不充分条件，求实数a的取值范围．

巩固训练3 (2011年全国大纲卷)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件
是( )
A．a>b＋1 B．a>b－1 C．a2>b2 D．a3>b3

例3【解析】 设A＝{x|(4x－3)2≤1}，
B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a
＋1)≤0}，

易知A＝{x|12≤x≤1}，B＝{x|a≤x≤a＋1}．

由¬p是¬q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，∴ a≤12，a＋1≥1.
故所求实数a的取值范围是[0，12]．
巩固训练3解析：由b＋1>b，知a>b＋1时，a>b，反之不成立．
答案：A

考点4 证明题型
解答这类题的关键是理解题目所处的新背景，联系所学的知识，选择正确的解题方法．
例4 (2010·湖北高考改)记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最

小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边边长为a、b、c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度

为t＝max{ab，bc，ca}·min{ab，bc，ca}，
求证：“t＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件．
巩固训练4
(2011·湖北高考)若实数a，b，满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补，记
φ
(a，b)＝a2＋b2－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的( )
A．必要而不充分的条件
B．充分而不必要的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件

例4 【证明】 (必要性)若△ABC为等边三角形，
则a＝b＝c，此时ab＝bc＝ca＝1，
所以t＝max{ab，bc，ca}·min{ab，bc，ca}＝1
(充分性)若t＝max{ab，bc，ca}·min{ab，bc，ca}＝1，
例如a＝b＝2，c＝3，此时max{ab，bc，ca}＝32，
min{ab，bc，ca}＝23，则t＝1，但是△ABC是等腰三角形，而不是等边三角形．
综上t＝1是△ABC为等边三角形的必要不充分条件．
巩固训练4 解析：φ(a，b)＝a2＋b2－a－b＝0
即a2＋b2＝a＋b，则a2＋b2＝a2＋b2＋2ab，
∴ab＝0，∴a≥0，b≥0，且a与b互补．
答案：C

走进高考
（2019·全国卷II理）设，为两个平面，则∥的充要条件是 （ ）

A.内有无数条直线与平行
B.内有两条相交直线与平行
C.，平行于同一条直线
D.，垂直于同一条直线

答案：B