命题及其关系
四种命题及其关系
对所有x, 存在某x， 对任何x 对所有x, 存在某 ， 对任何x， 成立 不成立 不成立 P且 q
┐p或┐q 或
P或 q
┐p且┐q 且
条
原命题 逆命题 否命题
件
结论
两直线平行 同位角相等
同位角相等， 同位角相等， 两直线平行， 两直线平行，
同位角不相等， 两直线不平行 同位角不相等，
两直线不平行， 逆否命题 两直线不平行， 同位角不相等 互为逆否命题：一个命题的条件 结论分别是另一个 互为逆否命题：一个命题的条件和结论分别是另一个 条件和 命题的结论的否定 条件的否定， 结论的否定和 命题的结论的否定和条件的否定， 互为逆否命题。 这两个命题叫做互为逆否命题 这两个命题叫做互为逆否命题。 其中一个命题叫做原命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 另一个命题叫做原命题的逆否命题。 逆否 命 题：另一个命题叫做原命题的逆否命题。 逆否命题:若 逆否命题 若┐q ,则┐ p 则 原命题: p,则 原命题:若p,则q
条
原命题 逆命题 否命题
件
结论
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； f(x)是正弦函数 是正弦函数， f(x)是周期函数 是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； f(x)是周期函数 是周期函数， f(x)是正弦函数 是正弦函数； 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； f(x)不是正弦函数 不是正弦函数， f(x)不是周期函数 不是周期函数；
例: “若x2+y2≠0，则x，y至少有一个不为0” ≠0， 至少有一个不为0” 是命题A的否命题，写出命题A及其逆命题、 是命题A的否命题，写出命题A及其逆命题、 逆否命题并判断它们的真假。 逆否命题并判断它们的真假。
《命题及其关系》教案
《命题及其关系》教案第一章：命题的基本概念1.1 命题的定义引导学生理解命题的概念，命题是一个陈述句，它要么是真的，要么是假的。
通过举例说明命题的真假性质，如“今天是星期一”是一个命题，它要么是真的，要么是假的。
1.2 命题的构成要素解释命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
举例说明命题的构成，如“如果下雨，地面会湿”中，“下雨”是题设，“地面会湿”是结论。
第二章：命题的真假判断2.1 判断命题的真假教授学生如何判断命题的真假，只有当命题的所有条件都满足时，命题才为真。
通过举例让学生练习判断命题的真假，如“今天是星期一”这个命题是真的，因为今天是星期一。
2.2 逆命题和反命题解释逆命题和反命题的概念，逆命题是将命题中的题设和结论互换位置得到的新命题，反命题是将命题的题设和结论都取反得到的新命题。
举例说明逆命题和反命题的过程，如“如果下雨，地面会湿”的逆命题是“如果地面会湿，下雨”，反命题是“如果不下雨，地面不会湿”。
第三章：命题的逻辑关系3.1 逻辑连接词介绍逻辑连接词的概念，逻辑连接词是用来连接两个命题的词语，如“且”、“或”、“非”等。
举例说明逻辑连接词的使用，如“今天是星期一且下雨”这个命题只有在今天是星期一且下雨的情况下才为真。
3.2 复合命题解释复合命题的概念，复合命题是由简单命题通过逻辑连接词连接而成的命题。
举例说明复合命题的构成，如“如果下雨，地面会湿”和“如果不下雨，地面不会湿”可以通过逻辑连接词连接成“如果下雨，地面会湿；如果不下雨，地面不会湿”的复合命题。
第四章：命题的等价关系4.1 等价命题的概念解释等价命题的概念，等价命题是指在所有情况下都具有相同真值的命题。
举例说明等价命题的特点，如“今天是星期一”和“今天不是星期日”在所有情况下都具有相同的真值，它们是等价命题。
4.2 等价命题的判断教授学生如何判断两个命题是否为等价命题，可以通过逻辑推理或者真值表来判断。
四种命题及其关系
四种命题及其关系一、四种命题的概念1. 原命题- 定义：若用p表示条件，q表示结论，则原命题为“若p，则q”，例如“若x = 1，则x^2=1”。
2. 逆命题- 定义：将原命题的条件和结论互换得到的命题，即“若q，则p”。
对于上面的例子，其逆命题为“若x^2=1，则x = 1”。
3. 否命题- 定义：将原命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ p，则¬q”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其否命题为“若x≠1，则x^2≠1”。
4. 逆否命题- 定义：将逆命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ q，则¬p”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其逆否命题为“若x^2≠1，则x≠1”。
二、四种命题之间的关系1. 原命题与逆命题- 关系：原命题的条件和结论是逆命题的结论和条件，它们之间是互逆的关系。
原命题为真时，逆命题不一定为真。
例如原命题“若a = 0，则ab=0”是真命题，其逆命题“若ab = 0，则a = 0”是假命题（因为当b = 0时，a可以不为0）。
2. 原命题与否命题- 关系：原命题与否命题是互否的关系，原命题为真时，否命题不一定为真。
例如原命题“若x>2，则x>1”是真命题，其否命题“若x≤slant2，则x≤slant1”是假命题。
3. 原命题与逆否命题- 关系：原命题与逆否命题是同真同假的关系。
例如原命题“若a = b，则a^2=b^2”是真命题，其逆否命题“若a^2≠ b^2，则a≠ b”也是真命题；原命题“若x = 1且y = 2，则x + y=3”是真命题，其逆否命题“若x + y≠3，则x≠1或y≠2”也是真命题。
4. 逆命题与否命题- 关系：逆命题与否命题是互为逆否的关系，所以它们也是同真同假的关系。
例如对于原命题“若p，则q”，其逆命题“若q，则p”和否命题“若¬ p，则¬q”，若逆命题为真，则否命题也为真；若逆命题为假，则否命题也为假。
高中数学常用逻辑用语：命题及其关系
常用逻辑用语：命题及其关系要求层次重难点 “若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题A 理解四种命题的相互关系；掌握充要条件的判定四种命题的相互关系B 充要条件C（一） 知识内容1．对于“如果p ，则q ”形式的命题，p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．定理：经过证明为真的命题．当命题“如果p ，则q ”经过推理证明断定是真命题时，我们就说则p 可以推出q ，记作p q ，读作“p 推出q ”．2．命题的四种形式：命题“如果p ，则q ”是由条件p 和结论q 组成的，对p q ，进行“换位”和“换质（否定）”后，可以构成四种不同形式的命题． ⑴原命题：如果p ，则q ； ⑵原命题的逆命题：如果q ，则p ； ⑶原命题的否命题：如果非p ，则非q ； ⑷原命题的逆否命题：如果非q ，则非p ．否逆为互逆为互否互否互逆互否互逆如果非q ,则非p如果非p ,则非q如果 q,则 p如果 p,则 q3．命题“如果p ，则q ”的四种形式之间有如下关系：⑴互为逆否命题的两个命题等价（同真或同假）．因此证明原命题，也可以改证它的逆否命题．例题精讲高考要求常用逻辑用语：命题及其关系板块一：命题的四种形式⑵互逆或互否的两个命题不等价．<教师备案>注意命题的否定与否命题之间的区别，前者是命题的反面，且与命题的真假恰好相反；后者是对条件与结论同时进行否定，它的真假与原命题的真假没有绝对的联系．（二）典例分析【例1】 判断下列语句是否是命题：⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；【例2】 判断下列命题的真假．⑴空间中两条不平行的直线一定相交； ⑵垂直于同一个平面的两个平面互相垂直； ⑶每一个周期函数都有最小正周期； ⑷两个无理数的乘积一定是无理数； ⑸若A B ，则A B B ≠；⑹若1m >，则方程220x x m -+=无实数根． ⑺已知a b c d ∈R ，，，，若a c ≠或b d ≠，则a b c d +≠+； ⑻已知a b c d ∈R ，，，，a b c d +≠+，则a c ≠或b d ≠．【例3】 设语句()p x ：πcos()sin 2x x +=-，写出π()3p ，并判断它是不是真命题；【例4】 下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【例5】 如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； ①如果两个三角形的面积相等，那么它们全等； ② 如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等； ③ 如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等； ④ 命题②、③、④与命题①有何关系？【例6】 写出下列命题的否命题，并判断否命题的真假．⑴命题p ：“若0,ac ≥则二次方程20ax bx c ++=没有实根”； ⑵命题q ：“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”； ⑶命题r ：“若(1)(2)0x x --=，则1x =或2x =”．⑷命题l ：“ABC ∆中，若90C ︒∠=，则A ∠、B ∠都是锐角”； ⑸命题s ：“若0abc =，则a b c ，，中至少有一个为零”．【例7】 下列命题中正确的是（ ）①“若220x y +≠，则x y ，不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题③“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题④“若x x 是无理数”的逆否命题A ．①②③④B ．①③④C ．②③④D ．①④【例8】 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”； ⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”； ⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；【例9】 ⑴命题：“若220()，a b a b +=∈R ，则“0a b ==”的逆否命题是（ ） A ．若0()，a b a b ≠≠∈R ，则220a b +≠ B ．若0a ≠且0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠ C ．若0()，a b a b =≠∈R ，则220a b +≠ D ．若0a ≠或0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠ ⑵有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题．其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．【例10】 ⑴ “在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则A ∠、B ∠都是锐角”的否命题为；⑵（2007重庆）命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） A ．若21≥x ，则1≥x 或1≤x - B ．若11x -<<，则21x < C ．若1x >或1x <-，则21x > D ．若1≥x 或1≤x -，则21≥x【例11】 下列命题中_________为真命题．①“A B A =”成立的必要条件是“A B ”；②“若220x y +=，则x ，y 全为0”的否命题； ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．【例12】 已知命题“如果1≤a ，那么关于x 的不等式22(4)(2)10≥a x a x -++-的解集为∅”．它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（ ）A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个【例13】 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．⑴若m S ，2m S +，1m S +成等差数列，证明m a ，2m a +，1m a +成等差数列； ⑵写出⑴的逆命题，判断它的真伪，并给出证明．【例14】 ⑴命题p ：奇函数一定有(0)0f =；命题q ：函数1y x x=+的单调递减区间是[10)(01]，，-．则下列四个判断中正确的是（ ）A ．p 真q 真B ． p 真q 假C ． p 假q 真D ． p 假q 假 ⑵设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号是 ____ ．（写出所有真命题的序号）【例15】 设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:，f V V a V →∈，记a 的象为()f a ．若映射:f V V →满足：对所有，a b V ∈及任意实数，λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换．现有下列命题： ①设f 是平面M 上的线性变换，则(0)0f =；②对a V ∈，设()2f a a =，则f 是平面M 上的线性变换； ③若e 是平面M 上的单位向量，对a V ∈设()f a a e =-，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，，a b V ∈，若，a b 共线，则()()，f a f b 也共线． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）【例16】 对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD ∆的三条高线的交点；③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面； ④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．【例17】 设直线系:cos (2)sin 1(02π)M x y θθθ+-=≤≤，对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．【例18】 关于x 的方程()222110x x k ---+=，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【例19】 命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【例20】 有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例21】 原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．4【例22】 下面有五个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π． ②终边在y 轴上的角的集合是π|2k a a k ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ，． ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点．④把函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6得到3sin 2y x =的图象．⑤函数πsin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0π，上是减函数． 其中真命题的序号是 ．【例23】 设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ）A ．a α⊥，b β∥，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，αβ∥C ．a α⊂，b β⊥，αβ∥D ．a α⊂，b β∥，αβ⊥【例24】 命题“若ABC ∆不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 ．【例25】 给出以下四个命题：①“若0x y +=，则x y ，互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q -≤，则20x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．其中真命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【例26】 对于直角坐标平面内的任意两点11()，A x y 、22()，B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，AC CB AB +>． 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例27】 有下列四个命题：①“若0x y +=，则，x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题．其中真命题为（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【例28】 已知三个不等式：000，，c dab bc ad a b>->->（其中，，，a b c d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【例29】 命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥【例30】 已知m n ，是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若m n αα∥，∥，则m n ∥ B ．若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥ C ．若m m αβ∥，∥，则αβ∥D ．若m n αα⊥⊥，，则m n ∥【例31】 已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，n α⊥，则n m ⊥；③若m α⊥，m β∥，则αβ⊥． 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3。
命题及其关系
3、四种命题及其关系： 互为逆否的两个命题,其真假性相同。
互逆或互否的两个命题,其真假性没有关系。
练习5：课本P8——练习 常见用语的否定： p 是 都 (全 ) 是 一定是 = ┐p 不是 不都(全)是 不一定是 ≠
> <
至多有一个 至少有一个 A且B A或B
≤ ≥
至少有2个 中的条件和结论。 1、若直线a//b,则直线a,b无公共点。 2、若整数a能被2整除,则a是偶数。 3、若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分。 4、若x2=1,则x=1。 5、若整数a是素数,则a是奇数。 6、若空间中两条直线不相交,则两直线平行。
练习3：将下列命题写成“若p,则q”形式,并判断真假。 1、负数的平方是正数。 2、对顶角相等。 3、垂直于同一条直线的两个平面平行。 4、正方形的四条边相等。 5、两个全等三角形的面积相等。 6、垂直于同一条直线的两条直线平行。 7、空集是任意集合的真子集。 8、相切两圆的连心线经过切点。 9、等边三角形的三个内角相等。
1、命题的定义：
1)可以判断真假 2)陈述句
判断为真——真命题；判断为假——假命题。
2、命题的形式： 条件
结论
常见的形式为:“若p,则q”。
有一些命题虽然表面上不是”若p,则q”的形式, 但将其表述略加改变,就可以写成”若p,则q”的形式。
3、四种命题及其关系：
原命题 若p,则q
互 否 互逆
逆命题 如果一个命题的条件和结论 若q,则p 分别是另一个命题的结论 和条件,这样的两个命题叫 互 做互逆命题。
否
若一个命题的条件和 逆否命题 互逆 若┐q,则┐p 结论分别是另一个命题 的结论的否定和条件的 若一个命题的条件和结论恰好是 否定,则把这样的两个 另一个命题的条件的否定和结论的 命题叫做互为逆否命题。 否定,这样的两个命题叫做互否命题。 否命题 若┐p,则┐q 注意四种命题的相对性：一旦一个命题定为原命题,就相应地有 它的逆命题、否命题、逆否命题。 练习4：课本P6
高中数学知识点精讲精析 命题及其关系
1.1 命题及其关系1.命题的构成――条件和结论定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．2．命题的分类――真命题、假命题的定义．真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．强调：(１)注意命题与假命题的区别．如：“作直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．(２)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，强调真假命题的大前提，首先是命题。
3．定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．小结：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
4．四种命题的形式原命题：若P，则q．则：逆命题：若q，则P．否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）逆否命题：若￢q，则￢P．5．①原命题为真，它的逆命题不一定为真。
命题及其关系
3．(2009·重庆)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案：B
)
4．“ω＝2”是“函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π”的( A．充分非必要条件 C．充分必要条件 B．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件
解答：(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0为真命题．
用反证法证明：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.
∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，
∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真．
变式2.已知a、b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2－b2＝1.该条件
是否为必要条件？试证明你的结论． 证明：∵a2－b2＝1，∴a4－b4－2b2＝(a2－b2)(a2＋b2)－2b2＝(a2＋b2)－2b2＝ a2－b2＝1. 即a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2－b2＝1. 另一方面又a4－b4－2b2＝1，即为a4－(b4＋2b2＋1)＝0.a4－(b2＋1)2＝0， (a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0，又a2＋b2＋1≠0，∴a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1. 因此a2－b2＝1既是a4－b4－2b2＝1的充分条件，也是a4－b4－2b2＝1的必要条件.
(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的 充要条件 (sufficient and necessary condition)． 4．反证法与证命题的逆否命题 反证法首先 否定结论，即假定结论不成立 ．由此出发直至推出 与题设、定义 、 定理相矛盾 ；证命题的逆否命题，即由 结论 的否定推出 题设 的 否定 ．
《命题及其关系》教案
《命题及其关系》教案一、教学目标1. 让学生理解命题的概念，掌握命题的构成要素。
2. 培养学生分析、判断和推理的能力。
3. 使学生了解命题之间的关系，学会运用逻辑推理解决问题。
二、教学内容1. 命题的概念与构成要素2. 命题之间的关系3. 逻辑推理方法三、教学重点与难点1. 教学重点：命题的概念、命题之间的关系、逻辑推理方法。
2. 教学难点：命题之间的关系，逻辑推理方法的运用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解命题的概念、构成要素、关系及逻辑推理方法。
2. 案例分析法：分析具体案例，引导学生理解命题之间的关系。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作与交流能力。
4. 练习法：设计相关练习题，巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生认识命题。
2. 讲解命题的概念与构成要素：明确命题的定义，讲解命题的构成要素。
3. 讲解命题之间的关系：介绍蕴含、矛盾、反对等关系。
4. 逻辑推理方法：讲解演绎推理、归纳推理、类比推理等方法。
5. 案例分析：分析具体案例，引导学生理解命题之间的关系。
6. 小组讨论：分组讨论，探讨命题之间的关系及逻辑推理方法。
7. 练习巩固：设计相关练习题，让学生运用所学知识解决问题。
8. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考命题及其关系在实际生活中的应用。
9. 作业布置：布置练习题，让学生巩固所学知识。
10. 课后辅导：针对学生作业中出现的问题进行辅导，解答学生的疑问。
六、教学评价1. 评价方式：过程性评价与终结性评价相结合。
2. 评价内容：a. 命题的概念与构成要素的理解程度。
b. 命题之间的关系识别和运用能力。
c. 逻辑推理方法的掌握和运用情况。
d. 案例分析与小组讨论的参与度。
e. 练习题的完成质量。
七、教学资源1. 教材：相关章节内容。
2. 案例材料：用于分析和讨论的实际案例。
3. 练习题：设计不同难度的练习题。
4. 教学课件：用于辅助讲解和展示。
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命题及其关系
知识点：
1. 命题：
1.1 概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 1.2 分类：
真命题 假命题 1.3 关系： 原命题
逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则
这两个命题称为互逆命题。
若原命题为“若p ，则q”，它的逆命题为“若q ，则p” 否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结
论的否定，则这两个命题称为互否命题
若原命题为“若p ，则q”，则它的否命题为“若 p ，则 q”
逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和
条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题
若原命题为“若 ，则 ”，则它的逆否命题为“若 ，则 ” 1,4 四种命题的真假性：（有且仅有一下四种情况）
原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假
假
假
假
1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性
2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系
2. 充分必要条件： 2.1 概念：
若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．
全称量词：“∀” 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词 存在量词：“∃” 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词 全称命题：含有全称量词的命题
“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”
特称命题：含有特称量词的命题
“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”． 2.2 命题之间关系： 1）“且” p q ∧
当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；
当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 2）“或” p q ∨
当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题 3）“非” p ⌝
若p 是真命题，则p ⌝必是假命题
若p 是假命题，则p ⌝必是真命题
2.3 全称命题的否定 全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝． 全称命题的否定是特称命题．
练习：
1. 给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3
(B)2
(C)1
(D)0
2. 设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是 ( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
3. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”
的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 4. 设x∈R,则“2-x≥0”是“|x -1|≤1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 命题“对任意的3
2
10x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3
2
10x R x x ∈-+，≤ B ．存在32
10x R x x ∈-+，≤ C ． 存在3
210x R x x ∈-+>，
D ．对任意的3
2
10x R x x ∈-+>，
6. (2017北京,7,5分)设m,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7. (2015北京,6,5分,0.44)设a,b 是非零向量.“a·b=|a|·|b|”是“a∥b”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8. (2014北京,5,5分,0.66)设a,b 是实数,则“a>b”是“a2>b2”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
9. (2013北京,3,5分)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：
2. 答案 D 命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则
m≤0”,故选D.
4.答案 B 本题考查不等式的解法及充分、必要条件的判断.
由2-x≥0,得x≤2;由|x-1|≤1,得-1≤x-1≤1,即0≤x≤2,因为[0,2]⫋(-∞,2],所以“2-x≥0”是“|x-1
|≤1”的必要而不充分条件,故选B.
6. 答案 A由存在负数λ,使得m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0,故充分性
成立.由m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.故选A.
7. 答案 A∵a·b=|a|·|b|·cos<a,b>,
∴a·b=|a|·|b|时,有cos<a,b>=1,即<a,b>=0,∴a∥b.
而当a∥b时,a,b的夹角为0或π,
此时a·b=|a|·|b|或a·b=-|a|·|b|.
综上,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件,故选A.
8. 答案 D a>b不能推出a2>b2,例如a=-1,b=-2;a2>b2也不能推出a>b,例如a=-2,b=1.故“a>b”是
“a2>b2”的既不充分也不必要条件.
9. 答案 A 当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin 2x,此时曲线过坐标原点;但曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点时,
φ=kπ(k∈Z),∴“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必要条件,故选A.。