线代试题2008-2009下C(54A卷)答案
武汉理工2008年末-线代-A
武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸| 课程名称——线性代数—— （ A 卷） |一、填空题：（每小题3分，共15分）1．6；2．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--233421（未写出的元素为0）；3．-128；4．2；5．.3535<<-t二、选择题： 1.B ； 2.C ； 3.B ； 4.C ； 5.A （每小题3分，共15分）三、计算题： 1．()20092008000020082008000200920091200800020092008000020092008200820082007⨯⨯-+⨯=D （5分）=2007200720092008+ (10分)2．首先，11)(6---=E A B （3分）其次，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-7431A ， （5分）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--6321E A ， （7分）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---6/13/12/111EA， （9分） 最后， .123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B (10分) 注：矩阵中未写出的元素为0。
3．方程组的系数行列式()()⇒≠+-=---=012111111λλλλλA （3分） （1）21≠-≠λλand，时，方程组有唯一解； （5分）（2）当2=λ时，方程组的增广矩阵)()(100021104211~B R A R B <⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--此时方程组无解； （7分）（3）当1-=λ时，方程组的增广矩阵⇒<=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3)()(000000001111~B R A R B此时方程组有无穷多个解，其通解为.),(0011010112121R k k k k X ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （10分）4．解：观察知，矩阵A 的第一列加上第二列的（-1）倍，然后再交换第二列和第三列即得B ，（4分）根据初等方阵的定义，两次初等 列变换所对应的初等方阵分别为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1111111，；（8分） 再根据初等行变换的实质得，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111111111X . （10分）注：矩阵中未写出的元素为0。
《线性代数》模拟试卷(A)卷
厦门大学网络教育2008-2009学年第一学期《线性代数》模拟试卷（ A ）卷一、单项选择题(每小题3分，共24分).1. 若111221226a a a a =，则121122212020021a a a a --的值为( ). A ．12； B. －12； C. 18； D. 0. 2. 设A B 、为同阶方阵，则下面各项正确的是( ).A.若0AB =, 则0A =或0B =；B.若0AB =，则0A =或0B =；C.22()()A B A B A B -=-+；D.若A B 、均可逆，则111()AB A B ---=.3. 若方程组12312302403690x t x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的基础解系含有两个解向量，则 t =( ). A ．2； B ．4； C ．6； D ．8.4. 已知方程组A x b =对应的齐次方程组为0Ax =，则下列命题正确的是( ).A ．若0Ax =只有零解，则Ax b =一定有唯一解；B ．若0Ax =有非零解，则Ax b =一定有无穷解；C ．若Ax b =有无穷解，则0Ax =一定有非零解；D ．若Ax b =有无穷解，则0Ax =一定只有零解.5. 设12, u u 是非齐次线性方程组Ax b =的两个解，则以下结论正确的是( ).A ．12u u +是Ax b =的解；B ．12u u -是Ax b =的解；C ．1ku 是Ax b =的解（1k ≠）；D ．12u u -是0Ax =的解. 6. 设123,,a a a 线性相关，则以下结论正确的是( ).A ．12,a a 一定线性相关；B ．13,a a 一定线性相关；C ．12,a a 一定线性无关；D ．存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k a k a k a ++=.7. 若20000101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与200010001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦相似，则x =( ). A ．-1； B ．0； C ．1； D ．2.8. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=32232221x x 12x 3x 3x +++是( ).A. 正定的；B. 半正定的；C. 负定的；D. 不定的.二、填空题(每小题4分，共24分)1. 设802020301A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，*A 为A 的伴随矩阵，则*A =_________. 2. 非齐次线性方程组m n A x b ⨯=有唯一解的充分必要条件是_________.3. 设方程组123131232 1 2 53(8)8x x x x x x x a x ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩，当a 取__________时，方程组无解.4. 设向量组1(1,3,)a k =-，2(1,0,0)a =，3(1,3,2)a =-线性相关，则k =_________.5. 二次型3231212322213214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型，则t 的取值范围是_____________.6. 3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则21()A -的特征值为_________.三、计算题(共38分).1. (10分) 计算行列式 3112513420111533D ---=---.2. (10分) 求123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵1A -.3. (10分)求向量组)11,9,5,8(),2,1,1,3(),10,7,1,1(),1,1,1,2(4321=--=-==αααα的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.4. (8分)已知111131111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求A 的特征值. 四、证明题(每小题7分，共14分).1. 设列矩阵12(,,,)T n X x x x = 满足1T X X =，E 为n 阶单位阵，2T H E XX =-，证明: H 是对称阵，且T HH E =.2. 证明二次型22256444f x y z xy xz =---++是负定的.答案：一．1．A 1211121112111112222122212221212220220(1)22122021a a aa a a a a a a a a a a a a =-=-==--2. B 由矩阵的理论可得选项B3. C 基础解系含有两个解向量3()2()1r A r A ⇒-=⇒=,12312324006369000A t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,6t =时，()1r A =4. C 当()()r A r A =时，Ax b =有解5. D 1212()2A u u Au Au b b b +=+=+=，因此12u u +不是Ax b =的解， 下面的选项类似讨论6. D 由线性相关的定义可得选项D7. B 相似矩阵具有相同的特征值8．D f 的矩阵是100036063A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，A 的各阶主子式为：1110a =>，103003=>，10003613366270063A ==⋅⋅-⋅=-<，因此f 为不定的 二．1．16 8022016124301A ==-=， 33***416A A A E A AA A ====⇒=2. n A r =)( 由方程组解的理论可得3. 0 方程组无解可得()(,)r A r A b ≠11211121112110120111011153880223001a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,(,)3r A b =，当0a =时，()2r A =。
南京工业大学近几年线性代数考试试卷及答案教学提纲
南京工业大学近几年线性代数考试试卷及答案南京工业大学近些年线代期末考试卷及答案包括以下六份试卷1南京工业大学线性代数课程考试试卷（A）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期) 2南京工业大学线性代数课程考试试卷（B）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)3南京工业大学线性代数试题（B）卷（闭）2007--2008学年第一学期使用班级江浦各专业本科生4南京工业大学线性代数试题（A）卷（闭）2008--2009学年第一学期使用班级江浦各专业本科生5南京工业大学线性代数试题（B）卷（闭）2008--2009学年第一学期使用班级江浦各专业本科生6南京工业大学线性代数试题（A）卷（闭）2008--2009学年第二学期使用班级计软0801－3南京工业大学线性代数课程考试试卷（A）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)所在系(院) 班级学号姓名一．填空题(每空3分，共15分)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢31、 若n 阶方阵A 满足02=+-E A A (E 为单位阵)，则A 的逆矩阵=-1A ____________.2、设矩阵B 是由矩阵A 划去某一列所得, 则秩(B )________秩(A ).3、若1111320=zy x, 则=---222431111z y x ________..4、若向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112k α 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110k β 正交，则=k ________. 5、已知三阶矩阵A 的特征值为,2,1,1-设,223A A B -=则B 的三个特征值为 ________.二． 单项选择题(每题3分，共15分)1、齐次线性方程组0=x A 的一个基础解系为123212131,,100010001ααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则A 的秩为 （ ）5)()(=A R A 4)()(=A R B 3)()(=A R C 2)()(=A R D 2、设有m 个n 维向量)(n m >，则 （ ）)(A 必线性相关 )(B 必线性无关 )(C 不一定 )(D 无法确定3、设A 为n 阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是 （ ）()A A A '- ()B CAC ' （C 为任意n 阶方阵）仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4()C AA ' ()()D AA B ' （B 为任意n 阶方阵）4、设A 与B 均为n 阶方阵，若A 与B 相似，则下面论断错误的是 （ ）)(A 存在M ，且0M ≠，并有AM MB = )(B A 与B 有相同的特征值B E A EC -=-λλ)( )(D A 与B 均可对角化5、若向量组321,,ααα 线性无关，向量组421,,ααα线性相关, 则（ ）)(A 4α 必不可由321,,ααα 线性表示 )(B 4α必可由321,,ααα 线性表示 )(C 2α 必不可由431,,ααα 线性表示 )(D 2α必可由431,,ααα 线性表示三. (12分) 求n 阶行列式:)1(10000022000111321------n n n n 。
线代答案
内蒙古科技大学2006/2007学年第二学期《线性代数》试题 课程号：10132105 考试方式： 闭卷 使用专业、年级： 06级(本科) 工科各专业 命题教师：何林山 考试时间：2007.7.16 一、填空题（每题6分，共24分）1．若矩阵A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=230154012，则行列式|21A|= ，秩 R( A)= 。
2．向量组E ：),0,0,1(1=Te )0,1,0(2=Te ，)1,0,0(3=T e 是线性 关的，任一个三维向量),,(321b b b T =β由向量组E 的线性表示式是=β 。
3．设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n a a a a ...............1111， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 1，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b 1，如果秩R(A)= r <n ，并且非齐次线性方程组b Ax =有无穷多解，则R （A ，b ）= ，行列式|A|= 。
4．设A 是m 行n 列的矩阵 ，且m>n,如果秩R(A)= n ，那么A 的列向量组线性 关 ， A 的行向量组线性 关 。
二、选择题（每题4分，共16分）1．设A 、B 都是n 阶方阵，下面结论不正确的是： 。
A.行列式 |AB|=|B| |A|B. 如果 A 、B 都可逆，则111---=A B AB ）（ C.T T T A B B A +=+)( D.若 AB=O 则必有A=O 或B=O2．设A 、B 是已知的n 阶方矩阵，X 是未知矩阵，且|A|0≠ ，则矩阵方程XA —B=0中的未知矩阵X= 。
A.1-BAB.B A 1-C.A B 1-D.1-A3．设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m n a a a a ......1111 ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 1，秩r （A ）= r < n ，齐次线性方程组O Ax =有非零解，则它的基础解系中解向量的个数是 。
2008年07月线性代数(经管类)试题及答案
全国2008年07月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设3阶方阵A=[321,,ααα]，其中i α（i=1, 2, 3）为A 的列向量，且|A|=2，则|B|=|[3221,,3ααα+α]|=（ C ） A.-2 B.0 C.2 D.62.若方程组⎩⎨⎧=-=+0x kx 0x x 2121有非零解，则k=（ A ）A.-1B.0C.1D.23.设A ，B 为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（ C ） A.|AB|=|A| |B|B. (AB)-1=B-1A-1C. (A+B)-1=A-1+B-1D. (AB)T=BTAT4.设A 为三阶矩阵，且|A|=2，则|（A*）-1|=（ D ）A.41B.1C.2D.45.已知向量组A ：4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么（ B ）A. 4321,,,αααα线性无关B. 4321,,,αααα线性相关C. 1α可由432,,ααα线性表示D. 43,αα线性无关 6.向量组s 21,,ααα 的秩为r ，且r<s ，则（ C ） A. s 21,,ααα 线性无关B. s 21,,ααα 中任意r 个向量线性无关C. s 21,,ααα 中任意r+1个向量线性相关D. s 21,,ααα 中任意r-1个向量线性无关 7.若A 与B 相似，则（ D ） A.A ，B 都和同一对角矩阵相似 B.A ，B 有相同的特征向量C.A-λE=B-λED.|A|=|B|8.设1α，2α是Ax=b 的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ B ） A. η+1α是Ax=0的解B. η+（1α-2α）是Ax=0的解C. 1α+2α是Ax=b 的解D. 1α-2α是Ax=b 的解 9.下列向量中与α=（1，1，-1）正交的向量是（ D ） A. 1α=（1，1，1） B. 2α=（-1，1，1） C. 3α=（1，-1，1） D. 4α=（0，1，1）10.设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111，则二次型f(x1，x2)=xTAx 是（ B ）A.正定B.负定C.半正定D.不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
2009高等数学下试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008--2009学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
将答案写在横线上） 1．微分方程"2'40y y y ++=的通解为_______________。
（今年不作要求） 2．设y z x =，则dz = 。
3．设L 是圆周221x y +=，L 取逆时针方向,则 2Lydx xdy +=⎰Ñ__________。
4．设0,||3,||1,||2a b c a b c ++====u r, 则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= 。
5. 级数1(1)n n ∞-=-∑是____________级数(填绝对收敛,条件收敛或发散)。
二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
）1．过点(2,3,1)-且垂直于平面2310x y z +++=的直线方程是（ ）A ．231231x y z -++==B ．231231x y z -+-==-- C．231231x y z -+-== D ．231231x y z ---==- 2．设22()z y f xy =+-，其中()f u 是可微函数,则zy ∂=∂ （ ）A ．22'12()yf x y +-B ．22'12()yf x y --C ．2222'1()()x y f x y +--D ．222'1()y f x y -- 3．下列级数中收敛的是（ ）A ．1n ∞=B ．11n nn ∞=+∑C ．112(1)n n ∞=+∑D ．n ∞=4. 设Ｄ：4122≤+≤y x ，f 在D 上连续，则⎰⎰+Dd y x f σ)(22在极坐标系中等于（ ）Ａ. dr r rf ⎰21)(2π Ｂ. dr r rf ⎰212)(2πＣ. ⎰⎰-1222])()([2dr r f r dr r f r π Ｄ. ⎰⎰-1222])()([2dr r rf dr r rf π5. 一曲线过点，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率ln xk y x=-，则此曲线方程为（ ）A. 21ln 22x y e=B. 21ln 21)2x y e =C. 21ln 2122x y x e =+ D. 21ln 2x y e =三．计算题（本大题共6小题，每小题5分， 共30分）1．已知2sin()z y xy x =+，求z x∂∂，2z x y ∂∂∂。
2009年10月全国自考线性代数(经管类)真题参考答案
中国自考人()——700门自考课程永久免费、完整在线学习快快加入我们吧！2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.A.-2B.-1C. 1D. 2答案：B2.A. AB. BC. CD. D答案：C3.A. AB. BC. CD. D 答案：A4.A. AB. BC. CD. D 答案：A5.A. AB. BC. CD. D 答案：B6.A. AB. BC. CD. D答案：C7.A. AB. BC. CD. D答案：D8.下列矩阵中不是初等矩阵的为()A. AB. BC. CD. D答案：D9.A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B10.A. AB. BC. CD. D答案：D二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1. 图中空白出应为：___答案：22. 图中空白出应为：___答案：3. 图中空白出应为：___答案：4.图中空白出应为：___答案：5.图中空白出应为：___答案：16.图中空白出应为：___答案：27.图中空白出应为：___答案：-18.图中空白出应为：___答案：249.图中空白出应为：___答案：-110.图中空白出应为：___答案：-3＜a＜1三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：四、证明题（本题6分）1.答案：中国自考人()——改写昨日遗憾创造美好明天！用科学方法牢记知识点顺利通过考试！。
全国自考 线性代数 历年考试真题与答案
全国高等教育 线性代数（经管类） 自学考试 历年（2009年07月——2013年04月）考试真题与答案全国2009年7月自考线性代数（经管类）试卷课程代码：04184试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵;R (A )表示矩阵A的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的 括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设A ,B ,C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是( ) A.（A +B ）T =A T +B T B.|AB |=|A ||B | C.A (B +C )=BA +CA D.(AB )T =B T A T2.已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a ---=( ) A.-24 B.-12 C.-6D.123.若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是( ) A.A =*1A AB.0=AC.2112)()(--=A AD.113)3(--=A A4.若A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-251213，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-131224，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--211230，则下列矩阵运算的结果为3×2矩阵的是( ) A.ABC B.AC T B T C.CBAD.C T B T A T5.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4，其中α1，α2，α3线性无关，则( ) A.α1，α3线性无关B.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1，α2，α3，α4线性相关D.α2，α3，α4线性相关6.若四阶方阵的秩为3，则( ) A.A 为可逆阵B.齐次方程组Ax =0有非零解C.齐次方程组Ax =0只有零解D.非齐次方程组Ax =b 必有解7.设A 为m×n 矩阵，则n 元齐次线性方程Ax=0存在非零解的充要条件是( ) A.A 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性无关 D.A 的列向量组线性无关8.下列矩阵是正交矩阵的是( ) A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001B.21⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110011101C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--θθθθcos sin sin cos D.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3361022336603361229.二次型正定的充要条件是为实对称阵)(A Ax x T =f ( ) A.A 可逆B.|A |>0C.A 的特征值之和大于0D.A 的特征值全部大于010.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--4202000k k 正定，则( )A.k>0B.k ≥0C.k>1D.k ≥1二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
河南理工大学线性代数历年考试
河南理工大学2007-2008线性代数试题一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内) (本大题分3小题, 每小题2分, 共6分)1、 设 向 量 组 ()1,1,1λα= , ()1,,12λα= , ()λα,1,13= 线 性 相 关， 则必 有（ ）()0=λA 或 λ=1 , ()1-=λB 或 λ=2 , ()1=λC 或 λ=2 , ()1=λD 或 λ=-2 .2、设 n 维 向 量 组 ααα12,,, m 线 性 无 关， 则 （ ） ()A 组 中 增 加 一 个 任 意 向 量 后 也 线 性 无 关， ()B 组 中 去 掉 一 个 向 量 后 仍 线 性 无 关 ，()C 存 在 不 全 为0 的 数 k k m 1,, ， 使 k i i imα==∑01， ()D 组 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由 其 余 向 量 线 性 表 示 。
3、已 知 向 量 组αα1,, m 的 秩 为r (r <m ), 则 该 向 量 组 中（ ） ()A 必 有r 个 向 量 线 性 无 关 . ()B 任 意r 个 向 量 线 性 无 关 .()C 任 意r 个 向 量 都 是 该 向 量 组 的 最 大 无 关 组 . ()D 任 一 向 量 都 可 由 其 余 向 量 线 性 表 出.二、填空(将正确答案填在题中横线上) (本大题分4小题, 每小题2分, 共8分)1、在n 阶行列式中，关于主对角线与元素ij a 对称的元素是________.2、 设E (,)i j 表示由n 阶单位矩阵第i 行与第j 行互换得到的初等矩阵，则E (,)i j -=1__________.（工）3、 二次型 f x x x x x x x x x x x x x x (,,,)1234121314232426842=++++ 的矩阵表达式为f x x x x (,,,)1234=______________________________________________.（文）3、 设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=420310002A , 则 A -1等于 ___________________.4、 设向量组 ααα123,, 线性相关，而向量组ααα234,, 线性无关， 则向量组ααα123,, 的最大线性无关组是 .三、(10分 ) 计算行列式 D =--1102334620331247的值. 四、（8分）解下列矩阵方程设C AXB =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=032001,7321,050400002C B A ，求X . 五、( 9分 ) 设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=323513123A , 用初等变换法求 A -1.六、( 9分 )设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=014,131,121321a a a ，试用施密特正交化过程把这组向量正交化.七、（8分 ） 设 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=821873240495401322511A ， 求矩阵A 的秩.八、（10分 ） 求方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=++-=--+0739*******54321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系, 并写出其通解.九、解答下列各题( 12分 ) 设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=340430241A ， 求 A 100.十、（10分 ） 试判断实对称矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=943421312A 是否为正定矩阵 ？（文）十、（10分 ）矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=97963422644121121112A ，求矩阵A 的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用这个极大无关组线性表示.十一、证明下列各题（每小题5分，共10分）1、若A 是n 阶对称的可逆矩阵,证明A -1也是对称矩阵.2、设齐次方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0 (0221)11212111n nn n n n n x a x a x a x a x a x a 的系数矩阵行列式1,0i A D =是D中的元素a i n i 11(,,)= 的代数余子式，试证明:),,,(21'in i i A A A 是方程组的一个解.河南理工大学2007-2008线性代数试题答案一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内) (本大题分3小题, 每小题2分, 共6分)1、 D2、B3、A二、填空(将正确答案填在题中横线上)(本大题分4小题, 每小题2分, 共8分)1、ji a2、()j i E ,（工）3、()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛432143210014002312014310x x x x x x x x（文）3、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---210232000214、 32,αα三、(10分 ) 计算行列式 D =--1102334620331247的值. 解110311946031191320469411320469411132204630001==-=-=--=D四、（8分）解下列矩阵方程设C AXB =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=032001,7321,050400002C B A ，求X . 解 11--=CB A X⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0410510000211A ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-13271B =∴X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1327032001041051000021 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1327210053021 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212356521127五、( 9分 ) 设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=323513123A , 用初等变换法求 A -1.()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101200011410001123100323010513001123E A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→1012002110102922700310120021101021023023⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→21021100211010233267001 ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-210212112332671A六、( 9分 )设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=014,131,121321a a a ，试用施密特正交化过程把这组向量正交化. 解11a b =()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=1113512164131,1111222b b a b ()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=2021113512131014222231111333a b七、（8分 ） 设 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=821873240495401322511A ， 求矩阵A 的秩.解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→00001600019420041110251122840019420000004111025112237110324041110411102511A()4=∴A R八、（10分 ） 求方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=++-=--+0739083032054321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系, 并写出其通解.解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=427084*********217391118331211151A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→0000000074721071373010000000042703121 基础解系为1ξ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0723, 2ξ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=70413 通解为()R k k k k x x x x ∈+=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2122114321,ξξ九、解答下列各题( 12分 ) 设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=340430241A ， 求 A 100.解 A 的特征值5,5,1321-===λλλ,对应于5,5,1321-===λλλ的特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121,212,001321x x x令()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==120210121321x x x P ，则P 可逆, 且,120210505511⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-P11500050001,500050001--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=P P A AP P故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-10010010011001001005000501501500050001P P A十、（10分 ） 试判断实对称矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=943421312A 是否为正定矩阵 ？解;021<=∆ ;0321122>=--=∆013>==∆A A ∴为正定矩阵.（文）十、（10分 ）矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=97963422644121121112A ，求矩阵A 的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用这个极大无关组线性表示.解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→0000031000301104010100000310000111041211A A ∴的列向量组的一个极大无关组为:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7211,6611,3412321ααα并且有4215213334;ααααααα-+=--=十一、证明下列各题（每小题5分，共10分）1、若A 是n 阶对称的可逆矩阵,证明A -1也是对称矩阵.证明A A A T ,=可逆()()111---==⇒A A A T T, 1-∴A 也是对称矩阵.2、设齐次方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0 (0221)11212111n nn n n n n x a x a x a x a x a x a 的系数矩阵行列式1,0i A D =是D中的元素a i n i 11(,,)= 的代数余子式，试证明:),,,(21'in i i A A A 是方程组的一个解. 证明 因为⎩⎨⎧≠==+++ik ik D A a A a A a in kn i k i k ,0,2211 而0=D , 所以将in n i i A x A x A x ===,,2211代入方程组的每个方程都适合.故),,,(21'in i i A A A 是方程组的一个解.河南理工大学2008-2009线性代数一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内) (本大题分3小题, 每小题2分, 共6分)1、设 向 量 组αααα1234,,, 线 性 无 关， 则 ( )()14433221 , , , αααααααα-+++A , 线 性 无 关； ()14433221 , , , αααααααα--++B , 线 性 无 关； ()14433221 , , , αααααααα-+++C , 线 性 无 关； ()14433221 , , , αααααααα----A , 线 性 无 关.2、已 知 向 量 组αα1,, m 的 秩 为r (r <m ), 则 该 向 量 组 中（ ） ()A 必 有r 个 向 量 线 性 无 关 . ()B 任 意r 个 向 量 线 性 无 关 .()C 任 意r 个 向 量 都 是 该 向 量 组 的 最 大 无 关 组 . ()D 任 一 向 量 都 可 由 其 余 向 量 线 性 表 出.3、若 方 程 组A X B m n m n ⨯=≤() 对 于 任 意m 维 列 向 量 B 都 有 解， 则( )()().A R A n = ()().B R A m = ()().C R A n > ()().D R A m <二、填空(将正确答案填在题中横线上) (本大题分4小题, 每小题2分, 共8分)1、在 n 阶 行 列 式 中， 关 于主 对 角 线 与 元 素 ij a 对 称 的 元 素 是________.2、设是阶初等方阵则等于E E (,),[(,)]244242_____________________.3、二 次 型 f x x x x x x x x x x x x x (,,,)12341213142223428123167=+++++ 的 矩 阵 表 达式 为 f x x x x (,,,)1234=_____________________________________________.4、 设 向 量 组 ααα123,, 线 性 相 关， 而 向 量 组ααα234,, 线 性 无 关， 则向 量 组ααα123,, 的 最 大 线 性 无 关 组 是 . （文）4、 设 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=220310004A , 则 A -1 等 于 ___________________. 三、(10分 ) 计 算 行 列 式 6421330254332012--=D 的 值. 四、（8分）解下列矩阵方程设C AXB =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=013001,5421,040200003C B A ，求X . 五、( 9分 ) 设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321512123A , 用初等变换法求 A -1.六、( 9分 )设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=013,131,121321a a a，试用施密特正交化过程把这组向量正交化.七、（8分 ） 设 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=55074321311121241321A ， 求矩阵A 的秩. 八、（10分 ） 求方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系， 并 写 出 其 通解.九、解答下列各题( 12分 ) 设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010000,11111B b b a a A 相 似, 求 a b , 的 值. 十、（10分 ） 试判断实对称矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=943421312A 是否为正定矩阵 ？（文）十、（10分 ）矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=97963422644121121112A ，求矩阵A 的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用这个极大无关组线性表示.十一、证明下列各题（每小题5分，共10分） 1、若A 是 n 阶 对 称 的 可 逆 矩 阵， 证 明A -1也 是 对 称 矩 阵. 2、由 行 列 式 定 义 证 明 a a a a a b b b b b c c d d e e 1234512345121212000000000=.河南理工大学2008-2009线性代数答案一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内) (本大题分3小题, 每小题2分, 共6分)1、C2、A3、B二、填空(将正确答案填在题中横线上)(本大题分4小题, 每小题2分, 共8分)1、ji a2、E3、()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛432143217006008408306401x x x x x x x x4、32,αα（文）4、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-81410834100041三、(10分 ) 计 算 行 列 式 6421330254332012--=D 的 值. 解1474573610457336100104333210610433321149104233302114390010=--=--===-=D四、（8分）解下列矩阵方程设C AXB =，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=013001,5421,040200003C B A ，求X . 解 11--=CB A X⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-0210410000311A ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-14251311B =∴X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1425013001021041000031131=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-1425013001060300004121131 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=26313626152539239518726158201561142518003041561五、( 9分 ) 设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321512123A , 用初等变换法求 A -1.解()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30110802101150100321100321010512001123E A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→18538001211220100321121122042022100100321 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------→3811943851002112161002190118538001211220021901 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→3811943851038131953811010389192387001∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-381194385381319538113891923871A 六、( 9分 )设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=013,131,121321a a a ，试用施密特正交化过程把这组向量正交化. 解11a b =()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-=1113512132131,1111222b b a b ()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=23023111355212165013,,222231111333b b b b a b七、（8分 ） 设 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=55074321311121241321A ， 求矩阵A 的秩. 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→0000000000734504132121912150734507345041321A ()2=∴A R八、（10分 ） 求方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系， 并 写 出 其 通 解.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=430013101211212211121211A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→341003010340013410013100101 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==∴43424134334x x x x x x 取基础解系为ξ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=134334, 通解为()R k k x x x x ∈=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ξ4321九、解答下列各题( 12分 ) 设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010000,11111B b b a a A 相 似, 求 a b , 的 值. 解 由,B A =得;b a =由,~B A 得kE B kE A -=-,其中()(),212k a k k k kE A +---=-()()k k k kE B ---=-21故.0==b a十、（10分 ） 试判断实对称矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=943421312A 是否为正定矩阵 ？解 ;021<=∆ ;0321122>=--=∆013>==∆A A ∴为正定矩阵.（文）十、（10分 ）矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=97963422644121121112A ，求矩阵A 的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用这个极大无关组线性表示.解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→0000031000301104010100000310000111041211A A ∴的列向量组的一个极大无关组为:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7211,6611,3412321ααα并且有4215213334;ααααααα-+=--=十一、证明下列各题（每小题5分，共10分）1、若A 是 n 阶 对 称 的 可 逆 矩 阵， 证 明 A -1也 是 对 称 矩 阵.证明A A A T ,=可逆()()111---==⇒A A A T T, 1-∴A 也是对称矩阵.2、由 行 列 式 定 义 证 明 a a a a a b b b b b c c d d e e 123451234512121200000000=. 证明行列式ij a 的一般项可表示为5432154321,,,,j j j j j a a a a a而列数543,,j j j 只能在1,2,3,4,5中取不同的值, 故543,,j j j 三个下标中至少有一个要取3,4,5中之一数, 于是任一项至少要包含一个零为因子, 故行列式等于零.河南理工大学2009-2010 学年第 二 学期《线性代数》 试卷一、填空题（每小题4分，共40分）1、四阶行列式中因子41332214a a a a 的符号为 。
0802线代(A)
湖南科技大学考试试题纸（A卷）
(2008 -2009 学年第一学期)
线性代数A课程院（系）班级考试时量100分钟学生人数命题教师系主任
交题时间：2008 年11 月28 日考试时间：2008 年12 月14 日
注：请打印或用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内共 2 页，第 1 页，
注：请打印或用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内共 2 页，第 2 页.
湖南科技大学潇湘学院考试试题纸（A卷）
(2008 -2009学年第一学期)
线性代数A课程专业班级考试时量100分钟学生人数命题教师系主任
交题时间：2008年11月28日考试时间：2008年12 月14 日
注：请用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内共 2 页，第 1 页，
注：请用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内共 2 页，第 2 页.。
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1
武汉大学数学与统计学院2008－2009第二学期
《线性代数C》 （文54学时，A卷答案）
一、(10分) 解：由行列式的性质，可得
123123
201201
(,,)141,,1413(4)12183183B
二、(15分) 解：由 BAXX2，得 BXAE)2(. 因为03201101011|2|AE，
所以矩阵AE2可逆，且有
BAEAEBAEX|2|*)2()2(1
=11331230032111012312031.
三、（15分）解：设有常数123,,kkk，使得112233kkk成立，整理可得：
123112321233
13111mkkkkmkmkkkmk
由于123,,线性无关，必有12312312310311010mkkkkmkmkkkmk，方程组的系数行列式
2
4Dmm
。于是：
当0,2mm时，方程组仅有零解1230kkk，此时123,,线性无关。
当0m，或2m时，方程组有非零解，123,,线性相关。
四、(15分）解：经计算系数行列式得2(1)(2),A于是由克莱姆法则有如下结论：
(1)当1且2时，()()3,RARB方程组有唯一解；
(2)当1时，()1RA，()2RB，该情形方程组无解；
(3)当2时 ()()2,RARB 此时方程组有无限多个解。而
211021101011121312130112,112300000000B
由此得
13233312xxxxxx，即1
2
3
111210xxcx
，()cR.
五、(15分）解：1) 能；1A的特征值为：111,,234；
2
2) 能；因A有3个不同的特征值，故存在对角阵D和A相似，且234D。
3）能；易知22AAE的特征值为221：1,4,9，从而36B。
六、(20分) 解： (1) 由于矩阵342122102abAabccc为对称阵，可求得3,1,2abc，
则二次型的矩阵为311120102，所以二次型),,321xxxf（的具体形式为
1231231213
,,)32222fxxxxxxxxxx（
；
(2) 首先由特征多项式(1)(2)(4)AE可求得特征值1231,2,4
然后求得相应的特征向量为131021,1,1.111
（3）再将其单位化，得单位正交向量组
3102111 1,1, 1.3261111pp2
p
，
故有正交变换11223312036111326111326yxyxyx，求得二次型的标准形为222123 24.fyyy．
（4）由正交变换保持向量的长度不变，则1XY，并注意到222123 1244.yyy
则f的最大值为4，最小值为1。
七、(10分)证：因为
R（A）+R（A—E）= R（A）+R（E—A）≥R（A+E—A）=R(E)
故 R（A）+R（A—E）≥n
又因为
2
()AAEAAAAO
R（A）+R（A—E）≤n 即证 R（A）+R（A—E）=n