2019届高考数学(文科新课标B)一轮复习课件：9.1 直线方程、两条直线的位置关系+(共26张)
《两直线的位置关系》课件
CHAPTER 04
两直线的关系应用
解析几何中的应用
解析几何的基本概念
01
解析几何是研究图形与坐标之间的关系，通过代数方法解决几
何问题。两直线的位置关系是解析几何中的基本问题。
直线的方程
02
在二维坐标系中，直线可以用一个或两个方程来表示。例如，
通过两点式、点斜式、截距式等可以求出直线的方程。
两直线的交点
两直线的斜率与截距
斜率的定义与计算
总结词
斜率是直线在平面上的一个重要属性，它表示直线相对于x轴 的倾斜程度。
详细描述
斜率是直线方程y=kx+b中k的值，它表示直线在y轴上的单 位长度内，x轴的变化量。如果k为正数，则直线向右上方倾 斜；如果k为负数，则直线向右下方倾斜。
截距的定义与计算
总结词
截距是直线与y轴和x轴相交的点，表示直线在坐标轴上的位置。
判断方法
斜率法
若两直线斜率相等且截距不等，则两 直线平行；若斜率不存在且截距相等 ，则两直线平行。
交点法
若两直线无公共点，则两直线平行或 重合；若两直线有且仅有一个公共点 ，则两直线相交；若两直线有无数个 公共点，则两直线重合。
平行与垂直的性质
平行性质
平行直线间的距离是固定的，且与两直线的方向向量或斜率有关。
03
两直线相交于一点，这个点是两直线的交点。求两直线的交点
可以通过联立两直线的方程来求解。
三角函数图象中的应用
01
三角函数的图象与性质
三角函数（如正弦、余弦、正切等）的图象是周期性的，这些图象在某
些部分表现出直线性。
02
三角函数与直线的交点
在三角函数的图象中，求直线与三角函数的交点可以通过将直线的方程
2019高考帮 文科数学 精品PPT 第9章第2讲 两直线的位置关系(文)
【高考·文科数学】第九章直线和圆的方程第二讲两直线的位置关系考情精解读A考点∙知识全通关目录CONTENTS考纲要求命题规律命题分析预测考点1两直线的位置关系考点2距离公式B考法∙题型全突破考法1 两直线位置关系的判定及应用考法2 两直线的交点与距离的求解及应用考法3 对称问题C方法∙素养大提升方法妙用直线系求直线方程考情精解读考纲要求命题规律命题分析预测考纲要求1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.3.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.命题规律核心考点考题取样考查内容（对应考法）两直线的位置关系2015广东,T5两直线的位置关系,直线与圆的位置关系(考法3)2013全国Ⅱ,T12两直线交点，点到直线的距离，三角形的面积(考法4)2016全国Ⅱ,T4根据点到直线的距离求参数(考法4)命题分析预测1.分析预测该讲在高考中很少单独考查,通常与其他知识结合起来考查,一是与导数结合,求切线的斜率、倾斜角和切线方程,二是与圆、圆锥曲线结合,考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系,有时需要运用两条直线的位置关系和距离公式.2.学科素养本讲主要考查考生的数学运算能力.考点1两直线的位置关系A考点∙知识全通关考点2距离公式1.两条直线的位置关系考点1两直线的位置关系(重点)斜截式一般式方程y=k1x+b1,y=k2x+b2.A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0.相交k1≠k2A1B2-A2B1≠0垂直k1k2=-1A1A2+B1B2=0平行k1=k2且b1≠b2A1B2−A2B1=0,B1C2−B2C1≠0或A1B2−A2B1=0,A1C2−A2C1≠0重合k1=k2且b1=b2A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0.文科数学第九章：直线和圆的方程注意：两条直线平行时,不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况;两条直线垂直时,不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.2.两条直线的交点对于直线l:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,它们的交点通过方程组1A1x+B1y+C1=0,求解.A2x+B2y+C2=0(1)方程组有唯一解⇔l1,l2相交,交点坐标就是方程组的解;(2)方程组无解⇔l1∥l2;(3)方程组有无数解⇔l1,l2重合.文科数学第九章：直线和圆的方程思维拓展常见的直线系方程1.过定点P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),还可以表示为y-y0=k(x-x0)和x=x0.2.平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C).3.垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+λ=0.4.过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程:Ax+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0)和1A2x+B2y+C2=0.1.两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|= (x2−x1)2+(y2−y1)2.2.点到直线的距离公式点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2.3.两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=|C1−C2|A2+B2.考点2距离公式（重点）文科数学第九章：直线和圆的方程注意：在解题过程中,点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式中要求直线方程必须是一般式.特别是在两平行直线间的距离公式中,两直线方程的一般式中x,y的系数要对应相等.B考法∙题型全突破考法1 两直线位置关系的判定及应用考法2 两直线的交点与距离的求解及应用考法3 对称问题考法1 两直线位置关系的判定及应用考法指导1.两直线位置关系的判定方法(1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等;②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为-1.(2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在,当两直线在x轴上的截距不相等时,两直线平行;否则两直线重合.(3)已知两直线的一般方程设直线l:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-1B2C1≠0,l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论.2.由两条直线平行与垂直求参数的值在解这类问题时,一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性,是否需要分情况讨论;“后想”就是在解题后,检验答案的正确性,看是否出现增解或漏解.示例1 (1)如果直线l:y=kx-1(k>0)与双曲线x216-y29=1的一条渐近线平行,那么k=.示例1(2)已知经过点A(-2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0,-1)和点Q(a,-2a)的直互相垂直,则实数a的值为.线l2解析(1)因为双曲线方程为x 216-y 29=1,所以其渐近线方程为y=±34x.又直线l :y=kx-1(k>0)与双曲线x 216-y 29=1的一条渐近线平行,所以k=34.(2)l 1的斜率k 1=3a −01−(−2)=a.当a ≠0时,l 2的斜率k 2=−2a −(−1)a −0=1−2aa .因为l 1⊥l 2,所以k 1k 2=-1,即a ·1−2aa=-1,解得a=1.当a=0时,P (0,-1),Q (0,0),这时直线l 2为y 轴,A (-2,0),B (1,0),直线l 1为x 轴,显然l 1⊥l 2.综上可知,实数a 的值为1或0.点评根据两直线平行或垂直满足的关系即可求解,注意讨论斜率是否为零.考法2 两直线的交点与距离的求解及应用考法指导1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为点的坐标,即交点的坐标.2.过两直线交点的直线方程的求法求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这样能简化解题过程.3.距离的求法利用距离公式求解,当利用点到直线的距离公式时,需要先将直线方程化为一般式;当利用平行直线间的距离公式时,需要先将两条平行直线方程化为x,y的系数对应相等的一般式.于点P(x,y),则|P A|·|PB|的最大值是于点P(x,y),则|P A|·|PB|的最大值是答案5解析由题意,得定点A(0,0),B(1,3).当P与A和B均不重合时,易证P A⊥PB,所以|P A|2+|PB|2=|AB|2=10,所以|P A|·|PB|≤|PA|2+|PB|22=5(当且仅当|P A|=|PB|=5时,等号成立);当P与A或B重合时,|P A|·|PB|=0,故|P A|·|PB|的最大值是5.点M到原点的距离的最小值为()A.32B.22C.33D.42点M到原点的距离的最小值为()A.32B.22C.33D.42解析A∵l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0是平行直线,∴可判断AB所在直线过原点且与直线l1,l2垂直时,中点M到原点的距离最小.∵直线l1:x+y-7=0,l2:x+y-5=0,∴两直线的距离为|7−5|12+12=2,又原点到直线l2的距离为522,∴AB的中点M到原点的距离的最小值为522+22=32.故选A.考法3 对称问题考法指导1.点关于点对称若点M(x1,y1)和点N(x,y)关于点P(a,b)对称,则由中点坐标公式得x=2a−x1,y=2b−y1,进而求解.2.直线关于点对称(1)在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的点的坐标,再由两点式求出直线方程;(2)求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.3.点关于直线对称若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则由方程组A(x1+x22)+B(y1+y22)+C=0,y2−y1 x2−x1·(−AB)=−1可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2).4.直线关于直线对称设直线l1关于直线l的对称直线为l2.(1)当l 1与l 相交时,则交点必在l 2上,再求出l 1上某个点P 1关于对称轴l 对称的点P 2,那么经过交点及点P 2即可求出直线l 2的方程.(2)当l 1∥l 时,借助两直线平行所满足的条件设出对称直线l 2的方程,再利用两平行直线间的距离公式列出方程,解得直线l 2方程中的常数项,从而得l 2的方程.5.解决对称问题要抓住以下两点:一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直,二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上.示例3 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标;(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程;(3)直线l关于点A对称的直线l'的方程.解析(1)设A'(x,y),则y+2x+1·23=−1,2×x−12−3×y−22+1=0,解得x=−3313,y=413,即A'(-3313,413).(2)在直线m上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在m'上.设对称点为M'(a,b),则2×a+22−3×b+02+1=0, b−0a−2×23=−1,解得a=613,b=3013,即M'(613,3013).设m与l的交点为N,则由2x−3y+1=0,3x−2y−6=0,得N(4,3).又m'经过点N(4,3),∴由两点式得直线m'的方程为9x-46y+102=0.(3)解法一在l:2x-3y+1=0上任取两点,如P(1,1),N(4,3),则P,N关于点A的对称点P',N'均在直线l'上.易知P'(-3,-5),N'(-6,-7),由两点式可得l'的方程为2x-3y-9=0.解法二设Q(x,y)为l'上任意一点,则Q(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为Q'(-2-x,-4-y),∵Q'在直线l上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0.拓展变式2 若自点P(-3,3)发出的光线l经x轴反射,其反射光线所在的直线与圆C:x2+y2-4x-4y+7=0相切,求直线l的方程.解析解法一圆C 的圆心坐标为(2,2),半径为1.显然,入射光线所在直线的斜率k 不存在时不符合题意,故可设入射光线所在直线的方程为y-3=k (x+3),则反射光线所在直线的斜率k'=-k ,点P 关于x 轴的对称点P'(-3,-3)在反射光线所在的直线上,故反射光线所在直线的方程为y+3=-k (x+3),该直线应与圆相切,故得|2k+2+3+3k |1+k 2=1,所以12k 2+25k+12=0,解得k=-34或k=-43.拓展变式3 若自点P (-3,3)发出的光线l 经x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆C :x 2+y 2-4x-4y+7=0相切,求直线l 的方程.所以所求直线l的方程为3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.解法二如图所示,设圆C关于x轴对称的圆为圆C',则圆C'的圆心坐标为(2,-2),半径为1.设入射光线所在直线的方程为y-3=k(x+3),则该直线与圆C'相切,类似解法一可得直线l的方程为3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.易错忽略斜率不存在致误C方法∙素养大提升方法妙用直线系求直线方程方法妙用直线系求直线方程1.平行直线系由于两直线平行,它们的斜率相等或它们的斜率都不存在,因此两直线平行时,它们的一次项系数与常数项有必然的联系.示例4求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程.依题意,设所求直线方程为3x+4y+c=0(c≠1),因为直线过点(1,2),所以3×1+4×2+c=0,解得c=-11.因此,所求直线方程为3x+4y-11=0.解析先设与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+C1=0(C1≠C),再由其他条件求C1.温馨提示2.垂直直线系由于直线Ax+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件为A1A2+B1B2=0,因1此,当两直线垂直时,它们的一次项系数有必然的联系,可以考虑用直线系方程求解.示例5求经过A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直,所以设该直线方程为x-2y+C1=0,又直线过点(2,1),所以有2-2×1+C1=0,解得C1=0,所以所求直线方程为x-2y=0.解析先设与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+C1=0,再由其他条件求出C1.温馨提示3.过直线交点的直线系示例6求经过直线l:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的1直线l的方程.解法一将直线l 1,l 2的方程联立,得 3x +2y −1=0,5x +2y +1=0,解得 x =−1,y =2,即直线l 1,l 2的交点为(-1,2).由题意得直线l 3的斜率为35,又直线l ⊥l 3,所以直线l 的斜率为-53,则直线l 的方程是y-2=-53(x+1),即5x+3y-1=0.解析解法二由于l⊥l3,所以可设直线l的方程是5x+3y+C=0,将直线l1,l2的方程联立,得3x+2y−1=0,5x+2y+1=0,解得x=−1,y=2,即直线l1,l2的交点为(-1,2),则点(-1,2)在直线l上,所以5×(-1)+3×2+C=0,解得C=-1,所以直线l的方程为5x+3y-1=0.解法三设直线l 的方程为3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0,整文得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0.由于l ⊥l 3,所以3(3+5λ)-5(2+2λ)=0,解得λ=15,所以直线l 的方程为5x+3y-1=0.本题中的解法二、解法三均是利用直线系设出直线l 的方程,而解法三是利用相交直线系设出方程,避免了求直线l 1与l 2的交点坐标,方便简捷,是最优解法.点评。
2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.2两条直线的位置关系课件理北师大版
3.两直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件 是 A1A2＋B1B2＝0 . 4.过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系 方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 5.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式. (2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对 应相等.
第九章 平面解析几何
§9.2 两条直线的位置关系
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
1.两条直线的位置关系
知识梳理
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ k1＝k2 .
(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. ②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就
A1x＋B1y＋C1＝0， 是方程组 A2x＋B2y＋C2＝0 的解.
题组二 教材改编 2.已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于
A. 2
B.2－ 2
√C. 2－1
D. 2＋1
|a－2＋3| 解析 由题意得 1＋1 ＝1.
解得 a＝－1＋ 2或 a＝－1－ 2.∵a>0，∴a＝－1＋ 2.
2019届高考数学(文科新课标B)一轮复习课件：9.3 点、直线、圆的位置关系+(共63张)
|a| a2 2 2 | AB | 2 离d= .由r =d + +3,解得a2=2,则r2=4,所以圆的面积S=πr2=4π. ,得a +2= 2 2 2
2
评析 本题考查了直线与圆的位置关系,考查了圆的方程和点到直线的距离公式,利用弦长的一 半,圆心到直线的距离及半径构成的直角三角形求解是关键.
1 x2 x2 1 (2)BC的中点坐标为 =x2 x . , ,可得BC的中垂线方程为y-
1 1 x1 x2
2
1 2
2 2
2
由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=- .
m x , 2 联立 x y 1 x2 x 2 , 2 2
2 3 2 3 7 21 2 圆心为D 1, = = .故选B. .因此|OD|= 1 3 3 3 3
2
4.(2014课标Ⅱ,12,5分,0.264)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取 值范围是 ( )
的垂线,设垂足为P,由N在圆上知OP≤1,也就有OM≤ 2 ,问题得解.
评析 本题考查直线与圆的位置关系,体现了数形结合的思想方法.
3 ,则圆 5.(2016课标全国Ⅰ,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2
C的面积为 答案 4π
.
a 2 2 .圆心到直线x-y+2a=0的距 解析 把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r=
=1,解得a=- ,故
(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习_第九章 平面解析几何 第1节 直线的方程课件 理 新人教B版
第1节直线的方程最新考纲 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识梳1.直线的倾斜角理(1)定义：x正轴向______与直线向上______的方向所成的角叫直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角__________．[0，π)2.(2)直线的斜率倾斜角的范围：________．(1)定义：直线y＝kx＋b中系数的_k________叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在．(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直y 2－y 1 于x x 2轴－x ，则1 k ＝__________________．若直线的倾斜角为(x ≠x ) 1 2 tan θ 2θ(θ≠ )，则k ＝_________.3.直线方程的五种形式名称 几何条件斜截纵截距、斜方程 适用条件 y ＝kx ＋b _________式 率 y －y 0＝k (x －x 0)与x 轴不垂直的直线点斜过一点、斜 y －y x －x ______________ 1 1 ＝ 式两点式率 y 2－y 1 x 2－x 1 与两坐标轴均不垂直 的直线 x y 过两点 _______________ ＋＝1 a b 截距式不过原点且与两坐标 轴均不垂直的直线 纵、横截距 ___________ 一般 Ax ＋By ＋C ＝0(A2 所有直线[常用结论与微点提醒]1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α0° 0°<α<90° 90°k0 k>0 90°<α<180°k<0不存在2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( )(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( )解析(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.答案(1)× (2)× (3)× (4)√2.(2018·衡水调研)直线x－y＋1＝0的倾斜角为( )A.30°B.45°C.120°D.150°解析由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°，故选B.答案 B3.如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由已知得直线A x＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA>0，在y轴上的截距－CB>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.答案 C4.(教材习题改编)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为________.3m－6解析由题意得1＋m＝12，解得m＝－2，∴A(2，6)，∴直线AB的方程为y－6＝12(x－2)，整理得12x－y－18＝0.答案12x－y－18＝05.(教材习题改编)过点P (2，3)且在两轴上截距相等的直线方程 为________. 解析当纵、横截距均为 0时，直线方程为 3x －0；当纵、横截距均不为 0时， 设直线方程为ax ＋ay ＝1，则＋＝1，解得 a ＝5.所以直线方程为 x ＋y －5＝0. 2 3 a a答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0考点一直线的倾斜角与斜率(典例迁移)ππ【例1】(1)直线2x cos α－y－3＝0 α∈，的倾斜角的取值范围是(6 3ππππA. B.，，6 3 4 3πππ 2πC. D.，，4 24 3(2)(一题多解)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.解析 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， ππ因为 α∈，，所以12≤cos α≤ 23， 6 3因此 k ＝2·cosα∈[1， 3].设直线的倾斜角为 θ，则有 t anθ∈[1， 3].ππ 又 θ∈[0，π)，所以 θ∈ ，， 4 3 ππ即倾斜角的取值范围是，. 4 3(2)法一设P A与P B的倾斜角分别为α，β，直线P A的斜率是k A P＝1，直线PB的斜率是k B P＝－3，当直线l由P A变化到与y轴平行的位置P C时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3].故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).法二设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴(2k－1－k)(－3－k)≤0，即(k－1)(k＋3)≥0，解得k≥1或k≤－3.即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).答案(1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【迁移探究1】若将例1(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.解设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴(2k－1＋k)(－3＋k)≤0，即(3k－1)(k－3)≤0，解得13≤k≤3.1即直线l的斜率的取值范围是3，3.【迁移探究2】若将例1(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围.解由例1(2)知直线l的方程kx－y－k＝0，∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴(2k－1－k)(2k＋1－k)≤0，即(k－1)(k＋1)≤0，解得－1≤k≤1.π 3π即直线l倾斜角的范围是0，∪ ，π .4 4规律方法 1.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数 k ＝α的单π π 2 π 调性，当 α取值在 0，，即由 0增大α≠时，k 由 0增大到＋∞，当 α取 2 2 π2 π π 值在2，π时，即由α≠增大到π(α≠π)时，k 由－∞增大到 0.2 2.斜率的两种求法 (1)定义法：若已知直线的倾斜角 α或α的某种三角函数值，一据 k ＝tan α求 斜率. y 2－y (2)公式法：若已知直线上两点 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝x 2－x 11(x 1≠x 2)求斜率.【训练 1】 (2018·惠州一调)直线 x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是(π 3πA.[0，π)B. 0， ∪ ，π 44 π ππ C. 0， D. 0， ∪ ，π 4 4 2解析设直线的倾斜角为 θ，则有 t an θ＝－sin α.因sin α∈[－1，1]，所以－1≤ π 3π tan θ≤1，又 θ∈[0，π)，所以 0≤θ≤或≤θ<π，故选 B.4 4 答案 B考点二直线方程的求法【例2】根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为 5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式. 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α<π)，从而cos α＝±31010，则k＝tan α＝±13.1故所求直线方程为y＝± (x＋4).3即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由题设知纵、横截距不为0，设直线方程为ax＋12－y a ＝1，又直线过点(－3，4)，－3 4从而a＋12－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋10－5k ＝0.|10－5k | k 2＋1＝5，解得 k ＝ . 3 4由点线距离公式，得 故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.规律方法 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).【训练2】求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.解(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，∴l的方程为y＝14x，即x－4y＝0.若a≠0，则设l的方程为ax＋ay＝1，4 1∵l过点(4，1)，∴＋＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5a a＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(2)由已知：设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角 为2α. 2tan α ＝－34. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝1－tan 2α又直线经过点 A (－1，－3)，3 4 因此所求直线方程为 y ＋3＝－ (x ＋1)，即 3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3，4)，由点斜式得 y －4＝±(x －3).所求直线的方程为 x －y ＋1＝0或 x ＋y －7＝0.考点三直线方程的综合应用【例3】已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.x ＋2＝0， x ＝－2， (1)证明直线 l 的方程可化为 k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令1－y ＝0，∴无论 k 取何值，直线总经过定点(－2，1).1＋2k 解得y ＝1. (2)解由方程知，当 k ≠0时直线在 x 轴上的截距为－ ，在 y 轴上的截距为 1k 1＋2k － ≤－2， 解得 k >0；＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有k 1＋2k ≥1，当 k ＝0时，直线为 y ＝1，符合题意，故 k 的取值范围是[0，＋∞).(3)解由题意可知 k ≠0，再由 l 的方程，得 A ，0，B (0，1＋2k). 1＋2k － k1＋2k － <0， 解得 k >0.k 1＋2k >0，依题意得 1 2 1 1＋2k 2 ∵S ＝·|OA |·|OB |＝· ·|1＋2k | k1（1＋2k ）2 k ＝14k ＋＋4≥12×(2×2＋4)＝4， 1 ＝2· 2k“＝”成立的条件是 k >0且 4k ＝1k ，即 k ＝12，∴S min ＝4，此时直线 l 的方程为 x －2y ＋4＝0.规律方法 1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.2.求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.【训练3】(一题多解)已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.解法一设直线方程为ax ＋by ＝1(a ＞0，b ＞0)，点 P (3，2)代入得＋＝1≥2 ab 6，得 ab ≥24， 3 2 a b从而 S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时 k ＝－＝－， b2 a3 从而所求直线方程为 2x ＋3y －12＝0.法二依题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k＜0. 2 则直线 l 的方程为 y －2＝k (x －3)(k ＜0)，且有 A 3－，0，B (0，2－3k )， k 4 4 ∴S △ABO ＝12(2－3k )3－ ＝ 2 1 1 12＋（－9k ）＋ ≥ 12＋2（－9k ）· （－k ）k2 （－k ） 2 1 ＝×(12＋12)＝12. 2当且仅当－9k ＝－4k ，即 k ＝－23时，等号成立，即△ABO 的面积的最小值为 12.故所求直线的方程为 2x ＋3y －12＝0.。
高考数学两直线的位置关系全套复习课件
(2)已知点 P(－1，－1)，A(1，0)，B(0，1)，则△ABP 的面积为________．
上一页
返回导航
下一页
第九章 平面解析几何
29
【解析】 (1)因为直线 l1：mx＋y－3＝0 与直线 l2：x－y－m＝0 平行，所 以m1 ＝－11≠－－m3 ，解得 m＝－1.所以直线 l1 的方程为 x－y＋3＝0，直线 l2
返回导航
下一页
第九章 平面解析几何
11
1 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线 l1 和 l2 的斜率都存在时，一定有 k1＝k2⇒l1∥l2.
(× )
(2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.
(× )
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．
上一页
返回导航
下一页
第九章 平面解析几何
5
2.两条直线的交点
上一页
返回导航
下一页
第九章 平面解析几何
6
3．三种距离 点点距 点线距 线线距
点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距
|P1P2|＝
离
__（__x_2－__x_1_）__2_＋__（__y_2－__y_1_）__2_
点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By ＋C＝0 的距离
不重合)．因为 l2⊥l3，所以 2×1＋1×n＝0，即 n＝－2.所以 m＋n＝－10. 故选 A.
上一页
返回导航
下一页
第九章 平面解析几何
19
3．求满足下列条件的直线方程． (1)过点 P(－1，3)且平行于直线 x－2y＋3＝0； (2)已知点 A(1，2)，B(3，1)，线段 AB 的垂直平分线． 解：(1)设直线方程为 x－2y＋c＝0(c∈R 且 c≠3)，把 P(－1，3)代入直线方 程得 c＝7， 所以直线方程为 x－2y＋7＝0.
高中数学《直线方程与两直线的位置关系》复习和习题课件PPT
1 − 2
2
+ 1 − 2 2 .
2.点到直线的距离公式
点p 0 , 0 到直线Ax+By+C=0的距离 =
0 +B0 +C
2 +2
.
知识清单
知识点七 距离公式
3.平行线间的距离公式
若两条平行直线的方程分别为1 : 1
+ 1 + 1 = 0, 2 : 2 +
（1）方程组有唯一解⟺ 1 , 2 相交，交点坐标就是方程组的解.
（2）方程组无解⟺ 1 ∥ 2 .
（3）方程组有无数解⟺ 1 , 2 重合.
知识清单
知识点七 距离公式
1.两点间的距离公式
在平面直角坐标系中，若两点坐标分别为1 1 , 1 、2 2 , 2 则1 、2 两点
2 + 2 = 0 ， 1 ≠ 2 ，则1 与2 的距离为 =
0ሻ
1 −2
2 +2
ሺ2 + 2 ≠
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
巩固练习
过关练习
巩固练习
高中
数学
§第一节 直线方程与两直线的位置关系
（复习+习题练习）
解析几何
真题在线
（2019年·河南对口升学）直线2x+3y+6=0在y轴上的截距是
___.
【专家详解】令x=0，则3y+6=0，解得y=-2.
(浙江专版)2019版高考数学一轮复习第八章平面解析几何第二节两条直线的位置关系课件
二
节
两条直线的位置关系
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
课 前 双 基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
必
过
教
材
关
1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行： ①对于两条不重合的直线 l1， l2，若其斜率分别为 k1， k2， 则有 l1∥ l2⇔ k1＝k2 . ②当直线 l1， l2 不重合且斜率都不存在时，l1∥ l2. (2)两条直线垂直： ①如果两条直线 l1， l2 的斜率存在，设为 k1， k2，则有 l1
d＝
|Ax0＋ By0＋ C| A2＋ B2
|C1－ C2| d＝ A2＋ B2
[小题体验]
1． (2018· 金华四校联考)直线 2x＋(m＋1)y＋ 4＝0 与直线 mx ＋3y－2＝ 0 平行，则 m＝ A．2 C．2 或－3 B．－3 D．－2 或－3 ( )
解析：∵直线 2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 mx＋3y－2＝0 2 m＋1 4 平行，∴ ＝ ≠ ，解得 m＝2 或－3. m 3 －2
答案：x＋y－1＝0 2 2
必
过
易
错
关
1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在， 两条直线都有斜率可根据条件进行判断， 若无斜率， 要 单独考虑． 2． 运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的 x，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．
[小题纠偏]
1．已知 P：直线 l1：x－y－1＝0 与直线 l2：x＋ay－2＝0 平行，Q： a＝－1，则 P 是 Q 的 A．充要条件 C．必要不充分条件 B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ( )
2019届高三数学新课标一轮复习课件：9.2点与直线、两条直线的位置关系
解析几何
9.2 点与直线、两条直线的 位置关系
考情概览
-2-
2016 2015 2014 2013 年份 2017 两直 21(2),8 分(理) 线的 位置 17,4 分(文) 关系 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 考查 2.会求过两点的直线斜率、两直线的交点坐标、两点间 要求 的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离. 本节考点在高考中较少考查,预计高考对本部分的考查主 考向 要会涉及两直线交点坐标的求解、点到直线的距离的求 分析 解及两直线间的平行或垂直条件的应用.
解析
1
关闭
1
答案
知识梳理 知识梳理 双击自测
-9-
3.(教材改编)已知P(-2,m),Q(m,4),且直线PQ垂直于直线x+y+1=0,则 m= .
关闭
由题意知
1
������ -4
-2-������
=1,所以 m-4=-2-m,所以 m=1.
关闭
解析
答案
知识梳理 知识梳理 双击自测
-10-
4.已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离是 2 ,则直线l1的方 程为 .
������ 2 ������2 ������2
A1=A2,B1=B2,C1=C2(当 A2B2C2≠0 时, ������ ������ ������ 记为 1 = 1 = 1 )
������ 2 ������2 ������2
知识梳理 知识梳理 双击自测
-4-
注意 (1)当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2. (2)当其中一条直线l1的斜率不存在,而另一条直线l2的斜率为0 时,l1⊥l2.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因为|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=|AC|+|BD|,
取异于P点的任一点P'. 则|P'A|+|P'B|+|P'C|+|P'D| =(|P'A|+|P'C|)+(|P'B|+|P'D|)
>|AC|+|BD|=|PA|+|PB|+|PC|+|PD|.
故P点就是到A、B、C、D的距离之和最小的点.故应填(2,4).
5 ,2 5 ] A.[ 5 ] C.[ 1 0 ,4 5] B.[ 1 0 ,2 5 ,4 5] D.[2
)
答案 B 直线x+my=0过定点A(0,0),直线mx-y-m+3=0过定点B(1,3). ①当m=0时,过定点A的直线方程为x=0,过定点B的直线方程为y=3,两条直线互相垂直,此时P(0,
3 2
∴l1与l2间的距离d=
2
6
2 3
2
1 ( 1)
= ,故选B.
3
8
2
3.(2016江西南昌模拟,4)直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0过定点 ( A.(1,-3) B.(4,3) C.(3,1) D.(2,3)
)
答案 C 2mx+x+my+y-7m-4=0,即(2x+y-7)m+(x+y-4)=0, 由
相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是 ( A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
答案 A 设l1是曲线y=-ln x(0<x<1)的切线,P1(x1,y1), l2是曲线y=ln x(x>1)的切线,P2(x2,y2),
则易知l1:y-y1=- (x-x1),①
3),∴|PA|+|PB|=4.
②当m≠0时,直线x+my=0的斜率为- ,直线mx-y-m+3=0的斜率为m.∵- ×m=-1,∴两条直线互相
1 1 m m
垂直,即点P可视为以AB为直径的圆上的点.当点P与点A或点B重合时,|PA|+|PB|有最小值 1 0 .当 点P不与点A,点B重合时,△PAB为直角三角形,且|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.由不等式性质知|PA|+|PB| ≤2
高考文数
(课标Ⅱ专用)
第九章 直线和圆的方程
§9.1 直线方程、两条直线的位置关系
五年高考
B组 自主命题· 省（区、市）卷题组
1.(2016四川,10,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=
ln x , 0 x 1, ln x , x 1
图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直 )
A.x+y-2=0
C.x+y-3=0
B.x-y+2=0
D.x-y+3=0
答案 D 已知圆的圆心为(0,3).直线x+y+1=0的斜率为-1,则所求直线的斜率为1.所以所求直线 的方程为y=x+3,即x-y+3=0.故选D.
4.(2013四川,15,5分)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点 的坐标是 答案 (2,4) .
选C.
2.(2016宁夏银川二模,3)若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2间的距离为 ( A. 2 B.
8 3 2
)
C. 3
D.
8 3
3
答案 B 由l1∥l2得(a-2)a=1×3,且a×2a≠3×6, 解得a=-1, ∴l1:x-y+6=0,l2:x-y+ =0,
1 x1
l2:y-y2= (x-x2),②
1 x2
①-②得x=
1 x1
y1 y 2 2 1 x2
,
易知A(0,y1+1),B(0,y2-1),
1 1 ∵l1⊥l2,∴- · =-1, x1
x2
∴x1x2=1,
1 1 | y ∴S△PAB= |AB|· |x|= |y1-y2+2|· 2 2
= ·
1
4
2
x1 x 2
=
2
x1 x 2
,
又∵0<x1<1,x2>1,x1x2=1, ∴x1+x2>2 x
1
x2
=2,
∴0<S△PAB<1.故选A. 评析 本题考查了利用导数求切线问题及运算能力.
2.(2014四川,9,5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P (x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是 (
解析 由已知得kAC= =2,kBD=
31
6 2
5 ( 1) 1 7
=-1,
所以AC的方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0, ① BD的方程为y-5=-(x-1),即x+y-6=0, ② 联立①②解得
x 2, y 4.
所以直线AC与直线BD的交点为P(2,4),此点即为所求点.
| PA | | PB | 2
2 2
=2 5 ,∴|PA|+|PB|∈[ 1 0 ,2 5 ].
综合①②得|PA|+|PB|∈[ 5 ]. 1 0 ,2 评析 本题考查直线的方程、两直线垂直及不等式的性质,解答本题的关键是找到点P的轨迹. 属中档题.
3.(2014福建,6,5分)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是 ( )
三年模拟
A组 2015—2017年高考模拟·基础题组
(时间：15分钟 分值：30分)
一、填空题（每题5分，共25分）
1.(2017江西抚州临川一中4月模拟)点( 3 ,4)在直线l:ax-y+1=0上,则直线l的倾斜角为 ( A.30° B.45° C.60° D.120° )
3 a-4+1=0,即 3 a=3,故a= 3 ,所以直线l的斜率k= 3 ,则倾斜角为60°,故 答案 C 由题意可知,
1
y2 2 | 1 x2
1
1 = · 2
x1
2
( y1 y 2 2 ) x1 x 2 x1 x 2
= ·
1 2
( ln x 1 ln x 2 2 ) x1 x 2
2
2
= ·
1 2
[ ln ( x 1 x 2 ) 2 ] x1 x 2
2 x y 7, x y 4
解得
x 3, y 1.
则直线过定点(3,1),故选C.