分式方程的增根问题

分式方程的增根问题
二、方法剖析与提炼
例1.（2020上海）解方程：214124
x x -=--. 【
∴x 1= ，x 2= .
检验：当2x =时，公分母(2)(2)x x +-=0，故2x =是原方程的增根，舍去；
当1x =-时，公分母(2)(2)0x x +-≠，故1x =-是原方程的根. ∴原方程根是1x =-.
【解析】（1）掌握分式方程的定义，通过观察知道此方程为分式方程；
（2）解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程，但需把所求结果代入公分母，若公分母为零，则所求结果为增根.
【解法】分式方程的解法.
【解释】解分式方程体现化归的数学思想，把分式方程转化为整式方程.另外，学生在解分式方程时，容易忘记检验.
例2.（2020营口）若关于x 的分式方程
2233x m x x
++=--有增根，则m 的值是（ ）.
A.m =-1
B.m =0
C.m =3
D.m =0或m =3
【解答】分式方程两边同乘公分母（x -3），得整式方程2-x -m =2（x -3）. 再根据题目条件原分式方程有增根，且增根必定是使公分母（x -3）为0的未知数的值，解得x =3，把x =3代入2-x -m =2（x -3），所以2-3-m =2（3-3），解得m =-1.故答案为A.
【解析】先去分母得整式方程，又根据公分母知道原方程的增根为3，代入可求得m 的值.
【解法】解答这类含参数方程的增根问题，一般是先化分式方程为整式方程，然后根据公分母为0确定增根，最后把增根代入整式方程，即可求得相关参数的值.
【解释】需要先把分式方程中的字母m 看作已知数，考查学生对“字母表示数”的本质理解.另外，要正确做出本题，学生对增根的理解应到位.
例 3.（2019龙东）关于x 的分式方程
21042
m x x -=-+无解，则m =_________.
【解答】分式方程两边同乘公分母（x +2）（x -2），得整式方程m -（x -2）=0，解得x =2+m .根据公分母（x +2）（x -2）为0，可得x =2或-2，所以原分式方程的增根是x =2或-2.
若x =2，则2+m =2，解得m =0，此时方程无解；
若x =-2，则2+m =-2，解得m =-4，此时方程也无解. 故m =0或-4.
因此本题答案为：0或-4.
【解析】无解有两种情况，所以本题要分类讨论.
【解法】分式方程的解法，分类讨论法.
【解释】分式方程无解有两种情况：（1）分式方程化成的整式方程无解，则原分式方程无解；（2）转化后的整式方程的解都是原分式方程的增根，均被舍去，则原分式方程无解，本题属于后一种情况. 例4.（2019齐齐哈尔）关于x 的分式方程52
a x x =
-有解，则字母a 的取值范围是（ ）.
A. a =5或a =0
B. a ≠0
C. a ≠5
D. a ≠5且a ≠0
【解答】分式方程两边同乘公分母x （x -2），得关于x 的一元一次方程5（x -2）=ax ，得（a -5）x =-10.因为原分式方程有解，所以未知数前面的系数a -5≠0，则a ≠5，两边同除以a -5，解得105x a =--；又由公分母x （x -2），可得该分式方程的增根是x =2或0. 若x =2，则a -5=-5，解得a =0；
若x =0时，则10=05a --，而此方程无解. 因为原分式方程有解，所以x ≠2，即a ≠0.
综上分析，字母a 的取值范围是a ≠5且a ≠0.
故答案为D.
【解析】先方程两边乘最简公分母x （x -2）转化为5（x -2）=ax ，得（a -5）x =-10.因为有解，所以可得字母a ≠5，再根据分式方程有解隐含其解不可能是增根的条件，求得待定系数取值范围.
【解法】分式方程的解法，分类讨论法.
【解释】解答此类问题，一般先把分式方程化为整式方程，再根据原
分式方程有解，从而可以确定转化后的整式方程有解，进而确定字母的取值范围，再根据分式方程有解，则此解不可能是增根，从而最终求得字母参数的取值范围.
例5.若关于x 的分式方程121
m x -=-的解为非负数，求m 的取值范围. 【解答】分式方程两边同乘（x -1），得整式方程2（x -1）=m -1，解这个整式方程得12m x +=，再根据题目条件“解为非负数”，得12m +≥0，解得m ≥-1.又由原分式方程的增根只能是x =1，则所得整式方程的解12m x +=不可能等于1，即12
m +≠1，得m ≠1. 所以m 的取值范围是m ≥-1且m ≠1.
【解析】先化为整式方程2（x-1）=m-1，并解得12
m x +=，再根据条件“解为非负数”和该分式方程的增根只能是x=1，可求得系数m 的取值范围.
【解法】分式方程的解法.
【解释】解答此类问题，容易遗漏“所求得整式方程的解不能为原分式方程的增根”这一情形，从而导致求得的字母取值范围不完整.
三、能力训练与拓展
1．（2019湖州）方程
2113
x x -=-的解是 ． 2．（2019无锡）分式方程431
x x =-的解是 ． 3.分式方程23211x x x -+=-的增根是 . 4.若1x =是方程2312(1)(2)
x x m x x x x +++=----的增根，则m = . 5.若方程2
222
x m x x -=--产生增根，则m 的值是（ ）
A. 3±
B. 3±
C. 2±
D.0
6.若解关于x 的方程
2111x k x x x x -=--+不会产生增根，则k 的值是（ ）
A. 2
B. 1
C. 不为2±的实数
D.无法确定
7．解方程：
22011
x x x -=+-
8．解方程：
26311x x
=--
9．（2019嘉兴）小明解方程121x x x
--=的过程如图.请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程.
10.关于x 的方程
311x a x x
--=-无解，求a 的值.
1．解：方程两边都乘以x -3，得2x -1= x -3，解得2x =-.
2．解：方程两边都乘以x (x -1)，得4(x -1)=3x ，解得4x =.
3．解：把原分式方程化为整式方程，求得这个整式方程的解是x =1或3．当x =1时，公分母x-1的值为零，故分式方程的增根为x =1.
4．解：把原分式方程化为整式方程，并解得2227m x x =+-．由已知条件1x =是原分式方程的增根，故把1x =代入2227m x x =+-得3m =-.
5．解：方程两边同乘以x -2，并整理得24m x =-+，当分式方程出现增根时，公分母的值必为零，故增根必为2x =，把2x =代入
24m x =-+，得22m =．即m =C .
6．解：把原分式方程化为整式方程，可得2k x =。

由已知条件，原分式方程不会产生增根，则公分母210x -≠，故1, 2.x k ≠±≠±从而故答案为C .
7．解：方程两边同乘(-1)(1)x x +，得2(1)0.x x --=解这个方程，得2x =
检验： 当2x =时，(1)(1)0x x -+≠，
所以2x =是原方程的解.
8．解：方程两边同乘(1)(1)x x +-，得63(1)x =+解这个方程，得1x = 检验： 当1x =时，(1)(1)0x x +-=，
所以1x =是增根，舍去.
故原方程无解.
9．解：小明的解法有三处错误：步骤①去分母错误；步骤②去括号错误；步骤⑥之前缺少“检验”步骤.
正确的解答过程如下：
去分母，得1(2)x x --=，
去括号，得12x x -+=，
移项，得12x x --=--，
合并同类项，得23x -=-，
两边同除以2-，得32x =. 经检验，32x =是原方程的解， ∴原方程的解是32x =.
10．解：化分式方程为整式方程得：(2)3a x +=，考虑到x 的系数含参数，故要分两种情况讨论：
（1）当20a +=，即2a =-时，方程无解，故原分式方程无解；
（2）当20a +≠时，方程两边同除以2a +，得32x a =+，因为原方程无解，所以302x a ==+或1.若302a =+，则无解；若312a =+，解得1a =. 综上分析，21a =-或.。