分式方程及其增根问题
分式方程的增根和无解
分式方程的增根和无解
增根和无解是分式方程中常见的两种情况。
增根是指分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程的分母为$0$的根。
分式方程的增根问题是分式方程去分母的过程中，方程两边同乘了一个能使最简公分母为零的整式，致使未知数的取值范围扩大。
无解是指分式方程本身就是一个矛盾等式，不论未知数取何值都不能使方程两边的值相等。
分式方程无解包括两种情况：一种情况是分式方程变形后，整式方程本身无解；另一种情况是整式方程有解，但这个解使原方程的分母为$0$，即为分式方程的增根，所以原分式方程无解。
总的来说，分式方程的增根和无解是两个不同的概念，增根是分式方程的一种特殊情况，而无解则是分式方程的一种极端情况。
(完整版)分式方程无解增根专题
分式方程专题一：知识梳理如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。
二：例题精讲例题1：若方程﹣=1有增根，则它的增根是，m=．【解答】解：由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）=0，解得：x=±1，分式方程去分母得：6﹣m（x+1）=x2﹣1，把x=1代入整式方程得：6﹣2m=0，即m=3；把x=﹣1代入整式方程得：6=0，无解，综上，分式方程的增根是1，m=3．故答案为：1；3．反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．例题2：若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：﹣2+x+m=2（x﹣2），解得：x=m+2，∵方程的解为正数，∴m+2＞0，且m+2≠2，解得：m＞﹣2，且m≠0，故答案为：m＞﹣2且m≠0．反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．例题3：若关于x的分式方程=a无解，则a的值为．【解答】解：两边同乘以x+1，得x﹣a=ax+a移项及合并同类项，得x（a﹣1）=﹣2a，系数化为1，得x=，∵关于x的分式方程=a无解，∴x+1=0或a﹣1=0，即x=﹣1或a=1，∴﹣1=，得a=﹣1，故答案为：±1．反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．（3）若关于x的分式方程无解，则m=．三：典型错题1.在中，x的取值范围为．2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是．3.已知，则分式的值为．4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．5.若=+，则A=，B=．6.若解分式方程产生增根，则m=．7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是．8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是9.已知，则的值为．10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，则的值为．参考答案：例题1：反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．【解答】解：去分母得：2x﹣a=x+1，由分式方程有增根，得到x+1=0，即x=﹣1，把x=﹣1代入得：﹣2﹣a=0，解得：a=﹣2，故答案为：﹣1；﹣2（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．【解答】解：去分母得：5x﹣3﹣mx=2x﹣8，由分式方程有增根，得到x﹣4=0，即x=4，把x=4代入整式方程得：20﹣3﹣4m=0，快捷得：m=，故答案为：（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．【解答】解：去分母得：5x﹣5=x+2k﹣6x，由分式方程有增根，得到x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，把x=0代入整式方程得：k=﹣；把x=1代入整式方程得：k=，则k的值为或﹣．故答案为：或﹣例题2：反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．【解答】解：解关于x的方程=3得x=m+6，∵方程的解是正数，∴m+6＞0且m+6≠2，解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．【解答】解：把方程移项通分得，∴方程的解为x=a﹣6，∵方程的解是负数，∴x=a﹣6＜0，∴a＜6，当x=﹣2时，2×（﹣2）+a=0，∴a=4，∴a的取值范围是：a＜6且a≠4．故答案为：a＜6且a≠4．例题3：反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．【解答】解：去分母得：2x+4+kx=3x﹣6，当k=1时，方程化简得：4=﹣6，无解，符合题意；由分式方程无解，得到x2﹣4=0，即x=2或x=﹣2，把x=2代入整式方程得：4+4+2k=0，即k=﹣4；把x=﹣2代入整式方程得：﹣4+4﹣2k=﹣12，即k=6，故答案为：﹣4或6或1（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．【解答】解：两边都乘以（x﹣2），得x﹣1=m+3（x﹣2）．m=﹣2x+5．分式方程的增根是x=2，将x=2代入，得m=﹣2×2=5=1，故答案为：1．（3）若关于x的分式方程无解，则m=．【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：m﹣（x﹣1）=0，即m=x﹣1，∵关于x的分式方程无解，∴x=1或x=﹣1，当x=1时，m=0，当x=﹣1时，m=﹣2，故答案为：0或﹣2．典型错题：1.在中，x的取值范围为0＜x≤1．2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是x≥1或x＜﹣2．3.已知，则分式的值为．4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．5.若=+，则A=﹣12，B=17．6.若解分式方程产生增根，则m=﹣2或1．．7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是m≥﹣2且m≠﹣1 ．8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0．9.已知，求的值．【解答】解：将两边同时乘以x，得x2+1=3x，===．10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，求的值．【解答】解：∵a2+b2=9ab，∴a2+b2+2ab=11ab，a2+b2﹣2ab=7ab，即（a+b）2=11ab，（a﹣b）2=7ab，∵b＞a＞0，即b﹣a＞0，∴a+b=，b﹣a=，则原式=﹣=﹣=﹣．。
专题12 分式方程的无解与增根（含答案）
专题12 分式方程的无解与增根知识解读1.分式方程增根的定义方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 2.分式方程无解有两种可能（1）将分式方程通过“去分母”变成整式方程后，整式方程是“0x =1”的形式，即整式方程无解；（2）整式方程求得的解，使得原分式方程的分母等于0，即求得的根为增根。
3.验根的方法（1）代人原方程检验，看方程左、右两边的值是否相等，如果相等，则未知数的值是原方程的解，否则就是原方程的增根；（2）代人最简公分母检验，看最简公分母的值是否为零，若值为零，则未知数的值是原方程的增根，否则就是原方程的根.前一种方法虽然计算量大，但是能检查解分式方程中有无计算错误，后一种虽然简单，但不能检查解方程的过程有无计算错误，所以在使用后一种检验方法时，应以解方程的过程没有错误为前提。
培优学案典例示范一、分式方程增根的讨论 例1若方程233x mx x -=--有增根，则m 的值为 （ ） A. -3 B .3 C .0 D .以上都不对【提示】如果这个方程有增根，则这个增根为x =3，x =3虽然不是233x mx x -=--的解，但却是这个方程去分母之后得到的整式方程的解。
【技巧点评】方程有增根，一定存在使公分母等于0的未知数的值.解这类题的一般步骤：①把分式方程化成整式；方程；②令公分母为0，求出x 的值；③把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值。
跟踪训练1.当m 为何值时，解方程225++111mx x x =--会产生增根？二、分式方程的无解 例2若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a = . 【提示】分式方程无解，需要就分式方程有增根和整式方程无解两种情况讨论。
【技巧点评】已知分式方程的无解，可先考虑去分母，将它化成整式方程，然后讨论是整式方程无解，还是分式方程的根为增根。
跟踪训练2.当k 时，分式方程，0111x k x x x x +-=--+无解.三、分式方程解的讨论 例3 已知关于x 的方程232x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围为 。
分式方程增根的例题
分式方程增根的例题
在解析分式方程增根的例题的过程中，我们可以清楚地看到分式方程增根的具体步骤和方法。
首先，假设我们有一个分式方程：x/2 + 1 = 0。
那么，我们可以首
先将方程重写为：x/2 = -1，然后乘以2得到：x = -2。
这就是增根后的结果。
再来看一个更复杂一些的例子，假设我们有一个分式方程：2/(x-3) + 1 = 0。
首先，我们可以将这个方程重写为：2/(x-3) = -1，然后两边同时乘以x-3，得到：2 = -(x-3)。
最后，解开括号，将方程重写为：2 = -x + 3。
解这个方程，我们可以得到：x = 1。
这就是增根后的结果。
以上只是两个简单的例子，分式方程的增根需要逐步推理和运算，并不是一蹴而就的。
在遇到复杂的分式方程时，可能需要更多的步骤进行处理。
但无论如何，分式方程增根的基本原理都是相同的，那就是通过一系列数学操作，将分母消除，从而使得x变量的次数降低，以便于求解。
分式方程中增根问题的探究(教案)
-难点3：针对实际问题，如速度、浓度等问题，学生需要根据实际情况构建分式方程，并注意避免增根。例如，在求解两个物体同时从不同地点出发，相向而行的问题时，学生需要建立正确的分式方程，并考虑到物体相遇时的时间不能为零。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了分式方程中的增根问题。这个概念对学生来说可能有些抽象，但我发现通过实际例子的引导，学生们能够逐渐理解增根的含义及其在方程求解过程中的影响。我尝试了不同的教学方法，有一些收获和反思。
首先，我发现当学生们面对具体的分式方程时，他们能够更好地理解增根的概念。通过将抽象的理论与具体的案例结合起来，学生们能够看到增根是如何产生的，以及我们如何避免它们。这种方法有助于学生将理论知识与实际应用联系起来，增强了他们对知识点的记忆和理解。
（4）培养学生分析问题、解决问题的能力，特别是在面对含增根的分式方程时。
2.教学难点
（1）识别增根产生的具体原因，如分母为零的情况，以及如何通过变换避免；
（2）对于含增根的分式方程，如何进行有效求解，特别是在涉及到多个增根的情况下；
（3）在实际问题中，如何构建分式方程并避免增根问题。
举例：
-难点1：分析产生增根的原因，如对于方程$\frac{x}{x-2} = \frac{3}{x+1}$，学生需要理解当$x=2$或$x=-1$时，分母为零，从而导致增根。难点在于引导学生发现并排除这些值。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调增根的定义和避免增根的方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和对比来帮助大家理解。
分式方程的增根和无解
分式方程的增根和无解黄石市白马山学校 胡优武知识重点：同学们在平时解答分式方程时，经常对分式方程的增根和无解混淆不清，容易错解、漏解。
为了学生好区分这两个概念，特制定以下例子加以说明。
（一）所求出的根使分式方程分母为零，这个根叫增根。
假定分母为零的值不一定是分式方程的增根。
例1：若解关于x 的分式方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根，求m 的值． 解：方程两边都乘最简公分母（x+2）（x-2），得2（x+2）+mx=3（x-2）∵最简公分母为（x+2）（x-2），∴原方程增根为x=±2，∴把x=2代入整式方程，得m=-4．把x=-2代入整式方程，得m=6．综上，可知m=-4或6．本例具有常规性，一般学生都可以看出增根是x=±2，从而求出两个m 的值。
例2：关于分式方程xx x x x +=-+-2227163增根的情况，说法正确的是（ ） A ．有增根是0和-1 B ．有增根是0和1、-1C ．有增根是-1D ．有增根是1一般的学生会假定最简公分母x(x+1)(x-1)=0，得出B 选项，那么就错了。
大家先看看解答过程。
解：方程两边乘以最简公分母为x （x+1）（x-1），得3（x+1）-6x=7（x-1），x=1；当x=1时，x （x+1）（x-1）=0，x=1是增根．原方程无解故选D ．以上说明面对分式方程增根时，不能通过假定分母为零的所有x 的值是方程增根，必须动手计算。
（二）分式方程得的无解，要从两个角度分析，①无解：使分式方程分母为零的根叫增根，此时分式方程无解。
②无解：分式方程化成整式方程ax=b ， 当 a=0 ,b ≠0时，方程无解。
例3：若关于x 的分式方程131=---xx m x 无解，求m 的值． 解：方程两边同时乘以x （x-1）得，x （x-m ）-3（x-1）=x （x-1），整理得 (m+2）x=3①当x=0时原分式方程无解，此时0=3，无意义；②当x=1时原分式方程无解，此时解得m=1．③当m+2=0时，即m=-2时，整式方程(m+2）x=3无解，即原分式方程无解．故m=1或-2．上面的第③步，是学生最容易遗漏的。
分式方程的增根
分式方程的增根
分式方程在数学中具有非常重要的意义，它是用来解决特定问题的有
效工具。
本文将阐述分式方程的定义以及存在增根的情况，以及如何求解
分式方程增根的过程。
分式方程是一种用于解决特定问题的数学方式。
分式方程可以用参数
组合而成，它以未知数x和各种参数组合而成，其形式如下：f(x)=0 。
可以通过求导来求解分式方程。
如果该方程的导数小于0，意味着该方程有增根。
增根的定义为求解分式方程时，当x的取值产生一定的变化时，该方程的未知数x也会有所变化。
如果该方程的导数大于0，意味着该函数有负根，即x的变化会导致f(x)的变化减少。
因此，如何确定分式方程的增根是一个相当重要的步骤。
首先，通过
解导数确定是否存在增根，如果存在，则需要将分式方程变为一元一次方程，然后再解求根公式求解未知数x，从而得出其增根。
同时，要在获得分式方程的增根的同时，考虑到其他的变量，这样才
能得出最终的结果。
如果该分式方程中有其他变量，可以先将其带入到分
式方程中，然后解决该方程，最后确定出分式方程的增根。
总结起来，求解分式方程的增根，需要满足以下几个步骤：首先，通过解导数确定是否存在增根，其次，将分式方程转换为一元一次不等式，然后解求其增根，最后考虑其他变量，从而最终确定出分式方程的增根。
总的来说，分式方程是一种常见的数学问题，它的作用可以用于解决复杂的特定问题，它还具有增根的特性，所以一旦发现一个分式方程有增根，要仔细考虑如何求解该方程的增根，从而最终得出有效的结果。
分式方程及其增根问题
分式方程及其增根问题文章来源：现代教育报·思维训练作者：都卫华点击数：2101 更新时间：2007-3-14 8:32:53解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为零的根），因此解分式方程要验根（其方法是把求得的根代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是）.【例1】解方程 .解：方程两边同乘x（x+1），得5x-4（x+1）=0.化简，得x-4=0. 解得x=4.检验：当x=4时，x（x+1）=4×（4+1）=20≠0，∴x=4是原方程的解.【例2】解方程解：原方程可化为，方程两边同乘（x+1）（x-1），得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）.化简，得2x-3=-1.解得x=1.检验：x=1时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解.【小结】去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项.【例3】解方程 .解：原方程可变形为 .解得x=.检验：当x=时，（x-7）（x-5）（x-6）（x-4）≠0，所以x=是原方程的解.【小结】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单解法为：只把方程等号两边转化为两个分式之差，且等号两边分母的差相等；再把方程等号两边的分式分别通分，会得到两个同分子的分式相等，从而得分母相等，此解法叫做“分组通分法”.【例4】若关于x的方程有增根x=-1，求k的值.解：原方程可化为 .方程两边同乘x（x+1）（x-1）得x（k-1）-（x+1）=（k-5）（x-1）.化简，得3x=6-k.当x=-1时有3×（-1）=6-k，∴k=9.【小结】因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值.。
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分式方程及其增根问题
解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为零的根），因此解分式方程要验根（其方法是把求得的根代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是）.
【例1】解方程 .
解：方程两边同乘x（x+1），得5x-4（x+1）=0.
化简，得x-4=0. 解得x=4.
检验：当x=4时，x（x+1）=4×（4+1）=20≠0，
∴x=4是原方程的解.
【例2】解方程
解：原方程可化为，
方程两边同乘（x+1）（x-1），得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）.
化简，得2x-3=-1.解得x=1.
检验：x=1时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解.
【小结】去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项.
【例3】解方程 .
解：原方程可变形为 .
解得x=.
检验：当x=时，（x-7）（x-5）（x-6）（x-4）≠0，
所以x=是原方程的解.
【小结】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单解法为：只把方程等号两边转化为两个分式之差，且等号两边分母的差相等；再把方程等号两边的分式分别通分，会得到两个同分子的分式相等，从而得分母相等，此解法叫做“分组通分法”.
【例4】若关于x的方程有增根x=-1，求k的值.
解：原方程可化为 .
方程两边同乘x（x+1）（x-1）得
x（k-1）-（x+1）=（k-5）（x-1）.
化简，得3x=6-k.
当x=-1时有3×（-1）=6-k，∴k=9.
【小结】因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值.。