第十讲对数与对数函数

解析:因为2a-(a-1)=a+1,且a>1,所以2a-(a-1)>0,即2a>a-1>0;
又a2+1-2a=(a-1)2,则a2+1>2a>0.因为a>1,所以函数 y=logax在(0,+∞)上是增函数,所以 loga(a2+1)>loga(2a)>loga(a-1),所以m>p>n,故选B. 答案:B
x 0, x 0.
第十讲对数与对数函数
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1.对数概念 (1)定义:一般地,对于指数式ab=N,把数b叫做以a为底N的对数 ,记作logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
(2)对数性质
①零和负数没有对数,即N>0; ②1的对数为0,即loga1=0(a>0且a≠1); ③底的对数等于1,即logaa=1(a>0且a≠1). (3)对数恒等式:alogaN=N(a>0且a≠1,N>0).
答案:C
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评析:在对数函数中如果底数含有字母,通常把底数与1比较大 小,进行分类讨论.
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log 2 x, 5.(2010 天津)设函数f x log ( x), 1 2 .若f a f a , 则实数a的取值范围是 A. 1, 0 0,1 B. , 1 1, C. 1, 0 1, D. , 1 0,1
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(4)常用对数:通常将以10为底的对数叫做常用对数,N的常用 对数log10N简记为lgN. (5)自然对数:以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对
数,N的自然对数logeN简记作lnN.
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2.对数的运算性质 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
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6.反函数 指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)互 为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
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考点陪练
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1.已知函数
1 f ( x) 1 x
的定义域为
M,g(x)=ln(x+1)的定义域N,则M∩N=() A.{x|x>-1} C.{x|x<1} B.{x|-1<x<1} D.∅
2 常见结论(其wk.baidu.coma, b, c 0且a, b, c 1);
1 loga 1, a 1 logab , logb a n logambn logab, m log a b log b c log c a 1.
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4.对数函数的定义 一般地,函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)叫做对数函数,它的定义 域为(0,+∞),值域为R.
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5.对数函数的图象与性质 y=logax a>1 0<a<1
图象
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性质
定义域:(0,+∞) 值域:R 过点(1,0),即x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 在(0,+∞)上是增函数 x的 图象关于x轴对称 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是减函数
2
答案:D
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4.已知函数f x log a x在 2, 上恒有 f x 1, 则（ 1 A.0 a 或1 a 2 2 1 C. a 1或1 a 2 2 1 B.0 a 或a 2 2 1 D. a 1或a 2 2
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3.下列四个数中最大的是( )
A.(ln2) C.ln 2
2
B.ln(ln2) D.ln 2
解析 :由于函数y lnx在(0, )上是增函数, 所以0 ln1 ln2 lne 1, 所以 ln2 ln2, ln ln2 0, 0 ln 2 ln2, 故选D.
）
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解析:①若a>1,则f(x)=logax在[2,+∞]上是增函数,且当x≥2时 ,f(x)>0. 由|f(x)|>1得f(x)>1,即logax>1. ∵当x∈[2,+∞)时,logax>1恒成立 ,∴loga2>1,∴loga2>logaa,∴1<a<2.
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②若0<a<1,则f(x)=logax在[2,+∞)上是减函数,且当x≥2时 ,f(x)<0. ∴由|f(x)|>1得-f(x)>1, ∴f(x)<-1,即logax<-1.
∵当x∈[2,+∞)时,logax<-1恒成立,
log a 2 1, log a 2 log a 0 a 1, 1 1 a 1. 2 2, a 1 所求a的取值范围是 ,1 (1, 2), 故答案选C. 2 1 , a
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解析:要使函数f(x)有意义,则必须有1-x>0,即x<1,所以f(x)的 定义域为{x|x<1};要使函数g(x)有意义,则必须有 x+1>0,x>-1,所以g(x)的定义域为{x|x>-1}.所以M∩N={x|1<x<1},故选B.
答案:B
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2.设a>1,且m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p=loga(2a),则m,n,p 的大小关系为() A.n>m>pB.m>p>n C.m>n>pD.p>m>n
1 log a (M N) log a M log a N;
M 2 log a log a M log a N; N n 3 log M a nlog a M n R .
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3.换底公式及常见结论 log a N (a, b 0且a, b 1, N 0). 1 换底公式 : logbN log a b