天津大学本科生2005～2006学年第1学期期末考试试卷
2005级数三线性代数期末考试试卷A
λ=0或25.当n元二次型正定时, 二次型的秩为 n二． 选择题（每小题3分，共15分）1. 设 0,A n A =为阶方阵则的必要条件是( B ) (a) A 的两行(或列)元素对应成比例 (b) A 中必有一行为其余行的线性组合 (c) A 中有一行元素全为零 (d) 任一行为其余行的线性组合2. 设n 维行向量112200 2 (,,,,),,,T T A E B E ααααα==-=+ 矩阵 ,E n AB =其中为阶单位矩阵则( B )(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+T αα3. 设 0 ,,,A B n AB =为阶方阵满足等式则必有( C )(a) 00A B ==或 (b) 0A B += (c) 00A B ==或 (d) 0A B +=4.s 维向量组12,,,n ααα (3n s ≤≤)线性无关的充分必要条件是( C ) (a) 存在一组不全为零的数12,,,n k k k , 使得11220n n k k k ααα+++≠ (b) 12,,,n ααα 中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出 (c) 12,,,n ααα 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (d) 12,,,n ααα 中任意两个向量都线性无关5. 设A 为n 阶方阵, 且秩121 ,0(),R A n Ax αα=-=是的两个不同的解, 则0Ax =的通解为( AB )(a) 1k α (b) 2k α (c) 12()k αα- (d) 12()k αα+三. 计算题(每小题10分,共30分)1. 计算2512371459274612D ---=--的值.D=-92. 设1100213401100213 C=0011002100010002,B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 矩阵X 满足关系式:1 (),.T T X E C B C E X --=求1 0 0 0 X=-2 1 0 0 1 -2 1 0 0 1 -2 13. 设二次型222123123121323224(,,)f x x x x x x x x x x x x αβ=+++++经正交变换化为标准型22232,,.f y y αβ=+求的值 α=β=0四. 解答题(每小题12分,共24分)21 2.,,,?123123123x +x +kx =4k x +kx +x =k x x +x =4⎧⎪-⎨⎪--⎩为何值时线性方程组有唯一解无解有无穷多解,.若有解时求出其全部解1 1 k 4r(A,b)=-1 k 1 k2 1 -1 2 -4当k=-1或-2时,方程组无解 当k=2时,方程组有无穷多解当k ≠±2且k ≠-1时,方程组有唯一解2. 求向量组11111(,,,)α=,21111(,,,)α=--,31111(,,,)α=--,41111(,,,)α=--,1211(,,,)β=的一个极大线性无关组和秩, 并将β用极大线性无关组线性表出.1 1 1 1 1 A= 1 1 -1 -12 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1α1,α2,α4, β是一个极大线性无关组 r(α1,α2,α3,α4, β)=4β=0×α1+0×α2+0×α4+1×β五. 证明题(每小题8分,共16分)1. 已知123,,ααα线性无关, 证明向量组: 1111122133l l l βααα=++,2211222233l l l βααα=++,3311322333l l l βααα=++线性无关的充分必要条件是1112132122233132330.l l l D l l l l l l =≠2. 设A B n 与为阶对称阵, 且1 ,()AB E A AB E A -++及都可逆证明为 可逆的对称阵.令C=(AB+E)-1A,D=A-1(AB+E) 所以CD=E,DC=E 所以C 可逆又CT=[(AB+E)-1A]T=AT[(AB+E)-1]T=A[(AB+E)T]-1=A(BA+E)-1。
2005年高考理科数学(天津卷)试题及答案
的两条直线分别交抛物线 C 于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足
k2 k1 0( 0且 1)
（Ⅰ）求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程
8
(9)设 f 1 (x) 是函数 f (x) 1 (a x a x ) (a 1) 的反函数，则使 f 1 (x) 1 成立的 x 的 2
取值范围为（ ）
a2 (A) (
1 ,)
2a
(B) (, a 2 1)
a2 1
(C) (
, a)
(D) [a,)
2a
2a
(10)若函数
f (x)
loga (x3
2005 年高考数学试卷及答案
王新敞
2005 年高考理ห้องสมุดไป่ตู้数学 天津卷 试题及答案
源头学子小屋
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共 150 分，考试用时 120 分
钟 第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 10 页 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）
①式两边同乘以 a ，得 aSn 2a 2 3a3 4a 4 na n (n 1)a n1 ②
①式减去②式，得 (1 a)Sn 2a a 2 a3 a n (n 1)a n1
若a 1，
(1 a)Sn
a(1 a n ) 1 a
(n 1)a n1
a，
Sn
2bc
2
在 ABC 中， C 180 A B 120 B ．由已知条件，应用正弦定理
天津大学2020年第1学期高等数学期末考试试卷
2020-2021学年第一学期 高等数学期末考试天津大学2020年第1学期高等数学期末考试试卷2020-2021学年第1 学期 考试科目：高等数学A Ⅰ考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．0sin 5lim 2x xx →= 。
2．曲线2x xe e y -+=在点(0,1)处的曲率是 。
3．设()f x 可导，[]ln ()y f x =，则dy = 。
4．不定积分⎰=。
5．反常积分60x e dx +∞-⎰= 。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设2,01(),,12x x f x x x ⎧<≤=⎨<<⎩在点1x =处必定 （） A ．连续但不可导 B ．连续且可导C ．不连续但可导D ．不连续，故不可导2．曲线y =4x =处的切线方程是 （ ）A ．114y x =- B ．112y x =+C ．114y x =+ D ．124y x =+3．下列函数在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 （ ）A ．21x B ．3x C ．x D ．211x +4．设()f x 为连续函数，则下列等式中正确的是 （ ）A ．()()f x dx f x '=⎰B ．()()df x dx f x C dx =+⎰C ．()()d f x dx f x =⎰D ．()()d f x dx f x dx =⎰5．已知()0232ax x dx -=⎰，则a = （ ）A ．1-B ．0C ．12 D ．1三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 求函数 的极值与拐点.解：函数的定义域（－∞，+∞）。
2. 设抛物线上有两点，，在弧A B 上，求一点使的面积最大.3. 已知()x f 的一个原函数为2ln x ，则试求：()⎰'xf x dx . 确定2x y e =2(x -2)的单调区间.4．设方程2290y xy -+=确定隐函数()y y x =，求d d yx 。
天津大学化工热力学期末试卷（问题详解）
天津⼤学化⼯热⼒学期末试卷（问题详解）本科⽣期末考试试卷统⼀格式（16开）：20 ～20 学年第学期期末考试试卷《化⼯热⼒学》（A 或B 卷共页）（考试时间：20 年⽉⽇）学院专业班年级学号⼀、简答题（共8题，共40分，每题5分） 1. 写出封闭系统和稳定流动系统的热⼒学第⼀定律。
答：封闭系统的热⼒学第⼀定律：W Q U +=?稳流系统的热⼒学第⼀定律：s W Q Z g u H +=?+?+?2212. 写出维⾥⽅程中维⾥系数B 、C 的物理意义，并写出舍项维⾥⽅程的混合规则。
答：第⼆维⾥系数B 代表两分⼦间的相互作⽤，第三维⾥系数C 代表三分⼦间相互作⽤，B 和C 的数值都仅仅与温度T 有关；舍项维⾥⽅程的混合规则为：∑∑===ni nj ij j i M B y y B 11，()1ijij ij cijcij ij B Bp RT B ω+=，6.10422.0083.0pr ij T B -=，2.41172.0139.0prij T B -=，cij pr T T T =，()()5.01cj ci ij cij T T k T ?-=，cijcijcij cij V RT Z p =，()[]331315.0Cjci cij V V V +=，()cj ci cij Z Z Z +=5.0，()j i ij ωωω+=5.03. 写出混合物中i 组元逸度和逸度系数的定义式。
答：逸度定义：()i i i f RTd y p T d ?ln ,,=µ （T 恒定）1?lim 0=→i i p py f逸度系数的定义：iii py f ??=φ4. 请写出剩余性质及超额性质的定义及定义式。
答：剩余性质：是指同温同压下的理想⽓体与真实流体的摩尔⼴度性质之差，即：()()p T M p T M M id ,,-='?；超额性质：是指真实混合物与同温同压和相同组成的理想混合物的摩尔⼴度性质之差，即：idm m M M -=E M5. 为什么K 值法可以⽤于烃类混合物的汽液平衡计算？答：烃类混合物可以近似看作是理想混合物，于是在汽液平衡基本表达式中的1=i γ，i v i φφ=?，在压⼒不⾼的情况下，Ponding 因⼦近似为1，于是，汽液平衡表达式化简为：visi s i i i idip p x y Kφφ==。
05数理试题
05数理试题work Information Technology Company.2020YEAR北京理工大学2006-2007学年第二学期2005级数学物理方程期末试题（A卷）班级_______________学号_______________姓名______________成绩_____________一、填空（请写在答题纸上，每题5分，共计40分）1. 三维泊松方程是______________________________。
2. 边界为的区域上函数的第二类边界条件为___________________。
3. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。
4. 定解问题的解__________________________。
5. 三维拉普拉斯方程的牛曼内问题为______________________________；其解存在的必要条件为____________。
6. 写出4阶贝塞尔方程的标准形式_____________________________。
7. 设为阶贝塞尔函数，则=__________________。
8. 设弦一端在处固定，另一端在处做自由运动。
则弦振动问题的边界条件为：________________________________。
二、（10分）求解定解问题：三、（10分）设，求解定解问题：四、（10分）设，用积分变换法求解下面问题：五、（12分）求拉普拉斯方程在半空间内的格林函数；并求解定解问题：六、（12分）求满足下面定解问题的解：七、（6分）求解定解问题：（提示：多项式的Laplace变换为）。
天津大学811电路2005年真题
考试科目名称：电路（电路基础，网络分析）考试科目代码：811一、（18分）直流电路如图所示，已知Ω=4R 1，Ω=2R 2，Ω=1R 3，Ω=6R 4，Ω=1R 5，Ω=2R 6，A 4I S =，V 8U S =，流控压源I 4U CS =。
求各独立源供出的功率。
考试科目名称：电路（电路基础，网络分析）考试科目代码：811二，（16分）图示S N 为含源线性电阻性网络，已知当Ω=6R 2时，A 4-I V 6U 12==，；当Ω=15R 2时，A 7-I V 5.7U 12==，。
求：（1）？=2R 时，可获得最大功率，并求此最大功率max P ；（2）？=2R 时，可使0I 1=。
考试科目名称：电路（电路基础，网络分析）考试科目代码：811三，（14分）电路如图，已知Ω=Ω=Ω=10R 2R 4R 321，，，Ω=5R 4，1CS S S I 2I V 2U A 1I ===，，。
试用戴维南定理求图示电路中的电流？=I考试科目名称：电路（电路基础，网络分析）考试科目代码：811四，（8分）正弦电路如图，已知Ω=251R ，Ω=75R 2，Ω=20R ,调节电容C 使电压表V 的读数保持20V 不变。
求：1，电压U ；2，电阻r.考试科目名称：电路（电路基础，网络分析）考试科目代码：811考试科目名称：电路（电路基础，网络分析）考试科目代码：811考试科目名称：电路（电路基础，网络分析）考试科目代码：811考试科目名称：电路（电路基础，网络分析）考试科目代码：811考试科目名称：电路（电路基础，网络分析）考试科目代码：811考试科目名称：电路（电路基础，网络分析）考试科目代码：811天津大学招收2005年硕士学位研究生入学考试试题考试科目名称：电路（电路基础，网络分析）考试科目代码：811。
浙大数据结构期末考试2005-2006
《数据结构基础》课程期末考试试卷
开课学院： 计算机学院和软件学院
考试形式：闭卷
考试时间：2005 年 11 月 9 日 所需时间：120 分钟 任课教师________
考生姓名：
_____ 学号：
专业：
___
题序 一二三 Nhomakorabea四
五
六
七
八
九
十 总分
得分
评卷 人
(第三、第四、第五、第十题请做在后面的白纸上，其余做在试题上)
③ p->next->next=p->next
④ p=p->next->next
(6) If the input is a presorted integer sequence , which algorithm is the best to complete sorting.
① Mergesort ② Quicksort
if ( T == NULL ) Error(“Element not found”);
else if ( X < T->Element ) T-> Left = Delete( X, T->Left ); else if ( X > T->Element ) T->Right = Delete( X, T->Right ); else if ( T->Left && T->Right ) {
② n(n – 1)
③ n(n – 1)/2
④ 2n
(2) Given a queue that is implemented by a single linked list, which status is 1->2->3, after
2005-2006年北京大学数据结构期末考试试题
2005-2006年北京大学数据结构期末考试试题(答案写在答题纸上)一、简答（10分）（1）什么是数据结构？它主要研究的问题是什么？答：数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
数据结构研究的问题是数据的物理结构和逻辑结构，以及在此结构上定义并实现相关的运算，计算算法的效率。
（2）阅读以下程序，写出带@ 语句的频度（运行次数）。
X=91；Y=100；While(Y>=0)If (X>100) ……………@{X - =10;Y- -}ElseX++；答：频度为1111次二、编程（10分）编制一个程序就地实现单链表的逆置算法。
说明：1.算法中不能再另外增加结点空间(即不能在算法中使用malloc()函数分配新的结点空间)，但可以增加几个必要的指针变量。
2.该单链表具有头结点。
例如：L答案：invert(Linklist &L){ p=L;q=L->next;while(q){r=q->next;q->next=p;p=q;q=r;}L->next=NULL;L=p;}评分标准：总分为10分。
程序不同，但思路正确者也可酌情给分。
三、编程（10分）用循环队列将序列a0 a1 a2 a3┉┉ak-1 ak┉an循环右移k位。
（序列变为ak┉┉an a0 a1 a2 a3┉ak-1）。
答案：Right(SqQueue &Q,int k){ for(I=1;I<=k;I++){ Q.base[Q.rear]=Q.base[Q.front];Q.rear=(Q.rear+1)%Maxsize;ront=(Q.front+1)%Maxsize;}}评分标准：总分为10分。
出队为8分，入队为2分。
程序不同，但思路正确也可酌情给分。
四、树（10分）已知一棵二叉书树的先序序列为ABDHECFGI，中序序列为DHBEAFCIG，画出该二叉树。
五、画图（10分）画出下图的最小生成树。
2005年高考理科数学(天津卷)试题及答案解析
2005年高考理科数学试题及答案源头学子小屋本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上的无效参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的体积公式)()()(B P A P B A P +=+ 334R V π=球 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)(B A P ⋅=)()(B P A P ⋅ 柱体（棱柱、圆柱）的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率 V 柱体=Sh是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发 其中S 表示柱体的底面积， 生k 次的概率 h 表示柱体的高P n （k ）=C n P k (1-P)n-k一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的（1）设集合},914{R x x x A ∈≥-=, },03{R x x xxB ∈≥+=, 则=B A （ ） (A)]2,3(-- (B) ]25,0[]2,3(⋃--(C) ),25[]3,(+∞⋃--∞(D) ),25[)3,(+∞⋃--∞(2)若复数iia 213++（R a ∈，i 为虚数单位位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） （A ）-2(B)4(C) -6(D)6(3)给出下列三个命题：①若1->≥b a ,则bba a +≥+11；②若正整数m 和n 满足n m ≤,则2)(n m n m ≤-；③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为1.当1)()(2121=-+-y b x a 时,圆1O 与圆2O 相切其中假命题的个数为（ ） (A) 0(B) 1(C) 2(D)3(4)设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是（ ）(A) l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα (B) γβγαγα⊥⊥=⋂,,m (C) αγβγα⊥⊥⊥m ,,(D) αβα⊥⊥⊥m n n ,,(5)设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ ）(A)2±(B)34±(C)21±(D)43±(6)从集合}11,,3,2,1{ 中任选两个元素作为椭圆方程12222=+ny m x 中的m 和n ,则能组成落在矩形区域,11|||),{(<=x y x B 且}9||<y 内的椭圆个数为（ ）(A)43(B) 72(C) 86(D) 90(7)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（）(A)12581 (B)12554(C)12536 (D)12527 (8)要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（ ）(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度(9)设)(1x f -是函数)1( )(21)(>-=-a a a x f xx 的反函数，则使1)(1>-x f 成立的x 的取值范围为（ ）(A)),21(2+∞-a a (B) )21,(2a a --∞ (C) ),21(2a aa - (D) ),[+∞a (10)若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（ ）(A))1,41[(B) )1,43[(C)),49(+∞(D))49,1(第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：1答卷前将密封线内的项目填写清楚 2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上二、填空题：本大题共6小题， 每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上（11）设*∈N n ,则=++++-12321666n n n n n n C C C C ．（12）如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a 则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于________．（13）在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,且)( )1(12*+∈-+=-N n a a n n n 则100S =_____．（14）在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC |=2,则OC = ．（15）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后估计可获收益的期望是___________（元）（16）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线21=x 对称，则)5()4()3()2()1(f f f f f ++++=________________．三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc cb =-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值 （18）（本小题满分12分）已知)0,0,( 1221>>∈+++++=*---b a N n b ab b a b a a u n n n n n n（Ⅰ）当b a =时，求数列{}n u 的前n 项和n S （Ⅱ）求1lim-∞→n nn u u（19）（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，a B A A A AC AB AC A AB A ===∠=∠1111,,，侧面11BCC B 与底面ABC 所成的二面角为120，E 、F 分别是棱A A C B 111、的中点 （Ⅰ）求A A 1与底面ABC 所成的角 （Ⅱ）证明E A 1∥平面FC B 1（Ⅲ）求经过C B A A 、、、1四点的球的体积（20）（本小题满分12）某人在一山坡P 处观看对面山项上的一座铁塔，C 1B 1A 1ABCF E如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为α ,tan α=1/2试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC 最大（不计此人的身高）（21）（本小题满分14分）抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1,k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点(P ,A,B 三点互不相同)，且满足10(012-≠≠=+λλλ且k k（Ⅰ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程（Ⅱ）设直线AB 上一点M ，满足MA BM λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上 （Ⅲ）当λ=1时，若点P 的坐标为（1，-1），求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围（22）（本小题满分14分） 设函数)( sin )(R x x x x f ∈=.（Ⅰ）证明x k x f k x f sin 2)()2(ππ=-+,其中为k 为整数； （Ⅱ）设0x 为)(x f 的一个极值点，证明240201)]([x x x f +=；（Ⅲ）设)(x f 在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列 ,,,,21n a a a ,证明),2,1( 21 =<-<+n a a n n ππ2005年高考理科数学试题及答案参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题4分，共24分）（11）)17(61-n； （12）2；（13）2600；（14）)5103,510(-；（15）4760；（16）0．三、解答题（共76分，以下各题为累计得分，其他解法请相应给分）（17）解：由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ，因此 60=∠A ． 在ABC ∆中，B B A C ∠-=∠-∠-=∠120180．由已知条件，应用正弦定理21cot 23sin sin 120cos cos 120sin sin )120sin(sin sin 321+=-=-===+B B B B B B B C b c ，解得2cot =B , 从而21tan =B ． （18）解：（Ⅰ）当b a =时，nn a n u )1(+=．这时数列}{n u 的前n 项和n n n a n na a a a S )1(432132++++++=- ． ①①式两边同乘以a ，得1432)1(432+++++++=n n n a n na a a a aS ② ①式减去②式，得132)1(2)1(++-++++=-n n n a n a a a a S a若1≠a ，aa n aa a S a n n n ++---=-+1)1(1)1()1(，221212)1(2)2()1(1)1()1()1(a aa a n a n a a n a a a a S n n n n n -+-+-+=-+-+--=+++ 若1=a ，2)3()1(32+=+++++=n n n n S n （Ⅱ）由（Ⅰ），当b a =时，nn a n u )1(+=，则a n n a na a n u u n n n n n n n =+=+=∞→-∞→-∞→)1(lim )1(lim lim 11． 当b a ≠时，)(11)(1)()(1[111211+++----=--=++++=++++=n n n n n n n n n n n b a b a ab a ba ab a b a b a b ab b a a u 此时，nnn n n n b a b a u u --=++-111． 若0>>b a ，a aba b b a b a ba u u nnn nn n n n n n n =--=--=∞→++∞→-∞→)(1)(limlimlim111． 若0>>a b ，b ba b b aa u u nn n n nn =--==∞→-∞→1)()(lim lim1．（19）解：（Ⅰ）过1A 作⊥H A 1平面ABC ，垂足为H ．连结AH ，并延长交BC 于G ，于是AH A 1∠为A A 1与底面ABC 所成的角． ∵AC A AB A 11∠=∠，∴AG 为BAC ∠的平分线． 又∵AC AB =，∴BC AG ⊥，且G 为BC 的中点． 因此，由三垂线定理BC A A ⊥1．∵B B A A 11//，且B B EG 1//，∴BC EG ⊥． 于是AGE ∠为二面角E BC A --的平面角， 即120=∠AGE ．由于四边形AGE A 1为平行四边形，得601=∠AG A ．（Ⅱ）证明：设EG 与C B 1的交点为P ，则点P 为EG 的中点．连结PF ． 在平行四边形1AGEA 中，因F 为A A 1的中点，故FP E A //1． 而⊂FP 平面FC B 1，⊄E A 1平面FC B 1，所以//1E A 平面FC B 1．（Ⅲ）连结C A 1．在AC A 1∆和AB A 1∆中，由于AB AC =，AC A AB A 11∠=∠，A A A A 11=，则AC A 1∆≌AB A 1∆，故B A C A 11=．由已知得a C A B A A A ===111．又∵⊥H A 1平面ABC ，∴H 为ABC ∆的外心．设所求球的球心为O ，则H A O 1∈，且球心O 与A A 1中点的连线A A OF 1⊥．在FO A Rt 1∆中，3330cos 21cos 111aaH AA F A O A === ．故所求球的半径a R 33=，球的体积33273434a R V ππ==． （20）解：如图所示，建立平面直角坐标系，则)0,200(A ，)220,0(B ，)300,0(C ． 直线l 的方程为αtan )200(-=x y ，即2200-=x y ．1设点P 的坐标为),(y x ，则)2200,(-x x P （200>x ） 由经过两点的直线的斜率公式x x x x k PC28003002200-=--=， xx x x k PB26402202200-=--=． 由直线PC 到直线PB 的角的公式得6401602886426402800121601tan 2⨯+-=-⋅-+=+-=x x x xx x x x k k k k BPC PCPB PC PB 28864016064-⨯+=xx （200>x ）要使BPC tan 达到最大，只须288640160-⨯+xx 达到最小． 由均值不等式2886401602288640160-⨯≥-⨯+x x ．当且仅当xx 640160⨯=时上式取等号．故当320=x 时BPC tan 最大．这时，点P 的纵坐标y 为602200320=-=y ．由此实际问题知，20π<∠<BPC ，所以BPC tan 最大时，BPC ∠最大．故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角BPC ∠最大．（21）解：（Ⅰ）由抛物线C 的方程2ax y =（0<a ）得，焦点坐标为)41,0(a，准线方程为ay 41-=． （Ⅱ）证明：设直线PA 的方程为)(010x x k y y -=-，直线PB 的方程为)(020x x k y y -=-．点),(00y x P 和点),(11y x A 的坐标是方程组0102()y y k x x y ax -=-⎧⎨=⎩①② 的解． 将②式代入①式得000112=-+-y x k x k ax ，于是a k x x 101=+，故011x akx -= ③ 又点),(00y x P 和点),(22y x B 的坐标是方程组0102()y y k x x y ax -=-⎧⎨=⎩④⑤ 的解．将⑤式代入④式得000222=-+-y x k x k ax ．于是a k x x 202=+，故022x ak x -=． 由已知得，12k k λ-=，则012x k ax --=λ． ⑥设点M 的坐标为),(M M y x ，由MA BM λ-，则λλ++=112x x x M ．将③式和⑥式代入上式得0001x x x x M -=+--=λλ，即00=+x x M ．所以线段PM 的中点在y 轴上．（Ⅲ）因为点)1,1(-P 在抛物线2ax y =上，所以1-=a ，抛物线方程为2x y -=．由③式知111--=k x ，代入2x y -=得211)1(+-=k y ．将1=λ代入⑥式得112-=k x ，代入2x y -=得222)1(+-=k y ．因此，直线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为)12,1(1211-----k k k A ，)12,1(1211-+--k k k B ．于是)2,2(1211k k k AP ++=，)4,2(11k k AB =，)12)(2(2)2(4)2(2111121111++=+++=⋅k k k k k k k k AB AP ．因PAB ∠为钝角且P 、A 、B 三点互不相同，故必有0<⋅AB AP ． 求得1k 的取值范围是21-<k 或0211<<-k ． 又点A 的纵坐标1y 满足211)1(+-=k y ，故 当21-<k 时，11-<y ；当0211<<-k 时，4111-<<-y ． 即)41,1()1,(1----∞∈ y（22）解：（Ⅰ）证明：由函数)(x f 的定义，对任意整数k ，有(2)()(2)sin(2)sin f x k f x x k x k x x πππ+-=++-(2)sin sin 2sin x k x x x k x ππ=+-=．（Ⅱ）证明：函数)(x f 在定义域R 上可导，x x x x f cos sin )(+=' ① 令0)(='x f ，得0cos sin =+x x x ． 显然，对于满足上述方程的x 有0cos ≠x ， 上述方程化简为x x tan -=．此方程一定有解．)(x f 的极值点0x 一定满足00tan x x -=．由x x x x x x 222222tan 1tan cos sin sin sin +=+=，得020202tan 1tan sin x x x +=． 因此，2400220201sin )]([x x x x x f +==．（Ⅲ）证明：设00>x 是0)(='x f 的任意正实数根，即00tan x x -=， 则存在一个非负整数k ，使),2(0ππππk k x ++∈，即0x 在第二或第四象限内．由①式，)(tan cos )(x x x x f +='在第二或第四象限中的符号可列表如下：所以满足0)(='x f 的正根0x 都为)(x f 的极值点．由题设条件，1a ，2a ，…，n a ，…为方程x x tan -=的全部正实数根且满足<<<<n a a a 21，那么对于 ,2,1=n ，)tan()tan tan 1()tan (tan 1111n n n n n n n n a a a a a a a a -⋅+-=--=-++++． ②由于 ππππ)1()1(2-+<<-+n a n n ，ππππn a n n +<<++12，则2321ππ<-<+n n a a ， 由于0tan tan 1>⋅+n n a a ，由②式知0)tan(1<-+n n a a ． 由此可知n n a a -+1必在第二象限， 即π<-+n n a a 1． 综上，ππ<-<+n n a a 12．。
2005-2006常微分方程试卷一
__________________学院__________级___________班姓名_______________学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………密封线内答题无效10、求初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=,1)0(22y x y dx dy 的一次近似解)(1x ϕ= 和二次近似解)(2x ϕ= .二、计算题：(共40分)（每小题10分） 11、求解微分方程：)2sin(tan x x y dx dy =+.12、求解微分方程()22194⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx dy y y 的奇解.__________________学院__________级___________班姓名_______________ 学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）……………………………… 密封线内答题无效14、求常系数线性微分方程010322233=+--y dxdy dx y d dx y d 的通解. 数软学院应用数学专业常微分方程试卷 第4页（共6 页）分)（每小题10分）15、设)(,),(2x R y x ϕ∈是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0)0(cos 2y e y e dx dy xx 的解，证明R x x ∈≡,0)(ϕ.16、设当b x a <<时，非齐次线性微分方程组)()(x f x A dxy d +=（1）中的)(x f 不恒为0. 证明(1)有且至多有1+n 个线性无关解.数软学院应用数学专业常微分方程试卷 第5 页（共6 页）17、证明：0),(),(=+dy y x Q dx y x P 有形如)),((),(y x y x ϕμμ=的积分因子当且仅当)).,((y x f P Q yx xQ y Pϕϕϕ=--∂∂∂∂∂∂∂∂数软学院应用数学专业常微分方程试卷 第6 页（共6 页）。
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2005～2006学年第 1学期期末考试试卷
《管理统计学》（A卷 共 2页）
（考试时间：2005年 12月 20日）
题号 一 二 三 四 五 六 七 成绩核分人签字
得分
1．（12分）设总体X的概率密度函数为
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤>=−−0,00,x21),(2)(ln2x
xe
xf
x
μ
π
μ
其中
μ
为未知参数，nXXX,...,,21是来自X的样本。
（1）试求
13)(+=μμg
的极大似然估计量)(gˆμ；
（2）试验证
)(g
ˆ
μ
是)(μg的无偏估计量。
2．（12分）某商店为解决居民对某种商品的需要，调查了100户住户，得出每月每户平均
需要量为10千克，样本方差为9。若这个商店供应10000户，求最少需要准备多少这种商
品，才能以95%的概率满足需要？
3．（15分）假定某化工原料在处理前和处理后取样得到的含脂率如下表：
处理前 0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137
处理后 0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140
假定处理前后含脂率都服从正态分布，问处理后与处理前含脂率均值有无显著差异。
4．（15分）设有一大批产品，产品指标
),(~2σμNx
，以μ小者为佳，厂方要求所确定的
验收方案对高质量的产品（0μμ<）能以高概率1-α为买方所接受。买方则要求低质产品
δμμ
+≥
0
能以高概率1-β被拒绝。α，β有厂方与买方协商给出。并采取一次抽样以
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确定该批产品是否为买方所接受。问应怎样安排抽样方案。已知0μ=120，δ=20，且由工
厂长期经验知2σ=900，又经商定α，β均取0.05。
5（16分）设有三台机器，用来生产规格相同的铝合金薄板。取样，测量薄板的厚度精确到
千分之一厘米。得结果如下：
机器1 机器2 机器3
0.236 0.257 0.258
0.238 0.253 0.264
0.248 0.255 0.259
0.245 0.254 0.267
0.243 0.261 0.262
试分析可否认为三台机器生产得到的铝合金板厚度没有差异？（05.0=α）
6（15分）抛一枚硬币100次，数字面朝上出现多少次，才能认为该硬币是不均匀的？
（05.0=α）
7.(15分)根据下表中Y与X两个变量的样本数据，建立Y与X的一元线性回归方程。
Y ijf X 5 10 15 20 yf
120 0 0 8 10 18
140 3 4 3 0 10
x
f
3 4 11 10 28